贝塞尔函数诺伊曼函数

第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !(
k
1)
( x ) 2k 2
式中 ( x) 是伽马函数．满足关系
（1.2.1）
( k 1) ( k )( k 1) ( 2)( 1)( 1)
H (1)
H(2)
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
( (
x) x)
（1.1.9）
分别将
H (1)
,
H(
2
)
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x
A
H (1)
(
x
)
BH(2) ( x)
（1.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
x 和
可以为任意数．
1.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(1.1.6)的通解为
y( x) AJ ( x) BJ ( x) （1.1.7）
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
Jn (x)
(1)k
k n
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x)n2l ,
l0
l !(n l 1) 2

cos(x sin m )d
2
(11)
——贝塞尔函数常用的积分形式
(三) 贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表示 汉克耳函数
从贝塞尔函数的第一种积分表达式出发，利用最陡下降
法，可以得到贝塞尔函数的渐近表达式。为此，将贝塞尔函
数第一种积分表示写为
Jm (x)
g (t )e xh (t ) dt
C
[g(t)
xv
(1)k ( x )2k v1
k0 k !(k v) 2
xv Jv1(x)
与此类似，以 x – 乘 (9-1-2) 式，然后求导，可得到
d
dx
xv Jv
xv Jv1(x)
将以上两式展开，经化简分别得到
J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) 将上两式相加，得到
贝塞尔方程的另一个独立解的形式为：
w2 (z) zm dk zk AJm (z) ln z k 0
(7-3-15)
但是，确定以上解中的系数是一件很麻烦的事情。有
人采用一种巧妙的办法确定了贝塞尔方程中当 为整数或
零时的独立解。具体方法为：取 J (x) 与 J– (x) 的适当的
线性组合，使得非整数 趋于整数 m 时，该线性组合成为
(x)
k 0
(1)k k !(k v
( x)2kv 1) 2
J (x) 称为 阶贝塞尔函数。
贝塞尔函数 J0(x)、J1(x)、J2(x)… 的图像
当 为整数或零时，J (x) 与 J– (x) 不是线性独立的，
它们之间有以下关系
Jm (x) (1)m Jm (x) (m 0,1, 2, )

C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B p(z)为(柱)贝塞尔函数。

有第一类柱贝塞尔函数J p(z)p为整数n时，J-n=(-1)n J n；p不为整数时，J p与J-p线性无关。

第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N-n=(-1)n N n。

第三类柱贝塞尔函数H p(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数H p(1)(z)= J p(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数H p(2)(z)= J p(z)-j N p(z)大宗量z小宗量z 0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668J n(z)的母函数和有关公式函数e z(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=e j ，t= je j 等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式J n(z)的零点 niJ’n(z)的零点γni半整数阶贝塞尔函数J n+1/2(z)的零点χnpJ'n+1/2(z)的零点χ'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(j z)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为I p(z)=j-p J p(j z)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。

K p(z)=(π/2)j p+1H p(1)(j z)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。

大宗量z小宗量z 0（0210）《古代散文》复习思考题一、填空题1．甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。

2．深于比兴、，是先秦散文的突出特点。

3．《》长于描写外交辞令。

4．《国语》的突出特点是长于。

5．“兼爱”、“非攻”是思想的核心。

6．先秦诸子中，善养“浩然之气”。

7．先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言”的观点。

8．荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。

9．《鵩鸟赋》是的骚体赋。

10．枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。

题目：贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。

它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。

其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。

第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。

最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差；一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式目录一、起源 (1)（一）贝塞尔函数的提出 (1)（二）贝塞尔方程的引出 (1)二、贝塞尔函数的基本概念 (4)（一）贝塞尔函数的定义 (4)1. 第一类贝塞尔函数 (5)2. 第二类贝塞尔函数 (7)3. 第三类贝塞尔函数 (10)4. 虚宗量的贝塞尔函数 (10)（二）贝塞尔函数的递推公式 (11)（三）半奇数阶贝塞尔函数 (13)（四）贝塞尔函数的零点 (14)（五）贝塞尔函数的振荡特性 (16)三、 Fourier-Bessel级数 (16)（一）傅里叶-贝塞尔级数的定义 (16)（二）将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 (17)四、贝塞尔函数的应用 (24)（一）贝塞尔函数在光学中的应用 (24)（二）贝塞尔函数在调频制中的应用 (26)附录 (30)一、起源（一）贝塞尔函数的提出随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。

在许多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。

它们反映了未知函数关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。