坐标系与参数方程ppt课件

@《创新设计》
25
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
规律方法 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点. (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关 系式. (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
14
@《创新设计》
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
考点一 极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化 【例1－1】 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求
线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程； (2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面 直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2 交点的直角坐标.
18
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
【例
1－2】
(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为xy＝＝24csions
θ， θ
(θ
为参数)，直线
l
的参数方程为xy＝ ＝12＋ ＋ttcsions
α， α (t
为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
5
知识衍化体验
考点聚焦突破
过极点，倾斜角为 α 的直线 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 过点a，π2，与极轴平行的直线
6
@《创新设计》
θ＝α(ρ∈R) 或 θ＝π＋α(ρ∈R) ρcos θ＝a－π2<θ<π2

2．求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步建立适当的极坐标系； 第二步在曲线上任取一点P(ρ，θ)； 第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式； 第四步用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程； 第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程．
设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，直线l过点P且与极 轴所成的角为α，求直线l的极坐标方程．
所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利 用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的 问题．
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1、⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式； (2)联立两圆方程求交点或两圆方程相减均可求
1．解决该类问题时，要注意变换时点的坐标之间的对应 关系．
2．平面坐标系中几种常见变换 (1)平移变换
在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)， 向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x， y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示为
(2)伸缩变换
一般地，由
所确定的伸缩变换，是按伸
缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当
0<k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，
P′(x′，y′) 是变换后的点)．
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换
后的图形．
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.
直线、圆和圆锥曲线的 圆、椭圆的参数
参数方程
摆线在实际中的 的转化.

选修4-4 坐标系与参数方程
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程
2.3 直线的参数方程
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
一 提出问题
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
x y
x0 y0
t
cos
（t为参数，
t sin
为常量）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
思考：直线参数方程中的 t 的几何意义到底是什么？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张P3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线l
设直线任一点M (x, y),
M 到M 0的距离d M 0M 向量M 0M
直线的参数方程的其他形式
x y
x0 y0
at bt
t 没有明显的几何意义
化为普通方程 y y0 b tan

考点三：运用坐标系解决实际问题
01
02
总结词：能够运用坐标 系解决简单的实际问题 ，提高解决实际问题的 能力。
详细描述
03
04
05
1. 能够运用坐标系解决 简单的实际问题，如位 移、速度、加速度等物 理量的表示和计算。
2. 能够运用坐标系解决 一些简单的几何问题， 如求两点之间的距离、 三角形面积等。
THANKS
感谢观看
考点二：参数方程的转化与求解
详细描述
2. 能够将普通方程转化为参数方 程，将参数方程转化为普通方程 ，并了解参数的物理意义。
总结词：了解和掌握参数方程的 基本概念和转化方法，能够求解 简单的参数方程。
1. 了解参数方程的基本概念和特 点，掌握参数方程与普通方程的 转化方法。
3. 掌握求解参数方程的方法，如 代入法、消元法等，能够求解简 单的参数方程。
它由一个原点和一组有序的坐标轴组成。
坐标系的分类
02 坐标系可分为直角坐标系、极坐标系和球面坐标系等
。
坐标系的表示方法
03
坐标系可以用图形、符号和公式等方式来表示。
坐标系的种类
直角坐标系
直角坐标系是二维平面上最常用的坐标系， 它由一个原点和两组互相垂直的坐标轴组成 。
极坐标系
极坐标系是用来描述在平面上的点和其到原点的距 离以及其与极轴的夹角的坐标系。
坐标系与参数方程的应用场景
坐标系广泛应用于各种科学领域，如物理学、化学、生物学、地理学等。在物理学中，坐标系可以描 述物体的位置和运动状态；在化学中，它可以描述分子的空间构型和原子间的相互作用；在地理学中 ，它可以描述地球上物体的位置和形态。
参数方程也被广泛应用于各种科学领域。例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹和速 度变化；在化学中，它可以描述化学反应的进程和速率；在生物学中，它可以描述生物体的生长过程 和形态变化。

2017版高考数学一轮总复 习-坐标系与参数方程-第一
节-坐标.
将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的 2 倍，得曲线 C.
(1)求曲线 C 的标准方程； (2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．
又圆心
C
的直角坐标为
22，
22满足直线
l
的方程，
∴直线 l 过圆 C 的圆心，
故直线被圆所截得的弦长为直径 2.
π 1．本题中圆 C 的圆心过极点，从而得到∠AOD＝ 4 －θ，或
π ∠AOD＝θ－ 4 ，当然如果建系不同，曲线的极坐标方程也会不同， 因此建立适当的极坐标系，可简化运算过程．
2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直 接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
所以
C2
与
C3
交点的直角坐标为(0，0)和
23，32.
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜ π.
因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α， α)．
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4sin（α－π3 ）. 当 α＝5π 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
(2015·课 标 全 国 Ⅱ 卷 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1 ：
x＝tcos y＝tsin
α， α (t
为参数，t≠0)，其中
0≤α＜π.在以
O
为点，x
轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3cos

坐标系与参数方程PPT演示文稿
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
Thank you
Hale Waihona Puke 10、倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。

│命题趋势
命题趋势
从2010年全国高考看，这部分内容难度属中低档．考 查的重点：一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系；二 是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量．主要 考查对方程中各量几何意义的理解，知识面不太广，重在 考查基础知识．
│使用建议 使用建议
本单元内容是选修 4—4 坐标系与参数方程．共 2讲， 第72讲坐标系，第73讲参数方程．这部分内容作为高考的 选考内容，在考试中所占的分值较少，但在培养综合应用 基础知识的能力，扩大解题思路，灵活解题上作用很 大．特别是参数方程中体现的参数思想，常要渗透到高考 综合题的解题过程．为此，在复习中建议注意以下几点： 1．高度重视基础知识 以课本知识为主，不要刻意加大难度．本单元的重点 是极坐标系和利用参数求轨迹的参数方程．极坐标应重点
│使用建议
由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇，又 与解析几何的轨迹方程的求解有关，因此必须加强参数 法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法 解决实际问题的高效．希望备考时引起足够重视． 本单元共2讲，每讲1课时，45分钟单元能力训练卷1 课时，共约需3课时.
│知识框架
知识框架
│考试说明
考试说明
1．坐标系 (1)理解坐标系的作用． (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极 坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行 极坐标和直角坐标的互化．
│考试说明
(4) 能在极坐标系中给出简单图形 ( 直线、过极点或圆 心在极点的圆 ) 的方程．通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选 择适当坐标系的意义． 2．参数方程 (1)了解参数方程，了解参数的意义． (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数 方程．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．能用直线 的参数方程解决简单的相关问题．

X＝λx(λ>0) Y＝μy(μ>0)
的作用下，点 P(x，y)对应到点 Q(X，Y)，称
φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
2．极坐标系 (1)极坐标系的概念 ①在平面内取一个定点O为极点，引一条 射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和 角度单位及正方向(通常取逆时针方向)， 就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内 任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用 θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极 径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ) 就叫做点M的极坐标．如无特别说明时， ρ≥0，θ∈R.

(2)极坐标和直角坐标的互化公式 若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，则
x＝ρcosθ y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2 . y tanθ＝x，x≠0

(3)求曲线的极坐标方程f(ρ，θ)＝0的步骤 与求曲线的直角坐标方程步骤完全相 同．特别注意的是求极坐标方程时，常常 要解一个三角形．
π a， 2
处且过极点的圆方程为 ρ＝
2asinθ(0≤ຫໍສະໝຸດ ≤π)．④过极点倾角为 α 的直线的极坐标方程为： θ＝α 或 θ＝π＋α. ⑤过 A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a. ⑥过
π Aa，2(a>0)与极轴平行的直线
ρsinθ＝a.
(4)极坐标方程 ρ＝ρ(θ)表示的平面图形的对称性： 若 ρ(－θ)＝ρ(θ)，则图形关于极轴对称； π 若 ρ(π－θ)＝ρ(θ)，则图形关于射线 θ＝2对称； 若 ρ(π＋θ)＝ρ(θ)，则图形关于极点对称．
(5)特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程 ①圆心在极轴上点 C(a,0)， 过极点的圆方程 ρ＝2acosθ. ②圆心在极点、半径为 r 的圆的极坐标方程 ρ＝r. ③圆心在

t为参数，α≠2π，圆 C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程和交点 A 的坐标(非坐标原 点)；
(2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4π(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 B(非坐标原点)，求△OAB 面积的最大值．
将直线 l 的参数方程代入①式，得 t2＋2(2cosα＋5sinα)t＋25＝0.②
当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时，方程②有两个不
相等的实根，即 Δ＝4(2cosα＋5sinα)2－100>0，
即 20sinαcosα>21cos2α，两边同除以 20cos2α，
由此解得
21 tanα>20
解 (1)由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 可得抛物线 C 的极坐标 方程 ρ2cos2θ－4ρsinθ－4＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ ＝α(ρ∈R)，
设 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方 程代入 C 的极坐标方程得 ρ2cos2α－4ρsinα－4＝0，
设 Q(2cosα，－ 3＋2sinα)，则 M32＋cosα，sinα，那么 点 M 到直线 l 的距离
d＝32＋cosα1＋2＋2s2i2nα＋1＝
5sinα＋φ＋52 5
－ ≥
5＋52＝ 5
25－1tanφ＝12，
∴点 M 到直线 l 的距离的最小值为 25－1.
系．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)设 l1：θ＝6π，l2：θ＝π3，若 l1，l2 与曲线 C 相交于异于
原点的两点 A，B，求△AOB 的面积．
解

2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
( 为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为 sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
4
N,求△C2MN 的面积
你都掌握 了吗？
本节课你都学习的什么？
1. 极坐标、参数方程的解 题思路
2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
作业
请打开资料
好好学习 天天向上
再见！
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2

x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数） （为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
3 6
则△OAB的面积为_____.
解：点B(5，- 5 )即B(5，7 )，且点A(4， ) ， 6 6 3
∴∠AOB= 7 5 ,
6 3 6
所以△OAB的面积为
S= 1·|OA|·|OB|·sin∠AOB= 1 ×4×5×sin 5
2 2
=
1 1 ×4×5× =5. 2 2
复习
M ρ
θ
o x
θ ＝a(ρ ∈R)
ρ cosθ =a
ρ sinθ =a
下列极坐标方程如何转化为直角坐标方程
3 θ
.
y
3x
= 2 sin( ) . 4 2 ρ =4sinθ
3
. sin cos cos sin 2 4 4 2 ρ 2=4ρ sinθ ρ 2=5 3 ρ cosθ -5ρ sinθ
小结（学习要求）：
作业：
练习册P220-222
谢谢！
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。

（2）求直线 l 上到椭圆 C 的中心距离为 5
的点的坐标. 思 路：直线上每个点对应一个参数，求出
这个参数即可．
2019/9/11
35
过程解析
解 （ 1） 因 P 为 椭 圆 x2 y2 1 上 任 意 点 ， 故 可 设 4
P(2cosq ,sinq ) ,其中q R ． 依题意，直线 l 的普通
4
基础知识
一般地, 若( r , q )是点M的极坐标．极坐标系中
点M的极坐标有无数个，统一表示为：
( r , q + 2kp ) (k ∈ Z )或(－r , q+(2k+1)p ) ( k ∈ Z ).
一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标
适合方程f (r ,q ) = 0 ；反之，极坐标适合方程f (r ,q )
化简，得 ρ2－4ρcos(θ－ π )－1=0， 3
此即为所求的圆 C 的方程.
2019/9/11
10
回顾反思
（1）基本思路：( 求曲线的极坐标方程 ) ① 直接法； ② 转化为直角坐标．
（2）思想方法：化归转化思想． （3）思维误区：在极坐标系中应用直角坐标系
中的结论．
2019/9/11
11
回顾反思
它的一个参数方程为


x y

x0 y0

t cosq，（t t sinq
为参数）.
若圆的一般方程为 ( x a)2 ( y b)2 r2 ，
它的一个参数方程为

x y

a b

r r
cosq，（q sinq
为参数）.
若椭圆的方程为