chapter11 柱函数

u 0, r a, / 2
定解问题为：u |rr0 u0 cos
u
|
2
0
问题有反演对称性，对z进行偶延拓后
u 0，r a
u
|ra
u0
cos (
2
)
16
例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的 电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内 外的电场强度
分析：球内电势 球外电势 衔接条件
(x)
(1 x2 )m/ 2 2l l !
d lm dxl m
(x2
1)l
20
注意: 区分 Pl[m] (x) Plm (x)
l m, m 0,1, 2L l
l 0,1, 2,3,L
21
22
23
二. 连带勒让德函数的性质 奇偶性
Plm (x) (1)lm Plm (x)
正交性
1
正交性公式 1
第十一章 柱函数
1. 三类柱函数 2. 贝塞尔方程
1
1. 三类柱函数
一. 回顾
1. 贝塞尔方程:
x2
d2R dx2
x
dR dx
(x2
v2 )R
0
2.贝塞尔方程的解
二. 三类柱函数
1) v 不是整数或半奇数
J
(x)
(1)k
k 0
k!(
1 k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k!( k
u0
sin 2
cos
sin
1 6
u0 (3sin2
) sin
2
1 6
u0P22 (cos

C. S. Wu ( )
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
1
Hankel
2
Bessel Bessel
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
10.1 Bessel
−−−
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
(1) (2) (2)
(1)
Hankel Hankel Bessel
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
Hν (z ) Hν (z ) Hν (z ) Hν (z )
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
10.1
∂ 2u 2 1 ∂ − c ∂t2 r ∂r u r=0 u

2 2 2
成柱面问题． （由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 u ( x, y, t ) = u ( r , j , t ) = T (t )U ( r , j ) ，对泛定方程分离变量（取 l = k ）得
2
T ¢¢ + k 2 a 2 T = 0 （14.1.2） ì ¢¢ 1 ¢ 1 ¢¢ 2 ï U r + r U r + r 2 U j + k U = 0 í ïU | = 0 î r =l
(14.2.3) （14.2.4） （14.2.5） （14.2.6）
= ( -1) n å ( -1) l
l = 0
所以
J - n ( x ) = ( -1) n J n ( x )
同理可证
J - n ( x ) = J n (- x )
因此有重要关系
J n ( - x) = ( -1) n J n ( x )
（14.2.1）
J -n ( x ) = å ( -1) k
k = 0
式中 G ( x) 是伽马函数．当 n = n 整数时，上述的级数实际上是从 k = n 的项开始，即
¥
J n ( x ) = å (-1) k
k = 0
1 x ( ) n + 2 k , ( n ³ 0) k !( n + k )! 2
14.3 贝塞尔函数的基本性质
14.3.1 贝塞尔函数的递推公式
由贝塞尔函数的级数表达式（14.2.1）容易推出
d Jn ( x) J ( x ) [ n ] = - v +1 v dx x x d v [ x J v ( x)] = x v J v -1 ( x ) dx

2
c2k 2
22
k
1 (k
)
c2k
2
(k 1)
由此可递推出：
c2k
22 k
1
k
c2k 2
1
22 k k
22
k
1
1 k
1
c2k 4
=
22
k
1
k
22
k
1
1 k
1
......
22
1
1
1
c0
c2k
22k k !(k
)(k
(1)k
1)...(
2)(
1)
第十一章 柱函数
引言：柱函数的引出（见第八章）
（1）在平面极坐标系中，对亥姆霍兹方程进行分离变量： x kr
2u(r, ) k 2u(r, ) 0 u(r,) R(r)()
r
d dr
r
dR dr
k2r2
R0
（2）在柱坐标系中，对拉普拉斯方程进行分离变量：
2u(r,, z) 0
u(r,) R(r)()Z (z)
k 0
(1)k
k !(k
1)
x 2
2k
y(x) cn xn n0
阶贝塞尔函数
（2）当 时，采用类似的方法，可以得到贝塞尔方程的另一个特解：
y2 (x)
Jv (x)
k 0
(1)k
k !(k
1)
x 2
2k
讨论：
(a) 当不是整数时，J (x) 与 J- (x) 线性无关。
因为当 x 0 时， J (0) 的值有限，而 J- (0) 的值则为无穷，因此 J (x) / J- (x) 不可能是一个常数。 例如：当取 或 时，有：