第十一章 柱函数

阶贝塞尔方程
二 阶贝塞尔方程的解
• x 2 y xy ( x 2 v 2 ) y 0 两个线性无关的解：
y( x) C1 J ( x) C2 J ( x),
v 整数或半整数
• x 2 y xy ( x 2 m 2 ) y 0 两个线性无关的解：
d x n J n ( x) x n J n 1 ( x) dx d n x J n ( x) x n J n1 ( x) dx 2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x) x J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
例1 求下列微积分
(1)
d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx 2n N n 1 ( x) N n 1 ( x) N n ( x) x ' N n 1 ( x) N n 1 ( x) 2 N n ( x)
xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
J n 1 ( x) J n 1 ( x)
2n J n ( x) x
n 1


J n ( x)
(1) x m 0 m! ( n m 1) 2
m
n2m
J ( x) cos J ( x) N n ( x) lim n sin
性质4 初值

s1 k w1 z ak z z0 . k 关的特解: s2 k w z bk z z0 . 2 k
2
定 理 : 如 果 函 数 p z 以 z0 为 不 高 于 一 阶 的 极 点 , 且
或者
y x C1 J v x C2 N v x .
14
1 x J v x 1 v k 1 2 k 0
k

v 2k
,
J v x cos v J v x Nv x ； sin v N m x lim N v x . （m 取整数）

在柱坐标系下对 Laplace 方程和 Helmholtz 方程分离变量 得到 Bessel 方程:
d R dR 2 x x x 2 dx dx
2
2
m2 R 0. x


球坐标系下对 Helmholtz 方程分离变量得到球 Bessel 方程:
2 d R dR 2 2 2 r 2 r k r l l 1 R 0. 2 dr dr
4
m 阶 Bessel 方程
x y '' xy ' x m y 0
2 2 2
首先将方程变形为标准形式：
1 y '' y ' 1 m 2 /x 2 y 0 x
易 知
z0
分 别 是 p z 1/ z 和
q z 1 m2 / z 2 的 一 阶 和 二 阶 极 点 。 所 以
1 s l . 2
y x C1 J

C. S. Wu ( )
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
1
Hankel
2
Bessel Bessel
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
10.1 Bessel
−−−
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
(1) (2) (2)
(1)
Hankel Hankel Bessel
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
Hν (z ) Hν (z ) Hν (z ) Hν (z )
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
10.1
∂ 2u 2 1 ∂ − c ∂t2 r ∂r u r=0 u

m Am cos m Bm sin m
m 0,1, 2,
Ce z De z 0 Z z C z D 0 C cos z D sin z




0
E J m F Nm 0 R m E m F m 0 E Im F Km 0




u , , z Rm Z z m
二、柱函数：

m
1、分类： k 第一类柱函数：J m x = 1
k 0
1 x k ! m k 1 2
m2k
二、柱函数：
第二类柱函数：
二、柱函数： M=max(u(:)); m=min(u(:)); axis([min(x(:)) max(x(:)) min(y(:)) max(y(:)) m M]) caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围 s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 hold on surf(x,y,u,v) %%画表面图 hold off colormap(hsv(64)) %%画色轴
二、柱函数：
%%如果输入变量数大于两个，即指定了函数值的范围，就将 不需要的函数值去掉. if nargin>2 %%指令nargin是输入的变量数目 k=find((abs(w)>B)|isnan(abs(w))); %%找出绝对值大于B或者为非数的函数值的元素足标. if length(k)>0 %%如果存在这样的元素，就要作如下处理. u(k)=B*sign(u(k)); %%将范围以外的函数值实部都设为B v(k)=zeros(size(k)); %%将范围以外的函数值虚部都设为0 v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 v(k)=NaN*ones(size(k)); %%设为非数就可以不对它们作图 end end