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理论力学第三章

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理 论 力 学 教学 课程第3章

理 论 力 学 教学 课程第3章
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第一节 平面静定桁架
• 2 ．截面法 • 当桁架中的杆件比较多，而只需计算其中某几个杆件的内力时，应用
节点法往往比较麻烦，这时采用截面法。截面法是适当选取一截面， 假想地将桁架截开，选取其中的一部分作为研究对象。作用在这部分 桁架上的外力与被截断杆件的内力构成平面一般力系，应用平面一般 力系的平衡条件，可求解三个未知量。因此，在应用截面法时，一般 截断的未知内力的杆件数应不多于三根。假想截面的形状可任意选择， 既可以是平面，也可以是曲面。
• 所有杆件都在同一平面内的桁架，称为平面桁架。桁架中杆件与杆件 的连接处称为节点，节点的构造通常使用铆接、焊接或螺栓连接等形 式。如图 3-2 所示，由基本三角形结构出发，通过增加杆件延拓而成 的平面桁架称为平面简单桁架，图 3-2 （ a ）和（ b ）分别为屋架 和桥梁结构的平面简单桁架。这种结构是静定的几何不变系统。本节 只讨论平面简单桁架的内力计算问题。
• 二、桁架内力的计算方法
• 计算平面简单桁架的内力有两种方法：节点法和截面法。在求解桁架 内力之前，通常先选取整体为研究对象，求出桁架支座的约束力。
• 1 ．节点法 • 节点法求解桁架内力是以桁架的节点为研究对象的。平面桁架的每个
节点都受平面汇交力系的作用，可用平面汇交力系的平衡方程求解。 对于每个节点只能列两个独立的平衡方程，求解两个未知量。因此， 在采用节点法时，选取的节点的未知量应不超过两个。
• Fd=f dFN （ 3-3 ） • 式中： f d 称为动摩擦系数，它与接触物的材料、表面粗糙度及相对
滑动速度等因素有关，其值略小于静摩擦系数，即 f d < f s 。 • 2 ．摩擦角与自锁现象 • 1 ）摩擦角 • 摩擦角是对静摩擦系数的几何描述。

理论力学第三章刚体力学 ppt课件

理论力学第三章刚体力学 ppt课件

正常转动，赝张量的变换多出一个负号。
对于张量，可定义如下运算：
1）相等。
设A和B为两个同阶张量，如果它们的所有分量相等，
即
A ... B ... ，则称它们相等，记为A = B.
2）加法。
两个同阶张量A和B的和定义为 C ...＝A ...＋B ... 它仍为一个张量，记为 C＝A＋B

L
a

L
a AL L )(a L
a L
a

B L
L

)

a L aa L a AL L BL L (a a )
a L aa L a ( AL L BL L )
nr nr nr nr
1）转动前： rr 2）转动nr 后：rr nr rr
3）再rr 转动nr rrnr后nr：rr nr rr
不计二阶微量，则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序，则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移，有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
1. 描写刚体位置的独立变量
将两个矢量Av和Bv按顺序并在一起，不作任何运算
得到的量称为并矢，记为
vv AB

A
B ev ev

理论力学第三章刚体力学

理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件

(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1

第三章理论力学

第三章理论力学

因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法） 如果只已知与一根轴的夹 角 ，则通常的做法是：先将 该力向z 轴及其垂面分解（与 垂面的夹角为 90 )，而位于 垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹

第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握．

一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力 系． 二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间 任意力系． 三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y

理论力学周衍柏第三章

理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )

理论力学-第3章

理论力学-第3章

M Oy M Oy Fi 0
略去所有表达式中的下标 i ，空间任意力系平
F F F
x y
0 0 0
z
M F 0 M F 0 M F 0
x y z

任意力系的平衡方程
平衡方程的一般形式
F F F
x y
0 0 0
平衡方程的一般形式
对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平
衡条件的投影形式为
z
F2 M2
FRx Fix 0 FRz Fiz 0
FRy Fiy 0
M Ox M Ox Fi 0 M Oz M Oz Fi 0
F1
M1
O y
Mn
l
l
A C
第三种情形
l
B
FP
D

平衡方程的应用
例 题 1
图示结构 ，若 FP 和 l 已知，确定四种情形下的约束力
l
l
A C
第三种情形
l
B
FP
D
FA
l
A C B
l
FP
D
l
FCx
FCy

平衡方程的应用
例 题 1
图示结构 ，若 FP 和 l 已知，确定四种情形下的约束力 MA ( F ) = 0 :
平衡方程的应用
例 题 1
图示结构 ，若 FP 和 l 已知，确定四种情形 下的约束力
l
l
B D
FP
FAy FAx A
l
A C
l
d C
B FBC
l
FP
D
第一种情形
l

理论力学---第三章 空间力系

理论力学---第三章 空间力系

B
P
Fz 0 : F cos P 0
E
C
D FD
F

C

z
A y
F
x
P
12
B

3.2 力对点的矩和力对轴的矩

3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢 空间力对点的矩的作用效果取决于： MO(F)
z B F
(1)力矩的大小 (2)转向 (3)力矩作用面方位。
h 这三个因素可用一个矢量 M O (F ) 表示。 x 矢量的方位：与作用平面法线 大小： M O (F ) Fh

例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。
＝ 45° 已知:P＝1000N，CD＝AC＝AD，E为CD中点，
不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。 解：以铰A为研究对象，受力如图。
E
C

D
A
Fx 0 : FC sin FD sin 0
Fy 0: FC cos FD cos F sin 0
齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。

6
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin ,
将力Fxy向x，y 轴投影
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
z Fz F B Fy
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O ( Fy )
xFy yFx

理论力学第三章-

理论力学第三章-
– b) 真实的力满足牛顿第三定律，即存在大 小相等，方向相反，处于同一直线的作用力 与反作用力，不存在惯性力的反作用力
– c) 作用在质点上的惯性力只是在非惯性系中 才存在，在惯性系中根本不存在这样的力
• 惯性力的处理
– 在非惯性系里面，可以认为惯性力就是作用 于物体上的一种外力，则可以用非惯性系的 “牛顿第二定律题 1，5
第一部分为活动参考系中的观察者测量到的 质点加速度，称为相对加速度
第二部分为牵连加速度，只与活动参考系的 运动有关，其中第一项为平动牵连加速度， 其余两项由活动坐标系的转动运动引起，为 转动牵连加速度
第三部分不单单与活动坐标系的转动角速度 有关，而且与相对速度有关，为科里奥利加 速度
§3.2 平动的非惯性系
第二项惯性力的方向沿着离开转轴的方 向离心力，称为惯性离心力
第三项惯性力为科里奥利力，既与非惯 性系的转动轴垂直，又与相对速度垂直
设想一质点在光滑的圆盘 上沿着一直线运动，惯性 系中的观察者看来虽然圆 盘在转动，但质点并没有 受到合外力的作用，始终 保持着直线运动，但在转 动着的非惯性系中的观察
者看来，圆盘是不动的，质点的运动路径 却向转动相反的方向弯曲，存在加速度， 因而会认为质点必在速度的垂直方向受到 力的作用，这便是科里奥利惯性力！
第三章：非惯性参考系
惯性参照系 非惯性参照系
非惯性参照系 惯性参照系
§3.1 相对运动
• （一）绝对速度、相对速度和牵连速度
rrt r r tx tiy tj ztk r x i y j zk
• 速度是位置矢量的时间变化率，质点相对于固 定参考系的速度称为绝对速度
行求解 F fm a
– 当把惯性力当作一种外 “力”看待时，我 们同样可以像在惯性系中一样得到非惯性系 下面的一些定理（动量、动量矩、动能定 理），此时，惯性力必须要考虑进去

理论力学第3章 力系的平衡

理论力学第3章 力系的平衡

基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。

说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。

B 点。

过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。

qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。

理论力学第三章

理论力学第三章

FR Fi Fi
主矢 FR Fi
主矩 M O M O ( Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
如何求出主矢、主矩?
FRx ' Fix ' Fix Fx
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
FR 0 M O 0
合力，作用线距简化中心距离d
MO d FR
主矩 M O FR d
主矢 FR FR F
合力矩定理
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
（4） FR
0 MO 0
平衡 与简化中心的位置无关
平面任意力系简化结果的讨论 1、FR
平面任意力系向作用面内一点简化的结果，从主矢主矩等不 等于零考虑，可能有四种情况， 即 :（1） ; (2) ；(3) ;
(4)
；下面作进一步的分析讨论。
（1） FR
0 MO 0
合力偶
若为O1点，如何?
与简化中心的位置无关
（2）
FR 0 M O 0
合力作用线过简化中心
（3）
解：取起重机，画受力图.
F 满载时， A 0,
为不安全临界状况
M
解得
B
0
P3min 8 2P 10P2 0 1
P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全临界状况
M
A
0
4P3max-2P1=0
解得
F3max=350kN
75kN P3 350kN
MO MO

' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx

理论力学第三章

理论力学第三章
注意结果中“ - ‖的含意 !!!
END
例3-2 已知：小车匀速上升，P = 10kN。α=30o y 求： 拉力T 和轨道给车轮的约束反力。 解：1) 取小车为分离体; a=0.75m; b=0.3m T b 画受力图： 2) 列平衡方程：
X 0 : T P sin 0 3)解：T = Psin30o = 5 kN
X 0 : X A T cos 30 0
XA = Tcos30o = 15.01 kN
P Q
Y 0 : YA T sin 30 P Q 0
YA = P + Q－Tcos30o = 5.33 kN
M A 0 : T 6 sin 30 P 3 Q 4 0
END
例3-3 已知：P = 20 kN, m = 16 kN· qa = 20 kN/m, a = 0.8 m m, q
求：A、B的支反力。
解：1)取AB梁为分离体； 画受力图如右图示： 2)列平衡方程：
XA
YA
YB
X 0：
Y 0：
XA 0
YA YB qa P 0
小 结
1) 力的平移定理： 条件、结论及其应用 2) 力矩与附加力偶：概念、区别及其特性
3) 平面任意力系的简化：
概念 —— 合成与分解 结果 —— 主矢与主矩
应用 —— 求合力或受力分析
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
1) 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 从上节可知平面任意力系平衡的充要条件是： 而
1
3
2)平面汇交力系、平面平行力系：2 所以：当独立方程的数目“n”≥未知数的数目“m‖时， 就是静定问题(即可以由静力学平衡方程完全确定的问题)。

理论力学理论力学3 第三章

理论力学理论力学3 第三章

例3-1 已知： Fn , ,
求：力 F在n 三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin
Fy Fxy cos Fn cos cos
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
✓ 空间汇交力系的合力: FR Fi
✓ 合矢量（力）投影定理
✓ 空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
空间汇交力系 的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
例3-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
FRx Fx
FRy Fy
FRz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos( FR
,i )
Fx FR
cos( FR
,
j)
Fy FR
cos( FR
,
k)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点。
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直 于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力.
第三章 空间力系
✓ 空间力系的简化 ✓ 空间力系的平衡
§3–1 空间汇交力系
空间汇交力系:
空间力系中各力作用线汇交于一点。
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos

理论力学第三章

理论力学第三章
F1 400 FBx 800 0
F A x FB x 1 .5 N
F A z FB z 2 .5 N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
M O ( F ) yFz zFy
x
M F yF zF
x z
y
M O ( F ) zFx xFz
y
M F zF xF
y x
z
M O ( F ) xFy yFx
z
M F xF yF
M Mi
M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k

理论力学第三章

理论力学第三章

1静力学第三章 平面任意力系第三章 平面任意力系若所有力的作用线都在同一平面 内，且它们既不相交于一点，又不平 行，此力系称为平面任意力系，简称 平面力系。

本章将研究该力系的简化 与平衡问题，这是静力学的重点之 一。

本章还介绍平面简单桁架的内力 计算。

2静力学第三章 平面任意力系§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化要研究一个力系的平衡，首先要研究它的简化。

力系简化的理论基础是力线平移定理。

1．力线平移定理 作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称 平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。

3静力学第三章 平面任意力系请看动画4静力学第三章 平面任意力系5静力学第三章 平面任意力系2．平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢与主矩 设刚体上有一平面任意力系F1，F2，…，Fn，如图（a）。

应 用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1′，F2′，…， Fn′以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，Mn，如图（b）。

再 将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FRˊ，如图（c）,即′ FR =  Fi′ =  Fii =1 i =1nn(c)6静力学第三章 平面任意力系平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即MO = Mi = MO (Fi )i =1 i =1nnFRˊ是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的 主矢。

MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。

主 矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指 明力系是对于哪一点的主矩。

结论：平面任意力系向作用面内任一点O简 化。

可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的 力和一个相对于简化中心的主矩。

该主矩等于原力 系对简化中心的矩。

它们的解析表达式为7静力学第三章 平面任意力系′ ′ ′ FR = FRx + FRy =  Fx i +  Fy j大小方向余弦′ FR = ( Fx ) + ( Fy )22F cos( F ′ , i ) =Rx′ FR,nF cos( F ′ , j ) =Ry′ FR主矩M O =  M O (Fi ) =  ( xi Fyi − yi Fxi )i =1 i =1n8静力学第三章 平面任意力系3．固定端约束及其约束力 在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端） 支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物 体既不能移动也不能转动。

理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件

理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件

例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F

理论力学 第3章

理论力学 第3章

• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积

理论力学第三章力矩与力偶

理论力学第三章力矩与力偶
解: １）各力偶的合力偶矩为：
M mi m1 m2 m3 m4
4(15) 60 N m
例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切 削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影 Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x

M
2 y

M
2 z
284.6 N m
合力偶矩矢的方向余弦



cos M,i 0.6786， cos M,j 0.2811， cos M,k 0.6786
三、力偶系的平衡
空间力偶系的合成结果是合力偶




Fy= F cos450cos600=1000×0.707×0.500 N= 354 N
Fz= Fsin450=1000.0×0.707 N= 707 N
力F 对三个坐标轴的矩分别为

M x (F ) ( yFz zFy ) 0.06 707 42.4 N m
M y (F ) (zFx xFz ) (0.05) 707 35.4 N m
力偶矩矢与O点的选取无关，因 此力偶对空间任意一点的矩是一个常
A rAB
dB
mO
rmOAo(FF)omrOoB(FF)


rOA

(F
)

rOB

F

(rOB
rOA )

F
rAB F 力偶矩矢大小
mO
F d
矢量
结论:力偶矩矢为自由矢 量，力偶对刚体的转动效应完 全取决于力偶矩，与矩心无关
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M
F'
F
二、空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。
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三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：
8
[例]图示起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，B端用 绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。 已知CE=EB=DE，角a =30o ，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF= 30o， 重物G=10kN。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。 解：1、取杆AB与重物为研究 对象，受力分析如图。
空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间 力偶系，如图。
z O
F1 y F2 z M2 z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
M1 x
O F'n
＝
MO
F'R
O y
x
( i 1，， 2 ，n )
Fi Fi M i M O ( Fi ) ri Fi
M M cos( M，k ) z M
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[例]工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶 矩均为80N· m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz， 并求合力偶矩矢的大小和方向。
解：将作用在四个面上的力偶 用力偶矩矢表示，并平移到A点。
O x h
z
B
F
A y
b a
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy h 2 AOab
力对轴的矩是度量力使刚体绕该轴转 动效应的，是一个代数量。
Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转动取正号， 反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。 由定义可知：当力的作用线与轴平行或相交(共面) 时，力对轴的矩等于零。当力沿作用线移动时，对轴的 矩不变。
M x 0F2 400 FAz 800 0
M z 0F1 400 FAx 800 0
解得
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
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§3-4
空间任意力系的简化
一、空间任意力系向一点的简化
rBA
rA
O
rB
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由力偶的性质可知：力偶的作用效应取决于力偶矩的大 小、力偶的转向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量M 表 示：用M 的模表示力偶矩的大小；M 的指向按右手螺旋法则 表示力偶的转向；M 的作用线与力偶作用面的法线方位相同。 如图所示，M 称为力偶矩矢。 力偶对某点的矩等于力偶矩矢， 力偶对某轴的矩等于力偶矩矢 在该轴上的投影！ 力偶矩矢为一自由矢量。
3、联立求解
F1 F2 3.54 kN，FA 8.66 kN
G
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§3-2 力对点的矩和力对轴的矩 一、力对点的矩以矢量表示－力矩矢
z
B 空间力对点的矩的作用效果取决 于：力矩的大小、转向和力矩作用面 F 方位。这三个因素可用一个矢量MO(F) M (F) 表示，如图。其模表示力矩的大小； O A(x，y，z) 指向表示力矩在其作用面内的转向 ( 符 r O 合右手螺旋法则 ) ；方位表示力矩作用 y h 面的法线。由于力矩与矩心的位置有 x 关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处， 力可沿作用线滑动， 是定位矢量。 所以是滑动矢量。
2 2 2
cos
a 2 b2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fy c
M y (F ) 0
合力矩定理
a 2 b2 c2 a cos a 2 b2
M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy a
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[例]求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z F c a
解： Fx F cos cos
Fa a 2 b2 c 2
Fy F cos sin
Fb a b c
2 2 2

Fxy b

y
x
Fz F sin
Fc a b c
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[例]如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F 沿BD，求力F 对AC之矩。 MC(F) 解：
M AC (F ) MC (F )AC
2
B
MC ( F ) F cos a
Fba a b
2
C

F
D c

b
A
a
M AC ( F ) MC ( F ) cos
x
Fz

Fx
F

Fy
y

Fxy
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[例]三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用 有一力F，力F与OAB平面夹角为300，求力F在三个坐标轴上 的投影。
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二、空间汇交力系的合成与平衡1 Nhomakorabea合成将平面汇交力系合成结果推广到空间汇交力系得：
x
O
j
r
i
h
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k [ M O ( F )]x i [ M O (F )] y j [ M O (F )]z k
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二、力对轴的矩
1、力对轴之矩的定义 力对轴的矩定义为力在与该轴垂直面上 的投影对该轴与此垂直平面交点的矩。
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。 力 偶 矩 矢
图示两力偶不等效
M M 0 ( F ) M 0 ( F ) rA F rB F rBA F rAB F
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G
G
正视图
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2、列平衡方程
Fx 0F1 sin 45 F2 sin 45 0 Fy 0FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0 Fz 0F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 G 0
因为： 所以：
M ( M x ) ( M y ) ( M z )
2 2
2
M x 0 M y 0 M z 0
上式即为空间力偶系的平衡方程。
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[例]已知两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆 盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不 计，求轴承A、B处的约束力。 解：取整体，受力图如图所示。
FR F1 F2
或
Fn Fi
FR FRx i FRy j FRz k Fx i Fy j Fz k
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力的大小和方向为：
Fy Fx Fz cos(FR，i ) ， cos(FR，j ) ， cos(FR，k ) FR FR FR
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§3-1 空间汇交力系
一、力在坐标轴上的投影
1、直接投影法
若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角，则用直接投影法
z
Fx F cos( F，i ) Fy F cos( F，j ) Fz F cos( F，k )
Fx
x k
Fz
F
j
Fy
y
i
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2
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2、二次（间接）投影法 当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F 先投影到坐标平面 Oxy上，得到矢量Fxy(力在平面上的投影
为矢量 ) ，然后再把这个矢量 Fxy 投影到 x 、 y 轴上，这叫 二
次（间接）投影法。
z
Fx F cos cos F sin cos Fy F cos sin F sin sin Fz F sin F cos
cos M，i 0.6786
合力偶矩矢的方向余弦
cos M，j 0.2811 cos M，k 0.6786
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2、平衡 空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的 必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：
M M1 M2 Mn Mi 0
[ M O ( F )]x M x ( F ) [ M O ( F )]y M y ( F ) [ M O ( F )]z M z ( F )
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影， 等于力对该轴的矩。 力对点的矩矢在不通过该点的某轴上的投影， 不等于力对该轴的矩。