理论力学 第三章习题答案

F DBCBDBF '习题3－3图第3章 静力学平衡问题3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。

试求其中1，2，3各杆受力。

解：图（a ）：045cos 23=-︒F FF F 223=（拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=︒-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0F 2 = F （受拉）3－2 图示为一绳索拔桩装置。

绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。

已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。

试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。

解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i nFF ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F FF DB 10tan ==α由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。

3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。

桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。

重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。

长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。

试用角ϕ=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。

(b-1)习题3－1图(a-1)(a-2)'3(b-2)习题3－2图F习题3-5图习题3－4图 解：图（a ）：0=∑x F ，0sin 2cos=-ϕϕW F AB ，2sin2ϕW F AB =0=∑y F ，02sincos =---ϕϕAB BC F W W F即 2s i n 2c o s 2ϕϕW W W F BC ++=W W W W 2)c o s 1(c o s =-++=ϕϕ3－4 杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。

11
3-26 已知：M1=10kN，求FBx 、 FBy 、MB 、FAC 、 FEx 、 FEy 解: 1、整体：
∑M
∑F
MB
FBx FBy
x
B
= 0 ⇒ MB
= 0 ⇒ FBx = 0
= 0 ⇒ FBy
∑F
y
2、AB： FD
A
FEy
E
∑M
FEx
B
E
= 0 ⇒ FD
∑F
∑F
x
= 0 ⇒ FEx
= 0 ⇒ FEy
3-42 已知：q1=4kN/m , q2=2kN/m ，F =2 kN ，M=2 kN.m 。求 A、B处受力；销钉C所受的力。
F1 F2
F B FB FC1y C FC2y
C FC2y 1m
4/3 m
q 解: 1、BC： F1 = 1 ⋅ 2 = 4kN, 2
F2 =
1 q1 ⋅ ⋅ 2 = 2kN 2 2
M1 B
FE
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∑M
2、DC：
M2
FC
x
A
= 0, ⇒ FE
F'E
D
FE= F'E
C FCy
∑M
C
= 0, ⇒ M 2
8
3-17 求 机构平衡时力偶M1、M2的关系。
FAx FAy
A
FD F'D D
B
M1
FD= F'D
FCx
M2
C FCy
解: 1、AB： ∑ M A = 0, FD ⋅ d − M 1 = 0, ⇒ FD = M 1
2
3-3
几何法

第三章平 面 任 意 力 系1．平面力系向点1简化时，主矢R F ′=0，主矩 M 1≠0，如将该力系向另一点2简化，则（ ）。

① RF ′≠0，M 2≠M 1 ② R F ′=0，M 2≠M 1 ③ RF ′≠0，M 2=M 1 ④ R F ′=0，M 2=M 1 正确答案：④2．关于平面力系的主矢与主矩，下列表述正确的是（ ）。

① 主矢的大小、方向与简化中心的选择无关② 主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关③ 当平面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化的结果为一合力④ 当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任何一点简化的结果均不可能为一合力 正确答案：①3．关于平面力系与其平衡方程，下列表述正确的是（ ）。

① 任何平面力系都具有三个独立的平衡方程② 任何平面力系只能列出三个平衡方程③ 在平面力系的平衡方程的基本形式中，两个投影轴必须互相垂直④ 平面力系如果平衡，则该力系在任意选取的投影轴上投影的代数和必为零 正确答案：④4．平面内一非平衡共点力系和一非平衡共点力偶系最后可能合成的情况是（ ）。

① 一合力偶 ② 一合力③ 相平衡 ④ 无法进一步合成正确答案：②5．某平面平行力系诸力与y 轴平行，如图所示。

已知：F 1=10N ，F 2=4N ，F 3=8N ，F 4=8N ，F 5=10N ，长度单位以cm 计，则力系的简化结果与简化中心的位置（ ）。

① 无关 ② 有关③ 若简化中心选择在x 轴上，与简化中心的位置无关④ 若简化中心选择在y 轴上，与简化中心的位置无关正确答案：①6．图示皮带轮半径为R ，皮带拉力分别为T 1和T 2（二力的大小不变），若皮带的包角为α，则皮带使皮带轮转动的力矩（ ）。

① 包角α越大，转动力矩越大② 包角α越大，转动力矩越小③ 包角α越小，转动力矩越大④ 包角α变大或变小，转动力矩不变正确答案：④7．已知F、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，因此可知（）。

2 静定和静不定问题 未知约束力分量的数目等于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静定问题； 未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静不定问题，两者
之差称为静不定次数。这类问题需要补充与静不定次数相同数量的变形协调方程才能求解。 未知约束力分量的数目小于独立平衡方程的数目，这类平衡问题是不存在的。 解题要领：
为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。
1 滚动摩擦
维持滚动体平衡的滚阻力偶 M f 的值只能在零和 M f ,max 之间，即 0 ≤ M f ≤ M f ,max . 最大滚阻力偶 M f ,max 与正压力 FN 成正比，即
M f ,max = δFN 。
(a) 解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
∑ Fx = 0 ， FC cos 60o + F1 cos 60o = 0 ，
FC = −F1 = −30 kN
∑ mB = 0,
−
FA
×8
−
M
−
FC
sin
60o
×3+
F1
sin 60o
×8
,
+ F2 × 4 + q × 3×1.5 = 0
平面力偶系:
∑mz = 0
∑my ≡ 0
平面平行力系:
∑ Fz = 0 ∑mx = 0
解题要领： 1 解平衡问题的三部曲：确定研究对象、画受力图、列平衡方程； 2 通常先以整体为研究对象，再以部分为研究对象； 3 平衡方程的两种形式：投影式和对轴的力矩式，两者都与轴有关，选择合适的坐标轴可
避免解联立方程。 4 做一定数量的习题是掌握平衡问题的关键。

第三章平面任意力系3-1．一不平衡地平面力系,已知该力系在x 轴上地投影方程为：0=∑xF,且对平面内某一点A 之矩∑=0)(F M A.则该力系地简化结果是 过A 点平行于y 轴地合力 .3-2．一不平衡地平面力系,已知该力系满足0=∑yF,及对平面内某点B 地力矩()0B M F =∑, 则该力系地简化结果是 过B 点平行于x 轴地合力.3-3 已知N F 1501=,N F 2002=,N F 3003=,N F F 200='=.求力系向O 点简化结果,并求力系合力地大小及与原点地距离d . 解：将力系向O 点简化得到主矢RF'和主O M -161.6N )5601060275(6.437)51201020275(=-+-=='-=++-=='∑∑y RyX RxF F N F F NF F F Rx Rx R5.466161.64437.64 )5601060275()51201020275(222222=+=-++++='+'='()F F,,F ,F ,F 321'分别对O 点取矩做代数和得向O 点简化地主矩 m N M O ⋅=44.21,因此向O 点简化地主矢主矩都不为零,所以简化结果地合力为不过简化点O 地合力：大小：N F F RR 5.466='= 到O 点距离： mm m F M d R O 96.4504596.05.46644.21==== 图如下：xyxOdR F 'RF"RF yxOdRF3-4 水平梁AB 由铰链A 和杆BC 所支持,如图所示.在梁上D 处用销子安装半径为r=0.1m 地滑轮.有一跨过滑轮地绳子,其一端水平地系于墙上,另一端悬挂有重P=1800N 地重物.如AD=0.2m,BD=0.4m, 45=ϕ,且不计梁.杆.滑轮和绳地重量.求铰链A 和杆BC 对梁地约束力.解：以杆AB 和滑轮为研究对象KNF P F F F M BC BC T A 260003.026.0sin 1.00)(==⨯-⨯⨯-⋅=∑ϕ0cos 0=--=∑T BC Ax xF F F FϕKN F Ax 2400 =KN F P F F FAy BC Ay y12000sin 0==-+=∑ϕ3-5 梁受力集中力F和分布载荷q作用,求B A ,支座约束力.0132123 0)(=⋅⋅+⋅-⋅=∑q F F F M BA 得：q F FB 4323 +=03210=-⋅-+=∑F q F F F BAy y 得：243 Fq F Ay -=CD F AyBDC0 0==∑Ax xF F3-6 在图示刚架中,已知q=3 kN/m,26=F kN,M=10 kN ·m,不计刚架自重.求固定端A 处地约束力.解：0431421345sin 445cos 0)(00=⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+-=∑q F F M M F M AA 得： m kN M A ⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-= 124314321322264222610 042145cos 00=⋅+⋅-=∑q F F F Ax x 得： 043212226 =⋅⋅-⋅=Ax F 045sin 00=⋅-=∑F F FAy y得：kN F Ay 62226 =⋅=q图3-6 q3-7图示构架中,物体重1200N,由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上,尺寸如图,不计杆和滑轮地重量.求支承A 和B 处地约束力,以及杆BC 地内力F BC解：1.整体0 0=-=∑T Ax xF F FN F Ax 1200 =0)5.1()2(4 0)(=--+-⨯=∑r F r P F F M T B AN F B 1050=0 0=+-=∑B Ay yF P F FN F Ay 150 =2.ADB022sin 2 0)(=⨯-⨯+⨯=∑Ay BC B D F F F F M θN F BC 1500 -=3-8 由AC 和CD 构成地组合梁通过铰链C 连接.已知均布载荷m KN q /10=,力偶矩KNm M 40=,不计梁重.求支座A.B.D 地约束力和铰链C 受力.M图3-8图3-7BF AxF AyF BCyM F DF解：1.以CD 为研究对象,受力如图：0324 0)(=-⋅⋅+⋅'=∑M q F F M CyDkN F Cy5)403210(41-=-⋅⋅-=' 0 0='=∑CxxF F 02 0=⋅-'-=∑q F F FCyD ykN F D 152105 =⋅+-= 2.以AC 为研究对象,受力如图：03224 0)(=⋅⋅-⋅+⋅=∑q F F F M B Cy AkN F B 40]4)5(3210[21=⋅--⋅⋅=02 0=⋅-++=∑q F F F F Cy B Ay ykN F Ay 15)210540( -=⋅++-= 0 0=+=∑Cx Ax XF F F0=Ax F3-9 构架尺寸如图所示 (尺寸单位为m),不计各杆自重,载荷F=60 kN.求A ,E 铰链地约束力及杆BD ,BC 地内力.1、 以AB 为研究对象,受力如图B BC F036- 0)(=⋅+⋅=∑F F F M Ay BkN F Ay 30 =2、 以整体为研究对象,受力如图0452 0)(=⋅-⋅-⋅=∑Ax Ay E F F F F MKN F Ax 60-=0 0=+-=∑Ey Ay yF F F F kN F Ey 30 = 0 0=+=∑Ex Ax XF F FkN F Ex 60 =3、 以AB 为研究对象0530=+=∑DB AxX F F F kN F DB 100 -= 0540=---=∑CB DB Ayy F F F F F kN F CB 50 =3-10 图示两个梁,已知q ,M ,尺寸a,求A,B,C 三处约束力.1.BC ：020)(2=⋅-⋅=∑a q a F F M CB qa F c 21 = 0 0==∑Bx XF F0 0=+-=∑C By y F qa F F qa F By 21 =2.整体0232M 0)(2A =-⋅+-=∑qa a F M F M C A 221qa M M A+= 0 0=+-=∑C Ay y F qa F F qa F Ay 21=BxF ByFqCCFqC∑= 0XF0=Ax F3-11 由直角曲杆ABC, DE,直杆CD 及滑轮组成地结构如图.AB 杆上作用水平均布载荷q =1KN/m,不计各杆重量.D 处作用铅直重力F =1KN, 轮O 半径r=1 m,重物P=2 KN , CO=OD,求支座E 及固定端A 地约束力.解：当不含销钉D 时,DE 为二力杆,取CD 杆带滑轮为研究对象323)23(;0=⨯-⨯'++⋅-⋅=∑F F r P r F MDT C其中：P F T =解得：kN kN F D414.12=='整体为研究对象0=∑x F ；045cos 60=-⨯+E AxF q F0=∑y F ；045sin 0=+--E AyF F P F∑=0AM ；0945sin 345cos 6)233(3600=⨯+⨯+⨯-++⨯-⨯⨯-E E A F F F r P q M 解得：kN F Ax5-=；kN F Ay 2=；m kN M A ⋅=23E 图3-11 CF F D'EF AM3-12 如图所示,轧碎机地活动颚板AB 长600mm.设机构工作时石块施于板地垂直力,试根据平衡条件计算在图0=∑AM；0600400=⨯-⨯BC F F解得：N F BC 32000= 取C 点为研究对象0=∑'y F；030cos )30cos(00=-+CB CE F F α 其中：BC CB F F = 解得：N F CE 5.706=取轮O 为研究对象0=∑OM；0cos =+⋅M r F EC α其中：CE EC F F =解得：m N mm N M ⋅=⋅⨯=36.7010036.74ABCAyF Cx 'y 'ECE。

理论力学3章作业题解
3-1 作下列指定物体的示力图。

物体重量除图上已注明者外，均略去不计。

假设接触处都是光滑的。

题2-1 附图
解答：(a) A 、B 处为光滑接触，产生法向约束力。

(b) A 处为固定铰，能产生水平和竖向约束力；B 处为活动较，产生法向约束力。

(c) A 、C 处为光滑接触，产生法向约束力。

A
B C
D
轮
(d) O 处为固定铰，BC 简化为连杆约束。

(e) A 处为固定铰，B 处为绳子约束，产生拉力。

(f) A 处为固定铰，BC 为连杆约束。

(g) A 处为固定铰；B 、D 处为连杆约束；C 处为铰链接，此处销钉约定放在某个物体上，所以要满足作用与反作用定律。

(h) A 、B 处为光滑接触，产生法向约束力； C 处为铰链接，此处销钉约定放在某个物体上，所以要满足作用与反作用定律；DE 为绳子约束。

(f)
(d)
(a)
(b)
C
(c)
(g) F
A
F (h)
(i) B 处为固定铰；AC 为连杆； C 处为铰链接，销钉约定放在轮子上；E 处为绳子约束。

3-3 试作图示刚架及ACB 部分的示力图。

A
C
q
C
q
F F F F Cy
Cx
整体
ABC 部分
F 1。

第三章空间力系一、是非题1．一个力沿任一组坐标轴分解所得的分力的大小和这力在该坐标轴上的投影的大小相等。

（）2．在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。

（）3．力对于一点的矩在一轴上投影等于该力对于该轴的矩。

（）4．一个空间力系向某点简化后，得主矢’、主矩o，若’与o平行，则此力系可进一步简化为一合力。

（）5．某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢一定等于零，主矩也一定等于零。

（）6．某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。

（）7．一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程只有5个。

（）8．一个空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。

（）9．某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。

（）10．空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别等于零，则该汇交力系一定成平衡。

（）二、选择题1．已知一正方体，各边长a，沿对角线BH作用一个力，则该力在X1轴上的投影为。

①0；②F/2；③F/6；④－F/3。

2．空间力偶矩是。

①代数量；②滑动矢量；③定位矢量；④自由矢量。

3．作用在刚体上仅有二力A、B，且A+B=0，则此刚体；作用在刚体上仅有二力偶，其力偶矩矢分别为M A、M B，且M A+M B=0，则此刚体。

①一定平衡；②一定不平衡；③平衡与否不能判断。

4．边长为a的立方框架上，沿对角线AB作用一力，其大小为P；沿CD边作用另一力，其大小为3P/3，此力系向O点简化的主矩大小为。

①6Pa；②3Pa；③6Pa/6；④3Pa/3。

5．图示空间平行力系，设力线平行于OZ轴，则此力系的相互独立的平衡方程为。

①Σmx（）=0，Σmy（）=0，Σmz（）=0；②ΣX=0，ΣY=0，和Σmx（）=0；③ΣZ=0，Σmx（F）=0，和Σm Y（）=0。

r 由式（1）在 τ 向的坐标式，可得点 B 的速度 r τ ： vB = vO + rω = 2rω
aw .
re vω B r vO
r n
（1）
co
τ
r
m
固定圆弧纯滚动由点 O′ 到点O，有 AD = AD′ ，即 r (φ + θ ) = Rθ ，得 rφ = (R − r )θ ，两边对时
∩
∩
ww w
r 公共基 e 的坐标式为 rA = rB + A1 ρBA ，展开，考虑到图
r x2 r x3
r y3
C
3-2Ca 有
网
θ3
案
0 ⎛ xA ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ cos φ1 ⎜ ⎜y ⎟ ⎟=⎜ ⎜ l sin (α − φ )⎟ ⎟+⎜ ⎜ 1 ⎠ ⎝ sin φ1 ⎝ A⎠ ⎝
− sin φ1 ⎞⎛ l cos α ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cos φ1 ⎟ ⎠⎝ 0 ⎠
aw .
r y2
B
r r 连体基 e 2 相对于与连体基 e 1 的位形为
r y
co
A
（1）
m
r y1 r x1
φ1 α
r r r r （2）对于连体基 e 1 ，由图 3-2Ca 有 rA = rB + ρ BA 在
.k hd
ρ = (0 − l sin α ) ， θ 3 =
1 C T
π
2
−α
（2）
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
1
3-1C 试确定图示各机构中刚体 B2 的位形和它们相对于公共基的方向余弦阵。
r y
r y r y
C b
B2

T
连杆 B2 ：连体基基点 B 的矢径 r2 ，坐标阵 r2 = (0 b ) ，连体基的姿态角为
π ϕ 2 = 。瞬时位形坐标 q 2 = r2T 4
(
ϕ2 )
T
⎛ = ⎜0 b ⎝
π⎞ ⎟ 4⎠
T
-2-
⎛ cos ϕ 2 A2 = ⎜ ⎜ sin ϕ 2 ⎝
⎛ − sin ϕ 2 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ cos ϕ 2 ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝
3r 2
π⎞ ⎟ 3⎟ ⎠
T
⎛ cos ϕ 3 A3 = ⎜ ⎜ sin ϕ 3 ⎝
⎛ − sin ϕ 3 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ cos ϕ 3 ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝
3⎞ ⎟ 2 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 2 ⎠
(3) 凸轮挺杆机构，其中 O 为偏心轮，AB 为挺杆。
-4-
题 3-1 图 题 3-1 答案图(3) 解：建立公共参考基 O − e ，对二个构件进行编号并建立连体基
⎛ cos ϕ 2 A2 = ⎜ ⎜ sin ϕ 2 ⎝
T 2
ϕ2 )
T
⎛ = ⎜0 ⎝
r 2
⎞ 0⎟ ， ⎠
T
− sin ϕ 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cos ϕ 2 ⎟ ⎠ ⎝0 1⎠
-7-
3-2 图示长为 0.2m 的直杆，一端沿水平线运动，方向如图所示，一端沿 铅垂线运动，分别在其端部 A 和杆件中点 C，以及在其端部 A 和 B 分别建立两 个连体基。试求两个连体基位形坐标之间的关系。
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第三章习题解答

质心 c 的纵坐标
P
∫ yc =
θ0 ρdθR(R cosθ
−θ0
θ0 ρRdθ
− R) = −R + sinθ0
θ0
R
∫−θ0
上式中 ρ 为圆弧的线密度
l = R − sinθ0 R ② θ0
又
[ ] ∫ I =
θ0 ρR (R cosθ − R)2 + (R sinθ )2 dθ
−θ 0
=
c2 ⎜⎜⎝⎛1 −
y2 b2
⎟⎟⎠⎞
故积分
H
S(y)
=
πac⎜⎜⎝⎛1 −
y2 b2
⎟⎟⎠⎞
P∫ ∫ ∫ y2dm =
b −b
y2S(y)
⋅
ρdy
=
b −b
y2πac⎜⎜⎝⎛1 −
y2 b2
⎟⎟⎠⎞ρdy
=
4 πρab3c 15
同理可求
∫ ∫ x2dm = 4 πρa3bc, z2dm = 4 πρabc3
第三章习题解答
3.1 解 如题 3.1.1 图。
y
N1 o
N2 θ
B
θ
x
θθ
G
A
题3.1.1图
S C
I 均质棒受到碗的弹力分别为 N1 ， N2, 棒自身重力为G 。棒与水平方向的夹角为
θ 。设棒的长度为 l 。
S 由于棒处于平衡状态，所以棒沿 x 轴和 y 轴的和外力为零。沿过 A 点且与
z 轴平行的合力矩为 0。即：
I
S O 为正方体中心。Ox 、Oy 、Oz 分别与正方体的边平行。由对称性可知，Ox 、
Oy 、Oz 轴就是正方体的中心惯量主轴。设正方体的边长为 a 。设为平行于轴的 一小方条的体积，则正方体绕轴的转动惯量

第三章思考题解答3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。

3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。

当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。

事实上但物体的线度很大时各质点所在处g 的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。

答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。

3.4 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。

分别取O 和O '为简化中心，第i 个力i F 对O 和O '的位矢分别为i r 和i r '，则i r =i r '+O O '，故()()iii ii i O F O O r F r M ⨯'-'=⨯'=∑∑'()∑∑⨯'-⨯'=ii ii i F O O F r ∑⨯'+=ii o F O O M即o o M M ≠'主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。

FBx F (与假设方向相反)
FAx F (与假设方向相反)
FCy
FCx FD
解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
MC 0
FD b F x 0
FD
x F b
取杆 AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
M A 0
FB b F x 0
线方向的夹角都是 ，因此只要接触面的摩擦角大于 ，不论 F 多大，圆柱不
2
2
会挤出，而处于自锁状态。
FAy o FAx
法 2（解析法） ： 首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
FSD FND
MA 0
FND a F l 0
l FND F a
再取杆 AB 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
F1 14.58(kN ) (受拉) F3 31.3 (受拉) F2 18.3 (受压)
Fx 0
Fy 0
3-38
F1 sin F3 FH 0 F2 F1 cos FG 0
解：假设各杆均受压。取三角形 BCG 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
MA 0
FNC a F l 0
l FNC F FND a
取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为 R，列平衡方程：
MO 0
FSC R FSD R 0
FSC FSD
Fx 0
FNC sin FSC cos FSD 0
N1 6.93( N )
Fx 0
Fy 0
FAx N1 sin 60 0 0
FAy N 1 cos 60 0 P 0

量出FR的长度为161N 和水平方向的夹角为
FR FR2x FR2y 802 1402 161.2N
和水平方向（x轴）的夹角的余弦为
其余弦值为0.496
cos(FR,i ) Fx / FR 80 /161.2=0.496
2－3
解：
因为滑轮的大小忽略不计，且容易看出 AB和BC杆均为二力杆，容易得到B点的 受力如图所示：
Fx 0 FAx 0
FAy FB
Fy 0 FAy FB F 0
MA 0 FB 2a M F 3a 0
解得：
FAx 0
FAy
M Fa 2a
FB
M
3Fa 2a
3－6 （b）解：
AB杆的受力如图所示 显然，AB杆受一平面任意力
FAx
FAy
系作用，有平衡方程
Fx 0 FAx 0
FAx
FAy
系作用，有平衡方程
FB
Fx 0 FAx 0 Fy 0 FAy FB P1 P2 P 0
MA 0 FB (l1 l2) P1(l1 a) P2(l1 b) P(l1 l) 0
代入数值，解得：
FAx 0
FAy 33.23kN
FB 96.77kN
3－7
当成一整体，其受力如图所示
列平衡方程，有
FAx
FAy
Fx 0 FAx FT FBC cos 0
Fy 0 FAy FBC sin W 0
MB 0 FT r W(BD r) FAy (AD DB) 0
又因为 FT W
代入数值，解得
FAx 2400N FAy 1200N FBC 848.53N
A
x F1
FBD
B
60o

第三章 非惯性参考系不识庐山真面目，只缘身在此山中。

地球的多姿多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。

春光无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放益彩。

【要点分析与总结】1 相对运动t r r r '=+t t dr dr dr dr dr r dt dt dt dt dtυω'''==+=++⨯ t r υυω''=++⨯()t dv dv d v r a dt dt dtω''+⨯==+222**22()t d r d r d dr r v r dt dt dt dtωωωω'''''=++⨯+⨯+⨯+⨯()2t a a r r v ωωωω''''=++⨯+⨯⨯+⨯t c a a a '=++〈析〉仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。

（1） 平动非惯性系 (0ω=)t a a a '=+ 即：()t ma F ma '=+-（2） 旋转非惯性系 (0t t a υ==)()2a a r r ωωωωυ''''=+⨯+⨯⨯+⨯2 地球自转的效应（以地心为参考点）2mr F mg m r ω=--⨯写成分量形式为：2sin 2(sin cos )2cos x y z mx F m y my F m x z mz F mg m y ωλωλλωλ⎧=+⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 〈析〉坐标系选取物质在地面上一定点O 为坐标原点，x 轴指向南方，y 轴指向东方，铅直方向为 z 轴方向。

2mr F mg m r ω=--⨯ 为旋转非惯性系 ()2F mg mr m r m r m r ωωωω-=+⨯+⨯⨯+⨯在 ,rR ωω条件下忽略 m r ω⨯与 ()m r ωω⨯⨯所得。

正因如此，地球上的物体运动均受着地球自转而带来的科氏力 2m r ω-⨯的作用，也正是它导致了气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅科摆等多姿多彩的自然现象。

r 由式（1）在 τ 向的坐标式，可得点 B 的速度 r τ ： vB = vO + rω = 2rω
aw .
re vω B r vO
r n
（1）
co
τ
r
m
固定圆弧纯滚动由点 O′ 到点O，有 AD = AD′ ，即 r (φ + θ ) = Rθ ，得 rφ = (R − r )θ ，两边对时
∩
∩
题解 3-3Ca
课
r 平动参考基 e s 。 由图可知， 当连杆 B3 转过角 φ 3 ,齿轮 B2 转过角ψ 2 。
后 答
r r 基为动基 e 3 ，齿轮 B2 的连体基为动基 e 2 。过O2建立一
r x3
r x2
r y3
O1
r xs
根据啮合条件有 ψ 2 R2 = φ3 R1 。由图可知，齿轮 B2 的相
φ3
r x
得
q1 = (x A
课
y A = l sin (α − φ1 ) + l cos α sin φ1 = l sin α cos φ1 r1 连体基 e 的位形坐标阵为 y A φ1 ) = (l cos α cos φ1 l sin α cos φ1 φ1 )
T T
x A = l cos α cos φ1
r （2）对于公共基 e ，以三个连体基分别写出刚
r r r
B
r x1
α
r x2 r x3
r y3
C
体的位形坐标阵。 解：
r x
r 基 e 1 的位形为
r （1）如图 3-2Ca 所示，连体基 e 2 相对于与连体
T ρ1 0 ) ， θ 2 = 2π − α B = (− l cos α

第3章 平面任意力系三、选择题1． D 2.C 3B 4C 5 b 6 D 7 B 8B 9 B 10 A 四、计算题3-1 重物悬挂如图3.27所示，已知G =1.8kN ，其他重量不计。

求铰链A 的约束反力和杆BC 所受的力。

解：选AB 和滑轮D 组成的系统为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有∑=0xF45cos o=--D B Ax F F F∑=0yF45sin o=-+G F F B Ay∑=0)(F AM03.01.06.045sin o =⨯-⨯+⨯G F F D B其中：kN8.1==G F D联立求解，可得：N2400=Ax F ，N1200=AyF ，N5.848=BF3-3求如图3.29(a)、(b)所示平行分布力的合力和对于点A 之矩。

(b)ABq l(a)alAC B q图3.29解：（a ）平行分布力的合力为：qaF R ='( ← )10c GB30cm20c 45°BF A DDF AxFAyF B10c30cm20c 45°CGA D图3.27学 ·24·对于点A 之矩的矩为221qaMA=( )（b ）平行分布力的合力为：qlF R 21'=( ↓ )对于点A 之矩的矩为231qlMA=( )3-4静定多跨梁的荷载及尺寸如图3.30(a)、(b)所示，长度单位为m ，求支座约束反力。

(a)CB36 A 20kN /m30︒(b)B 2 12122.5kN/m5kN ·m5kN C AD40kN ·m图3.30CB620kN /m30︒BxF By FCFCB36A 20kN /m 30︒40kN ·mAxF Ay F CFA M解：(a) 分别选整体和杆BC 为研究对象，受力分析如图所示。

分别列平衡方程，有整体：∑=0xF 030sin o=-C Ax F F∑=0yF62030cos o=⨯-+C Ay F F∑=0)(F AM0662040930cos o =⨯⨯--⨯+C A F M 杆BC ：∑=0)(FB M03620630cos o =⨯⨯-⨯C F联立求解，可得：kN320=Ax F ，N60k F Ay=，mkN 220⋅=AM ，kN 340=C F2 22.5kN/m 5kN ·mCDCx F Cy FDy F 2B21 212.5kN/m 5kN ·m5kN C AD AxF Ay F DyFByF(b) 分别选整体和杆CD 为研究对象，受力分析如图所示。

……..(3)
………(4)
……..(5)
（1）~（5）联立，解得：
（N）
（N）
(Ｎ·ｍ)
[习题3－14]一力与一力偶的作用位置如图所示。已知F＝200Ｎ，Ｍ＝100Ｎ·ｍ，在C点加一个力使F与M成平衡，求该力及ｘ的值。
解：根据力偶只能由力偶平衡的性质，
必须在C点力上一个力F，与原力F构
成一力偶。所加上的力的大小为F=200N，
因为右半部分（局部）平衡，所以
[习题3－41]剪钢筋用的设备如图所示。欲使钢筋受力12ｋＮ，问加在A点的力应多大?图中长度单位为ｍｍ。
解：
以BCD为研究对象，其受力图如图所示。
因为BCD平衡，所以
以OA为研究对象，其受力图如图所示。
因为OA平衡，所以
[习题3－42]图为某绳鼓式闸门启闭设备传动系统的简图。已知各齿轮半径分别为 、 、 、 ，绳鼓半径 ，闸门重W，求最小的启门力M。设整个设备的机械效率为 （即M的有效部分与M之比）。
解：以轮 为研究对象，其受力图如图所示。图中， 为轮 对轮 的啮合力。 为压力角。因为轮 平衡，所以
以轮 为研究对象，其受力图如图所示。图中， 为轮 对轮 的啮合力。 为压力角。因为轮 平衡，所以
……(1)
以轮 为研究对象，其受力图如图所示。
因为轮 平衡，所以
……(2)
由（1）、（2）得：
[习题3－43]图为一种气动夹具的简图，压缩空气推动活塞E向上，通过连杆ＢＣ推动曲臂AOB，使其绕O点转动，从而在A点将工件压紧。在图示位置，ａ＝２０°，已知活塞所受总压力F＝３ｋＮ，试求工件受的压力。所有构件的重量和各铰处的摩擦都不计。图中长度单位为ｍｍ。
解：
开启闸门时， ，此时，因为AB平衡，所以