推理与证明-高考文科数学总复习

推理与证明【考纲要求】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 【知识网络】【考点梳理】【推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】考点一：合情推理与演绎推理1．推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．2．合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、推 理 与 证 明归纳推 理证 明合情推理演绎推理综合法分析法直接证明类比间接证明反证法个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．3．演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 要点诠释：合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看：①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

新数学《推理与证明》复习资料一、选择题1．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】 【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.4．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6上列乘5上列乘2 163060123153013210201 432152151 565612161510所以6603020151210147S=+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】 【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．8．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

《推理与证明》考试知识点一、选择题1．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12xf x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516xf x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134xf x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nxx -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103nn ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.2．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.3．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．4．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.5．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49 B ．43C ．07D ．01【答案】C 【解析】 【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.6．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．910【答案】B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．7．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．故可能推出的有②⑤， 故选：D ．【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．8．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.9．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.10．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】 【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

回顾《推理与证明》一、本章知识结构图二、知识要点1．归纳推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般地推理．如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新的结论．（2）归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．2．类比推理（1）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，类比的结论不一定真，在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越可靠．（2）类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3．演绎推理（1）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做_______，它的一般模式为三段论．（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提：__________；②小前提：__________；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．4．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．5．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等），这种证明的方法叫做分析法．6．反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．三、注意事项1．归纳和类比都是____________．前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由___________到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由______到特殊的推理，是数学证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．______和_______是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是_______和_______，_________是从已知条件推导出结论的证明方法；_________是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证法的一种基本方法是__________，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．。