高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课时达标训练新人教A版选修2_2

课时素养评价十定积分的概念(15分钟30分)1.定积分xdx等于()A. B.-1 C.0 D.1【解析】选 C.如图所示,定积分为图中阴影部分面积A减去 B.因为S A=S B=,所以xdx=-=0.2.已知f(x)dx=6,则6f(x)dx= ( )A.6B.6(b-a)C.36D.不确定【解析】选C.6f(x)dx=6f(x)dx=6×6=36.【补偿训练】已知f(x)dx=4,则 ( )A.2f(x)dx=1B.f(x)dx+f(x)dx=4C.f(x)dx=1D.f(x)dx=1【解析】选B.利用定积分的性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=4.3.已知和式S=(p>0),当n趋向于∞时,S无限趋向于一个常数A,则A可用定积分表示为( )A.dxB.x p dxC.dxD.dx【思路导引】把和式转向定积分的定义式的形式整理,为S=,根据定积分的定义很容易得出结果. 【解析】选B.S==·,所以·=x p dx.4.计算: 2 020dx=________.【解析】根据定积分的几何意义, 2 020dx表示直线x=2 018,x=2 019,y=0,y=2 020围成矩形的面积,故 2 020dx=2 020.答案:2 0205.已知[f(x)+g(x)]dx=12,g(x)dx=6,求3f(x)dx.【解析】因为[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx=12,g(x)dx=6,所以f(x)dx=12-6=6.所以3f(x)dx=3f(x)dx=18.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为( )A.4B.8C.2πD.4π【思路导引】掌握正余弦函数图象的对称性,对应面积相等的问题.如本题求不规则的图形面积,利用函数图形性质转化到特殊的规则的面积问题.【解析】选D.如图所示.由图可知,S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象与直线y=2所围成的图形面积即为矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形=2×2π=4π.2.已知t>0,若(2x-2)dx=8,则t= ( )A.1B.-2C.-2或4D.4【解析】选D.作出函数f(x)=2x-2的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得S△OAB=1,因为(2x-2)dx=8,且(2x-2)dx=-1,所以t>1,所以S△AEF=AE·EF=×(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,所以t=4.3.下列命题不正确的是( )A.若f(x)是连续的奇函数,则f(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dxC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0D.若f(x)在[a,b]上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b]上恒正【解析】选D.对于选项A,因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确;对于选项B,因为f(x)是偶函数,所以图象关于y 轴对称,故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等,故B正确;C显然正确;D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.4.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.由定积分性质(3)求f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求f(x)在区间[-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然D正确.5.设a=dx,b=x2dx,c=x3dx,则a,b,c的大小关系是( )A.c>a>bB.a>b>cC.a=b>cD.a>c>b【解析】选B.根据定积分的几何意义,易知x3dx<x2dx<dx,即a>b>c.二、填空题(每小题5分,共15分)6.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.【解析】如图所示,阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.答案:dx7.计算:(1-cos x)dx=________.【解析】方法一:根据定积分的几何意义,得1dx=2π,cos xdx=cos xdx+cos xdx+cos xdx+cos xdx=cos xdx-cos xdx-cos xdx+cos xdx=0,所以(1-cos x)dx=1dx-cos xdx=2π-0=2π.方法二:在公共积分区间[0,2π]上,(1-cos x)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cos x在[0,2π]上围成封闭图形的面积,如图,由于余弦曲线y=cos x在[0,π]上关于点中心对称,在[π,2π]上关于点中心对称,所以区域①与②的面积相等,所求平面图形的面积等于边长分别为1,2π的矩形的面积,其值为2π.所以(1-cos x)dx=2π.答案:2π8.计算dx=________.【解析】由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积.易知AB=,∠AOB=,故S=×4π-×1×=-.阴影答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=3,计算定积分3f(x)dx. 【解析】因为函数f(x)为偶函数,所以在y轴两侧的图象对称,所以对应的面积相等,即f(x)dx=f(x)dx=3,所以3f(x)dx=3f(x)dx+3f(x)dx=3=18.【拓展提升】利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各阴影部分的面积.(4)写出定积分,注意当f(x)≥0时,S=f(x)dx,而当f(x)≤0时,S=-f(x)dx.10.已知函数f(x)=求f(x)在区间[-1,3π]上的定积分. 【解析】由定积分的几何意义知:因为f(x)=x5是奇函数,故x5dx=0;sin xdx=0(如图(1)所示);xdx=(1+π)(π-1)=(π2-1)(如图(2)所示).所以f(x)dx=x5dx+xdx+sin xdx=xdx=(π2-1).计算定积分:[-x]dx.【解析】[-x]dx=dx-xdx,令S1=dx,S2=xdx.S1,S2的几何意义如图1,2所示.对S1=dx,令y=≥0,则(x-1)2+y2=1(0≤x≤1,y≥0),由定积分几何意义知S1=dx=π×12=, 对于S2=xdx,由其几何意义知S2=×1×1=,故[-x]dx=S1-S2=-=.。

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A 版选修221．定积分的概念一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上□01连续，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式□02∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )． 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：□03⎠⎛ab fx d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝□04lim n →∞∑ni ＝1 b －a n f (ξi )．2．定积分的相关名称3．定积分的几何意义(1)前提条件：函数f (x )在区间[a ，b]上连续，f (x )≥0.(2)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义：由y ＝0，曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的曲边梯形的□12面积． 4．定积分的基本性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝□13k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f (x )±g(x )]d x ＝□14⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛ab g(x )d x . (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝□15⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b)．用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x 轴上方、还是下方，直接求解而出现错误．避免出错的措施为：(1)当对应的曲边图形位于x 轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积；(2)当对应的曲边图形位于x 轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边图形面积等于位于x 轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x 轴上方的曲边图形面积减去位于x 轴下方的曲边图形面积．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t)d t .( )(2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛ab (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a b x 2d x ＋⎠⎛ab 2xd x .( )答案 (1)√ (2)× (3)√探究1 利用定义计算定积分例1 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．[解] 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )， 则S n ＝∑ni ＝1f (n ＋i －1n)·Δx ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋i －1n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3i －1n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．【跟踪训练1】 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0与曲线f (x )＝x 2＋2x ＋1围成曲边梯形的面积．解 将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，等i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n，S n ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n＝1n 3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋2n2(1＋2＋3＋…＋n )＋1＝1n3·n n ＋12n ＋16＋2n2·n n ＋12＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n＋2，S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n ＋2＝73， 所以所求的曲边梯形的面积为73.拓展提升b f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛a直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．解 (1)如图1，阴影部分面积为2＋5×12＝72，从而 ⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.图1 图2探究3 利用定积分的性质求定积分例3 已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .[解] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12.拓展提升【跟踪训练3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.1．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线y ＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间[a，b]n等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有( )A．S1<S<S2B．S1≤S<S2C．S1≤S2≤S D．S1≤S≤S2答案 A解析 由题意知，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i－1n ，i n 上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n，所以S 1＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·1n <∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝S 2，则S 1<S <S 2.答案 D3.⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.答案 12解析 如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，所以⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12.4．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为 ________．答案 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x解析 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121xd x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x . 5．根据定积分的几何意义求定积分⎠⎛13(x －2)d x ，⎠⎛13|x －2|d x .解 根据定积分的几何意义，所求定积分表示直线x ＝3，x ＝1，y ＝0分别与函数y ＝x －2，y ＝|x －2|的图象所围成的图形的面积，即如图的阴影部分的面积．∴⎠⎛13(x －2)d x ＝－12×1×1＋12×1×1＝0. ⎠⎛13|x －2|d x ＝12×1×1＋12×1×1＝1.。

1.5.3定积分的概念【学习目标】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 【学习重难点】重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P45-47内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1.定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx=⎰，即1()lim ()nbi ax i b af x dx f nζ→∞=-=∑⎰. 2.定积分的相关名称3.定积分的几何意义（1）前提条件：函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()0f x ≥.（2）定积分()baf x dx ⎰的几何意义：由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 4.定积分的基本性质（1）()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）(2)1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（3）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a cb <<）【合作探究】 （利用定义求定积分） 问题1：（1）将111lim()122n n n n→∞+++++表示为定积分为111dx x +⎰.（2）利用积分定义求2badx ⎰的值.答案：2()b a -（利用定积分的几何意义求定积分） 问题2：（1）131(3)x x dx -+⎰=0 （2）31(31)x dx -+⎰= 16 （3）1-⎰=2π（定积分性质的应用） 问题3：（1）计算232)x dx -⎰的值；答案：2π（2）已知[)[)[],0,2()4,2,35,3,522x x f x x x xx ⎧⎪∈⎪=-∈⎨⎪⎪-∈⎩，求()f x 的区间[]0,5上的定积分.答案：92【深化提高】利用定积分的几何意义求2222()sin f x dx xdx ππ--+⎰⎰的值，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩. 答案：-6●当堂检测A 组（你一定行）： 1.定积分()baf x dx ⎰的大小 （ A ）A ．与()y f x =和积分区间[,]a b 有关，与i ζ的取法无关B. 与()y f x =有关，与积分区间[,]a b 和iζ的取法无关C. 与()y f x =和i ζ的取法有关，与积分区间[,]a b 无关D. 与()y f x =、积分区间[,]a b 、i ζ的取法均无关 2. 定积分31(3)dx -⎰等于 （ A ）A.-6B.6C.-3D.3 B 组（你坚信你能行）： 3.已知12013x d x=⎰，22173x dx =⎰，则22(1)x d x+=⎰143. 4. 求由曲线xy e =，直线2,1x y ==围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为 []0,2 .C 组（我对你很有吸引力哟）： 5.计算322(25sin )x dx ππ-⎰的值.答案：2π【小结与反思】。

1.5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃbaf (x )d x ，即ʃb af (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52.思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃba f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃba f (x )d x <0，－ʃba f (x )d x 等于曲边梯形的面积． 知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？ 答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃba [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃba f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x . (3)ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )．1．ʃba f (x )d x ＝ʃba f (t )d t .( √ )2．ʃb a f (x )d x 的值一定是一个正数．( × )3．ʃb a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x ＝ʃb a x 3d x ＋ʃb a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x .( √)类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n ＋i －1)n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋in ，i ＝1,2，…，n . 取ξi ＝x i ＝2＋i n，则f (ξi )＝2＋in＋2＝4＋i n.则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋i n ·1n ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋i n 2＝n ·4n＋1＋2＋…＋n n2＝4＋n ＋12n. ∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎪⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. (2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －xd x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －xd x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3， S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2.∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞ ∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D．被积函数为y＝2，a＝－6考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 C解析由定积分的概念可知，ʃ2－1(－2)d x中的被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)d x等于( )A．0 B．16C．12 D．8考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 B解析ʃ6－6f(x)d x＝2ʃ60f(x)d x＝16.4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A．ʃ10(－x)d x B．ʃ10|－x|d xC．ʃ0－1x d x D．－ʃ10x d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 B解析由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S＝ʃ10|－x|d x.5．计算ʃ3－3(9－x2－x3)d x.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1nC.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2·2nD ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D解析 根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n.2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d xB ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d xD ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12，B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 定积分S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ113x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ1013x d x ，即a >b >c ，故选A.8．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016，得ʃa－a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6. 故正数a 的最大值为6. 二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用答案 83解析 ∵ʃ1012 f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10 f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1 f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1 f (x )d x ＝ʃ0－1 f (x )d x ＋ʃ10 f (x )d x＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x . 因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得， ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x＝12ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。