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哈工大理论力学(第七版)第三章§1-3

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哈工大第七版 理论力学

哈工大第七版 理论力学
F1 FR F2
F1
FR
F1 F2
FR
F2
☆ 公理2
二力平衡条件
作用在 刚 体 上的两个力，使刚体保持平衡 的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相 反，且在同一直线上 即 F1 = - F2
F1
F2
☆ 公理3
加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力 系对刚体的作用。（效应不变）
力可分为两类：主动力和被动力。 把受力体从施力体中分离出来，单独画简图的过 程叫取研究对象或取分离体。
把受力体所受的所有力（外力）全画出来的图称 为受力图。
• 受力图举例
例1-1
F F
试画出图示重为P的石磙的受力图。
A
B
FA
p
A B
FB
P F B A
例1-2
试画出图示自重为 P，AC 边承受均 布风力 （单位长度上的力的载荷集度为 q）的 屋架的受力图。
光滑铰链的特点是只限制两物体径向 的相对位移，而不限制两物体绕铰链 中心的相对转动及沿轴向的位移。
4. 其它约束
（1） 滚动支座（辊轴支座） 约束力 实物简图
（2）球铰链
Fz
Fy
Fx
约束力 实物简图
（3）止推轴承
√ ×
实物简图
Fz Fy Fx
约束力
§1-4 物体的受力分析和受力图
在求解之前，首先要确定构件受几个力，及其位 置和作用方向。此过程称为物体的受力分析。
C
A
B
铰链和固定铰支的构造
C
C
销钉A
A A
销钉C
B
B
销钉B
固定在地面上的支架

哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)章节题库-空间力系(圣才出品)

哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)章节题库-空间力系(圣才出品)

矩。已知：F＝1kN，a＝18cm，b＝c＝10cm。
图 3-6 解：解法一：利用力对点之矩与力对轴之矩的关系定理来计算。由于 CD 轴和 CE 轴均 过 C 点，因此可以先计算力对 C 点之矩，再将其分别向 CD 轴和 CE 轴投影来求解。
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图 3-2 【答案】C 【解析】先计算 F 在各轴上的投影大小
Fx = −F cos30。cos 60。, Fy = −F cos30。sin 60。, Fz = F sin 30。
再计算对各轴的矩
3．有重力为 W、边长为 a 的均质正方形薄板，与—重力为 0.75W、边长分别为 a 和 2a 的直角均质三角形薄板组成的梯形板，如图 3-3 所示。其重心的坐标（xc，yc）为（ ）。
A． B． C． D．
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【答案】B
图 3-3
二、填空题 1.空间力系若不平衡，其简化的最后结果：或者是一个力，或者是______；或者是 ______。 【答案】一个力偶；一个力螺旋 【解析】空间任意力系简化的最终结果有 4 种情况：合力、合力偶、力螺旋和平衡。当 主矢不为零，主矩为零或主矩不为零但主矢主矩垂直时，最终结果为合力；当主矢主矩均不 为零，主矢与主矩平行或成任意角（不包括垂直角度时），最终结果为力螺旋；当主矢为零 主矩不为零时，最终结果为合力偶；当主矢主矩均为零时，力系平衡。

（1）先将力 F 分解为沿坐标轴的三个分力如图 3-6（b）所示，其中有
代入数据可计算出
（2）计算力对过 C 点的三根正交轴之矩，因为有

理论力学(第七版)课后题答案哈工大

理论力学(第七版)课后题答案哈工大

x
F1 40° F2
O
b
40° F2
a F1
θ
FR
O
F3 y
(a) 图 2-2 (b)
F3 c
(c)
解 （1）解析法 建立如图 2-2b 所示的直角坐标系 Oxy。
∑ Fx = F1 + F2 cos 40° = 2 000 N + 2 500 N ⋅ cos 40° =3 915 N
9
∑ Fy = F3 + F2 sin 40° = 1 500 N + 2 500 N ⋅ sin 40° =3 107 N FR = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 =
第1章 静力学公理和物体的受力分析
1-1 画出下列各图中物体 A，ABC 或构件 AB，AC 的受力图。未画重力的各物体的自 重不计，所有接触处均为光滑接触。
FN 1
A
P FN 2
(a)
(a1)
FT A P FN
(b)
A
(b1)
FN1
P
B FN 3
FN 2
(c)
(c1)
FT B
FAy
P1 A P2
FAx
B
A
F Ax
C
FC
(d)
F Ay
(d1)
q
FDy
D
q
FB B
A
F Ax
C
FDx D FC
′ FDx ′ FDy
(d3)
(d2)
FAy FAx A
FCy
q
FAy
B P C
FCx
′ FBx
B
′ FBy
q
B FBy

理论力学(哈工第七版) 课后练习答案 第三部分

理论力学(哈工第七版) 课后练习答案 第三部分

b A d B mBg mAg a (c)
x
c O
a 2 mA (− ) + mB (− b) 3 3 = − mA a + 2mB b xc = mA + mB 3(mA + mB )
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b mA (l − ) + mB [l − (a − )] ' 3 3 = 3(mA + mB )l − a (mA + 3mB ) + mB b xc = 3(mA + mB ) mA + mB
用矢量表示有
v v v v v v v v & + myj & ) = ( xmy & − ymx & )k LO = r × mv = ( xi + yj ) × (mxi
&，y & 由式（1）确定。 其中 x
3
11-2 无重杆 OA 以角速度 ωo 绕轴 O 转动，质量 m = 25 kg，半径 R = 200 mm 的均质圆 盘以三种方式安装于杆 OA 的点 A， 如图所示。 在图a 中， 圆盘与杆 OA 焊接在一起， 在图b 中， 圆盘与杆 OA 在点 A 铰接，且相对杆 OA 以角速度 ωr 逆时针向转动。在图c 中，圆盘相对杆 OA 以角速度 ωr 顺时针向转动。 已知 ωO =ωr =4 rad/s ， 计算在此三种情况下， 圆盘对轴 O 的 动量矩。
α1 =
11-12 重物 A 质量为 m1， 系在绳子上， 绳子跨过不计质量的固定滑轮 D， 并绕在鼓轮 B 上， 如图a 所示。由于重物下降，带动了轮 C，使它沿水平轨道只滚不滑。设鼓轮半径为 r，轮 C 的 半径为 R，两者固结在一起，总质量为 m2，对于其水平轴 O 的回转半径为 ρ 。求重物 A 的加 速度。 解：分别取重物 A 和鼓轮 B 为研究对象，其受力和运动 分析如图b、c 所示。重物 A 的运动微分方程：

哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第3章 碰撞

哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第3章 碰撞
飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说， 这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2 万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
害的一面： 鸟祸、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。
利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。 研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一 面，而避免其危害。
§3-2
用于碰撞过程的基本定理
由于碰撞过程时间短、碰撞力变化规律复杂，因此只分 析碰撞前、后运动的变化。 碰撞过程中有机械能的损失，难以用力的功来计算，因 此一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式来确定力 的作用和运动变化的关系。 1. 用于碰撞过程的动量定理—冲量定理
t 对于质点： mv mv Fdt I 0 I 称为碰撞冲量，普通力的冲量忽略不计
§3-3
§3-4
质点对固定面的碰撞 · 恢复因数
碰撞问题举例
§3-5
碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
· 撞击中心
§3-1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
1. 碰撞的分类
碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力。
（1）两个物体相碰时，按其相处位置，可分为 对心碰撞 ---- 碰撞力的作用线通过两物体的质心。 否则称为偏心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 ---- 碰撞时各自质心的速度均沿着公法线。 否则称为斜碰撞
(i ) Ii 0
n i 1
冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作 用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
(e ) mvC mvC I i
2. 用于碰撞过程的动量矩定理—冲量矩定理
n n (e) d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi dt i 1 i 1 n n (e) (e) dLO ri Fi dt ri dI i i 1 i 1

理论力学第7版(哈工大)第3章习题

理论力学第7版(哈工大)第3章习题

《理论力学》第二章作业习题2-1解：根据题意，取滑轮B 为研究对象，其受力情况如上图所示：物体对其有一铅直向下的拉力P , 沿DB 有一与物体重量相等的拉力P，拉杆AB 的作用力A B F 和支杆CB 的作用力C B F。

建立图示坐标系，列平衡方程0X YF F ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑co s 30sin 300sin 30co s 300o oA B C B o oC B F F P P F P ⎧++=⎨++=⎩解之得54.64()74.64()A B C B F kN F kN =⎧⎨=-⎩答：拉杆AB 和支杆CB 所受的的力分别为54.64kN （拉）和74.64 kN （压）。

习题2-6解:(1) 取构件BC 为研究对象，其受力情况如上图(a)所示：由于其主动力仅有一个力偶M ，那末B 、C 处所受的约束力BF、CF 必定形成一个阻力偶与之平衡。

列平衡方程()0B M F =∑C M F l -=所以C M F l=(2) 取构件ACD 为研究对象，其受力情况如上图(b)所示：C 处有一约束力C F '与BC 构件所受的约束力C F 互为作用力与反作用力关系，在D 处有一约束力D F,方向向上；在A 处有一约束力A F，其方向可根据三力汇交定理确定，根据构件尺寸，A F与水平方向成45度角。

列平衡方程X F =∑sin 450oA C F F '-=所以222A C C M F F F l'===答：支座Ａ的约束力为2M l，其方向如上图(b)所示。

习题2-9解：主矢RF在各坐标轴上的投影：)(6.4375210121321N F F F F x -=---=∑)(6.1615110321321N F F F F y -=+--=∑力系对O 点的主矩：).(42.21439805120021100)(31mm N F F F F MMOO=-+==∑由于主矢在各坐标轴上的投影均为负值而主矩为正值，合力的作用线应在原点O的左侧且方向向左下方，其大小为()())(5.46622N F F F YXR =+=∑∑其与O 点的距离为：)(96.455.46642.21439mm F M d R O=='=答：力系向O点简化的结果得一方向向左下方的主矢ji F R6.1616.437--='和一沿顺时针方向的力偶，力偶矩为21439.42Nmm; 力系的合力的大小为466.5N ，处于原点O 的左侧且与O 点的距离为45.96mm （如图）。

哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题(第1~3章)【圣才出品】

哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题(第1~3章)【圣才出品】
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图 2-3 答：支座约束力不相同，如图 2-4 所示。
图 1-4
图 1-5
1-6 将如下问题抽象为力学模型，充分发挥你们的想象、分析和抽象能力，试画出它 们的力学简图及受力图。
（1）用两根细绳将日光灯吊挂在天花板上； （2）水面上的一块浮冰； （3）一本打开的书静止于桌面上； （4）一个人坐在一只足球上。
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答：如图 1-8 所示。
图 1-7
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图 1-8 二、习题 1-1 画出图 1-1 各图中物体 A、ABC 或构件 AB、AC 的受力图。未画重力的各物体 的自重不计，所有接触处均为光滑接触。
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图 1-1 解：各物体的受力图如图 1-2 所示。
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FD
图 1-4 1-3 画出图 1-5 中每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图。未画重力的物 体的自量均不计，所有接触处均为光滑接触。
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哈工大理论力学第七版第1章-课件

哈工大理论力学第七版第1章-课件
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（3）止推轴承
约束特点： 止推轴承比径向轴承多一个轴
向的位移限制．
约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正交 分力 FAx , FAy．, FAz
第28页/共46页
总结
（1）光滑面约束——法向约束力 FN
（2）柔索约束——张力 FT
（3）光滑铰链—— FAy , FAx
画出左、右拱 AB,C的B受力图与
系统整体受力图．
解：
右拱 C为B二力构件，其受力图
如图（b）所示
第35页/共46页
取左拱 AC,其受力图如图 （c）所示
系统整体受力图如图 （d）所示
第36页/共46页
考虑到左拱 AC三个力作用下平
衡，也可按三力平衡汇交定理
画出左拱 的AC受力图，如图
（e）所示
合力(合力的大小与方向) FR F(1矢量F2和)
亦可用力三角形求得合力矢
第8页/共46页
公理2 二力平衡条件 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件 是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。
使刚体平衡的充分必要条件
F1பைடு நூலகம் F2
最简单力系的平衡条件
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第42页/共46页
在建立力学模型时，要抓住关键、本质的方面，忽略 次要的方面。
例如：
忽略变形
三维问题 几何形状 重力P 和力F 的简化
A，B处约束力的简化
刚体
平面问题
圆形 作用在圆心 点接触 光滑接触
力学模型
第43页/共46页
理论力学中力学模型常遇到的几个方面
材料假设为均匀； 将物体视为刚体； 几何形状简化为圆柱、圆盘、板、杆及由它们组成的简单 形状； 受力简化为集中力、分布力； 接触简化为光滑铰链、光滑接触、柔索等。

哈工大理论力学教案 第三章

哈工大理论力学教案 第三章

求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0 F 0 FAy FBy 2P P1 P2 0 F 0 FAx F FBx 0
A
y
x
FAy 72.5kN
FBy 77.5kN
3
P （2） 3 180kN，轨道 AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图.
满载时， FA 0,
为不安全状况
MB
0
P3min 8 2P 10P2 0 1
解得
P3 min 75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
M
A
0
4 P3 max 2 P 0 1
q 20 kN m , F 400kN , l 1m
求： 固定端 A 处约束力. 解： 取 T 型刚架，画受力图. 1 F1 q 3l 30kN 其中 2
Fx 0 FAx F1 F sin 60 0
Fy 0 FAy P F cos 60 0
M A 0 M B 0 M 0 C
三矩式 三个取矩点，不得共线
2.平面平行力系的平衡方程
Fx 0
Fx 0
Fy 0
0 0 0 0
F1 cos θ F2 cos θ F3 cos θ 0
F1 sin θ F2 sin θ F3 sin θ 0
自重与摩擦,系统在图示位置平衡; 力偶矩 M 的大小，轴承 O 处的约 束力，连杆 AB受力，冲头给导 轨的侧压力. 取冲头 B ,画受力图.

40哈工大理论力学第三章PPT课件

40哈工大理论力学第三章PPT课件

n
Fzi
i 1
合力矢FR的大小和方向余弦为
大小
FR Fx2Fy2Fz2 (Fxi)2(Fyi)2(Fzi)2
方向余弦
cos(
FR ,i)
Fx FR
F xi FR
cos(
FR ,
j)
Fy FR
F yi FR
cos(
FR,k)
Fz FR
F zi FR
在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投 影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。
F
F
F
已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN， 18 kN，试求力F 的大小和方向。
解：力F的大小
F Fx2Fy2Fz21.9 6kN
力F 的方向余弦及与坐标轴的夹角为
cosFx 0.22， 0 76.7
F
cos Fy 0.32,2 71.1
理论力学
指导教师 李丽君
整体概况
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概况2
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概况3
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第三章 空间力系
空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系 重心
直接投影法
Fx Fcos
Fy Fcos
Fz Fcos
解：将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
F z F nsi,n F xy F ncos
将力Fxy向x，y 轴投影
FxFxysin Fncosin FyFxycosFncoscos

(NEW)哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

(NEW)哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

目　录第1章　静力学公理和物体的受力分析1.1　复习笔记
1.2　课后习题详解
1.3　名校考研真题详解
第2章　平面力系
2.1　复习笔记
2.2　课后习题详解
2.3　名校考研真题详解
第3章　空间力系
3.1　复习笔记
3.2　课后习题详解
3.3　名校考研真题详解
第4章　摩　擦
4.1　复习笔记
4.2　课后习题详解
4.3　名校考研真题详解第5章　点的运动学
5.1　复习笔记
5.2　课后习题详解
5.3　名校考研真题详解第6章　刚体的简单运动
6.1　复习笔记
6.2　课后习题详解
6.3　名校考研真题详解第7章　点的合成运动
7.1　复习笔记
7.2　课后习题详解
7.3　名校考研真题详解第8章　刚体的平面运动8.1　复习笔记
8.2　课后习题详解
8.3　名校考研真题详解
第9章　质点动力学的基本方程9.1　复习笔记
9.2　课后习题详解
9.3　名校考研真题详解
第10章　动量定理
10.1　复习笔记
10.2　课后习题详解
10.3　名校考研真题详解
第11章　动量矩定理
11.1　复习笔记
11.2　课后习题详解
11.3　名校考研真题详解
第12章　动能定理
12.1　复习笔记
12.2　课后习题详解
12.3　名校考研真题详解
第13章　达朗贝尔原理。

哈工大第七版理论力学课件

哈工大第七版理论力学课件

FE1y F
FBy
P
50
[题1-2（i）] （P25） 画出下列各物体和整′体的受力图
A
F
F
CE
D
FOx
O
B
FBx
FOy
FBy FAx
FAy
A
FCx C
FC′ x C
E
D
FC′ y
FE
A
FA′ x
FA′y
E
FOx
FCy
O
FOy
F′E FBx
B
51 FBy
[例6] 画各物体的受力图和整体的受力图。
7 、正确判断二力构件。
45
[例5] 画出下列各构件的受力图和整体的受力图
FD
F FAx
FD
F
FBy
FBx
FH
FAy
FC
FD
F 'H
FAx
F'By
F'C
F FAx
FAy
F'Bx
FAy
46
[例6] 画出下列各构件的受力图和整体的受力图
[整体]
C
B 60º
A
FAx FAy
[AC杆]
FCy
C
[CE杆] F'Cx C
FN FN
FNA
FNB
23
渐开线 FN
—压力角 FN
节圆
24
2.由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束
T
绳索类只能受拉，所以它们的约束力是
P
P
作用在接触点，方向沿绳索背离物体。
F
F1 F'1 F2 F'2
FA' FB'

哈工大理论力学第七版第一章

哈工大理论力学第七版第一章
理论力学绪论
都江堰 岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝引水工程。始建于公元前256～前251年。
理论力学绪论
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”的美誉。
理论力学绪论
张衡与地动仪
理论力学绪论
研究物体的受力分析、力系的等效替换（或简化）、建立各种力系的平衡条件的科学．
静力学
只从几何的角度来研究物体的运动（如轨迹、 速度、加速度等），而不研究引起物体运动的物理 原因。
运动学
A
研究受力物体的运动和作用力之间的关系。
单击此处添加小标题
B
动力学
单击此处添加小标题
2.理论力学发展简史
理论力学是以伽利略(年)和牛顿(年)所总结的关于机械运动的基本定律为基础发展起来的，属于古典力学的范畴。实际上它的研究对象的速度必须远小于光速(300000 km/s)，才足够准确。在这里有必要研究一下它的发展简史。
理论力学绪论
理论力学绪论
远在奴隶社会时代，我国劳动人民就积累了比较丰富的力学知识，如杠杆原理、功的原理、滚动磨擦的原理。我国古代的墨经是一部最早记述有关力学原理的著作。在欧州，比墨经稍晚一些，相继出现了亚里士多德的“物理学”和阿基米德的“论比重”等著作，奠定了静力学的基础。在那个时期，出现争论的事很多，我们大家可能都还记得高中时学过的比萨斜塔前的实验，那个时候亚里士多德(Aristotle,B.C.384-322)认为物体下落的速度与其重量成正比，直到十七世纪，伽利略才推翻了这个错误的认识。还有太阳中心说及地球中心论等等许多的争论。
总结
(7)固定端——
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投影
M x Mix
M y Miy
M z Miz
M x Mix
M y Miy
M z Miz
合力偶矩矢的大小和方向余弦 大 小
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
方向余弦
(2) 平衡
Mx cos q M
cos b
z
Fz F cosg
Fxy F sin g
第二次投影
Fz
F
g
Fy
Fx F sin g cos
O
y
Fx
x
Fy F sin g sin
Fxy
例3-1
已知： Fn , b ,
求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
Fn F xy y F y b
z F z
x
F x
F Az F Bz
F Ax
F Bx
M x 0 F2 0.4 FBz 0.8 0
M z 0 F1 0.4 FBx 0.8 0
0.4 F1 0.4 3 FAx FBx 1.5( N ) 0.8 0.8 0.4 F2 0.4 5 FAz FBz 2.5( N ) 0.8 0.8
My M
Mz cos g M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即 M M xi M y j M z k 0
M
ix
0
M
iy
0
M
iz
0
--称为空间力偶系的平衡方程.
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m。求:工件所受合力偶矩在x,y,z轴上的投影. 解： 把力偶用力偶矩 矢表示，平行移 到点A 。
Fz 0 F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
§3–2
力对点的矩和力对轴的矩
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 MO(F )=r×F 其中
z B F
r= xi + yj + zk
例3-2
已知：物重 P=10kN， q =30°；CE=EB=DE=a。 求：杆受力及绳拉力。
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0 F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0 FA sin 30 F1 cos 45 cos 30
F2 cos 45 cos 30 0
M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
例3-4
已知：F，l，a，q。求：M x ( F )
a l
q
M y (F )
M z (F )
解：
把力 F 分解如图
Fx F sin q
Fz F cosq
M x (F ) M x (Fz ) (l a) F cosq M y ( F ) M y ( Fz ) l F cosq M z (F ) M z (Fx ) (l a) F sin q
§3–3
空间力偶
一.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
M rBA F
M1
F2 F1 ' F2
M2
' F1
F1 F1 F2 F2
空间力偶 的三要素
M1 M 2
M1 M 2
（1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
二.力偶的等效定理 实例
空间力偶的等效定理：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果其力偶矩相等，则它们彼此等效。
空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不 改变力偶对刚体的作用效果. 只要保持力偶矩不变，力偶 可在其作用面内任意移转，且可
以同时改变力偶中力的大小与力
偶臂的长短，对刚体的作用效果 不变. 力偶矩矢是自由矢量
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx
方向余弦 cos( FR , i )
FR
cos( FR , j )
Fy
FR
cos( FR , k )
Fz
FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点。
FR Fi F1 F2 Fn
FA= FB= F1= F2 杆AA1受拉，BB1受压。
y
M1
x
(c)
3—6，9 ，12
i i 0 i j k j i k
i i 1
z
k
i j 0
x
O
i
j
y
F2

M
M
x
0
M 1 M 3 cos 45 0

E
D
O C
FB
B
y
0 M 2 M 3 sin 45 0
FA
A
F2' x
y
M1 M 2
设正方体边长为 a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有
F1'
M3
O A
F1 (b)
B M2
F1 F2
M3 FA 2a
F n
F z

x
F xy F y
b
F xy
F x
y
解：
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin β Fn cos α sin β Fy Fxy cos b Fn cos cos b
二、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 FR 0
F1
Fn
x
z
F2
FR (Fx ) (Fy ) (Fz ) 0
2 2 2
Fi
FR F3 F4
y
F
x
0
F
y
0
--称为空间汇交力系的平衡方程
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三 个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x
M O ( F ) zFx xFz M y ( F ) y
§3–1
空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系。
一.力在直角坐标轴上的投影 1.直接投影法
z
F F
Fz
由、b、g 三个方向角确定
F
g
o
b Fy
y
投影
Fx F cos Fy F cos b Fz F cos g

Fx
x
2.间接（二次）投影法 第一次投影
FR F1 F2 F3 Fi
FRx Fix Fx
F1
Fn
x
z
F2
合矢量(合力)投影定理
FRy Fiy Fy
Fi
FR F3 y F4
FRz Fiz Fz
合力的大小
例
已知：正方体上作用两个力偶 ( F 1, F 1 ), ( F 2, F 2 ),
CD // AE ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1 , F2 的关系和两根杆受力.
F2
A1 A B1 D B
E
F2' x
C
O
y
F1'
F1
(a)
解： 两杆为二力杆，取正方体，画受力图建坐标系如图(b) 以矢量表示力偶，如图(c)
三．力偶系的合成与平衡条件 (1) 合成
Fn Mn Fn
M1
y
M
Mn
F1
F1
F2
F2
=
M1 M2
=
zHale Waihona Puke M2xO
M1 r1 F1
M 2 r2 F2

M n rn Fn
M M i 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
MO(F )
k
三要素：
(1）大小:力 F 与力臂的乘积
（2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
x
O
i
r
j
A(x,y,z ) y
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
二.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力对轴的矩是代数量
力与轴相交或与轴平行(力与轴在同一平面内)，力对该轴 的矩为零.
三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) yFz zFy M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx