活动坐标系以极坐标系下任意点P(r,θ)为原点，建立一个活动坐标系，该坐标系的两个主方向分别为径向(radial)和横向(transverse)。
径向与OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向一致。
横向与径向垂直且朝向θ增加的方向。
该坐标系下的任一点或物理量可以通过主方向上的两个单位矢量（基）表示出来。
例如，假设P是一运动质点，则它的速度和加速度可以分解为v P=v r e r+vθeθ,a P=a r e r+aθeθ其中e r是径向单位矢量，eθ是横向单位矢量。
e r的直角坐标表示可以通过对OP⃗⃗⃗⃗⃗ 单位化获得。
e r=OP⃗⃗⃗⃗⃗|OP|=(cosθ,sinθ)而eθ的直角坐标表示可将e r逆时针旋转90°获得。
eθ=(−sinθ,cosθ)可以看出，{e r,eθ,P(r,θ)}刚好也是一个右手系。
并且该活动坐标系是与r的取值无关的（只要r≠0）。
所以当点P径向运动时，活动坐标系不发生改变；只有当点P有横向运动分量时活动坐标系才会发生改变。
e r,eθ关于θ的导数ddθe r=(−sinθ,cosθ)=eθddθeθ=−(cosθ,sinθ)=−e r极坐标系下的速度方法一设质点P(r,θ)的运动方程为{r=r(t)θ=θ(t)。
以时刻t为起点，建立活动坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}，则经过∆t时刻质点运动到P′=[r(t+∆t)−r(t)]e r+[θ(t+∆t)−θ(t)]r(t)eθ因此，在时刻t，质点速度在坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}下可以表示为v P=lim∆t→0PP′∆t=ṙe r+rθeθ其中，径向速度为ṙ，横向速度为rθ。
方法二以r P代表质点P的坐标。
r P(t)就代表了质点P的运动方程。
由于r P(t)=(r(t)cosθ(t),r(t)sinθ(t))=r(t)e r(t)所以d dt r P(t)=ddt(r(t)e r(t))=(ddtr(t))e r(t)+r(t)(ddte r(t))其中d dte r=de rdθ·dθdt=θeθ这一项可以理解为由质点位置矢量的方向(e r)改变所引起的。
