理论力学第三章 4-5

3-3在图示刚架中，已知kN/m3=mq，26=F kN，mkN10⋅=M，不计刚架自重。

求固定端A处的约束力。

mkN12kN60⋅===AAyAxMFF，，3-4杆AB及其两端滚子的整体重心在G点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。

对于给定的θ角，试求平衡时的β角。

Aθ3lGβGθBBFARF32lO解：解法一：AB为三力汇交平衡，如图所示ΔAOG中βsinlAO=，θ-︒=∠90AOG，β-︒=∠90OAG，βθ+=∠AGO由正弦定理：)90sin(3)sin(sinθβθβ-︒=+ll，)cos31)sin(sinθβθβ=+l即βθβθθβsincoscossincossin3+=即θβtantan2=)tan21arctan(θβ=解法二：：=∑x F，0sinR=-θGF A（1）=∑y F，0cosR=-θGF B（2）)(=∑FAM，0sin)sin(3R=++-ββθlFlG B（3）解（1）、（2）、（3）联立，得)tan21arctan(θβ=3-5 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。

支承和受力如图所示。

已知均布载荷强度kN/m 10=q ，力偶矩m kN 40⋅=M ，不计梁重。

kN 15kN 5kN 40kN 15===-=D C B A F F F F ；；；解：取CD 段为研究对象，受力如图所示。

0)(=∑F CM，024=--q M F D ；kN 15=D F取图整体为研究对象，受力如图所示。

0)(=∑F AM ，01682=--+q M F F D B；kN 40=B F0=∑yF ，04=+-+D BAyF q F F ；kN 15-=Ay F0=∑x F ，0=AxF3-6如图所示，组合梁由AC 和DC 两段铰接构成，起重机放在梁上。

已知起重机重P1 = 50kN ，重心在铅直线EC 上，起重载荷P2 = 10kN 。

如不计梁重，求支座A 、B 和D 三处的约束反力。

第三章思考题解答3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。

3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。

当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。

事实上但物体的线度很大时各质点所在处g 的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。

3.3答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。

3.4 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。

分别取O 和O '为简化中心，第i 个力i F 对O 和O '的位矢分别为i r 和i r '，则i r =i r '+O O '，故()()iii ii i O F O O r F r M ⨯'-'=⨯'=∑∑'()∑∑⨯'-⨯'=ii ii i F O O F r ∑⨯'+=ii o F O O M即o o M M ≠'主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。

理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。

2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。

3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。

h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。

⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。

（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。

⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。

（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。

F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。

第三章 非惯性参考系不识庐山真面目，只缘身在此山中。

地球的多姿多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。

春光无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放益彩。

【要点分析与总结】1 相对运动t r r r '=+t t dr dr dr dr dr r dt dt dt dt dtυω'''==+=++⨯ t r υυω''=++⨯()t dv dv d v r a dt dt dtω''+⨯==+222**22()t d r d r d dr r v r dt dt dt dtωωωω'''''=++⨯+⨯+⨯+⨯()2t a a r r v ωωωω''''=++⨯+⨯⨯+⨯t c a a a '=++〈析〉仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。

（1） 平动非惯性系 (0ω=)t a a a '=+ 即：()t ma F ma '=+-（2） 旋转非惯性系 (0t t a υ==)()2a a r r ωωωωυ''''=+⨯+⨯⨯+⨯2 地球自转的效应（以地心为参考点）2mr F mg m r ω=--⨯写成分量形式为：2sin 2(sin cos )2cos x y z mx F m y my F m x z mz F mg m y ωλωλλωλ⎧=+⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 〈析〉坐标系选取物质在地面上一定点O 为坐标原点，x 轴指向南方，y 轴指向东方，铅直方向为 z 轴方向。

2mr F mg m r ω=--⨯ 为旋转非惯性系 ()2F mg mr m r m r m r ωωωω-=+⨯+⨯⨯+⨯在 ,rR ωω条件下忽略 m r ω⨯与 ()m r ωω⨯⨯所得。

正因如此，地球上的物体运动均受着地球自转而带来的科氏力 2m r ω-⨯的作用，也正是它导致了气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅科摆等多姿多彩的自然现象。

第三章平衡问题：矢量方法习题解答3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。

题3.1图解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。

如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。

（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。

所以，AD梁是2次静不定。

（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。

所以是3次静不定。

（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。

所以是6次静不定。

（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。

平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。

21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。

若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。

所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。

（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。

除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。

AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。

3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。

跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。

第三章物体的受力分析及受力图§ 3.1 载荷荷载分类：（1）按作用时间的久暂恒载（dead load）：固定载荷，长期作用于结构上的不变荷载，其大小、方向、作用位置是不变的。

例如结构的自重、安装在结构上的设备重量等；活载（live load）：建筑物在施工和使用期间可能存在的可变荷载。

例如吊车荷载、结构上的人群、风、雪等荷载。

（2）按荷载的作用范围集中荷载（concentrated load）：荷载的作用面积相对于总面积是微小的。

分布荷载（distributed load）：分布作用在一定面积或长度上的荷载，如风、雪、自重等荷载。

（3）按荷载作用的性质静荷载（static load）：大小、方向和位置不随时间变化或变化极其缓慢，不使结构产生显著的加速度。

例如结构自重、楼面活载等；动荷载（dynamic load）：随时间迅速变化或在短暂时间内突然作用或消失的荷载，使结构产生显著的加速度。

注意：车辆荷载、风荷载和地震荷载通常在设计中简化为静力荷载，但在特殊情况下要按动力荷载考虑。

（4）按荷载位置的变化固定荷载（fixed load ）：作用位置固定不变的荷载，例如风、雪、结构自重等。

移动荷载（travelling load）：可以在结构上自由移动的荷载，例如吊车梁上的吊车荷载、公路桥梁上的汽车荷载就是移动荷载。

常见分布载荷合力作用位置§3.2 工程常见约束与约束力自由物体——空间运动不受任何限制的物体，如飞机、导弹、航天器受约束物体——空间运动受到限制的物体，如汽轮机、车轮。

工程中大部分研究对象都是非自由体，约束（constraint ）—— 物体运动过程中所受到的限制。

约束的作用一方面限制物体运动，另一方面表现为约束力。

约束力(reactions)——约束对物体的反作用力，又称约束反力。

是一种被动力，其大小不能预先确定，方向总是与约束力所能阻止的运动方向相反。

主动力-----主动地施加于物体，改变其运动状态的力称为主动力。