高等数学试题及答案(广东工业大学)

广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。

解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。

广东工业大学试卷用纸，共2页，第1页广东工业大学考试试卷（B ）考试时间：2020年1月4日（第18周星期五）一.填空题：（每小题4分，共20分）1 .极限 lim? =2 .曲线y = 21nx + ；i 的拐点坐标为4 .反常积分「72公=5 .微分方程/满足y x二.选择题：（每小题4分，共20分）f sint 2dt2.函数y = xsinx + cosx （0 W x W 4）的单调递减区间是（(A) 3 ：（B ）；：(C) 2：(D)- 2(A) 0,?(C) (D)7t 2课程名称:等数学A （1） 试卷满分100分1 -COSX3.若函数/«=仄7_1r 0 ''在x = 0处连续，则”x = 0)o3.「吧叫& = :( )oJ1 X(A) --1：[B) — + 1 ；(C)-；(D) 12 2 24.曲线），=:—渐近线的条数为（)o厂-1(A) 0：（B） 1：（C） 2：(D) 35.设函数/w在（-8,+ 8）上可微，且= 则函数y = /（/'（x））在x = 0处的微分 "丁3=（）。

（A）2dx：（B）-2dx ；（C）4dx ：（D）-4dx三.计算题：（共37分）1.（7分）函数y = y（x）由参数方程= 确定，求二。

y = 2cosZ dx1（2 + 3 吓2.（7分）求极限：lim -- 0 T 33.（7分）求不定积分：f tan \ dx.J 1 + cosr4.（8分）求圆,d+y2—2）, = o绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积。

5.（8分）求微分方程〉，"-2y'-3y = Yx"的通解。

四 .（8分）求介于x = 0和x = l之间的由两条曲线G :/=），，。

2：/=4¥（0<〃<1）所困成的图形面积的最小值。

五.（7 分）证明：当x 2 0时，arctan^f + x > lii（x + Vl + x2） o六.（8分）已知函数/⑴在L㈤上连续，在（a,力内可导，且/（〃）=劝，/（切="，其中尤为不等于0的常数，证明：（1）存在ge（a,b）,使得了《） =有;（2）存在两个不同的点小4 使得（0）・/'（4）=矛。

10高等数学（一）期末复习题一、填空题=β→xaxx cos ln cos ln lim.10 。

2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x a x xx x f 若要使)(x f 在),(+∞-∞上连续，则=a 。

3．设A a x bx f ax =--→)(lim,则 =--→ax b x f a x sin )(sin lim 。

4．=-⎰dx x x 213 。

5．设)(x f 是连续可导的函数，且1)0(=f ，则满足方程20)()(x x xf dx x f x-=⎰的函数=)(x f 。

6．曲线)0(1>-=x xx y 与x 轴交点处的切线方程为 ; 法线方程为 7．函数)(x f 满足4513)(x x dt t f x +=⎰+，则=)9(f 。

8．设xex f -=)(,则⎰=dx xx f )(ln ' 。

9．dx ex x x⎰--+11)(= 。

10.设函数)(x f 在],[a a -上连续，则dx x x f x f a a⎰--+sin )]()([= 。

11．设)sin(ln x x y =(0>x ),则dy =12.⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12,则=22dx yd 13. 设xex f -=)(,则⎰dx xx f )('=14. 设)(x f 的一个原函数为x sin ，则：dx x f x ⎰)("2=___ __。

15.微分方程0)(2=-+-xdy dx ex y x的通解为=y 。

16.⎰∞+=-22211dx x x。

17.=-⎰dx e x x x)(sin 2。

二、单选题1. 下列极限中极限值为e 的是：（ ）A xx x 10)1(lim -→+； B xx x-∞→+)11(lim ； C 21)1(lim +∞→-xx x ； D x x x 10)1(lim -→-。

学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 肖劲森 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）19. 求函数在给定区间上的最大值与最小值2824+-=x x y ，[1,3]x ∈-；20. 求)1ln()(x x x f +-=的极值。

20*. 求极限2x 01ln(1x)lim[]x x→+-．四. 计算题（二）(每小题6分，总分18分)21．圆柱体内接于半径为R 的球，试求体积为最大的圆柱体的高。

22．作一底为正方形，容积为1082m 的无盖长方体容器，怎样做用料最省？23．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？五．证明题（每小题6分， 共12分）24. 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()bf b af a f f b a ξξξ-'=+-．班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）24*.设0a b <<函数()f x 在[,]a b 上连续，在内(,)a b 可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-．25．证明 当x x xxx <+<+>)1ln(10时，26证明方程32432++=++ax bx cx a b c 在(0,1)内至少有一个实根．六．应用题（二题选一题，每小题5分， 共5分）27．假设某工厂生产某产品x 千件的成本是x x x x c 156)(23+-=,售出该产品x 千件的收入是()9r x x =，问是否存在一个能取得最大利润的生产水平？如果存在的话，找出这个生产水平.28．要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？班级（学生填写）： 姓名： 学号： --------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）科目: 高等数学第三章 单元测试题答案一．单项选择题 1．选（B ）0)(<'x f 则有)(x f 单调减少。

广东工业大学试卷用纸，共8页，第1页学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：装 订 线广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 高等代数（2） 试卷满分 100 分考试时间: 2016 年1月 13 日 (第20 周 星期 三 )题 号 一二三四五六七八九总分评卷得分 评卷签名复核得分 复核签名一、选择题（共5题，每小题4分，总分20分）1. 设线性变换,στ在基1,,n εεL 下的矩阵分别是A 和B ，则τσ在同一组基下的矩阵是（ A ）A. BA ;B. AB ；C. 11B A --; D. 11A B --; 2. 设矩阵A 的特征多项式为()f λ，且矩阵1B XAX-=，其中X 为可逆矩阵，则矩阵B 的特征多项式为（ D ）A. ()X f λ ;B. 2()Xf λ； C. 1()X f λ-； D. ()f λ。

3. 设σ是线性空间V 上的线性变换，则下列集合中可能不是σ-子空间的是（ D ）A. ()V σ;B. 1(0)σ-； C. V ; D. 1()(0)V σσ-⋃;4. 在有限维欧氏空间中，两组标准正交基之间的过渡矩阵是（ A ） A. 正交矩阵; B. 单位阵; C. 数量矩阵; D. 对角矩阵.5. 设矩阵100110000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的最小多项式是（ A ） A. 2(1)λλ-; B. 2(1)λ-; C. (1)λ-; D.λ.广东工业大学试卷用纸，共8页，第2页广东工业大学试卷用纸，共8页，第3页，——(6分)第二步单位化:——（2. （12分）解：(用初等变换)——(6分)λλλ-；——(3分)由上面特征矩阵的标准型，得出初等因子为,,2且矩阵A的Jordan标准为广东工业大学试卷用纸，共8页，第5页的特征多项式为X1,X2,X3就是特征值2的三个线性无关的特征向量；X4就是特征值-2的特征向量；——（2）因为特征向量X1,X2,X3,X4线性无关，则矩阵A可以对角化，且有——（3）有（2），我们有广东工业大学试卷用纸，共8页，第6页——(6分)——(6分)广东工业大学试卷用纸，共8页，第7页广东工业大学试卷用纸，共8页，第8页。

《高等数学-广东工业大学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2l n 2x xx dx C =+⎰ B ）、s i n c o s t d t t C =-+⎰C ）、2a r c t a n 1dxdx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dtx f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ ） A ）、11c o s2y - B ）、11c o s2x - C ）、22c o sy- D ）、22c o sx-14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。

2. 解:函数的定义域为: ),(∞+0,ln x x x y 224-=' （1分）121102224-==''+=''ex y x y 得令,ln （3分）列表讨论如下:x(0,1211-e)1211-e(1211-e, +∞)y ''- 0+ y凸61118--e凹（5分）区间 (0, 1211-e] 为曲线的凸区间, 区间 [1211-e , +) 为曲线的凹区间,曲线有拐点: (1211-e , 61118--e ) （7分）3. 解:因为][cos 223ππ，x x -为 上连续的奇函数,所以0223=⎰-ππdx x x cos（2分） ⎰-+22223ππx d x x x cos )sin ( =⎰-2222ππx d x x cos sin=⎰202221πx d x sin =⎰-24141πx d x )cos ( （5分）= 84414120ππ=-)sin (x x （7分）六、（7分）证明: 设,sin )()(x x f x F = （3分）由题目所给条件知: F (x )在[0,]上连续,在(0,)内可导,且00==)()(F F π,所以由罗尔定理,至少存在一点),(πξ0∈,使得:0=')(ξF （5分）又 ξξ=+'='x x x f x x f F ]cos )(sin )([)( 所以 0=+'ξξξξcos )(sin )(f f因为 ),(πξ0∈,所以0≠ξsin ,从而有 ξξξξξξcot )(sin cos )()(f f f -=-=' 证毕（7分） 七、（9分）解: (1) 所求旋转体的体积为⎰∞+-=0dx xaa V a xπ)( （2分）⎰∞+--=0ax xdaaa πln⎰∞+-+∞-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0dx aa axa a a a xa xππln ln =2⎪⎭⎫⎝⎛a a ln π（5分） （2）aa a a V 312ln )(ln )(-='π，令,)(0='a V 得e a a ==,ln 1 （7分） 当e a <<1时，)(,)(a V a V 0<' 单调减少， 当e a >时，)(,)(a V a V 0>' 单调增加， 所以当e a =时，V 最小，最小体积为。

1. 球面坐标变换是（）A 书本262页（A ）sin cos 0sin sin ,0cos 02x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩；（B ）sin cos 0sin sin ,02cos 02x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩；（C ）sin cos 0sin sin ,0cos 0x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩；（D ）sin cos 0sin sin ,02cos 02x r r y r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩。

2. 下列函数一定是可积的是（）A 书本228页定理21.6（A ） 有界闭区域D 上的连续函数； （B ）有界函数；（C ） 任意函数； （D ）不连续函数（C ）cos ,0,02tan x r r y r θθπθ=⎧≤<+∞≤≤⎨=⎩；（D ）cos ,0,0sin x r r y r θθπθ=⎧≤<+∞≤≤⎨=⎩1. 称平面点集()},)(|,x {D 21d y c y x x y x y ≤≤≤≤=）（为y 型区域。

书232页公式（5）3. 设D 是单连通闭区域。

若函数(,),(,)P x y Q x y 在D 内连续，且有一阶连续偏导数，在以下四个条件中有一个与其余三个不等价，它是（ ）D 书本240页定理21.12 （A ）沿D 内任一按光滑封闭曲线L ，有0LPdx Qdy +=⎰。

（B ）对D 中任一按段光滑曲线L ，曲线积分LPdx Qdy +⎰与路线无关，只与L 的起点及终点有关。

（C ）Pdx Qdy +是D 内某一函数(,)u x y 的全微分，即在D 内有du Pdx Qdy =+。

（D ）在D 内处处成立P Q y x∂∂≠∂∂。

4. 若(,)f x y 与(,)g x y 在区域D 上可积，且(,)(,),(,),f x y g x y x y D ≤ ∈ 则（ ）A 书本228页 二重积分性质4 （A ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy ≤⎰⎰⎰⎰； （B ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy <⎰⎰⎰⎰；（C ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy >⎰⎰⎰⎰； （D ）(,)(,)DDf x y dxdyg x y dxdy =⎰⎰⎰⎰。

《高等数学-广东工业大学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2ln 2x x x dx C =+⎰B ）、sin cos tdt tC =-+⎰C ）、2arctan 1dx dx x x =+⎰D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 00ln(1)lim x x t dt x →+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx bx +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx x a e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,1 9. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x x x f ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（）. A ）、不定积分 B ）、一个原函数 C ）、全体原函数 D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy =（ ）A ）、11cos 2y - B ）、11cos 2x - C ）、22cos y - D ）、22cos x - 14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( ) A 21- B 2 C 1 D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题 1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f x x 11)(，则⎰=dx x f )( 4. =+⎰dt t dx dx 26215. 曲线3y x =在 处有拐点三.判断题 1. x xy +-=11ln 是奇函数. （ ）2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.() 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ）4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim 20x xx -→2. 求nx mxx sin sin lim π→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx x x 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分40⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π05sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A10. A11. D12. B13. D14. A15. B二.填空题 1. 21e2. 2π3. C x+1 4. 412x x +5. (0,0)三.判断题1. T2. F3. F4. T5. T四.解答题1. 82. 令,π-=x t nm n nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4. 1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰5. 令 t x =6，则dt t dx t x 566,== 原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在， 7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ000sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(2121021*******0-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx e x x x x πππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ） A )、x y = B )、0=y C )、)1ln(+=x y D )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。

高数A 期中测试题答案一、填空题（每小题4分，共20分） 1. 设γβα,,为给定的实数，则=++∞→γβαn n n)1(lim解： =++∞→γβαn n n)1(lim αβγβαααe nn nn n =++⋅⋅∞→)()1(lim 。

2．设)(x f y =是由方程1-=yxe y 所确实的隐函数，则==0|x dxdy解：两边同时对x 求导，有''y xe e y yy+=，得yyxe e y -=1'，又0=x 时，1-=y ，于是==0|x dxdy 110|1--===-e xe e y x y y 。

3．若,3)(',2)(==a f a f 则=--+→h h a f h a f h )()2(lim220 解： ha f h a f a f h a f h )]()([)]()2([lim 22220----+→h a f h a f h 2)()2(lim 2220-+=→h a f h a f h ---+→)()(lim 22036)(')(6|)]'([32====a f a f x f a x 。

4．设)()(x f xee f y =，其中f 可微，则=dy _______xde 。

解：因为dx e de x x=，有dx e de dxx x ==，于是])([)(x f x e e f d dy =)()()()(x f x x x f de e f e df e +=)()()(')()(x df e e f de e f e x f x x x x f += dx x f e e f de e f e x f x x x x f )(')()(')()(+=x x x f x x x x f de e x f e e f de e f e -+=)(')()(')()( x x x x x f de e x f e f e f e ])(')()('[)(-+=。