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数学物理方法2课件：第十三章-柱函数-渐近表示式

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数学物理方法课件-12 柱函数

数学物理方法课件-12 柱函数
综上，关于v的定解问题的解为
A
I0
(
)scionszz

§12.4 球贝塞尔方程
而
nl (x)

2
x
N l

1 2
(
x)
j(l1) (x)

2x
J
(l

1 2
)
(
x)
第十二章 柱函数
§12.1 三类柱函数
一、 三类柱函数
二、 递推公式
特例: 取 0有
d dx
Z
0
(
x)

Z1
(
x)
§12.2 贝塞尔方程 一、 贝塞尔函数与本征值问题
R(x) C1Jm (x) C2 Nm (x) 若考虑R(x)在x 0处有有限解，而x 0时，Nm (x) ，故该项 需略掉，则
得证.
由母函数关系式可推得
eixcos


in Jn (x)ein J0 (x) 2 in Jn (x) cosn

n
n1
eixsin

J n (x)ein

n



J0 (x) 2 J2m (x) cos2m 2i J2m1(x) sin(2m 1)

0
m0
iii) 0
R() EJ0 ( ) FN0 ( )
由R(0)有限知，F 0，则
R() EJ0( )
代入R(0 ) 0得
(0) n


xn(0)
0
2
,
xn(0)为J0 (x)的第n个零点.
六、Jn (x)的母函数

《类柱函数》PPT课件

《类柱函数》PPT课件

2
0
/ 4)
，因此，研究圆柱
外部问
题时，两个线性独立特解如
J
v
(
x)
和
N
v
(
x)
，或者
H
(1) v
(
x)
和
H
( v
2
)
(
x)
都要保留，不可任意舍弃两者之一。
（三）递推公式
由贝塞尔函数的表达式
J (x)
(1)k
k 0
1
k !( k
( x ) 2k 1) 2
d
dx
[
J
v (x) xv
]
d dx
[ (1)k
xJ1(x) 2[xJ1(x) J1(x)dx]
xJ1(x) 2[xJ1(x) J0(x)dx]
xJ1(x) 2J0 (x) c
11.2 贝塞尔方程
（一）贝塞尔函数和本征值问题 在第九章柱坐标下拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程分离变
数的 0， 0 ， 0 的情况。
对于圆柱内部的问题，如果柱侧有齐次的边界条件，则
0应予以排除。因为 0 引至虚宗量贝塞尔方程，
其解恒不为零。
因此，只需要考虑 0 情况。其中 0 比较简单，这 里着重介绍 0 的情况。
在此情况下， R( ) 是 m 阶贝塞尔方程的解。由于圆柱轴
上的自然边界条件，决定了只能取非负阶的贝塞尔函数
R() Jm(x) Jm( ) （m 0 ） （12.2.1）
当 x 0 时，
J0 (x) 1, Jv (x) 0, Jv (x)
Nv
(
x)
,
Nm
(
x)
因此，如果所研究的区域包含 x 0 在内，往往要排除

大学物理下册课件第十三章 电磁感应

大学物理下册课件第十三章 电磁感应

（1）线圈A中产生的感应电动势εi及感生电流Ii 。 （2）求2秒内通过线圈A的感生电量qi 。
解：螺绕环内磁场B=μ0nI
A
（1）因为磁场集中于环内，所以 通
过线圈A的磁通也是通过螺绕环截面S
的磁通。即Φ=BS=μ0nIS 线圈A中的感应电动势为
i NddtN0nSddIt =1.26×10-3（V）
Ii
i 1d
R Rdt
2020/7/16
10
从t1—t2时间内通过回路的感生电量为：
t2
t2 1d
2 1
1
q it1Iid tt1Rdd t t 1R dR (12)
其中，Ф1、Ф2分别是t1、t2时刻通过回路所包围面积的磁
通量。
qi R1(1 2)
上式表明，在一段时间内通过导线截面的电量与导线所包围 的磁通变化过程无关，只与总量有关。
O
方法二、用切割磁力线数求
单位时间棒扫过的面积为 S 1L2
2
单位时间切割磁力线数为 BS1BL2
2
∴
2020/7/16
i
1 BL2
2
19
方法三、用法拉第电磁感应定律求: 任意时刻棒扫过的面积的磁通为
BSB1L2
2
v
B⊙ εi
A
ω
dl
i d d t1 2B2d L d t1 2B2 LO
2020/7/16
注意
由于线圈中插入铁芯后，线圈中的感应 电流大大增加，这说明感应电流的产生是因 为磁感应强度的变化。
2020/7/16
4
几个典型实验：
(1)
A
(2)
B
v
i
B
x

数学物理方法概论课件

数学物理方法概论课件
(1) ()x (x) (x) (2) (x y) xy (3) ( )x xx
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2） 存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。

数学物理方法第二章 第二讲PPT课件

数学物理方法第二章 第二讲PPT课件

，设
L
为：
|
z
|
2a
(a 0) .
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
z 3a z2 a2
在积分区域
L
内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ，l2 仅含
奇点 z2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西
积分公式有
21
1
1
I
dz
(za)(z3a)dz (za)(z3a)dz
L(z2 a2)(z3a) l1
za
l2
za
1
1
2πi(za)(z3a) |za 2πi(za)(z3a) |za
2πi 1 2πi 1 πi 2a(2a) (2a)(4a) 4a2
22
【解法 2】 若将上式逆时针方向转化为顺时针方向
1
积分，则被积函数 f (z) z2 a2 在 L 外部仅有一个奇点
z 3a
z
3a ，且当|
z
|
时，
f
(z)
z2
1 a2
0
，满足无界区域
的柯西积分公式条件． 故有
I
dz
dz
L (z2 a2 )(z 3a)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
L
(z2 a2) (z 3a)
dz
2πi
z2
1
a2
|z3a
πi 4a2
23
特别说明：显然当积分区域内部的奇点 多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域 的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计 算．
| z | 时 f (z) ；0
（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进

渐近方法—函数的展开课件

渐近方法—函数的展开课件

洛朗级数的渐近方法
洛朗级数的定义
洛朗级数是一种特殊的幂级数， 其各项的次数是负整数。洛朗级
数在复分析中有广泛的应用。
洛朗级数的性质
洛朗级数具有收敛性，即当x的 值在一定范围内时，级数的和是 有限的。此外，洛朗级数还具有 可积性，即其积分也是洛朗级数
。
洛朗级数的应用
洛朗级数在求解微分方程、积分 方程、概率论和复变函数等领域 有重要的应用。此外，洛朗级数 在量子力学和场论等领域也有广
渐近方法的定义和重要性
定义
渐近方法是一种们可以更好地理解函数在极限情况下的性质。
重要性
在数学和物理中，许多问题涉及到函数在极限情况下的行为。渐近方法为我们 提供了一种有效的工具来研究这些问题，帮助我们更好地理解数学和物理中的 基本概念和原理。
欧拉级数展开
欧拉级数展开是另一种函数展开的方法，它可以将一个函 数表示为无穷级数，其中每一项都是该函数的幂次与系数 的乘积。与幂级数展开不同的是，欧拉级数展开的每一项 都包含一个因子，该因子是函数的导数的阶乘。
欧拉级数展开的优点在于它可以处理一些具有特定性质的 函数，例如多项式和三角函数。此外，欧拉级数展开还可 以帮助我们解决一些积分方程和微分方程。
简单性
与直接求解函数表达式相比，渐 近展开更简单，易于理解和计算 。
渐近展开的优点和局限性
• 适用性：对于某些难以直接求解的函数，渐近展开可以提 供有效的近似解。
渐近展开的优点和局限性
近似误差
渐近展开只能提供函数在极限附近的近似值，无法提供精确解。
收敛性
某些情况下，渐近展开可能不收敛或收敛速度很慢，导致近似结果 不准确。
02
CATALOGUE
渐近展开的基本概念

数学物理方法柱函数

数学物理方法柱函数数学物理方法柱函数是一种在数学和物理学中常用的数学函数。

它的定义为：柱函数是一种特殊的函数形式，它可以用来描述柱状物体的形状和特性。

在数学上，柱函数通常表示为函数关系式的形式，其中横坐标表示自变量，纵坐标表示函数值。

柱函数在物理学中有广泛的应用，特别是在描述柱状物体的形状、体积、质量分布以及强度等方面。

通过柱函数可以求得柱体的各种属性，如体积、表面积、重心位置等，从而帮助我们更好地理解物体的性质和特性。

柱函数的形式可以有多种，其中最常见的是圆柱函数和长方柱函数。

圆柱函数表示为：V = πr^2h其中V表示圆柱的体积，r表示底面半径，h表示圆柱的高度。

这个公式告诉我们，圆柱的体积等于底面积乘以高度。

长方柱函数表示为：V = lwh其中V表示长方柱的体积，l表示长方柱的长度，w表示长方柱的宽度，h表示长方柱的高度。

这个公式告诉我们，长方柱的体积等于底面积乘以高度。

通过柱函数，我们可以计算柱状物体的体积，从而帮助我们了解它们的大小，并可以与其他物体进行比较。

此外，柱函数还可以帮助我们计算柱形物体的表面积，使我们能够更好地了解它们的表面特性。

此外，柱函数还可以用于求解物体的质心位置。

在物理学中，质心是指一组粒子的平均位置，其坐标可以通过计算柱函数的积分来求得。

例如，对于一个均匀分布质量的圆柱，质心的坐标可以通过以下公式求得：x = (1/2)ry = (1/2)hz = 0其中x，y和z分别表示质心在坐标系中的坐标，r表示底面半径，h表示高度。

通过这些公式，我们可以计算出物体的质心位置，并了解物体的平衡状态和运动情况。

总结起来，数学物理方法柱函数是一种常用的数学函数，用于描述柱状物体的形状和特性。

它在求解物体体积、表面积和质心位置等方面发挥着重要的作用，帮助我们更好地理解物体的性质和特性。

高中物理大一轮复习 第十三章 物理思想方法回放(十三)讲义课件 大纲人教版


B．副线圈输电线等效电阻 R 上的电压增大
C．通过灯泡 L1 的电流减小
D．原线圈中的电流增大
整理课件
解析 由于输入电压不变且原副线圈匝数不变，所以 S 接通 时，理想变压器副线圈 M、N 两端输出电压不变，负载总电 阻变小，由欧姆定律 I＝RU总2知，流过 R 的电流增大，电阻上 的电压降 UR＝IR 增大；副线圈输出电流增大，根据输入功 率等于输出功率，即 I1U1＝I2U2 得原线圈输入电流 I1 也增 大．UMN 不变，UR 变大，所以 UL1 变小，流过灯泡 L1 的电 流减小． 答案 BCD
制约关系．电压是原线圈决定副线圈，电流和功率是副线圈 决定原线圈．解题中应牢记制约关系，不可颠倒．
整理课件
例 3 如图 2 所示，理想变压器的副线圈 上通过输电线接有两个相同的灯泡 L1 和 L2，输电线的等效电阻为 R.开始时，开关 S 断开，当 S 接通时，以下说法正确的是
()
图2
A．副线圈两端 M、N 的输出电压减小
整理课件
将 u＝85 V 代入上式得：
2πft1＝π6，所以 t1＝6100 s
2πft2＝56π，所以 t2＝1210 s
Δt＝t2－t1＝1510 s＝23×1100 s
即霓虹灯在半个周期内，有23的时间被点亮，13的时间不发光，
点亮时间为1150 s.
答案
1 150
s
整理课件
例 2 一个长为 L1、宽为 L2 的单 匝线圈，电阻为 r，在磁感应强
整理课件
例 4 如图 3 所示，电源电压为 U，原、副线圈分别接入电阻 相同的电阻 R.原、副线圈匝数比为 2∶1，求副线圈两端的 电压．
图3
整理课件
整理课件

数学物理方法——柱函数


(0 n
)
)
4
1 2
b
2
J
2 1
(
x
(0 n
)
)
x3J1
+
2x2J0
−
4 xJ
1
x
( n
0
)
0
=
(
x
(0 n
)
2b2
)
4
J
2 1
(
x
(0 n
)
)
[(
x
(0 n
)
)3
−
4
x
(0 n
)
]
J
1
(
x
(0 n
)
)
有界和第二类边界条件
本征值问题为：
⎪⎧ ( ρ R ' )' −
⎨
m2 ρ
R
+
k 2ρ
R
=
0,
fn
Rn (ρ ) =
∞ n =1
fn
J 0 ( xn(0) ρ / b)
∫ f n
=
1
(
N
0 n
)
2
b ρ 2Rn (ρ )ρdρ
0
∫ ∫ =
b4
(
x
(0 n
)
)
4
(
N
0 n
)
2
x
( n
0
)
x 3 J 0 ( x ) dx
0
x3J0dx = x3J1 + 2x2J0 − 4xJ1
[ ] =
b4
(
x
♦ 根据边界条件可以得出本征值：
kn
=

数学物理方法概论之——渐进方法


§ 3 渐近方法
3) 量级小于
若x x0时，f (x) / g(x) 0，则记f (x) o(g(x))
例： x 0, tan(x3) o(x2 ),
x , 对n 0, xn o(ex )
f (x) O(1) 的意义是说 f (x)有界，而f (x) o(1) 义是说f (x)趋于零。
§ 3 渐近方法
获得积分 渐近展式的
一、 逐项积分法： 瓦特森引理：设
方法有两种 (1)F (t) f (ta )tb , a 0,b 1;
(1)把被积函数 (2) f (x)对 | x | 有麦克劳林展式；
的一部分展 （3）t 时, 存在常数M 和C,| F (t) | Mect ;
§ 3.2 渐近展开
§ 3 渐近方法
六、 幂函数的展
式
wn (z) (z z0 )n, n 0,1, 2, , 在D 中，
若当z → z0,对每一个N 有：
N
f (z) an (z z0 )n o[(z z0 )n ]
N
n0
则： an (z z0 )n 是D中，z z0 时，f (z)
的
n0
一个渐近
幂级数展式，f (z记) 为 N an (z z0 )n z z0 n0
其中一种重要的特殊情形是在D中，当z0 时，如
果
f (z)

N n0
an zn
o(zn )
则在D中，当 z 时
f
(z)
~
N n0
an zn
§ 3.3 渐近展式的运算
例： n , Pn (x) O(xn ),
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ν
Jν ( x) + Jν′ ( x) = − Jν +1 ( x)
π
2
由此可以推出： 2 由前面的讨论，可以知道：当ν =1/ 2时，有： J1/2 ( x) = 这样可以得到： 2 这样，再由前面得到的递推关系，有： A0 = A1/2 = 所以最后得到 所以最后得到： 2 ⎛ νπ π ⎞ Jν ( x) ≈ sin ⎜ x − − ⎟ πx 2 4⎠ ⎝ 2 A1/2 = 2 2 2 π⎞ ⎛ sin x = cos ⎜ x − ⎟ πx πx 2⎠ ⎝ , θ1/2 = − Aν =A0 , θν = θ 0 −
d 2 y 1 dy d ⎛ ν2 ⎞ + + ⎜1 − 2 ⎟ y = 0 2 dx x dx ⎝ x ⎠
⎛ 1 − 4ν 2 ⎞ x → ∞ g ′′( x) + g ( x) = 0 = g ′′( x) + ⎜1 + g ( x ) 0 ⎟ x2 ⎠ ⎝
y ( x) ∼ 1 cos ( x + θν ) x
其中 θν 为相角，是待定的常数，但与 ν 有关。
Jν ( x) ∼
1 cos ( x + θν ) x
x 其中Aν 及θν 是两个待定的常数。将上式两边再对x求导，可以得到 x A ≈ − ν sin ( x + θν ) x 另一方面，由递推关系 Jν′ ( x) ≈ − Aν sin ( x + θν ) − 1 Aν cos ( x + θν ) 2x x
3. 贝塞尔函数的渐近表示式 主要是讨论当变量 x→ ∞ 时，柱函数的的渐近行为。先看一下贝塞尔 函数的渐近行为。令
y ( x) = g ( x) / x y ′ = g ′ / x1/ 2 − g / ( 2 x 3/2 ) y ′′ = g ′′ / x1/ 2 − g ′ / x 3/ 2 + 3 g / ( 4 x 5/2 )
Jν ( x) ≈
Aν
cos ( x + θν )
d −ν −ν ⎡ ⎤ x J ( x ) = − x Jν +1 ( x) ν ⎣ ⎦ dx 可以得到： x 将 上面Jν ( x)及 Jν′ ( x)的渐近式代入，则有 Aν sin ( x + θν ) ≈ Aν +1 cos ( x + θν +1 ) 由此可以得到递推关系： Aν +1 =Aν , θν +1 = θν − −
νπ
π
π
π
, θ 0 = θ1/2 +
π
4
=−
π
4
柱函数的的渐近行为 :
x→∞
2 Jν ( x) ≈ cos ( x −νπ ν / 2 − π / 4) πx
Nν ( x) ≈ 2 sin ( x −νπ / 2 − π / 4 ) πxHν(1) ( ຫໍສະໝຸດ ) ≈Hν(2) ( x) ≈
2 i ( x −νπ /2−π /4) e πx
2 − i ( x −νπ /2−π /4) e πx
可见：汉克函数的渐进式为 一个衰减的平面波 个衰减的平面波
应用： （1）分析电磁场、温度场等物理量空间分布的渐近行为； （2）分析电磁波（包括光波）色散行为。