高中数学单元复习的微课设计及案例 ——以基本初等函数(Ⅰ

第二章 基本初等函数（Ⅰ）本章复习错误!教学分析函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象，我们还可以根据变化现象懂得对不同特征进行分类研究．而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界变化规律的三类重要且常用的基本初等函数，本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质，因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下，综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合，使学生形成知识网络，强化数学思想和方法的运用，通过复合函数和抽象函数的复习，提高学生的综合能力．三维目标1．理解指数与对数，指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系，通过提问，提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认知结构．2．让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题，培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力．3．对复合函数，抽象函数有一个新的认识，培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力．重点难点教学重点:指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质．教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题．课时安排1课时教学过程错误!思路11计算:（1)20.52130.25323435(0.008)(0.2)0.062 589---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅+÷÷ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；(2)2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--。

活动:学生观察、思考，学生观察式子的特点，特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路，对有困难的学生及时提示，组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价．解:（1)原式＝()()()23()21133()()420.532437()0.20.20.523⨯-⨯--⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＋＝错误!÷0。

5＝错误!＋10错误!＝错误!.（2) 2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--221lg(2310)lg(0.6)lg1022-⨯⨯-- ＝223lg 5lg 3lg 53(lg 2)3[lg 5lg 2(lg 5lg 2)]15lg 2lg 32lg 0.6lg 6lg 0.622⋅++++=++-+-+＝错误!. 点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式，注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用。

3.4 函数的应用（Ⅱ）整体设计教学分析教材利用3个实例介绍了指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中的广泛应用．由于本节与社会生活经验有联系，建议学生课前了解相关生活的知识．三维目标掌握指数函数、对数函数和幂函数在实际中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，树立应用的意识．重点难点教学重点：建立函数模型．教学难点：建立函数模型．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性． ⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型． 讨论结果：①y＝x.②y＝x 2.③y＝(1＋5%)x，甲 乙 丙 ⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b(直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，抛物线型)，y ＝ka x＋b(指数型)．⑥从表格和图象得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫做对数型函数． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．应用示例例11995年我国人口总数是12亿．如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？解：设x 年后人口总数为14亿．依题意，得12·(1＋0.012 5)x＝14，即(1＋0.012 5)x＝1412.两边取对数，得xlg1.012 5＝lg14－lg12，所以x ＝lg14－lg12lg1.012 5≈12.4.所以13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿．x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?解：已知本金为a元：1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.由计算器算得y＝1 117.68(元)．所以复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1 117.68元.例3一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减：(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期．(精确到0.1)．解：(1)最初的质量为500 g，经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.91，经过2年，ω＝500×0.92，…由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.(2)解方程500×0.9t＝250.0．9t＝0.5，lg0.9t＝lg0.5，tlg0.9＝lg0.5，t ＝lg0.5lg0.9≈6.6.知能训练(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：根据表中的数据画出散点图．观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y ＝a·b x这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系．解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(下图甲)．根据点的分布特征，可以考虑用y ＝a·b x作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型．如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a·b x，得⎩⎪⎨⎪⎧7.9＝a·b 70，47.25＝a·b 160.用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象(下图乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x ，得y ＝2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖．甲 乙2．在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R0速率年复一年地增长，则N1＝R0N0，N2＝R0N1＝R02N0，N3＝R0N2＝R30N0，…N t＝R t0N0.R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升；R0＝1，种群稳定；0＜R0＜1，种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如下图所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．小结：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题3—4 A 2、3、4.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．备课资料[备选例题]例1某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为12x 件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F ，一年总库存费为E ，手续费为H ，其他费用为C(C 为常数)，则E ＝2×12x ，H ＝500×8 000x ，x ＝8 000n (n≥1，n∈Z )，所以F ＝E ＋H ＋C ＝2×12x ＋500×8 000x ＋C＝8 000n ＋500n ＋C ＝500(16n＋n)＋C＝500(4n －n)2＋4 000＋C≥4 000＋C ，当且仅当4n＝n ，即n ＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．例2电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见下表)．现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．解：我们取磁钢面积x 为横坐标、用胶量y 为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y ＝ax ＋b 表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y ＝ax ＋b ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0.812＝56.6a ＋b ，2.86＝189.0a ＋b.解得a ＝0.015 47，b ＝－0.063 50.这条直线是y ＝0.015 47x －0.063 50.点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x的图象(如下图所示)．观察函数的图象，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图象都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图象始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x ＞20时，y ＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f(x)＝log 7x ＋1－0.25x ，x∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(如下图所示)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0， 即log 7x ＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司的要求．。

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复习课（三) 基本初等函数(Ⅰ)1．题型为选择题或填空题，主要考查对数式和指数式的直接运算，利用换底公式进行运算,通过运算的转化进行大小比较等．2．分数指数幂（1)a mn＝错误!（a＞0，m,n∈N*，且n＞1)．（2)a－mn＝1mna＝错误!（a＞0，m，n∈N＊，且n＞1）．3．对数的运算性质已知a＞0，b＞0，a≠1，M＞0，N＞0，m≠0. (1）log a M＋log a N＝log a(MN）．（2）log a M－log a N＝log a M N 。

(3）log am b n＝错误!log a b.［典题示例］(1)(安徽高考)lg错误!＋2lg 2－错误!－1＝______.（2）（浙江高考)若a＝log43，则2a＋2－a＝________。

解析：（1）lg错误!＋2lg 2－错误!－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2）－2＝1－2＝－1。

(2)∵a＝log43＝错误!log23＝log2错误!，∴2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋2log233＝错误!＋错误!＝错误!。

[答案] （1)－1 （2）错误![类题通法］指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数式的运算:①注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算．②若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．（2)对数式的运算:指数式与对数式的运算①注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价．②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．错误!1．（3，2·错误!)6－4错误!12＝________。

课题：基本初等函数（Ⅰ）习题课课时：012课 型：习题课教学要求：掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.教学重点：指数函数的图象和性质.教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.教学过程：一、复习准备：1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.2. 求下列函数的定义域：1218-=x y ；x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211；2log (1)(0,1)a y x a a =->≠且 3. 比较下列各组中两个值的大小：6log 7log 76与；8.0log log 23与π；5.37.201.101.1与二、典型例题：例1：已知54log 27＝a ，54b＝3，用108,log 81a b 表示的值 解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x -⨯=⨯即：2(5454)5454a x b a -⨯=⨯所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即 因此得：2a b x a+=-例2、函数12log 2y x =-的定义域为 .例3、函数2321()2xx y -+=的单调区间为 .例4、已知函数)10(11log )(≠>-+=a a xx x f a且.判断)(x f 的奇偶性并予以证明.例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）三、 巩固练习：1.函数3log (45)y x =--的定义域为 .，值域为 .2. 函数2322+--=x xy 的单调区间为 .3. 若点)41,2(既在函数b ax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =______，b =_______4. 函数12+=-x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点 .5. 计算()[]=++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2175.034303101.016254064.0 .6. 求下列函数的值域：x y -=215 ; x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=131; 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy ; x y 21-=四、小结本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力五、课后作业：教材P82 复习参考题A 组1——8题课后记：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.2.1 第2课时对数的运算
1.知识与技能
(1)掌握对数的运算性质;
(2)会用换底公式对对数式进行化简.
2.过程与方法
(1)通过师生互动使学生掌握对数的运算性质;
(2)培养学生的数学应用意识.
3.情感、态度与价值观
(1)用联系的观点分析、解决问题;
(2)认识事物之间的相互转化.
重点:对数运算的基本性质.
难点:换底公式的简单应用.
重难点的突破:在教学过程中,应尽量多列举错例,让学生自己找错误,从而加深对运算性质的理解.也可通过具体实例,借助计算机或计算器等工具,探索对数的运算性质,并与指数的运算性质进行类比.结合指数式的性质,注意对数的两个运算性质成立的条件.
已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.
解:∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,
即lg(c2-b2)=lg a2,
∴c2=a2+b2,
∴△ABC为直角三角形.。

第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.。

对数函数及其性质
（1）y=log2 （4-x）
(2)y=log x(4-x)
总结: (1)对数的真数必须大于零；(2)对数函数的底数必须大于零且不等于1.
问题四：类比指数函数，对数函数y=log2x（a＞0且a≠1）的图象有哪几种类型呢？，你能在同一坐标系上画出下列函数的图像
(1) y=log2x
（2）y=log1/2x
教师提示概念中的要求学生
完成（2）
生：独立画图，同学间交流。

师：课堂巡视，个别辅导，
展示画得较好的个别同学图象。

两个函数的
图象。

为对数函数
的图象和性
质作铺垫
问题五：
从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和
联系？
问题六：
1、你知道下列函数：
第一组，，(1)y=log2x (2) y=log33x(3) y=log4x
第二组，(1)y=log1/2x (2) y=log1/3x(3) y=log1/4x
，图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？
生：个别同学尝试回答。

师：引导学生发现、观察、对比
底数不同对函数图象的影响。

生：独立思考，小组讨论。

师：用多媒体课件展示各个
函数的图象。

生：观察图象讨论、交流合
作，归纳出对数函数的共同性质。

通过学
生讨论，培养
学生交流合
作能力。

获得对
数函数的图
象和性质。

明确底
数a是确定对
数函数的要
素，渗透分类。

第二章章末复习一.教学目标1.知识与技能（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系.（2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题.2.过程与方法通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质.3.情感、态度、价值观（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. （2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.二.重点、难点重点：指数函数与对数函数的性质。

难点：灵活运用函数性质解决有关问题。

三、学法与教具1、学法：讲授法、讨论法。

2、教具：投影仪。

四、教学过程1、回顾本章的知识结构2、指数与对数:指数式与对数式的互化幂值真数＝b底数指数←→对数值提问：在对数式中，a ，N ，b 的取值范围是什么？例题讲解例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x -⨯=⨯即：2(5454)5454a x b a -⨯=⨯所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即因此得：2a b x a+=- （1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果.法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。

2．指数函数与对数函数问题1：函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件.问题2：在同一直角坐标系中画出函数log x x a y a =与的图象，并说明两者之间的关系.问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质.例2：已知函数()y x 的图象沿x 轴方向向左平移1个单位后与()3x f x =的图象关于直线y x =对称，且(19)2g a =+，则函数3(01)ax y x =<≤的值域为.分析：函数3x y =关于直线y x =对称的函数为3log (1)y x =-∴33(19)log 182log 2g ==+∴3log 23log 2,3(3)2ax x a y x =∴===∵(0,1],(1,2]x y ∈∈则小结：底数相同的指数函数与对数函数关于y x =对称，它们之间还有一个关系式子：log (1,0,0)a N a N a a N =≠>>例3：已知1()log (01)1ax f x a a x +=>≠-且 （1）求()f x 的定义域（2）求使()0f x >的x 的取值范围分析：（1）要求1()log 1ax f x x +=-的定义域， 则应有10101010101x x x x x x +>+<⎧⎧+>⇔⎨⎨->-<-⎩⎩或 （2）注意考虑不等号右边的0化为l o g 1a，则（2）小题变为1log log 1,1011a a x a a x +>><<-再分和两种情况分别求出1110111x x x x++><<--和. 建议：通过提问由学生作答课堂小结：1．指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于y x =对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，记作指数函数与对数函数的性质.作业：P90A组 3 7P91B组 3 4。

人教B版，必修1，基本初等函数（Ⅰ）单元教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节3.2对数与对数函数分3小节（3.2.1-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.第三大节3.3幂函数只安排了1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.第四大节3.4 函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP 的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C 的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神． 本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用． 3、本单元教学内容总体教学目标学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题． 一知识目标1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．7．了解指数y=a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y=log a x (a >0，且a ≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．8．通过特殊的幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1x 了解幂函数9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．(二)能力目标1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．(三)价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．4、本单元教学内容重点和难点分析重点：指数函数和对数函数的性质.难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比（2）变化之处1．加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求．了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．(2)加强了信息技术整合的要求．明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解． 2．削弱的内容(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数xlog y a =（1a ,0a ≠>且）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．（1）增加了幂函数(y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1-x )的内容； （2）换底公式又恢复为教学内容. 6.教学建议1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP 的增长问题、14C 的衰减，考古、地震、pH 的测定等，体现数学的应用价值．2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a 对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数x y a log =（1,0≠>a a 且）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。

课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：一、引入课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2．由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3．复习初中整数指数幂的运算性质；4．初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念x n ，那么x叫做a的n次方根（n th root），其一般地，如果a中n>1，且n∈N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号n a表示．式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a 叫做被开方数（radicand）．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－n a表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn例1．（教材P 58例1）． 解：（略）巩固练习：（教材P 58例1） 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题 例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．巩固练习：（教材P 63练习1-3） 4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题． 三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 四、作业布置1． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第1－4题． 2． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第2题．课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 五、引入课题（备选引例）5． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．○1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？6． 上一节中GDP 问题中时间x 与GDP 值y 的对应关系y=1.073x （x∈N *，x ≤20）能否构成函数？7． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 8． 上面的几个函数有什么共同特征？ 六、新课教学 （一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数（exponentialfunction ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P 68例2、3） （二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y = （2）x)21(y =（3）x2y = （4）x 3y = （5）x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x2y =的图象和函数x)21(y =的图象有什么关系？可否利用x2y =的图象画出x)21(y =的图象？ 3．从画出的图象（x2y =、x3y =和x5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？9． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；（三）典型例题例1．（教材P 66例6）． 解：（略）问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例2．（教材P 66例7） 解：（略）问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式． 巩固练习：（教材P 69习题A 组第7题） 七、归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法． 八、作业布置3． 必做题：教材P 69习题2．1（A 组） 第5、6、8、12题． 4． 选做题：教材P 70习题2．1（B 组） 第1题．课题：§2.2.1对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 九、引入课题10．（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 11．尝试解决本小节开始提出的问题．十、新课教学1．对数的概念一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作： a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a ax=⇔=log○3 注意对数的书写格式． 思考：○1 1≠； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．两个重要对数：○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化对数式 ⇔指数式对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数← N → 幂例1．（教材P 73例1）巩固练习：（教材P 74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念． 说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．3． 对数的性质 （学生活动）○1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a na =log ．十一、 归纳小结，强化思想○1 引入对数的必要性； ○2 指数与对数的关系； ○3 对数的基本性质． 十二、 作业布置教材P 86习题2．2（A 组） 第1、2题，（B 组） 第1题．课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； （3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用． 教学过程： 十三、 引入课题12． 对数的定义：b N N a a b=⇔=log ；13．对数恒等式：b a N ab a Na ==log ,log ；十四、 新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a=3log ，求nm a +； ○2 设m M a =log ，n N a=log ，试利用m 、n 表示M a (log ·)N ．（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质） 学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．4． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法． 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．5． 换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）； ○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a na m log log =；（2）ab b a log 1log =．设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．6． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。

基本初等函数复习（一）一、内容与解析（一）内容：基本初等函数复习。

（二）解析：本节课要学的内容有指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算。

应用指数函数y＝a x 的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意a>1还是0<a<1.比较大小问题：先判断幂与1的大小，然后分类比较．同底数的幂用指数函数单调性比较；同指数的幂用幂函数的单调性比较，也可以利用图象比较大小．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性．二、目标及其解析：（一）教学目标（1）使学用能够熟练掌握指数式与对数式的相互转化以及运算技巧；（二）解析（1）一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧．（2）应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．（3）比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易将指数式与对数式的相互转化，对公式的结构记忆不清从而不容易熟练运用，在学习时，学生应当在理解的基础上理解记忆并会转化运用。

四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。

因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。

基本初等函数复习教学设计一．指数函数：1. 函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图像及性质二．对数函数：1.函数0(log >=a x y a ，且)1≠a叫做对数函数。

其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）值域为R.2.对数函数的图像及性质三．幂函数定义：1.函数αx y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

2．幂函数的图象与性质图象: 绿色,蓝色,棕色,黄色,紫色分别表示:132,,,,y x y x y x y x y -=====性质:（1）幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象都通过原点，抛物线型图象，并且在),0[+∞上是增函数； 0<α时，幂函数的图象都不过原点，双曲线型图象，在区间（0，+∞）上是减函数. 典例精析：例1：当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，试求底数a 的取值范围.【解析】设y ＝(x －1)2，y ＝log a x .在同一坐标系中作出它们的图象，如右图所示．若0<a <1，则当x ∈(1,2)时，(x －1)2<log a x 是不可能的，所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2. 所以，a 的取值范围为{a |1<a ≤2}．例2：已知偶函数f (x )在x ∈0，＋∞)上是增函数，f (12)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集.例3.函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，在x ∈1,2]时的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________． 【解析】注意进行分类讨论：(1)当a >1时，f(x)＝a x 为增函数，此时f(x)max ＝f(2)＝a 2，f(x)min ＝f(1)＝a ，∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32>1.(2)当0<a <1时，f(x)＝a x 为减函数，此时f(x)max ＝f(1)＝a ，f(x)min ＝f(2)＝a 2∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12∈(0,1)，综上所述：a ＝32或12. 例4. 对于函数26171()2xx y -+=，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性． 【解析】(1)设2617u x x =-+，∵函数1()2u y =及2617u x x =-+的定义域是R ，∴函数2617u x x =-+的定义域是R .∵22617(3)88u x x x =-+=-+≥， ∴8111()()22256u ≤=，又∵1()02u >，∴函数的值域为1(0,]256． (2)函数2617u x x =-+在[3,)+∞上是增函数，在(,3]-∞上是减函数 1012<<，所以26171()2x x y -+=的单调性与2617u x x =-+相反,所以26171()2x x y -+=在3，＋∞)上是减函数，在（－∞，3]上是增函数.例5.已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1).(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为3,63]，求f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2.当x ＝63时f (x )最大值为6.(2)f (x )－g (x )＞0,即f (x )＞g (x ),当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )。

《基本初等函数（I）复习课》教学设计一、设计理念：本节课是必修1第二章《基本初等函数（1）》的复习课。

学生在学习新课时，对每个知识点已经有了一定的掌握，但是比较凌乱，没有形成体系，通过章节复习课可以帮助学生梳理知识，建构知识网络，形成思想、观点、和方法，使学生原有的认知结构得以优化和完善。

然后通过问题解决，落实通性通法，从而提高学生的认知水平和综合解决问题的能力，提高学生数学素养。

因此，我这堂课的设计重点在于梳理知识结构和重点题型的讲练。

因此，本节复习课的教学目标制定为：二、教学目标：1、掌握指数函数、对数函数、幂函数的定义、图象与性质并形成知识结构网络；能综合运用本章知识解决问题。

2、通过例题及变式题的训练，学会归纳解决问题的数学思想、方法和策略，培养学生的创新意识和综合能力；3、通过学生自主梳理本章知识，培养学生结构化思维，提升学生的条理性，养成良好的数学学习习惯，发展学生核心素养。

三、教学重点和难点：教学重点：本章知识网络的建构以及本章基本知识的掌握与应用；教学难点：核心考点的重要题型思想方法的掌握。

四、教学过程：（一）创设数学复习情境：环节1、课前预先布置学生梳理本章基础知识：两两合作画出知识结构图，核心知识速填。

设计意图：通过学生合作交流，自主梳理，充分发挥学生的自主性，让学生积极、主动地参与复习的全过程，调动学习的积极性和主动性，激发学习兴趣。

环节2、课堂上和学生一起进行知识结构图的建构、核心知识的梳理。

设计意图：1、通过让学生上台展示、讲解自己所画的知识结构图，培养学生思维条理性、语言准确性，培养学生展示自我的勇气。

2、通过学生自己对核心知识的梳理，使学生更好的掌握知识。

（二）问题串引领教学：环节3、基础自测（复习参考题A、B组P82）1、若2510ab，则11ab.2、求下列函数的定义域：（1）1(32)ayogx，（2）1xya0,1aa且3、设232log,log0.2,abc，则,,abc的大小关系是（学生回答，老师点评）设计意图：这些题目是经过精心挑选的，一是让学生重视教材上的例习题，二是以问题的形式带动知识梳理，通过这些题目进一步深化梳理本章的题型、所体现的思想方法。

《函数》教学设计1函数【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想. 【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和一元二次不等式的解法.【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 【教学过程】1.联系旧知，构建新知.复习：一元二次方程和二次函数.（1）一元二次方程200axbxca的解法：*公式法：242bbacxa.*因式分解法：120xxxx.（2）二次函数20yaxbxca.*图象：一条抛物线.*开口方向：aa开口向上,开口向下.*对称轴：2bxa.*顶点坐标：24,24bacbaa.2.创设情境，提出问题.2从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：首先认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为40平方米的空地，而要绿化的空地是一个长比宽多6米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有剩余？分析：设绿化带长为xm.则依题意有640xx.整理得26400xx.这个不等式怎么解呢？3.合作交流，探究新知（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.（2）一元二次不等式的一般形式：22000axbxcaxbxca或. 会发现一元二次不等式的左边与二次函数和一元二次方程很相似，提出疑问难道这三者之间有什么关系？（3）探究一元二次不等式220xx的解.容易知道：一元二次方程220xx的有两个实数根：1212xx或. 二次函数22yxx与x轴有两个交点：1,02,0和.思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.思考2：观察图象，当x为何值时，0y；当x为何值时，0y；当x为何值时，0y.观察函数图象，可知：xyo-123当12xx或时，函数图象位于x轴上，此时0y，即220xx；当12xx或时，函数图象位于x轴上方，此时，0y,即220xx；当12x时，函数图象位于x轴下方，此时，0y,即220xx；所以，不等式220xx的解集是12xx.（4）探究一元二次不等式22000axbxcaxbxca或的解法. 组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：抛物线ycbxax2与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程cbxax2=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式acb42三种取值情况(0，0，0）来确定.设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生合作讨论完成表格)。

课题：基本初等函数复习课（一）教学内容分析基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型。

根据我所任教的学生的实际情况，本节课是学生在已掌握了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的基础上，运用所学函数知识来解决一些实际问题，培养学生数学应用意识。

学生学习情况分析学生通过本章学习，已经了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题。

课标要求掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.掌握指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用。

教学目标（一）知识目标.掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质，并应用性质解决简单问题。

通过指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，渗透数形结合、分类讨论、等价转化等思想。

（二）能力目标．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力。

．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力。

．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力。

（三）价值目标．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质。

．培养学生观察分析、抽象概括能力、数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力。

．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用。

教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质。

教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用。

教学方法：启发发现法，分小组讨论展示。

教学过程：一、基础知识梳理：1、三类函数的定义：幂函数指数函数对数函数2、函数性质：（1）幂函数(kyxk为常数，kR）幂函数的定义域、值域、奇偶性要结合具体的k值来看，但是无论k取何值，幂函数的图像一定过定点.当0k时，在0,上，函数单调；当01k时，在0,上，函数单调；当1k时，在0,上，函数单调；在其它象限的单调性可以利用具体函数的奇偶性得到. （2）指数函数(0,1)xyaaa图像1a01a略略性质定义域：值域：图像过定点：当1y时，当01y时，在定义域上单调.当1y时，当01y时，在定义域上单调.（3）对数函数log(0,1)ayxaa 图像1a01a略略性质定义域：值域：图像过定点：当1x时，当01x时，当1x时，当01x时，在0.上单调.在0.上单调.对数函数log(0,1)ayxaa与指数函数(0,1)xyaaa是互为___________，它们的图像______________.二、典型例题：题型一比较下列各数的大小（按从小到大的顺序排列）.5353537.0,7.0,7.1cba.313232)21(,)51(,)21(cba.5.148.09.0)21(,8,4cba.3.0231)21(,3log,2logcba.mcmbma3521log,log,log变式一：.则若,0<log<log2121nm（）.1mnA1nmBnmC1mnD1.若02log2logba，则（）.()10ab()10ba()ab1()ba1题型二利用函数单调性求字母取值范围问题.已知1311()()22aa，则实数a的取值范围是..已知112213aa，则实数a的取值范围是.．已知)a(log)a(log312121，则实数a的取值范围是. .0log02)(4xxxxfx，则不等式0)(xf的解集为.变式三：求下列函数的值域.122423xxy0,3x.5log4)log(222xxy三、课堂小结：知识方面思想方法四、作业：五、板书设计：课题：幂函数、指数函数、对数函数复习课题型一题型二题型三学生展示学生展示天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。