§16坐标变换与参数方程

坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换：//,(0),(0)x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩2、 ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。

[注] ：①一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。

极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角，②负极径的规定：在极坐标系中，（ρ-， θ）与（ρ，θ）关于原点对称。

4、极坐标与直角坐标互化公式：)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x xya y x y x θθρθρρ 5、球坐标系：空间点P 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 的变换关系：2222sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕθϕθ⎧++=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩；6、柱坐标系：空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ的变换关系为：cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；7、参数方程化为普通方程，常见方法有三种：（1）代入法（2）三角消元（注：范围易错） 圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以)2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

第十六章 坐标变换与参数方程§16.1 坐标轴平移课时安排：第一课时：学习坐标轴平移的概念及坐标轴平移的坐标变换公式。

第二课时：学习用坐标平移的坐标变换公式化简曲线的方程。

课时详解：第一课时课前预习：（题目个数不限，尽量用填空题）阅读课本P 38~39，并思考以下几个问题：1.小明和小丽两人的答案一样吗？ 。

2.坐标轴平移的坐标变换公式是 。

3.坐标轴平移变换公式中的()()(),,00,,,,,x y x y x y 分别代表什么？4.平移坐标轴，把坐标原点移至O ’（1,2），则下列点在新坐标系中的坐标是什么？A （3，4）B （-2，3）C （0，-5）D （-3，-4）课堂训练：（4-5题）1、 平移坐标轴，点（-1，-3）在新坐标系下的坐标是（-2，1），求新坐标原点在原坐标系中的坐标。

2、平移坐标轴，将坐标原点移至O’（-1,3），则新坐标系中的点（0,5）在原坐标系下的坐标是什么？3、将坐标系xoy向左平移2个单位，再向下平移3个单位后点A的坐标是（3，8），求平移前点A的坐标。

4、点M、N在坐标系x’o’y’中的坐标为（-2,5），（1,4），已知点M在坐标系xoy中的坐标为（3，1），求点N在坐标系x’o’y’中的坐标。

课后巩固：（6—8题）1.平移坐标轴，把坐标原点移至O’（1,2），则点（3，4）在新坐标系中的坐标为。

2.平移坐标轴，点（-3,2）在新坐标系中的坐标为（0，4），则坐标原点被移至。

3.平移坐标轴，点（3,5）在新坐标系中的坐标为（1，1），则移轴公式为。

4.平移坐标轴，把坐标原点移至O’（-1,3），则点（3，-4）在原坐标系中的坐标为。

5.已知坐标系xyz 是原坐标系xyz 平移后得到的一个新坐标系，新坐标原点O ’在坐标系xyz 中的坐标是（1,2），先说出图中A ，B ，C ，D 在旧坐标系中的坐标，再说出其在新坐标系中的坐标。

6.求出第5题中A ，B ，C ，D 在旧坐标系中的坐标后，利用坐标平移的坐标变换公式，求出它们在新坐标系中的坐标。

坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;(ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ:222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆=2sin (0)r ρθθπ≤<圆心为(),r π,半径为r 的圆32cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π-,半径为r 的圆=2sin (2)r ρθπθπ-≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和 过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.5.极坐标方程与直角坐标方程之间的互化（1）直角坐标方程 极坐标方程 : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）极坐标方程 直角坐标方程：222cos sin tan x y x y y x ρθρθρθ→⎧⎪→⎪⎪→+⎨⎪⎪→⎪⎩二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

坐标系与参数方程知识点一、极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化:),(θρP 与直角坐标),(y x P222y x +=ρ θρcos =x θρsin =y xy =θtan 二、参数方程1.经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线)(tan :00x x y y l -=-α的参数方程为(直线参数方程标准型:定点和倾斜角)t t y y t x x (,sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα为参数) 特别注意: ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .2.圆222)()(:r b y a x C =-+-(圆心为),(b a C 半径为r )的参数方程为ααα(,sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数) 3.椭圆1:2222=+by a x C 的参数方程为ϕϕϕ(,sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为参数) 4.抛物线)0(2:2>=p px y C 的参数方程为t pt y pt x (,222⎩⎨⎧==为参数)三、直线l 与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A 问题 ①将直线l 化为参数方程的标准型(过定点0M 和倾斜角);②曲线C 使用普通方程;③将直线l 的参数方程带入曲线C 的普通方程,得到关于t 的一元二次方程02=++c bt at ;④设),(),,(2211y x B y x A 对应的参数分别为21,t t ,由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c t t ab t t 2121 (021>⋅t t ,21,t t 同号,021<⋅t t ,21,t t 异号,再根据21t t +的正负性来判断) (1)若求||||00BM AM +,则求出21,t t ,则||||||||2100t t BM AM +=+ (根据21,t t 的正负性去掉绝对值即可)(2)若求||||00BM AM ⋅,则||||||2100t t BM AM ⋅=⋅ (3)若求弦长||AB ,则21221214)(||||t t t t t t AB ⋅-+=-=(4)若0M 为线段AB 的中点,求直线l 方程令021=+t t ,即可求出直线l 的斜率,带入直线l 的点斜式方程)(tan 00x x y y -=-α,化简记得直线l 方程.四、有关距离问题1.常规方法(化为普通方程,利用两点的距离公式或者弦长公式求解):212212)()(||y y x x AB -+-=, )4)(1||212212x x x x k AB -++=2.极径思想:当直线通过原点时,直线的倾斜角即为极角,带入极坐标方程即可求出极径.3.直线参数方法思想(要注意直线参数方程必须是通过倾斜角和定点所得): ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .。

§16.1坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为1)1()2(22=-+-y x ．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是12121=+y x ．图2-1动脑思考 探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有OP = x i +y j ，1O P = x 1i +y 1 j ， 1OO =x 0i +y o j ，因为 11OP OO O P =+， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节）§16.1坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】 （接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式⎩⎨⎧+=+=.,1010y y y x x x （2.1） 或 ⎩⎨⎧-=-=.,0101y y y x x x （2.2） 【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识 典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至1O （2，－1），求下列各点的新坐标： O (0,0)，A (2,1)，B (－1,2)，C (2,－4)，D (－3,－1)，E (0,5)． 解 由公式(2.2)，得⎩⎨⎧+=-=.1,211y y x x 将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O （－2，1），A （0，2），B （－3，3）， C （0，－3），D （－5，0），E （－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆042422=--++y x y x 的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得9)1()2(22=-++y x ．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点1O （－2，1），由公式（2.1）得112,1.x x y y =-⎧⎨=+⎩ 将上式代入圆的方程，得 92121=+y x ． 这就是新坐标系111x O y 中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识 强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至1O （－1，－3），求下列各点的新坐标： A （3，2），B （－5，4），C （6，－2），D （1，－3），E （－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程226420x y x y ++-+=，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4§16.3 参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选 为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着与x轴成60º角的方向，以10 m/s的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60º的直线（x 轴上方的部分）．容易求得其方程为01y x -=>（）．【想一想】为什么要附加条件1x >？ 动脑思考 探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t 的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M ),(y x 的坐标与时间t 的关系，得10c o s 601,(0)10s i n 60,x t t y t ⎧=+⎪>⎨=⎪⎩即51,(0).x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩ 时间t 确定后，点M ),(y x 的位置也就随之确定. 【想一想】为什么要附加条件0>t ？由此看到，曲线上动点M (x ，y )的坐标 x 和y ，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组⎩⎨⎧==).(),(t y y t x x （2.5） 来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t 叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f (x ，y )＝0叫做普通方程．（转下节）M§16.3 参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角θ为参变量，则cossin x ry rθθ=⎧⎨=⎩为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x 与y 的对应值，以每一数对（x ，y ）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程32(R)x t t y t⎧=∈⎨=⎩ 的图形．解 由于,t ∈R 所以x ∈R ．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：以表中的每对（x ，y ）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t 换为θsin ，那么，曲线的范围会不会发生变化？ 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P48练习/1-3；教材P49练习/1-3；教材P52/习题1-4 (3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．图2－7§16.3参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x或y的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．【课时安排】课时．【教学过程】动脑思考探索新知实际应用中，主要是将参数方程化为普通方程．其核心是消去参变量，常用的方法是加减消元法、代入消元法．巩固知识 典型例题例3 将下列参数方程化为普通方程．（1）1,3x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩；（3）51,(0)x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩． 解 （1）由11x t t x==得，代入3y t =，得3y x=． （2）由3cos x α=得22cos 9x α=， 由3sin y α=得22sin 9y α=． 将上面的两个等式两边分别相加，利用三角恒等式22sin cos 1αα+=，得229x y +=．【小提示】对于含有三角函数的参数方程，在利用加减消元法消去参数时，利用三角恒等式是经常使用的方法。

§16坐标变换与参数方程在平面几何中，我们经常需要进行坐标变换，以便更方便地处理问题。

坐标变换是将一个平面中的点通过一定的变换规则，映射到另一个平面上。

在这个过程中，我们需要确定一个坐标系，并定义好变换规则。

坐标变换可以分为线性变换和非线性变换两种。

其中，线性变换包括平移、旋转、缩放等操作，而非线性变换则包括平方、开方、幂等变换等操作。

下面以两个坐标系之间的线性变换为例，介绍坐标变换的基本概念和参数方程的应用。

设有两个坐标系：原始坐标系O-xy和目标坐标系O'-x'y'。

我们希望将原始坐标系上的点P(x, y)通过线性变换映射到目标坐标系上，得到P'(x', y')。

设线性变换的变换矩阵为：\[A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\]其中，a、b、c、d为实数，且ad-bc≠0。

对于任意一个点P(x,y)，它在目标坐标系中的坐标可以表示为：\[P'(x', y') = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\]展开得：\[x' = ax + by\]\[y' = cx + dy\]这就是坐标变换的基本形式。

在实际应用中，我们通常需要将参数方程转化为坐标方程。

参数方程是一种通过参数来表示平面上其中一曲线的方程形式，常用于描述曲线的弧长、斜率等性质。

假设曲线C的参数方程为：\[x=f(t)\]\[y=g(t)\]现在我们希望将该参数方程转化为坐标方程，即通过曲线上的点的坐标来表示该曲线。

我们可以通过将参数方程带入到原点O的坐标方程中，得到坐标方程的形式。

例如，设曲线C的参数方程为：\[x=t^2\]\[y=2t\]将参数方程带入到直线y=0的方程中，得到：\[2t=0\]解得t=0。

第十六章 坐标变换与参数方程1一、选择题01-16-02. 将坐标原点平移至()2,1o '，则点A (0，8)在新坐标系中的坐标是（ ）A.（－1，8）B.（－1，6）C.（－2，8）D.（－2，6）02-16-02. 将坐标原点平移至()1,3o '，则点A (2，5)在新坐标系中的坐标是（ ）A.（－1，4）B.（－1，5）C.（－1，7）D.（－2，8）03-16-02.已知点A 在坐标系xoy 中的坐标是（－3，1） ，在新坐标系y o x '''中的坐标是（4，2），则原点O 移到了点（ ）A.（1，3）B.（－7，3）C.（7，1）D.（－7，－1）04-16-02.已知点A 在坐标系xoy 中的坐标是（2，-1） ，在新坐标系y o x '''中的坐标是（-1，2），则原点O 移到了点（ ）A.（3，-3）B.（－3，3）C.（7，1）D.（－7，－1）05-16-02.平移坐标轴，将坐标原点移到()2,1-'o ，已知点A 在新坐标系y o x '''中的坐标是（－4，6），则点A 在原坐标系xoy 中的坐标是是（ ）A.（3，－4）B.（3，4）C.（－5，8）D.（5，－8）06-16-02.平移坐标轴，将坐标原点移到()3,2-'o ，已知点A 在新坐标系y o x '''中的坐标是（－1，5），则点A 在原坐标系xoy 中的坐标是是（ ）A.（3，－2）B.（1，2）C.（－5，7）D.（5，－7）07-16-02.平移坐标轴，把原点移到O ′（2，-1），则曲线x=2在新坐标系中的方程是（ ）A.0='xB.2-='xC.0='yD.2-='y08-16-02.平移坐标轴，把原点移到O ′（2，-1），则曲线y=-2在新坐标系中的方程是（ ）A.0='xB.2-='xC.1-='yD.2-='y09-16-02.平移坐标轴，新坐标原点是o '，化简曲线方程014222=+-++y x y x 为422='+'y x ，则新坐标原点o '在原坐标系中的坐标是（ ）A.（1，2）B.（－1，2）C.（1，－2）D.（－1，－2）10-16-02.平移坐标轴，新坐标原点是o '，化简曲线方程014222=++-+y x y x 为422='+'y x ，则新坐标原点o '在原坐标系中的坐标是（ ）A.（1，2）B.（－1，2）C.（1，－2）D.（－1，－2）11-16-02.将坐标轴旋转6π，则点（-6，0）在新坐标系中的坐标是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C.()3,33- D.()3,312-16-02.将坐标轴旋转6π，则点（0，1）在新坐标系中的坐标是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C.()3,33- D.()3,3 13-16-02. 将坐标轴旋转3π，则点（0，4）在新坐标系中的坐标是（ ） A.()2,32 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 C.()3,3- D.()1,214-16-02. 将坐标轴旋转045，则点()24,2在新坐标系中的坐标是（ ）A.（2，-3）B.（5，3）C.（3，5）D.（3，-2）15-16-02.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心16-16-02.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线17-16-02.设0>r ,那么直线θθθ(sin cos r y x =+是常数）与圆()是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置关系是（ ）A.相交B.相切C.相离D.视的大小而定 18-16-02.若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 19-16-02.下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ） A ．1(,2)2B ．31(,)42-C ．3)D ．3) 20-16-02.将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ）A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤二、填空题21-16-02.平移坐标轴，把原点移到点'(3,2)O -，则点（4，5）在新坐标系中的坐标是 。

坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P （x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P （x,y ）对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2。

极坐标系的概念（1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴;再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度)及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

注：(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;（ii ）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可。

但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2）极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ; 以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。

一般地，不作特殊说明时，我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为（0， θ）（θ∈R ）.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3。

极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角 坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ（0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y ： cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ：222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ，半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π，半径为r 的圆=2sin (0)r ρθθπ≤<圆心为(),r π，半径为r 的圆32cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π-,半径为r 的圆=2sin (2)r ρθπθπ-≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2）(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π，与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同。