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高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。
(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。
(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。
(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。
(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。
(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。
(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。
(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。
2025届高三年级10月份联考数学试题本试卷共4页，19题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．设等比数列的前项和为，且，则（ ）A ．243B ．244C ．81D ．827．在四面体中，，且四面体的各个顶点均在球的表面上，则球的体积为（ ）{}{}0,3A x x B x x =≥=≤()A B =R ð()0,+∞[)0,+∞(],3-∞()3,+∞21i z=-2z =2i 22i+23i +3i0.2πππ,0.2,log 0.2a b c ===b a c>>c b a>>a c b >>a b c>>()2tan 3tan 6αβα+==tan β=23351712ABC △D BC C E AD (),ED EB EC λμλμ=+∈R1λμ+=2μλ=3μλ=13λμ-=-{}n a n n S 573103,9a a a a ==105S S =ABCD 2,AB BC AC BD AD CD ======ABCD OOABCD ．8．设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线分别交直线于点，若，则的斜率可以为（ ）ABC ．2D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知曲线，则（ ）A ．的焦点在轴上B．的短半轴长为2C ．的右焦点坐标为D ．10．已知正数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知定义在上且不恒为0的函数对任意，有，且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）A ．的图象存在对称轴B ．的图象有且仅有一个对称中心C ．是单调函数D ．为一次函数且表达式不唯一三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．样本数据的极差和第75百分位数分别为______．13．已知函数在区间上有且仅有1个零点，则最小正周期的最小值为______．14．已知数列中，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
1全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（二）试题课程代码：00021第一部分 选择题（共40分）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若必有A T =A ，矩阵A 为（ ）A.正交矩阵B.对称矩阵C.可逆矩阵D.三角形2．若A ，B 均为n 阶方阵，且AB=0，则（ ）A.A=0或B=0B.A+B=0C.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=03．设A 为m ⨯n 矩阵，秩为r ，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵B=AC ，秩(B)=r 1，则（） A.r 1>r 2 B.r<r 1C.r=r 1D.r 1与C 有关4．)1,1,1(),0,1,1(),3,1,2(),3,2,1(4321=α-=α=α=α，则（ ）A.1α线性相关B.21,αα线性相关C.线性相关321,,αααD.线性相关421,,ααα5．n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n ，则对该方程组正确的（ ）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.有解6．若矩阵A 与B 是合同的，则它们也是（ ）A.相似B.相等C.等价D.满秩7．实二次型f(x 1，…，x n )=x T Ax 为正定的充要条件是（ ）A.f 的秩为nB.f 的正惯性指数为nC.f 的正惯性指数等于f 的秩D.f 的负惯性指数为n8．实二次型f(x 1,x 2,x 3)的秩为3，符号差为-1，则f 的标准形可能为（ ）A.332221y y y -+-B.332221y y 2y +-2 C.332221y y 2y -+ D.21y -9．当根据样本观察值画出的频率直方图为一矩形（即各“条形”高相同）时，则（ ）A.这组数据的极差为零B.这组数据的平均偏差为零C.这组数据的方差为零D.这组数据的极差、方差都不一定为零10．将一枚均匀硬币反复抛掷10次，已知前三次抛掷中恰出现了一次正面，则第二次出现正面的概率为（ ） A.31 B.21 C.41D.103 11．设随机变量ηζ和的密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=ζ其它,01x 0,x 3)x (p 2 ⎩⎨⎧≤>=-η0y ,00y ,e 3)y (p y 3，若ηζ和不相关，E(ζη)=（ ） A. 41 B.21 C.43 D.1 12．设离散型随机变量ζ的分布列为（ ）A.32B.31C.0D.32- 13．设随机变量ζ的密度函数p(x)=⎩⎨⎧π∈其他,0],0[x ,ASinx ，则常数A=（ ） A.41 B.21 C.1D.214．设随机变量ζ的概率密度为p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其他,a x a ,a 21，其中a>0，要使P{ζ>1}=31，则a=（ ）3A.1B.2C.3D.415．设ζ的分布函数为F(x)=A++∞<<∞-πx x arctan 1，则常数A=（ ） A.21B.1C.2D.π 16．设总体X~N(2,σμ)，X 1，X 2是总容量为2的样本，2,σμ为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（ ）A.X 1+X 2B.22221X X 4X ++C.2221X X +D.μ+1X17．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若E(θˆ)=θ，则θˆ是θ的（ ） A.极大似然估计B.矩估计C.无偏估计D.有偏估计18．设总体X 为参数为λ的动态分布，今测得X 的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数λ的矩估计值λˆ为（ ） A.0.2B.0.25C.1D.419．作假设检验时，在以下哪种情形下，采用Z -检验法（ ）A.对单个正态总体，已知总体方差，检验假设00:H μ=μB.对单个正态总体，未知总体方差，检验假设00:H μ=μC.对单个正态总体，已知总体均值，检验假设2020:H σ=σD.对两个正态总体，检验假设22210:H σ=σ20．一元线性回归分析中F=)2n /(Q U -的值较小，则说明x 与y 之间（ ） A.有显著的线性相关关系B.没有显著的线性相关关系4C.不相关D.线性相关关系不可判定第二部分 非选择题（共60分）二、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）21．设33A ⨯的行列式|A|=2，试问能确定出|A -1|AA *的具体结果吗？为什么？若能得出结果，结果是什么？22．)4,2,0,3(=β能否由)1,1,1,0(),3,1,7,2(),2,0,4,1(321--=α=α=α线性表示？为什么？23．全年级120名学生中有男生（以A 表示）100人，来自北京的（以B 表示）40人，这40人中有男生30人，试写出P(A)、P(B)、P(B|A )，和P(B |A )24．设随机变量N ~ζ(5,5)，η在[0，π]上均匀分布，相关系数21=ρζη，求（1）)2(E η-ζ；（2）)2(D η-ζ三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）25．A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111222111能否相似于对角阵？为什么？26．加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%，3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
广东大专高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)是奇函数，则下列说法正确的是（）。
A. f(-x) = f(x)B. f(-x) = -f(x)C. f(0) = 0D. f(x) = 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为（）。
A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A4. 函数y=ln(x)的导数是（）。
A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。
答案：3x^2-36. 已知函数y=x^2-4x+c，若其图像与x轴有交点，则c的取值范围为________。
答案：c≤47. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(2,0)处的切线方程为________。
答案：y=-3x+128. 函数y=e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C三、解答题（每题15分，共30分）9. 求函数y=x^2-4x+c在区间[0,2]上的最小值。
解：函数y=x^2-4x+c的导数为y'=2x-4。
令y'=0，解得x=2。
当0≤x<2时，y'<0，函数单调递减；当x>2时，y'>0，函数单调递增。
因此，函数在x=2处取得最小值，即y_min=c-4。
10. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
解：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e^lim(x→∞) (x*ln(1+1/x))。
由于lim(x→∞) (x*ln(1+1/x)) = lim(x→∞) (ln(1+1/x)/1/x) =lim(x→∞) (1/(1+1/x) * 1/x) = 0，所以原极限的值为e^0=1。
广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。
2010年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题5分，满分40分)1．(5分)(2010•广东）若集合A=｛x|﹣2＜x＜1},B=｛x｜0＜x＜2},则集合A∩B=（) A．｛x｜﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1｝C．{x|﹣2＜x＜2｝D．｛x｜0＜x＜1} 【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩｛x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．（5分)（2010•广东）若复数z1=1+i，z2=3﹣i，则z1•z2=(）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把复数z1=1+i，z2=3﹣i代入z1•z2，按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a,b∈R）的形式．【解答】解：z1•z2=（1+i）•（3﹣i）=1×3+1×1+（3﹣1）i=4+2i；故选A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2010•广东)若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x)=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则(）A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数,g(x）为奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f(﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g(x）．然后在判断定义域对称性后,把函数f（x)=3x+3﹣x与g（x)=3x﹣3﹣x 代入验证．即可得到答案．【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x)．对函数f（x）=3x+3﹣x有f(﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x)所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g(﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．所以答案应选择D．【点评】此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x)=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性．4．(5分）（2010•广东)已知数列{a n}为等比数列,S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29【考点】等比数列的性质;等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=,a1==16故S5==31故选C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．5．(5分）（2010•广东）“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的(）A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】利用充分必要条件的判断法判断这两个条件的充分性和必要性．关键看二者的相互推出性．【解答】解：由x2+x+m=0知,⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0,∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解"必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．6．（5分）（2010•广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图)是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】根据几何体的三视图的作法，结合图形的形状,直接判定选项即可．【解答】解:△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线,排除B，C,3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选D【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力，是基础题．7．（5分）（2010•广东）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意知本题是一个三角恒等变换，解题时注意观察式子的结构特点,根据同角的三角函数的关系,把7°的正弦变为83°的余弦，把53°的余弦变为37°的正弦，根据两角和的余弦公式逆用，得到特殊角的三角函数，得到结果．【解答】解:sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选:A．【点评】本题考查两角和与差的公式，是一个基础题，解题时有一个整理变化的过程，把式子化归我可以直接利用公式的形式是解题的关键，熟悉公式的结构是解题的依据．8．(5分）（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(）A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒【考点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式．【专题】排列组合．【分析】彩灯闪烁实际上有5个元素的一个全排列，每个闪烁时间为5秒共5×120秒，每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×(120﹣1）,解出共用的事件．【解答】解:由题意知共有5！=120个不同的闪烁,每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒,共5×（120﹣1）=595秒．那么需要的时间至少是600+595=1195秒．故选C【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．二、填空题(共7小题，满分30分）9．（5分）(2011•上海）函数f（x)=lg(x﹣2）的定义域是（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】对数的真数大于0，可得答案．【解答】解：由x﹣2＞0,得x＞2，所以函数的定义域为(2，+∞)．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查对数函数的定义域,是基础题．10．（5分)（2010•广东）若向量，,，满足条件，则x=2．【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】空间向量及应用．【分析】先求出，再利用空间向量的数量积公式，建立方程，求出x【解答】解：，，解得x=2，故答案为2．【点评】本题考查了空间向量的基本运算,以及空间向量的数量积，属于基本运算．11．(5分）（2010•广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B,C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B,则sinC=1．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值,再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定最后答案．【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°,由正弦定理知，，即；由a＜b知,A＜B=60°，则A=30°,C=180°﹣A﹣B=90°，于是sinC=sin90°=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查正弦定理的应用和正弦函数值的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化记忆三角函数所涉及到的公式和性质，做到熟练应用．12．（5分）(2010•广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是（x+2）2+y2=2．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】直线与圆．【分析】设出圆心,利用圆心到直线的距离等于半径,可解出圆心坐标,求出圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＜0），则,解得a=﹣2．圆的方程是（x+2）2+y2=2．故答案为：（x+2）2+y2=2．【点评】圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆相切;注意题目中圆O位于y轴左侧，容易疏忽出错．13．（5分）（2010•广东)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…,x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1。
2025届高三年级10月份联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}0,3A x x B x x =³=£，则()R A B =I ð（ ）A. ()0,¥+B. [)0,+¥ C. (],3-¥ D. ()3,+¥【答案】D 【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算计算即可求得结果，再用区间表示可得答案.【详解】由{}3B x x =£可知{}3B x x =>R ð，又{}0A x x =³，故()()3,A B =+¥R I ð．故选：D ．2. 已知21i z=-，则2z =（ ）A. 2i B. 22i+ C. 23i+ D. 3i【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算可得复数z ，再平方，即可求解.【详解】因为21i z =-，故221i 1i 1i 1iz -===+--，故22iz =故选：A .3 已知0.2πππ,0.2,log 20.a b c ===，则（ ）A. b a c >>B. c b a >>C. a c b >>D. a b c>>【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，利用“0,1分段法”确定正确答案.【详解】由0.20πππππ1,00.21,log 0.2log 10>=<<<=，故a b c >>.故选：D4. 已知()2tan 3tan 6a b a +==，则tan b =（ ）A.23B.35C.17D.12【答案】C 【解析】【分析】由题设得()tan 3,tan 2a b a +==，结合和角正切公式列方程求目标函数值.【详解】因为()2tan 3tan 6a b a +==，所以()tan 3,tan 2a b a +==，所以()tan tan 2tan tan 31tan tan 12tan a b ba b a b b+++===--，故2tan 36tan b b +=-，解得1tan 7b =．故选：C5. 在ABC V 中，D 为BC 边上靠近点C 的三等分点，E 为线段AD （含端点）上一动点，若(),ED EB EC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r，则（ ）A. 1l m +=B. 2m l= C. 3m l= D.13l m -=-【答案】B 【解析】【分析】结合图形，运用平面向量的基本定理将ED uuu r 用EB uuur 和EC uuu r 线性表示，找到,l m 的数量关系即得..【详解】如图，当,E D 不重合时，23ED EB BD EB BC=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r()212333EB EC EB EB EC =+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即12,33l m ==，当,E D 重合时，0,ED =uu r r u 此时，20ED k EB k EC ==+r uuu r uuu r uuu r,Z k Î,则必有2m l =成立，综上，都有2m l =成立，即只有B 始终成立．故选：B ．6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且573103,9a a a a ==，则105S S =（ ）A. 243 B. 244C. 81D. 82【答案】B 【解析】【分析】由等比中项进行转化，得到公比，再由等比数列的前n 项和公式得到比值.：【详解】由等比数列性质可得310679a a a a ==，设{}n a 的公比为q ，则67573a a q a a ==，故()()1011051055511111244111a q S q q q S qa q q---===+=---．故选：B ．7.在四面体ABCD 中，2,AB BC AC BD AD CD ======ABCD 的各个顶点均在球O 的表面上，则球O 的体积为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】取AC 的中点为E ，根据已知条件证E 为Rt ACD △的外心，且BE ^平面ACD ，进而确定外接球球心的位置，并求出半径，即可得球的体积.【详解】如图，取AC 的中点为E ，由AB BC =，则BE AC ^，连接DE ，又222AD CD AC +=，故AD CD ^，故E 为Rt ACD △的外心，由题设，易得1,2BE DE BD ===，所以222DE B D E B +=，即BE ED ^，又AC ED E =I ，且AC 、ED Ì平面ACD ，所以BE ^平面ACD ，所以球心O 在BE 上，设球O 的半径为r ，在Rt OEC △中，222OE CE OC +=，即222)1r r -+=，解得r =所以球O的体积为344ππ33V r ===．故选：C8.设曲线:C x =，过点)的直线l 与C 交于,A B 两点，线段AB的垂直平分线分别交直线x =l 于点,M N ，若AB MN =，则l 的斜率可以为（ ）A.2-B.C. 2D. 2+【答案】D 【解析】【分析】先判断出曲线C 是双曲线221x y -=右支，设出直线l 的方程并与曲线C 的方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得,AB MN ，根据两者相等列方程，由此求得直线l 的斜率.【详解】因为曲线:1C x =³，()2211x y x -=³，所以C 是双曲线221x y -=右支，的的其焦点为)F，渐近线为y x =±．由题意，设(:l y k x =，且1k >（故A 选项可排除），联立,y x ì=ïíï=î得()()222221210,Δ410k x x k k --++==+>，所以22211A B A B k x x x x k ++==-，2A B N x x x +==，MN 的斜率为1k -，．因为AB MN =，所以22221k k +=+-，解得(2k =±．故选：D【点睛】方法点睛：联立方程求交点：通过设出直线的方程并与曲线联立，求得交点坐标．这一步主要是应用代数方法求解二元一次方程组，是求解斜率的基础．弦长公式的应用：利用弦长公式计算两点间的距离，并结合题意的垂直平分线性质，建立方程求解．弦长公式对于确定点间关系至关重要．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知曲线22:2312C x y +=，则（ ）A. C 的焦点在y 轴上 B. C 的短半轴长为2C. C的右焦点坐标为)D. C【答案】BCD 【解析】【分析】曲线经过变形后可得椭圆标准方程，计算,,a b c 的值即可确定选项.【详解】设椭圆C 的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c .由题意可得椭圆C 的标准方程为22164x y +=，所以椭圆C 的焦点在x 轴上，故选项A 错误.由椭圆C 标准方程为22164x y +=，得2,a b c ====故其短半轴长为2，右焦点坐标为)，故选项B ，C 正确.椭圆C的离心率c e a ===D 正确．故选：BCD ．10. 已知正数,x y 满足111x y x y-+=-，则（ ）A. ()lg 10y x -+> B. cos cos y x> C. 20251y x -> D. 22y x ->-【答案】AC 【解析】【分析】由111x y x y -+=-放缩得到不等式11y x y x->-，构造函数f (x )=x−1x ,x >0，判断其单调性，推得x y <，对于A ，利用对数函数的单调性即得；对于B ，通过举反例即可排除；对于C ，利用指数函数的单调性即得；对于D ，与B 项同，只需举反例排除即可.【详解】由题意可得1111x y x x y x-+=->-，的令函数f (x )=x−1x ,x >0，易知()f x 在(0,+∞)上单调递增，由11x y x y-<-可得()()f x f y <，即可得x y <；对于A ，由y x >，可得11y x -+>，故lg (y−x +1)>0，故A 正确；对于B ，分别取π12x =<，π2y =>，则cos 0cos ,y x <<故B 错误；对于D ，分别取π12x =<，y =>，故D 错误；对于C ，因为0y x ->，20251>，则 20251y x ->，故C 正确.故选：AC ．11. 已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x 对任意,x y ，有()()()2f xy f x xf y +=+，且()f x 的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）A. ()f x 的图象存在对称轴 B. ()f x 的图象有且仅有一个对称中心C. ()f x 是单调函数 D. ()f x 为一次函数且表达式不唯一【答案】AC 【解析】【分析】先证明若()()f a f b =时，必有a b =，再通过赋值证明()()()()()()()2121f x f f x f f f f éù=-+-ëû，设()f x sx t =+，由恒等式求,s t ，由此可得结论.【详解】取两个实数,a b ，a b ¹，且()0f a ¹， 用a 替换x ，b 替换y ，有()()()2f ab f a af b +=+，①用b 替换x ，a 替换y ，有()()()2f ab f b bf a +=+，②假设()()f a f b =，①-②可得()()0a b f a -=，故a b =，这与假设矛盾，所以a b ¹时，()()f a f b ¹，故若()()f a f b =时，必有a b =，用()f a 替换x ，b 替换y ，则原式等价于()()()()()(2f f a b ff a f a f b +=+，用()f b 替换x ，a 替换y ，则原式等价于()()()()()(2f f b a f f b f a f b +=+，则()()()()()()f a b ff a f b a f f b +=+，令1a =，则()()()()()()11f b f f f b f f b +=+，令2a =，则()()()()()()222f b ff f b f f b +=+，两式相减则可得()()()()()()()2121f b f f b f f f f éù=-+-ëû，即()()()()()()()2121f x f f x f f f f éù=-+-ëû，设()()210f f s -=¹，()()()()210ff f f t -=¹，则()f x sx t =+，代入原条件且令y x =解得22s x st t tx ++=+，故()2,12s t t s =+=，解得1s t ==，即()1f x x =+，()f x 存在唯一表达式，D 错误；因为()1f x x =+，所以函数()f x 是单调函数，C 正确；由表达式可知()f x 存在无数条对称轴，且有无数个对称中心，A 正确，B 错误．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先通过合理赋值先证明若()()f a f b =时，必有a b =，再通过赋值确定该函数为一次函数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 样本数据90,80,79,85,72,74,82,77的极差和第75百分位数分别为______．【答案】18，83.5【解析】【分析】根据极差和百分位数的定义计算即可.【详解】将这组数据从小到大排列为：72，74，77，79，80，82，85，90，共8个，极差为907218-=，因为875%6´=，所以这组数据的第75百分位数为828583.52+=．故答案为：18,83.5．13. 已知函数()πsin (0)3f x x w w æö=+>ç÷èø在区间5π0,12æöç÷èø上有且仅有1个零点，则()f x 最小正周期的最小值为______．【答案】π2【解析】【分析】由x 的范围，确定ππ5ππ,33123x w w æö+Î+ç÷èø，再结合5πππ2π123w <+£即可求解.【详解】因为当5π0,12x æöÎç÷èø时，ππ5ππ,33123x w w æö+Î+ç÷èø，因为()f x 在区间5π0,12æöç÷èø上只有1个零点，故5πππ2π123w <+£，解得845w <£，故()f x 最小正周期的最小值为2ππ42=.故答案为：π214. 已知数列{a n }中，111,n n a a na +==，则1111112k k ka a a =-=å______．【答案】1024【解析】【分析】先根据累乘法求得()1!n a n =-，利用排列数可得11012101110101010112C C C C k k ka a a =-=++++åL ，进而可得.【详解】由题意得1211,1,1n n n n a a a n n a a a +-==-××××××=．故()()121121112311!n n n n n a a a a a n n a a a ---=×××××××=´´´´´-=-L ，且经检验10!1a ==满足该通项公式，故111111111210!10!10!10!(1)!(11)!0!10!1!9!10!0!k k k k a a a k k ==-==+++--ååL 012101010101010C C C C 21024=++++==L ．故答案为：1024.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y （单位：cm ），与其根茎长度x （单位：cm ）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号i 1234根茎长度i x 10121416植株高度iy 6286112132参考数据：()()44221120,59.1ii i i x x y y==-=-=»åå．（1）由上表数据计算相关系数r ，并说明是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系（若0.75r >，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；（2）求y 关于x 的线性回归方程.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r 的公式分别为()()()121,,niii nii x x y y b ay bx r x x ==--==-=-åå ．【答案】（1）0.998r =，可用 （2）11.855.4y x =-【解析】【分析】（1）利用相关系数公式结合条件即得；（2）根据最小二乘法可得线性回归直线方程.【小问1详解】易得()()111012141613,62861121329844y x =+++==+++=，()()()()()()41336112114334236iii x y y x =--=-´-+-´-+´+´=å，故r =590.99859.1==»»．则0.75r >，故可用线性回归模型模拟．【小问2详解】()()()41421236ˆ11.820i ii i i x x y y b x x ==--===-åå， 9811.81355.4ay bx =-=-´=- ，故线性回归方程为11.855.4y x =-．16. 已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222cos sin2sin2ab C a B b A =+．（1）求C ；（2）若2c =，求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）π4（21+【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得C .（2）利用余弦定理和基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【小问1详解】由正弦定理及倍角公式得sin sin 2cos sin 2sin 2sin 2sin 2sin sin a b A B C B A B A b a B A=+=×+×()2sin cos 2sin cos 2sin 2sin A B B A A B C =+=+=，得cos sin C C =，即()tan 1,0,πC C =Î，故π4C =.【小问2详解】由余弦定理可得(22242c a b ab ==+³，解得4ab £+，当且仅当a b ==时取等号，ABCV 的面积sin 12ab C S =£+．故ABC V 1+．17. 如图，五面体ABCDMN 中，底面四边形ABCD 为边长为4的正方形，1MN =．（1）证明：//AB MN ；（2）已知G 为线段CD 的中点，点M 在平面ABCD 上的投影恰为线段BG 的中点，直线MG 与平面ABCD ，求直线AN 与平面ADM 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明//AB 平面CDMN ，由线面平行性质定理证明//AB MN ；（2）建立空间直角坐标系，求直线AN 的方向向量和平面ADM 的法向量，利用向量夹角公式求结论.【小问1详解】因为四边形ABCD 是正方形，所以//AB CD ，又AB Ë平面CDMN ，CD Ì平面CDMN ，所以//AB 平面CDMN ，又平面ABNM Ç平面,CDMN MN AB =Ì平面ABNM ，所以AB MN ∥．【小问2详解】记BG 的中点为O ，AD 的中点为E ，AB 上靠近点B 的四等分点为F ，连接,,,OE OF OM MG ，则有//OE AB ，//OF AD ，OM ^平面ABCD ，又,OE OF Ì平面ABCD ，所以,OM OE OM OF ^^，故,,OM OE OF 两两相互垂直，以O 为坐标原点，,,OE OF OM 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为直线MG 与平面ABCD 所成的角为MGO Ð，12GO BG ===，所以tan MO MGO GO Ð==，得MO =由题意得，()()(3,2,0,3,2,0,0,0,A D M -，(1,0,N -，所以(()(4,2,,0,4,0,3,2,AN DA DM =--==-uuu r uuu r uuuu r ．设平面ADM 的一个法向量n =(x,y,z )，则00n DA n DM ì×=ïí×=ïîuuu r r uuuu r r，即40320y x y =ìïí-++=ïî，令2x =，则0,y z ==故(n =r 为平面ADM 的一个法向量．设直线AN 与平面ADM 所成的角为a ，则sin cos AN a =áuuu r ，所以直线AN 与平面ADM．18. 已知函数()e e ln 2a a f x x a x æö=-+ç÷èø．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）当0a <时，求()f x 零点的个数；（3）当1x ³时，()()e 1f x x ³-，求a的取值范围．【答案】（1）12e-（2）2（3）[)2,+¥【解析】【分析】（1）利用导数研究函数单调性，极值，最值即可；（2）法一、令()()e e ,ln 2a a g x x a h x x =-+=，将原函数分解成两个函数的乘积，分区间讨论结合零点存在性定理求函数的零点即可；法二、直接解方程分析即可；（3）构造差函数，由特殊点分类讨论确定1a £时不符合题意，再在1a >的情形下取特殊值()e 0l ³，构造函数()2e e e e 2a a r a =-+-+，利用不等式恒成立得出一个必要条件[)2,a Î+¥，再证充分性，变换主元构造()e e 2a a q a x a =-+，得其单调递增，从而只证2a =时满足题意，利用多次求导判定()e 0l ³即可.【小问1详解】1a =时，此时()1ln (0)2f x x x x =>，()()1ln 12f x x ¢=+，令()0f x ¢=，解得1ex =，当10,e æöÎç÷èøx 时，()()0,f x f x ¢<单调递减，当1,e x æöÎ+¥ç÷èø时，()()0,f x f x ¢>单调递增，故()f x 有唯一极小值点即为最小值点．则min 11()e 2e f x f æö==-ç÷èø．【小问2详解】解法一：令()()e e ,ln 2a a g x x a h x x =-+=，则()()()f x g x h x =×，①当()0,1x Î时，()()()()11e e 0,102a g x g a h x h æö>=--+><<ç÷èø，则()0f x <，②当1x =时，()0f x =，③当1x >时，()()10h x h >>，当2e 1,2e ax a æöÎ-ç÷èø时，()0f x >，当2e 2e ,a x a æöÎ-+¥ç÷èø时，()0f x <，即2e 2e a x a =-为()f x 的一个零点，综上所述，()f x 共有两个零点．解法二：令()0f x =，则ln 0x =或e e 02a ax a -+=，即1x =或2e 2e a x a=-，因为0a <时，2e 2e 2e a x a =->，故2e 2e 1aa-¹，故有两个零点【小问3详解】1x =时，等号两边成立，满足题意，令()()()e e e e ln e 1,ln e 222a a a a a a l x x a x x l x x x -æö=-+--=+-÷¢+çèø，①当0a <时，由（2）知2e 2e 0a l a æö-<ç÷èø，不符合题意；②当0a =时，()()()ln e 1,e 0l x x x l =--<，不符合题意；③当01a <<时，()()()11e e e e e 112e 022a a a a l a -¢=--+=-+-<，则必然存在()01,x e Î使得()0l x ¢<，即()l x 在()01,x e Î上单调递减，而()10l =，则()l x 在()01,x e Î上为负，不符合题意；④当1a =时，()()()1ln e 1,2ln2e 02l x x x x l =--=-<，不符合题意；⑤当1a >时，首先()l x 应当满足()e 0l ³，即2e e e e 02a a -+-+³，令()2e e e e 2a a r a =-+-+，则()1e e 2a r a -¢=+0>在该定义域内恒成立，即()r a 单调递增，又注意到()20r =，至此，我们得到了满足题意的一个必要条件[)2,a Î+¥．下面我们证明其充分性：.记()()1e e ,e e 022a a a q a x a q a x ¢=-+=-+>，即对于一个给定的(),x q a 单调递增，从而证明2a =的情形即可，此时()()()()22e 2e 2e e ln e 1,ln e 1l x x x x l x x x ¢-=-+--=+-+，令()()2e 2e ln e 1p x l x x x -==+-+¢，()22e 2e 0x p x x-+¢==，解得2e 2e x =-，得到()l x ¢在()21,e 2e -上单调递减，()2e 2e,¥-+上单调递增，又()e 0l ¢=可知e x =为()l x 的极小值点，又()e 0l =可知()0l x ³对任意[)1,x ¥Î+恒成立，充分性证毕，综上所述，a 的取值范围是[)2,+¥．【点睛】思路点睛：第三问先利用导函数研究函数的单调性结合特殊点依次讨论排除1a £的情况，再利用特殊点e x =时满足不等式恒成立从而确定一个必要条件2a ³，下面去证充分性，利用构造函数与变换主元，多次求导判定即可.19. 现定义：若对于集合M 满足：对任意,a b M Î，都有[]2,3a bÏ，则称M 是可分比集合．（1）证明：{}1,4,6,7是可分比集合；（2）设集合,A B 均为可分比集合，且{}1,2,,A B n =U L ，求正整数n 的最大值；（3）探究是否存在正整数k ，对于任意正整数n ，均存在可分比集合12,,,k M M M L ，使得{}121,2,,k M M M n ×××=×××U U U ．若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）7；（3）存在，k 的最小值为3，理由见解析.【解析】【分析】（1）当分子比分母小时，不在区间[]2,3内，当分子比分母大时，通过列举也可说明不在区间[]2,3内.（2）通过7n =时成立，8n ³时不成立得到正整数n 的最大值为7.（3）要使k 最小，即满足每个集合内的个数尽可能多，由（2）可知当2k =时不成立，min 3k =.【小问1详解】当分子比分母小时，比值小于1，显然不在区间[]2,3内，当分子比分母大时，由于467,,111，[]377,,2,3246Ï，故{}1,4,6,7是可分比集合．【小问2详解】解法一：一方面，取{}{}1,4,5,6,7,2,3A B ==，则7n =；另一方面，若8n ³，不妨设1A Î，则2,3B Î，则4,5,6,7A Î，此时8A Ï，且8B Ï，矛盾！综上所述，正整数n 的最大值为7.解法二：[]2,3a bÏ，则[]2,3a b b Ï，又0a b >>，即若b A Î，[]2,3b b 内的数均不属于A ，若1A Î，则{}2,3B Í，则{}4,5,6,7,8,9A Í，又[]822,34=Î，矛盾，所以7n £，当7n =时，{}{}1,4,5,6,7,2,3A B ==符合，所以max 7n =．【小问3详解】存在，min 3k =；证明：要使k 最小，即满足每个集合内的个数尽可能多，令{}1232,21,,3{31,,61}a A a a a A a a A ÎÞ+ÍÞ++ÍL L ，{}{}{}12362,,123124,,247248,,4815a a A a a A a a A ++ÍÞ++ÍÞ++ÍL L L ，令1a =即可将{}1,2,,n L 分成了3个可分比集合，先证明*n "ÎN ，将{}1,2,,n L 分成{}{}{}118,,15,,21n n M a a =×××-U L U U L UL ，{}{}{}22,316,,312,,41n n M a a =×××-×××U L U U L U ，{}{}{}34,5,6,732,,634,81,n n M a a =×××××-×××××××U U U U 其中，()182n n a a n -=³，由（2）可知当2k =时不成立，所以min 3k =.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
10 级高数 A2 期末考试题及答案一、填空题（每题 3 分，共 24 分）1.微分方程 y4y 5 y0 的通解为y C1e5x C2e x.2.设函数z2x 2 3 y 2，则全微分dz___ 4xdx 6 ydy ______．椭球面 x22y 22z2 5 在点（1，，）处的切平面方程为___ x 2y 2 z 5 _3114.设积分区域D : x2y2 4 ，则二重积分 f (x, y)dxdy 在极坐标下化为二次积分为D22, r sin)rdr _________d f ( r cos005.设积分区域为Ω: 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1，则三重积分2dxdydz____16 _____Ω6.设 L 是圆周x2y2 2 ，则对弧长的曲线积分( x 2y2 )ds____ 4 2 _____L7. 无穷级数u n 123的通项 u n__n___. 2341n 1n8. 函数f ( x)1展开成 x 的幂级数为_____(2)n x n_____. 12x n 0二、计算下列各题（每题7 分，共 63 分）1、求微分方程(1 x)dx (1 y)dy0的通解.解：分离变量： (1 x) dx (1 y)dy两边积分，得通解x 1 x2y 1 y2C222、设函数zy3x2 2 y2z，z，2 z cos，求x y x y xz y(y y y6x解：sin2 ) 6 xx 2sinx x x x3、设函数z f3x, x y,其中 f 是可微函数 ,求z，z. x y解：z 3 f 1f 2 ， z f 2xy4、求函数 f (x, y) 5x 24 xy y 22x1的极值 .求偏导数f x 10x 4 y 2 ， f y4x 2 y令 f x， f y0 解得驻点 x1, y 2求二阶偏导数fxx10 ， f yy 2 ， f xy4 ，于是有 ACB 2 4 0，且A所以，在点 ( 1, 2) 处，函数取极小值 f (1, 2) 05、计算二重积分I(x 2 y 1)dxdy ，其中 D 是由直线 yx ， y 2x 及 yD 轴所围成的区域 .1 2 x (x 2 y1)dy12 x32x 2)dx7解：原式 =dx(2 x2x66、计算对坐标的曲线积分(1 3 y) dx (1 2x y)dy ，其中 L 为从 A(2,0) 到 B( 2,0) 的L上半圆周 y4x 2 ，取逆时针方向 .解： P 1 3y, Q 1 2x yP 3,Q2 ，QP 1yxxy补线： L 1 : y0, x 从 -2 到 2(1 3y) dx (1 2 x y)dy24 则dxL 12由格林公式，(13 )(1 2)2L L 1y dxx y dydxdyD于是， IL L 1 L 1247．用高斯公式计算积分I (x z)dydz (x y)dzdx ( y z)dxdy ，其中曲面为圆柱面 x 2y 21 及平面 z 0, z 3 所围成的圆柱体的整个边界曲面的外侧。
