命题及其关系、充分条件与必要条件-高考文科数学总复习

2020年高考文科数学一轮总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用知识拓展1．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．2．一些常见词语及其否定判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.(2018·高考天津卷)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2，故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件．故选A.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(1)(2019·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1(2)(2019·广东中山一中第二次统测)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题【解析】(1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.(2)命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x ＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误，选A.【答案】(1)D(2)A(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：选D.“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝{x |x ＝k2，k ∈Z }，记原命题：“若x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，所以P Q ，所以原命题“若x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题， 则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“若x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2018·高考北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)因为|a －3b |＝|3a ＋b |，所以(a －3b )2＝(3a ＋b )2，所以a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又因为|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ；反之也成立．故选C.(2)由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. 【答案】 (1)C (2)A充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：适用于“不易直接正面判断”的情况，可将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法，如下：①﹁q 是﹁p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件； ②﹁q 是﹁p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件； ③﹁q 是﹁p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件；④﹁q 是﹁p 的既不充分也不必要条件⇔p 是q 的既不充分也不必要条件．1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ” 是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由A ⊆C ，B ⊆∁U C ，易知A ∩B ＝∅，但A ∩B ＝∅时未必有A ⊆C ，B ⊆∁U C ，如图所示，所以“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件． 2．已知p ：|x ＋1|>2，q ：5x －6>x 2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由|x ＋1|>2得x <－3或x >1，所以p ：x <－3或x >1；由5x －6>x 2得2<x <3，所以q ：2<x <3，所以p 是q 的必要不充分条件．3．已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以﹁p ：x ＋y ＝－2，﹁q ：x ＝－1且y ＝－1，因为﹁q ⇒﹁p 但﹁p ⇒/﹁q ，所以﹁q 是﹁p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．[迁移探究1] (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．解：若“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．[迁移探究2] (变结论)本例条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件， 所以P ⇒S 且S ⇒/P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充分条件、必要条件求解参数范围的方法把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．[注意] 在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <6B ．－1≤a ≤6C ．a <－1或a >6D ．a ≤－1或a ≥6解析：选B.设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.等价转化思想在充要条件中的应用等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略．对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一种解题思路．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －14≤2，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，且﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件． 由q ：1－m ≤x ≤1＋m ，则q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 由⎪⎪⎪⎪1－x －14≤2，解得－3≤x ≤13，所以p ：P ＝{x |－3≤x ≤13}． 因为p 是q 的充分不必要条件，则PQ ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－3，1＋m ≥13或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－3，1＋m >13，所以m ≥12.故实数m 的取值范围为[12，＋∞)．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A ，于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y ，所以“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，故“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A.因为函数f (x )的图象过点(1，0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)的图象与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.又因为{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故选A.[基础题组练]1．(2019·山西45校联考)“若a ≥2或a ≤－2，则a 2≥4”的否命题是( ) A ．若a ≤2，则a 2≤4 B ．若a ≥2，则a 2≤4 C ．若－2<a <2，则a 2<4 D ．若a ≥2，则a 2<4解析：选C.将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题，故原命题的否命题为“若－2<a <2，则a 2<4”．故选C.2．(2019·湖北五校联考)已知直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1平行于l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由直线l 1与直线l 2平行得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1平行于l 2”的充要条件，故选C.3．(2019·南昌摸底调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m ·n <0成立；当θ＝π时，m ·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题的个数为2. 答案：27．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：m －3<f (x )<m ＋3.若p是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1，2]， 又因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －3<1，m ＋3>2，解得－1<m <4，即m 的取值范围是(－1，4)．[综合题组练]1．(2019·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D.因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误；若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角α的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C 错误；命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.2．(应用型)(2019·陕西西安模拟)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]解析：选D.因为“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1，4)(2m 22020年高考文科数学一轮总复习 第 11 页 共 11 页 －3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.3．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．答案：①②③4．(应用型)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞2。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1.命题可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同.3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.4.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.2.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.3.(2021·全国甲卷)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n.设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1＜0，q＞1时，a n＝a1q n－1＜0，此时数列{S n}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n}递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n＞0，若a1＞0，则q n＞0(n∈N+)，即q＞0；若a1＜0，则q n＜0(n∈N+)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.(易错题)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________________.答案若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠05.(易错题)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.答案3解析由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.6.已知命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________.答案2解析由x≥0，y≥0⇒xy≥0，∴原命题成立，则逆否命题也成立.由xy≥0⇒/x≥0，y≥0，如x＝－1，y＝－2，∴原命题的逆命题不成立，则原命题的否命题也不成立.考点一命题及其关系1.已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列说法正确的是()A.否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”C.逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”D.逆否命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”答案B解析由四种命题关系易知B正确.2.给出以下命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若ab是正整数，则a，b都是正整数；④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减.其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号).答案①解析①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假命题.综上①为真命题.3.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________.答案f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一，再如f(x)x＝0，0<x≤2)解析根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).感悟提升 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.考点二充分条件与必要条件的判定例1(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)C解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.感悟提升充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.训练1(1)(2022·长春质检)已知m，n是平面α内两条不同的直线，则“直线l⊥m 且l⊥n”是“l⊥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)若m与n不相交，则由“直线l⊥m且l⊥n”不能推出“l⊥α”，若l⊥α，则l垂直于面内任何一条直线，故选B.(2)若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4成立.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，∴a＋b>4，ab>4⇒/a>2，b>2，故答案为A.考点三充分、必要条件的应用例2(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.1－m≥－2，1＋m≤10，解得m≤3.又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m 的取值范围是[0，3].迁移设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵非p 是非q 的必要不充分条件，p 是q 的充分不必要条件.∴p ⇒q 且q ⇒/p ，即P S .－m ≤－2，＋m >10－m <－2，＋m ≥10，∴m ≥9，又因为S 为非空集合，所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟提升1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.训练2(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A.1<x <3B.0<x <2C.x <2D.0<x ≤2(2)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是________.答案(1)B(2)[3，＋∞)解析(1)由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0，2]的真子集，故选B.(2)|x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，所以(0，4)(1－a ，1＋a )，－a ≤0，＋a >4－a <0，＋a ≥4，解得a ≥3.1.设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由a 2＞a ，得a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0，∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.2.(2021·全国百校联考)已知命题p ：“任意a >0，且a ≠1，函数y ＝1＋log a (x －1)的图像过点P ”的逆否命题为真，则P 点坐标为()A.(2，1)B.(1，1)C.(1，2)D.(2，2)答案A解析由逆否命题与原命题同真同假，可知命题p 为真命题，由对数函数性质可知，函数y ＝1＋log a (x －1)的图像过定点(2，1)，所以点P 的坐标为(2，1).3.已知命题p ：若a <1，则a 2<1，下列说法正确的是()A.命题p 是真命题B.命题p 的逆命题是真命题C.命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1”D.命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1”答案B解析p ：若a <1，则a 2<1；如a ＝－2，则(－2)2>1，∴p 为假命题，A 不正确；命题p 的逆命题：若a 2<1，则a <1为真命题，B 正确；命题p的否命题：若a≥1，则a2≥1，C显然不正确；命题p的逆否命题：若a2≥1，则a≥1，D显然不正确.4.王昌龄的《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从中可知“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定“攻破楼兰”，故选B.5.命题若“x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题为()A.若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B.若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C.若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D.若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案B解析否命题既否定条件又否定结论.6.(2022·郑州质检)对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①ac＝bc⇔a＝b或c＝0，∴①为假命题；②a＋5是无理数⇔a是无理数，∴②为真命题；③0>－2推不出02>(－2)2，∴③为假命题；④a<5⇒/a<3，但a<3⇒a<5，∴④为真命题.7.(2021·贵阳模拟)设函数f(x)＝e x2－3x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A.0<x<1B.0<x<4C.0<x<3D.3<x<4答案A解析f(x)<1⇔e x2－3x<1⇔x2－3x<0，解得0<x<3.又“0<x<1”可以推出“0<x<3”，但“0<x<3”不能推出“0<x<1”.故“0<x<1”是“f(x)<1”的充分不必要条件.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由非q的一个充分不必要条件是非p，可知非p是非q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1. 9.设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的________条件.答案充分不必要解析a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.10.(2021·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件.11.已知不等式|x－m|<1成立的一个充分不必要条件是13<x<12，则m的取值范围是________.答案－1 2，43解析解不等式|x－m|<1，得m－1<x<m＋1.(m－1，m＋1)，－1≤13，＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m≤43.12.(2022·西安调研)已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为______.答案[3，8)解析∵p(1)是假命题，∴1＋2－m≤0.又∵p(2)是真命题，∴4＋4－m>0，＋2－m≤0，＋4－m>0，∴3≤m<8，∴实数m的取值范围为[3，8).13.(2021·景德镇模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立.当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0，1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立.所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件.14.(2020·上海卷)p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f(x＋a)<f(x)＋f(a)恒成立.已知q1：f(x)单调递减，且f(x)>0恒成立；q2：f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)＝0.则下列说法正确的是()A.q1，q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1，q2都不是p的充分条件答案A解析若q1成立，当a>0时，x＋a>x，因为f(x)单调递减，且f(x)>0恒成立，所以f(a)>0，所以f(x＋a)<f(x)<f(x)＋f(a)恒成立，所以p成立，所以q1是p的充分条件；若q2成立，当a＝x0<0时，x＋a＝x＋x0<x，f(a)＝f(x0)＝0，因为函数f(x)单调递增，所以f(x＋a)＝f(x＋x0)<f(x)＝f(x)＋f(a)，所以p成立，所以q2是p的充分条件.综上可知，q1，q2都是p的充分条件，故选A.15.能说明“若a>b，则1a <1b”为假命题的一组a，b的值依次为________.答案a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)解析若a>b，则1a<1b为真命题，则1a－1b＝b－aab<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题.16.已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，0≤x≤2}，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________.答案－∞，－54∪54，＋∞解析由y＝x2－32x＋1＋716，0≤x≤2，得716≤y≤2，∴A＝716，2.又由题意知A⊆B，∴2－m2≤716，∴m2≥2516.∴m≥54或m≤－54.。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【最新考纲】 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果p⇒/ q，且q ⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”．()(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同．()解析：(1)变量x没有赋值，无法判断语句的真假，故不是命题．(2)若“p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．(3)一个命题与其逆否命题同真假．(4)p 是q 的充分不必要条件是指p ⇒q 且q ⇒/ p ；p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 且p ⇒/ q ，因此它们表达的意义不同．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4 解析：命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，显然綈q ：tan α≠1，綈p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 答案：C3．(2015·重庆卷)“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：求出方程x 2－2x ＋1＝0的实数根后再作判断．因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根，为x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．答案：A4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4解析：原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．所以假命题的个数为2个．答案：B5．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解析：由正弦定理asin A＝bsin B＝2R(R为三角形外接圆半径)得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，故a≤b⇔2R sin A≤2R sin B⇔sin A≤sin B.答案：A一个区别“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．两条规律1．逆命题与否命题互为逆否命题；2．互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法1．定义法：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q 与綈q⇔綈p的等价关系．对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．一、选择题1．(2015·安徽卷)设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的() A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．答案：C2．(2015·山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：D3．已知条件p：x≤1，条件q：x2－x＞0，则p是綈q成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－x＞0得x＜0或x＞1，所以綈q：0≤x≤1，由{x|0≤x≤1}{x|x≤1}知，p是綈q的必要不充分条件．答案：B4．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝3”是“A∩B ＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：A5．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析：由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以k＞2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)．答案：B6．(2015·陕西卷)“sinα＝cosα”是“cos 2α＝0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先将cos2α＝0等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断．cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cosα＝±sinα.由cos α＝sinα可得到cos 2α＝0，反之不成立．答案：A二、填空题7．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．解析：由a＞b⇒/ ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b，故原命题是假命题，逆命题是真命题，从而逆否命题是假命题，否命题是真命题．答案：28．“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析：x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，因为m＜14⇒m≤14，反之不成立．故“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．答案：充分不必要9．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：A＝{x|x＜4}，由题意知A B，所以a＞4.答案：(4，＋∞)三、解答题10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，因此f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，∴否命题为真命题．11．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由已知易得{x|x 2－2x －3＞0} {x|x ＜m －1或x ＞m ＋1}，又{x|x 2－2x －3＞0}＝{x|x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 故实数m 的取值范围是[0，2]．。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件错误!１．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．２．四种命题及相互关系３．四种命题的真假关系（１）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（２）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．４．充分条件与必要条件（１）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．（２）如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．１．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．２．注意区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B ⇒/A）；与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A⇒/ B）两者的不同．[试一试]１．（２0１３·福建高考）设点P（x，y），则“x＝２且y＝—１”是“点P在直线l：x＋y—１＝0上”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝２且y＝—１”满足方程x＋y—１＝0，故“x＝２且y＝—１”可推出“点P在直线l：x＋y—１＝0上”；但方程x＋y—１＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y—１＝0上”不能推出“x＝２且y＝—１”，故“x＝２且y＝—１”是“点P在直线l：x＋y—１＝0上”的充分不必要条件．２．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”１．判断充分条件和必要条件的方法（１）命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：１原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；２原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；３原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；４原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．（２）集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，那么：１若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；２若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；３若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．（３）等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．２．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[练一练]１．（２0１４·济南模拟）设x∈R，则“x２—３x>0”是“x>４”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x２—３x>0得x>３或x<0，此时得不出x>４，但当x>４时，不等式x２—３x>0恒成立，所以正确选项为Ｂ．２．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是________．解析：原命题与其逆否命题为等价命题．答案：若b∈M，则a∉M错误!考点一命题及其相互关系１．命题“若α＝Ａ．若α≠错误!，则tan α≠１Ｂ．若α＝错误!，则tan α≠１Ｃ．若tan α≠１，则α≠错误!Ｄ．若tan α≠１，则α＝错误!解析：选C 命题“若α＝错误!，则tan α＝１”的逆否命题是“若tan α≠１，则α≠错误!”．２．以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．１“若log２a>0，则函数f（x）＝log a x（a>0，a≠１）在其定义域内是减函数”是真命题；２命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；３命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；４命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于１，若log２a>0＝log２１，则a>１，所以函数f（x）＝log a x在其定义域内是增函数，故１不正确；对于２，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于３，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如１＋３＝４是偶数，但３和１均为奇数，故３不正确；对于４，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以４正确．综上可知正确的说法有２４.答案：２４[类题通法]在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．考点二充分必要条件的判定[典例] （１）p是綈q的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0１３·北京高考）“φ＝π”是“曲线y＝sin（２x＋φ）过坐标原点”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件[解析] （１）由q⇒綈p且綈p ⇒/q可得p⇒綈q且綈q ⇒/p，所以p是綈q的充分而不必要条件．（２）由sin φ＝0可得φ＝kπ（k∈Z），此为曲线y＝sin（２x＋φ）过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin（２x＋φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．[答案] （１）A （２）A[类题通法]充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．[针对训练]下列各题中，p是q的什么条件？（１）在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；（２）p：|x|＝x，q：x２＋x≥0．解：（１）若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.又若sin A＝sin B，则２R sin A＝２R sin B，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．（２）p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x２＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤—１}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用[典例] 已知P＝２（１）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；（２）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．[解] （１）由x２—8x—２0≤0得—２≤x≤１0，∴P＝{x|—２≤x≤１0}，∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴错误!∴错误!这样的m不存在．（２）由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴错误!∴m≤３．综上，可知m≤３时，x∈P是x∈S的必要条件．[备课札记]保持本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P⇒S且S ⇒/P.∴[—２,１0][１—m,１＋m]．∴错误!或错误!∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：（１）若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q ⇒/p；（２）若p是q的必要不充分条件，则p ⇒/q，且q⇒p；（３）若p是q的充要条件，则p⇔q.[针对训练]（２0１３·浙江名校联考）一次函数y＝—错误!x＋错误!的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（）Ａ．m>１，且n<１Ｂ．mn<0Ｃ．m>0，且n<0 Ｄ．m<0，且n<0解析：选B 因为y＝—错误!x＋错误!经过第一、三、四象限，故—错误!>0，错误!<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0．错误![课堂练通考点]１．（２0１３·安徽高考）“（２x—１）x＝0”是“x＝0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选B 由（２x—１）x＝0可得x＝错误!或0，因为“x＝错误!或0”是“x＝0”的必要不充分条件．２．（２0１３·九江一模）命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是（）Ａ．“若x<y，则x２<y２” Ｂ．“若x>y，则x２>y２”Ｃ．“若x≤y，则x２≤y２” Ｄ．“若x≥y，则x２≥y２”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．３．（２0１４·福建毕业班质检）已知向量a＝（m２,４），b＝（１,１），则“m＝—２”是“a∥b”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，当m＝—２时，a＝（４,４），b＝（１,１），所以a＝４b，a∥b，即由m＝—２可以推出a∥b；当a∥b时，m２＝４，得m＝±２，所以不能推得m＝—２，即“m＝—２”是“a ∥b”的充分而不必要条件．４．（２0１３·聊城期末）设集合A，B是全集U的两个子集，则A B是（∁U A）∪B＝U的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选A 如图所示，A B⇒（∁U A）∪B＝U；但（∁U A）∪B＝U ⇒/A B，如A＝B，因此A B是（∁U A）∪B＝U的充分不必要条件．５．命题“若a>b，则a—１>b—１”的否命题是________．答案：若a≤b，则a—１≤b—１6．错误!已知集合A＝{x|y＝lg（４—x）}，集合B＝{x|x<a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：A＝{x|x<４}，由题意得A B结合数轴易得a>４．答案：（４，＋∞）[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．设集合M＝{x|0<x≤３}，N＝{x|0<x≤２}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选B M＝{x|0<x≤３}，N＝{x|0<x≤２}，所以N M，故a∈M是a∈N的必要不充分条件．２．（２0１３·潍坊模拟）命题“若△ABC有一内角为错误!，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（）Ａ．与原命题同为假命题Ｂ．与原命题的否命题同为假命题Ｃ．与原命题的逆否命题同为假命题Ｄ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为错误!”，它是真命题．３．（２0１３·乌鲁木齐质检）“a>0”是“a２＋a≥0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选A a>0⇒a２＋a≥0；反之a２＋a≥0⇒a≥0或a≤—１，不能推出a>0，选Ａ．４．（２0１３·潍坊模拟）命题“任意x∈[１,２]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Ａ．a≥４Ｂ．a≤４Ｃ．a≥５Ｄ．a≤５解析：选C 命题“任意x∈[１,２]，x２—a≤0”为真命题的充要条件是a≥４．故其充分不必要条件是集合[４，＋∞）的真子集，正确选项为Ｃ．５．下列命题中为真命题的是（）Ａ．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题Ｂ．命题“x>１，则x２>１”的否命题Ｃ．命题“若x＝１，则x２＋x—２＝0”的否命题Ｄ．命题“若x２>0，则x>１”的逆否命题解析：选A 对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤１，则x２≤１，是假命题．如x＝—５，x２＝２５>１；对于C，其否命题是：若x≠１，则x２＋x—２≠0，由于x＝—２时，x２＋x—２＝0，所以是假命题；对于D，若x２>0，则x>0或x<0，不一定有x>１，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．6．（２0１３·江西七校联考）已知条件p：x≤１，条件q：错误!<１，则綈p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既非充分也非必要条件解析：选A 由x>１得错误!<１；反过来，由错误!<１不能得知x>１，即綈p是q的充分不必要条件，选Ａ．7．（２0１４·日照模拟）已知直线l１：x＋ay＋１＝0，直线l２：ax＋y＋２＝0，则命题“若a＝１或a＝—１，则直线l１与l２平行”的否命题为（）Ａ．若a≠１且a≠—１，则直线l１与l２不平行Ｂ．若a≠１或a≠—１，则直线l１与l２不平行Ｃ．若a＝１或a＝—１，则直线l１与l２不平行Ｄ．若a≠１或a≠—１，则直线l１与l２平行解析：选A 命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝１或a＝—１”的否定为“a≠１且a≠—１”，“直线l１与l２平行”的否定为“直线l１与l２不平行”．8．在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，真命题的个数记为f（p），已知命题p：“若两条直线l１：a１x＋b１y＋c１＝0，l２：a２x＋b２y＋c２＝0平行，则a１b２—a２b１＝0”．那么f（p）等于（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选B 原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a１b２—a２b１＝0，则两条直线l１与l２平行，这是假命题，因为当a１b２—a２b１＝0时，还有可能l１与l２重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f（p）＝２．9．命题“若f（x）是奇函数，则f（—x）是奇函数”的否命题是________．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f（x）不是奇函数，则f（—x）不是奇函数１“若a>b，则a２>b２”的否命题；２“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；３“若x２<４，则—２<x<２”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：１原命题的否命题为“若a≤b则a２≤b２”错误．２原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．３原命题的逆否命题为“若x≥２或x≤—２，则x２≥４”正确．答案：２３１若ac２>bc２，则a>b；２若sin α＝sin β，则α＝β；３“实数a＝0”是“直线x—２ay＝１和直线２x—２ay＝１平行”的充要条件；４若f（x）＝log２x，则f（|x|）是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析：对于１，ac２>bc２，c２>0，∴a>b正确；对于２，sin ３0°＝sin １５0°⇒/３0°＝１５0°，所以２错误；对于３，l１∥l２⇔A１B２＝A２B１，即—２a＝—４a⇒a＝0且A１C２≠A２C１，所以３正确；４显然正确．答案：１３４１２．已知α：x≥a，β：|x—１|<１．若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x—１|<１，∴0<x<２，∴β可看作集合B＝{x|0<x<２}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A，∴a≤0．答案：（—∞，0]第Ⅱ组：重点选做题１．已知集合A＝错误!，B＝{x|x＋m２≥１}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．解：y＝x２—错误!x＋１＝错误!２＋错误!，∵x∈错误!，∴错误!≤y≤２，∴A＝错误!.由x＋m２≥１，得x≥１—m２，∴B＝{x|x≥１—m２}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴１—m２≤错误!，解得m≥错误!或m≤—错误!，故实数m的取值范围是错误!∪错误!.２．已知集合A＝{x|x２—４mx＋２m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．解：因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝（—４m）２—４（２m＋6）≥0}，则U＝错误!.假设方程x２—４mx＋２m＋6＝0的两根x１，x２均非负，则有错误!，⇒错误!⇒m≥错误!.又集合错误!关于全集U的补集是{m|m≤—１}，所以实数m的取值范围是{m|m≤—１}．。