第七讲 正推和逆推

正推与逆推小胖见到了一位白发苍苍的老爷爷，他问老爷爷有多大年纪？老爷爷说：“把我的年龄加上10除以4，减去15后用10乘，结果正好是100岁。

请问这位老爷爷有多大年岁？(用正推加以验证)1．学会使用正推或逆推的方法解决数学问题．猜数游戏（我能猜出你心中想的数）每个同学想一个数，写在卡片上。

按照我给你的游戏规则运算一下。

你只要告诉我运算结果，我就能猜出你们纸上所写的数。

规则：想一个数；把这个数减去1；再乘以2；最后加上4；告诉老师结果。

例题1：如图，根据算盒求输出的数。

（要求画树状算图，列算式计算）输入输出试一试：根据流程图画出树状算图，并列出综合式计算。

树状算图：综合算式：例题2：如图，根据算盒求输入的数。

输入试一试：根据流程图画出树状算图，并列出综合式计算。

树状算图： 综合算式：例题3：一个数减去85，再除以5，最后加上218，结果是246，这个数是几？试一试：一个数加上87，再乘5，最后减去74，结果是451，这个数是几？（？）（ ） ÷5 （ ） ＋218 246 －85输出小胖、小巧、小亚和小丁丁四人共有图书180本，小胖给小巧6本，小巧给小亚12本，小亚给小丁丁12本，小丁丁给小胖4本，这时四人的图书本数相等。

四人原来各有图书多少本？（可画树状算图帮助思考）1．根据计算盒画出树状算图，并列式计算。

2．一个数球通过计算盒后显示出来的数是72，这个数是多少？（填出树状算图，并列式计算。

）3．如图，一个数球通过计算盒后显示的数是272，这个数是几？4．画出树状算图，并计算。

（1）（2）5．把小胖今年的年龄乘2，再加上30，最后除以2就是王老师今年的年龄。

已知王老师今年26岁，小胖今年多少岁？6．一个数，加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，这个数是多少？【巩固练习】1．画树状算图，求输入（输出）的数。

2．如图，根据算盒求输入（输出）的数3．一个数加上18，再除以2，最后乘10，结果是240，这个数是几？4．小强今年11岁，妈妈比小强的年龄的4倍少7岁，妈妈比小强大几岁？【思考】1．找朋友，他们的朋友分别是谁？用线连一连。

一、正推：画树状图（先算的先画）；列综合式：从条件出发，先画的先算，先算的一定要加括号
逆推：画树状图（先算的先画）；列综合式：从结果出发，用关系式列式，先算的一定要加括号
（计算时一般用递等式，计算后代人树状图验算）
二、文字题
找出关键词（如：和、差、积、商、几的几倍、比多比少等）并分析是那两个数的，要先算，列式时一般要加括号，同时注意“除”等。

（列综合式先画树状图分析）
三、运算定律
加法交换律：a+b=b+a,即两个数相加。

乘法交换律：a x b=b x a,即两个数相乘。

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)即三个数相加。

乘法结合律：(a x b)x c=a x (b x C)即三个数相乘。

乘法分配律:(a+b) x c=a x b+a x c即两个数的和与一个数相乘。

四、简便运算（一定要先观察题目的结构，再选择相应的方法）
1、只有加减：能凑成整十、整百、整千的数先算。

2、只有乘法:125和8、25和4、5和2结合起来先算。

3、乘+乘（或乘—乘），并且有相同因数的：相同的因数不变，另外的因数相加或相减
4、两个数的和或差乘以一个数：用括号外的数和里面的数分别相乘，再相加或相减。

沪教版四年级上册《逆推》数学教案一、教学目标1.能够通过给定数列，逆推出数列的规律和下一个数是什么。

2.能够运用逆推方法解决日常生活中的实际问题。

二、教学重难点1.理解逆推数列的概念和意义。

2.立体图形剖分的规律性理解。

三、教学内容1. 逆推数列（1）数列的定义数列是按照一定顺序排列在一起的一组数。

数列中的每个数叫做这个数列的项，项之间的关系通常用公式表示。

（2）正推数列我们通常所学到的数列都是正推数列，即通过已知的规律，计算数列中每一项的值。

如1, 2, 3, 4, …是一个正推的等差数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)d 。

（3）逆推数列逆推数列是已知数列的几个前项或后项，通过观测规律推知剩余项。

常用于解决实际问题中的不定项计算。

示例对于如下数列，求第10项的值：5, 10, 15, 20, …解：观察数列中每个数之间的差值，发现每个数之间的差值都为5，即此数列为一个公差为5的等差数列，因此第10项为：5 + 5 * (10 - 1) = 50。

2. 立体图形剖分（1）立体图形剖分的定义立体图形剖分是指将一个立体图形分成若干个部分，使得每个部分都是平面图形，且所有的部分组合在一起后仍可以组成原立体图形。

（2）立体图形剖分的实例资料库中没有具体的立体图形几何对象，这里引用一则有关盒子的题目作为示例。

示例将一边长为1dm长、宽为60cm长的长方体，沿着一条对角线剖开后，得到的三个立方体的立体图形如下图：imageimage其中，蓝色部分的长、宽、高分别为3cm4cm2cm，黄色部分的长、宽、高分别为4cm5cm1dm，红色部分的长、宽、高分别为3cm4cm9cm。

问黄、蓝、红三个立方体的质量分别是多少？解：已知黄、蓝、红三个立方体的立体图形，所求是它们的质量，即质量与体积成正比，故可先求出三个立方体的体积，进而求出它们的质量。

由题目可得，黄色长方体的体积为 4cm * 5cm * 10cm = 200cm³，蓝色长方体的体积为 3cm * 4cm * 2cm = 24cm³，红色长方体的体积为 3cm * 4cm * 9cm = 108cm³。

四上《正推》教学反思《正推》的教学反思育童小学蔡晓蓉《正推》是四年级数学第一学期第四单元的教学内容。

正推是一种常用的思想方法。

教材借助滚动的数球，通过计算通道来反映数球上数的变化，最后从计算盒中输出结果，为学生学习三步计算式题，理解四则混合运算顺序做准备。

运用树状算图来反映数球上数的变化，是先前学习“树状算图和算法流程”知识的一种延续，通过树状算图不仅清晰地展现了数球在计算通道中的变化过程，同时也培养了学生思维的条理性。

因为有了“树状算图”的基础，所以我感到本课的知识点本身对于学生来说很容易掌握。

问题是“正推”作为一个新出现的词儿，如何让学生真正理解它的内涵，并在解决实际问题的过程中灵活运用正推的思想方法呢？我做了如下尝试：一、创设问题情景，激发学生求知欲望首先，我借助小狐狸的话引出了计算盒：“同学们，我有一个神奇的计算盒。

你们看：把数球放入计算盒后，出来的数球发生了怎样的变化呢？对，数球上的数原来是7，经过了计算盒后，变成了2，为什么会发生这样的变化呢？让我们打开计算盒，看看它的奥秘。

现在你能不能说说为什么数球上的数由7变成了2？”借助我自制的课件，小狐狸的神奇计算盒一下子就吸引住了学生，激发了学生的兴趣，从而为正推的学习做好了准备。

二、结合树状算图，帮助学生理解思想方法本课所出示的计算盒都是两步、三步计算的，比较简单。

我鼓励学生小组合作，从问题入手，通过画树状算图尝试自己解决问题。

学生在观察、感悟以及讨论和交流的过程中，体验到了自主学习的乐趣。

正是这样一个不断尝试、探索的过程让学生有了足够的自主探究和思考的空间，帮助他们理解了数球经过计算盒中的计算通道，再输出的过程就是“正推”的过程，像这样按照顺序计算的解题方法，称为“正推”。

从课堂教学效果看，树状算图确实能帮助学生理清数量关系，掌握正推的方法，从而解决问题。

不过，虽然顺向思维，学生理解起来很容易，但是对于能力较弱的学生来说，理解为什么要添圆括号，如何在根据计算盒、流程图或树状算图列综合算式时，依据四则运算的法则添加必要的括号是一个需要强化的教学环节。

一年级数学乘车问题,正推,逆推题
【最新版】
目录
1.概述一年级数学乘车问题的正推和逆推题
2.讲解正推题的解法
3.讲解逆推题的解法
4.总结如何解决一年级数学乘车问题的正推和逆推题
正文
对于一年级的学生来说，乘车问题是一个常见的数学问题。

这个问题可以分为两种类型：正推题和逆推题。

下面我们将详细讲解如何解决这两种类型的题目。

首先，我们来看正推题。

正推题通常会给出车辆的起始位置、目的地以及行驶的方向，要求我们计算出到达目的地所需的时间或者路程。

解决这类问题的关键是理解题目中的信息，然后根据题目所给出的条件进行推理。

例如，如果题目告诉我们，一辆车从 A 点出发，行驶 10 公里后到达 B 点，再行驶 5 公里后到达 C 点，那么我们就可以通过计算得出，从 A 点到 C 点的总路程是 15 公里。

接下来，我们来看逆推题。

逆推题与正推题的不同之处在于，它给出的是车辆行驶的结果，要求我们根据这个结果推算出车辆的起始位置或者行驶的方向。

解决这类问题的关键同样是理解题目中的信息，然后根据题目所给出的结果进行反向推理。

例如，如果题目告诉我们，一辆车从 C 点出发，行驶 5 公里后到达 B 点，再行驶 10 公里后到达 A 点，那么我们就可以通过计算得出，从 C 点到 A 点的总路程是 15 公里。

总的来说，解决一年级数学乘车问题的正推和逆推题，需要我们理解题目中的信息，然后根据题目所给出的条件或者结果进行推理。

逆推法知识定位如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用。

解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答。

顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高。

知识梳理知识梳理：逆推法乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如： (x+y)2=x2+xy+y2，以x, y 的基本对称式，表示x, y 的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：1=b a b b a a +++， 111)1(1+-=+n n n n . “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它.公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 的逆向应用是：当a ≥0时，a=2a ；当a<0 时,a= －2a ；如 x<y<0时， 则x －y=－2)(y x -.因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义： 相似多边形对应角相等对应边成比例⇔⎭⎬⎫.方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0； 反过来，若an2+bn+c=0,则n 是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理； 对于分段式的定理也有逆定理.例题精讲【试题来源】【题目】例1解方程(a 2－)12b x 2+()122c b-x+c 2－a 2=0 . (a 2－)012≠b . 【答案】∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【解析】由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：∵方程a 2－21b +()122c b-+ c 2－a 2=0 ， 有一个实数根是1 . ∴可设另一根为x 2， 根据韦达定理得 1×x 2=22212ba a c --=1(22)222--b a a c b . 解得 x 2=1(22)222--b a a c b . ∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简53-5-3+.【答案】－2【解析】∵53-5-3+<0，∴53-5-3+=－2)53-5-3(+=－)53)(5-3(2-535-3+++＝－2.【知识点】逆推法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：1<a，1<b.求证：abba+<+1.【答案】见解析【解析】本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由abba+<+1两边平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2. a2+b2－a2b2－1<0,分解因式：（1－b2）(a2－1)<0,由已知可推出这不等式.证明：∵1<a，1<b，∴a2＜1，b2＜1，∴a2－1＜0，1－b2＞0.（a2－1）（1－b2）＜0,a2+b2－a2b2－1<0,∴a2+b2＋2ab<1+a2b2+2ab ∴(a+b)2<(1+ab)2 .∴abba+<+1.【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：四边形ABCD中，AB＋BD＜AC＋CD.求证：AB＜AC.【答案】见解析【解析】直接推导，应证明BD＝CD或BD＞CD.即证明∠BCD≥∠1，有困难，不妨用反证法.这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设AB不小于AC，即AB≥AC，∴∠2≥∠ABC.∵∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1.∴∠BCD＞∠1.∴BD＞CD.∴AB＋BD＞AC＋CD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立.∴AB＜AC.【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？【答案】64【解析】从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n.所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂，∵26<100<27，∴这人第一次报数是26即64.【知识点】逆推法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】计算：3×5×17×257×……×()n221+【答案】1212-+n【解析】本题直接计算有困难，可由通式122+n，用确定n 的自然数值，回还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=b a b a --22, 就可很快得出结果 .解：原式=）＋（1202 ()1221+ ()2221+ ()3221+…()n 221+=1212121212121212 81648422--⋅--⋅--⋅--1212222--⨯nn. =()22-1 ()221+ ()421+ ()821+……()n221+=1212-+n【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz ≠0. 求证： z y x z y ++=++111 x 1.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c 是△ABC的三边长. 求证：3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<4(ab+bc+ca). 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a, b, c 是互不相等的实数.求证：accbbabcacbaabcbaccabacb-+-+-=---+---+---222))(())(())((.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c,d 都是实数. 求证：(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的31倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的41倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的101倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？【答案】甲：12 乙：8 丙：7 【解析】【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】对于方程(1+a)x4+x3－(3a+2)x2－4a=0.求证：（1）不论a 取什么值，如下方程都有实数解.（2）存在一实数x,使得不论a为任何实数,x都不是这个方程的解. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】311【试题来源】【题目】若三个一元二次方程,中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围。