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高二数学竞赛班二试讲义第四讲 Schur （舒尔）不等式、Schur （舒尔）分拆班级 姓名一、知识要点：定理1．Schur 不等式：若0,0,0x y z ≥≥≥，α为实数，则()()0x x y x z α--≥∑，当且仅当x y z ==或0,x y z ==的置换时，等号成立。
证明：由对称性可假定x y z ≥≥，令123x t t t =++，23y t t =+，3z t =， 其中，123,,t t t 是非负实数，则左端()()()()()()x x y x z y y z y x z z y z x ααα=--+--+--12311223213212()()()()()t t t t t t t t t t t t t t ααα=+++++-++2212311232331232()[()()]0t t t t t t t t t t t t t t ααααα=+++++-+++≥定理2．Schur 不等式推广：若0,0,0x y z ≥≥≥，k 为非负实数，则（1）()()()0kyz x y x z --≥∑；（2）()()()0kx y z x y x z +--≥∑； （3）()()()()0kyz y z x y x z +--≥∑． 证明：（1）()()()0()()()0k k kyz x y x z xyz xx y x z ---≥⇒--≥∑∑成立（2）由对称性可假定x y z ≥≥，令123x t t t =++，23y t t =+，3z t =， 其中，123,,t t t 是非负实数，则左端()()()()()()()()()kkkx y z x y x z y z x y z y x z x y z y z x =+--++--++--1232311223123213123212()(2)()()(2)()(22)()k k k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++++++++-++++22123231321231232323123312312()(2)(22)[()(2)()(2)(22)]0k k k kk t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++++++++++-++++++≥①分01k ≤<和1k ≥讨论可证明①（3）同理可证定理3．三元齐三次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为3.13.23(,,)f x y z a g b g c g =++， 其中 3.1()()g x x y x z =--∑， 3.2()()()g y z x y x z =+--∑，3.3g x y z =并且当,,0x y z ≥时，,,0(,,)0a b c f x y z ≥⇔≥ 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法：(1,1,0)(1,0,0),,(1,1,1)2f a f b c f === 定理4．三元齐四次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为4.14.24.3(,,)f x y z a g b g c g d g =+++， 其中24.1()()g x x y x z =--∑，4.2()()()g x y z x y x z =+--∑，4.3()()g y z x y x z =--∑，4.4()g xyz x y z =++并且当,,0x y z ≥时，,,,0(,,)0a b c d f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法：(1,1,1)(1,0,1)(1,0,0),(1,1,0),,34f c f a f c f d b a --====+定理5．三元齐五次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为5.15.25.35.4(,,)f x y z a g b g c g d g e g =++++， 其中35.1()()g x x y x z =--∑，25.2()()()g x y zx y x z =+--∑， 5.3()()()g y z y z x y x z=+--∑， 5.4()()g x y z x y x z=--∑ 5.5()g xyz xy yz zx =++并且当,,0x y z ≥时，,,,,0(,,)0a b c d e f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法（i 为虚数单位）：(1,1,0)(1,1,1)(1,,0)(1,,1)82(1,0,0),,,,232(1)22f f f i c f i i b e aa f c eb d i -++-====+=+ 定理6．三元齐六次对称多项式(,,)f x y z 可以唯一的表示为6.16.26.36.46.56.6(,,)f x y z a g b g c g d g e g m g n g =++++++， 其中46.1()()g x x y x z =--∑，36.2()()()g x y z x y x z =+--∑，2226.3()()()g x y y z z x =---26.4()()()g y z x y x z =--∑， 6.5()()g x y z x x y x z =--∑ 6.6()()()g x y z y z x y x z=+--∑ 26.7()g xyz =并且当,,0x y z ≥时，,,,,,,0(,,)0a b c d e m n f x y z ≥⇔≥． 先给出系数,,,a b c d 的简单确定方法（i 为虚数单位）：(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)a f d f n f ===由(0,1,1)444(0,1,)222f a b c d f i i a b c d -=-+-⎧⎨=--+⎩，将,a d 代入解得,b c由(1,1,1)48448(1,1,)216668f a b d e m n f i a c d e m n-=-++-+⎧⎨-=+--+-⎩，将,,,,a b c d n 代入解得,e m 二、例题精析例1．已知,,x y z 是非负实数，且满足1x y z ++=。
（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到 均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。
初中数学竞赛：整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
舒尔不等式该文章为这两天竞赛培训的小总结~内容是老师讲的，笔记可能会有点小错误，如果有问题欢迎指出~难度可能较大，欢迎有兴趣的同学们阅读~一、舒尔不等式(Schur's inequality)设 a,b,c>0 ，对任意实数 r ，均有：f=a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq 0由于式子具有轮换对称性，以下使用循环求和符号：f=\sum_{cyc}a^r(a-b)(a-c)\geq0其中：\sum_{cyc}a^r(a-b)(a-c)=a^r(a-b)(a-c)+...证明由对称性，不妨设 a\geq b\geq c \geq 0 ，观察发现：(a-b)(a-c)\geq 0 ， (b-a)(b-c)\le 0 ， (c-a)(c-b)\geq 0①若 r\geq0 ，显然 c^r(c-a)(c-b) 较小，放缩得到：f\geq a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)=(a-b)[a^r(a-c)-b^r(b-c)]\geq0②若 r<0 ，显然 a^r(a-b)(a-c) 较小，放缩得到：f\geq b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)=(b-c)[c^r(a-c)-b^r(a-b)]\geq0所以 f\geq 0 对任意实数 r 均成立。
二、应用（1）取 r=1 ，称此时的不等式为三次舒尔不等式，即：\sum_{cyc}a(a-b)(a-c)\geq0 ，展开括号得：\sum_{cyc}a(a^2-ab-ac+bc)\geq0 ，整理得到以下三式：\sum_{cyc}(a^3)+3abc\geq\sum_{cyc}(a^2)(b+c)\sum_{cyc}(a^3)+3abc\geq\sum_{cyc}(ab)(a+b)\sum_{cyc}(a^3)+3abc\geq\sum_{cyc}(a)(b^2+c^2)其中借助了恒等式（展开易证）：\sum_{cyc}(a^2)(b+c)=\sum_{cyc}(ab)(a+b)=\sum_{cyc}(a) (b^2+c^2)（2）对三次舒尔不等式，右侧使用均值不等式：\sum_{cyc}(a^3)+3abc\geq\sum_{cyc}(ab)(a+b)\geq2(ab)^{\frac{3}{2}}+2(bc)^{\frac{3}{2}}+2(ca)^{\fr ac{3}{2}}令 x=a^{\frac{3}{2}} ， y=b^{\frac{3}{2}} ，z=c^{\frac{3}{2}} ，换元得到：x^2+y^2+z^2+3(xyz)^{\frac{2}{3}}\geq2(xy+yz+zx)此时为竞赛中的常见题型，其中常有条件： xyz=1 ，则：x^2+y^2+z^2+3\geq2(xy+yz+zx)这个不等式很难直接证明，这时候可以用舒尔不等式。
不等式知识目录：三道小题（一）一些基础。
（二）不等式的一些直观解释。
（三）谈谈放缩法。
（四）杂谈关于配方法。
（五）杂谈差分代换。
（六）杂谈谈谈切线法及其推广（七）介绍几个重要的不等式①。
（八）介绍几个重要的不等式②。
（九）杂谈再谈配方法。
（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。
（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。
（十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。
（十三）细化赫尔德(Hölder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
（十四）幂平均函数及其他。
（十五）SOS定理。
（十六）凸函数理论及受控理论。
（十七）杂谈克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。
（十八）关于机械化方法的历史。
（十九）多元函数极值的偏导方法。
（二十）解析——几何与代数的桥梁小测试A（轮换不等式）小测试B（含参情况）小测试C（对称破缺）出三道小题，作为你们的自我检测，如果做不上来，你你还需要多练习练习。
如果可以，那我们继续看：①对于实数x , y , z 证明：②求f(x) = x^x 的最小值。
③对于正数a , b , c 满足a + b + c = 1 , 证明：感觉如何？一般来说都可以做出来，我们继续。
一）一些基础。
因为懒，我们发明了这么两个符号:sss.这是懒到cyc都不写了。
之后不引人sym，（写起来）太麻烦。
因为懒，再引入逻辑符号：且& ,或|| ,推出=> ,逆推出<= ,等价于<=> ,当且仅当iff我总说的sss.是“事实上”的意思。
说说基本性质：三分律：任何两个实数都有确定的序关系。
对逆性：a > b <=> b < a传递性：a > b || b > c => a > c.单调性：a > b => a + c > b + c.完事了。
简单吧。
SCHUR分解归纳法证明SCHUR引理怎么证明？SCHUR定理：任意N×N实矩阵A，存在酉矩阵U与上三角阵R，使得A=U×R ×U(T)(U(T)表示将矩阵U共轭转置)，R中的元素，可能为复数。
(而且还可以进一步要求R的对角元素为矩阵A的特征值，还可以按顺序排列。
)矩阵的QR分解定理：任意N×N实矩阵A，存在正交阵Q与上三角阵R，使得A=Q×R(证明用到数值分析中的Householder变换，好像还有矩阵收缩技巧)。
SCHUR定理的证明：给定N×N实矩阵A，可以求出A的n个特征值，不妨设为c1，c2，CN(顺序没有要求)。
我们假设存在上述的U与R，只要将它们求出来了，即可说明其存在性了，同时也说明了其构造或求解的过程。
同时为了过程简略，设特征值互不相同。
特殊情况在最后再加以说明。
设A，U，R的元素分别为AIJ，UIJ，RIJ，矩阵分块，列向量分别为AI，UI，RI。
i，j=1，n。
A=U×R×U(T)等价于A×U=U×R。
下面的过程，只是为了解出U，R。
令R的对角元为c1，c2，CN 左下角的全为0，只有右上角的(n^2-n)/2个待求变量。
U中有n^2个变量。
下面就求出这些变量，注意要利用另一个条件，就是矩阵U的性质(酉矩阵)将矩阵作如下分块：A×(u1，u2，UN)=U×(r1，r2，CN)。
先看乘积后的第一列：A×u1=U×r1。
由于R为上三角阵，且对角元为A的特征值，所以列向量r1只有第一个元素为c1，其余的全为0。
所以上式就可以化为：A×u1=c1×u1。
u1为A的特征值c1所对应的特征向量，当然存在，可以求出来了。
再利用酉矩阵的性质(不同的列向量都正交，且为单位向量，所以要将u1单位化）。
这样，得到U的第1列u1。
继续考察A×u2=U×r2A×u2=r12×u1+r22×u2=r12×u1+c2×u2。
schur定理例题
Schur定理是一个重要的数学定理，它在代数学中有着广泛的
应用。
Schur定理的一个经典例题是证明，如果一个n阶复方阵A
的所有特征值的模都小于1，即|λi|<1，那么对任意给定的n阶复
方阵B，存在一个n阶复方阵X，使得AXB是收敛的。
首先，我们可以利用Schur分解来解决这个问题。
Schur分解
指出，任意一个n阶复方阵A都可以分解为一个酉矩阵U和一个上
三角矩阵T的乘积，即A=UTU，其中U表示U的共轭转置。
根据Schur分解，我们可以假设给定的n阶复方阵B可以被分解为B=VCV，其中V是一个酉矩阵，C是一个上三角矩阵。
那么我们的目标就是
要找到一个n阶复方阵X，使得AXB收敛。
接下来，我们可以考虑构造X的形式。
由于A的特征值的模都
小于1，我们可以利用泰勒展开来构造X，即X=∑(A^k)(B^k)，其
中k从0到无穷大。
由于|λi|<1，所以A^k和B^k都会随着k的增
大而趋于0，这样我们就可以保证∑(A^k)(B^k)是收敛的。
因此，
我们可以取X=∑(A^k)(B^k)来满足题目要求。
综上所述，通过Schur定理和泰勒展开，我们可以证明对于任
意给定的n阶复方阵B，存在一个n阶复方阵X，使得AXB是收敛的。
这个例题展示了Schur定理在代数学中的应用，以及如何利用泰勒
展开来构造满足条件的矩阵X。
