高考理科数学复习资料(北师)9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴与直线l 的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.(2)直线的倾斜角α的取值范围为.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1y2-y1.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件点斜式过点(x0,y0),斜率为k与x轴不垂直的直线斜截式在y轴上的截距为b,斜率为k两点式过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)与两坐标轴均不垂直的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线一般式—Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面内所有直线1.特殊直线的方程:(1)过点P1(x1,y1),垂直于x轴的直线方程为x=x1;(2)过点P1(x1,y1),垂直于y轴的直线方程为y=y1;(3)y轴的方程为x=0;(4)x轴的方程为y=0.2.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系:α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.( ) (2)过点M (a ,b ),N (b ,a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°. ( ) (3)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( ) (4)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示.( ) (5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离. ( )2.直线2x ·sin 210°-y-2=0的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.30 D.150°3.如图所示,在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )4.(2020山东德州高三诊测)过直线l :y=x 上的点P (2,2)作直线m ,若直线l ,m 与x 轴围成的三角形的面积为2,则直线m 的方程为 .5.(2020云南丽江高三月考)经过点(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .关键能力学案突破考点直线的倾斜角与斜率〖例1〗(1)直线x-√3y+1=0的斜率为( )A.√3B.-√3C.√33D.-√33(2)已知点A (2,3),B (-3,-2),若直线l 过点P (1,1),且与线段AB 始终没有交点,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.34,2B.-∞,34∪(2,+∞)C.34,+∞D.(-∞,2)(3)若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,且α∈π6,π4∪2π3,π,则k 的取值范围是 .思考直线的倾斜角和直线的斜率有怎样的关系? 解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系直线l 的斜率k直线l 的倾斜角α区别 当直线l 垂直于x 轴时,l 的斜率k 不存在 当直线l 垂直于x 轴时,l 的倾斜角α为y2联系①k=tan α,α∈[0,y 2)∪(y2,y).②当α∈0,y 2时,α越大,l 的斜率越大;当α∈y 2,π时,α越大,l 的斜率越大.③所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都存在斜率对点训练1(1)直线x cos α+√3y+2=0的倾斜角θ的取值范围是( ) A.[0,5π6]B.[π6,5π6]C.[π6,π2)∪(π2,5π6] D.[0,π6]∪[5π6,π)(2)已知点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB 相交,则直线l的斜率k 的取值范围为( )A.(-∞,-4〗∪34,+∞B.-∞,-14∪34,+∞C.-4,34D.34,4考点求直线的方程〖例2〗(1)过点P (3,-1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条,方程为 .(2)已知一条直线经过点A (2,-√3),并且它的倾斜角等于直线x-√3y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程是 .(3)在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 的中点M 在y 轴上,BC 的中点N 在x 轴上,则直线MN 的方程为 .思考求直线方程的方法是什么?求直线方程时应注意什么? 解题心得1.求直线方程的方法(1)直接法:根据已知条件,选择恰当的直线方程形式,求出方程中的系数,写出直线方程;(2)待定系数法:先根据已知条件设出恰当的直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),解得系数,最后代入设出的直线方程.2.求直线方程应注意事项(1)求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.(2)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.(3)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A≥0.对点训练2(1)已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l的方程是()A.-3x+2y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y+1=0(2)过点(-2,-3)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是.(3)已知2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是.考点直线方程的应用(多考向探究)考向1与基本不等式及函数性质相结合的最值问题〖例3〗(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,若0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a= .(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△AOB 的面积的最小值及此时直线l的方程.解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或基本不等式求解.考向2与函数的导数的几何意义相结合的问题〖例4〗设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,π4 ,则点P的横坐标的取值范围为()A.-1,-12B.〖-1,0〗C.〖0,1〗D.12,1思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?解题心得解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.对点训练3(1)若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.4C.2D.8(2)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.496C.92D.1131.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,要想到k=tanα,必要时可结合正切函数的图像求解.2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法:(1)已知直线在y轴上的截距,常设方程的斜截式;(2)已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,常设方程的截距式(截距均不为0);(3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在的情况;(4)仅知道直线在x轴上的截距,常设方程形式为x=my+a(其中a是直线在x轴上的截距,m 是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.1.斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)与两点的顺序无关,且两点的横坐标不相等,若题目中未明确说明两点的横坐标不相等,则要分类讨论.2.设直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后处理常规情况.第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)正向向上0°(2)0°≤α<180°3.y-y0=k(x-x0)y=kx+b y-y1y2-y1=y-y1y2-y1yy+yy=1考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.B由题意得斜率k=2sin210°=-2sin30°=-1,故倾斜角为135°.故选B.3.C当a>0时,由y=ax可知C,D错误,由y=x+a可知A,B也错误;当a<0时,由y=ax可知A,B 错误,由y=x+a可知D错误,C正确.故选C.4.x-2y+2=0或x=2①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,此时直线m,直线l 和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m的斜率存在,则由题意可知其斜率k≠0,设直线m的方程为y-2=k(x-2)(k≠0),令y=0,得x=2-2y ,依题意有12×|2-2y|×2=2,即|1-1y |=1,解得k=12,故直线m的方程为y-2=12(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.5.x-4y=0或x+y-5=0设直线l在两坐标轴上的截距均为a.若a=0,则直线l过点(0,0)和(4,1),所以直线l的方程为y=14x,即x-4y=0.若a≠0,则直线l的方程为yy +yy=1,因为直线l过点(4,1),所以4y +1y=1,解得a=5,所以直线l的方程为y5+y5=1,即x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.关键能力·学案突破例1(1)C(2)A(3)〖-√3,0)∪[√33,1)(1)x-√3y+1=0可化为y=√33x+√33,则斜率k=√33,故选C.(2)由已知得k AP =3-12-1=2,k BP =-2-1-3-1=34.如图,因为直线l 与线段AB 始终没有交点,所以斜率k 的取值范围是(34,2).故选A.(3)当π6≤α<π4时,√33≤tan α<1,故√33≤k<1.当2π3≤α<π时,-√3≤tan α<0,故-√3≤k<0.综上可知,k ∈〖-√3,0)∪[√33,1).对点训练1(1)D (2)A (1)由已知得tan θ=-√33cos α.∵cos α∈〖-1,1〗,∴-√33≤-√33cos α≤√33,即-√33≤tan θ≤√33,解得θ∈[0,π6]∪[5π6,π).故选D .(2)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k (x-1),可知直线l 恒过定点P (1,1),则k AP =-4,k BP =34. 作出直线AP ,BP (图略),可知当直线l 与线段AB 相交时,直线l 的斜率k 的取值范围为(-∞,-4〗∪[34,+∞).故选A .例2(1)3 x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0 (2)√3x-y-3√3=0 (3)5x-2y-5=0(1)①当截距不为0,且截距相等时,设直线方程为y y +y y=1(a ≠0),将点P 的坐标代入直线方程,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0;②当截距不为0,且截距互为相反数时,设直线方程为y y +y-y =1(b ≠0),将点P 的坐标代入直线方程,解得b=4,所以直线方程为x-y-4=0;③当截距为0时,设直线方程为y=kx ,将点P 的坐标代入直线方程,解得k=-13,所以直线方程为x+3y=0.综上可知,直线有3条,方程为x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.(2)由已知得直线x-√3y=0的斜率为√33,则其倾斜角为30°,故所求直线的倾斜角为60°,斜率为√3,故所求直线的方程为y-(-√3)=√3(x-2),即√3x-y-3√3=0.(3)设C (x 0,y 0),则M (y 0+52,y 0-22),N (y 0+72,y 0+32).因为点M 在y 轴上,所以y 0+52=0,解得x 0=-5.因为点N 在x 轴上,所以y 0+32=0,解得y 0=-3.所以M (0,-52),N (1,0),所以直线MN 的方程为y1+y -52=1,即5x-2y-5=0.对点训练2(1)C (2)3x-2y=0或x-y-1=0 (3)2x-3y-4=0 (1)解方程组{y +y =2,2y -y =1,得{y =1,y =1,所以两直线的交点为(1,1).因为直线l 的一个方向向量v =(-3,2),所以k=-23.所以直线l 的方程为y-1=-23(x-1),即2x+3y-5=0.故选C .(2)根据题意,分两种情况讨论:①若直线过原点,又由直线过点(-2,-3),则其方程为y=32x ,即3x-2y=0.②若直线不过原点,由该直线在x 轴、y 轴上的截距互为相反数,设此时直线的方程为y y −yy=1, 又由直线过点(-2,-3),则有-2y −-3y =1,解得a=1,故此时直线的方程为x-y-1=0. 综上可得,所求直线的方程为3x-2y=0或x-y-1=0.(3)因为(x 1,y 1)满足方程2x 1-3y 1=4,所以(x 1,y 1)在直线2x-3y=4上.同理(x 2,y 2)也在直线2x-3y=4上.由两点确定一条直线,可知过点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的直线l 的方程是2x-3y-4=0. 例3(1)12 直线l 1可写成a (x-2)=2(y-2),直线l 2可写成2(x-2)=a 2(2-y ),所以直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2-a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2+2,又0<a<2,所以四边形的面积S=12×2×(2-a )+12×2×(a 2+2)=a 2-a+4=a-122+154,故当a=12时,四边形的面积最小.(2)解(方法1)依题意,设直线l 的方程为y y +y y=1(a>0,b>0),将点P (3,2)的坐标代入方程得3y+2y =1≥2√6yy ,即ab ≥24,当且仅当3y =2y 时,等号成立,从而S △AOB =12ab ≥12,故△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的斜率k=-y y =-23,从而所求直线l 的方程为2x+3y-12=0.所以△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的方程为2x+3y-12=0.(方法2)依题意,直线l 的斜率k 存在,且k<0,可设直线l 的方程为y-2=k (x-3)(k<0),则A (3-2y,0),B (0,2-3k ),所以S △AOB =12(2-3k )(3-2y )=12[12+(-9y )+4(-y )]≥12[12+2√(-9y )·4(-y )]=12×(12+12)=12,当且仅当-9k=4-y ,即k=-23时,等号成立.此时直线l 的方程为2x+3y-12=0. 所以△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的方程为2x+3y-12=0. 例4A 由题意知y'=2x+2.设P (x 0,y 0),则在点P 处的切线斜率k=2x 0+2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π4],所以0≤k ≤1,即0≤2x 0+2≤1,解得-1≤x 0≤-12.对点训练3(1)B (2)B (1)因为直线ax+by=ab 过点(1,1),所以a+b=ab ,即1y+1y =1.因为直线在x 轴上的截距为b ,在y 轴上的截距为a ,所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b )(1y +1y )=2+y y +y y ≥2+2√y y ·yy =4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.(2)由xy-x+2y-5=0,得y=y +5y +2,∴y'=-3(y +2)2,∴曲线在点A (1,2)处的切线斜率k=-3(1+2)2=-13,∴曲线在点A (1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x=0,得y=73;令y=0,得x=7.∴所求三角形的面积S=12×73×7=496.故选B .。

第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础知识整合1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：x轴01正向与直线02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°.②倾斜角的范围为040°≤α<180°.(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为θ，且θ≠90°k＝05tanθ直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝06y2－y1 x2－x12．直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)07y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b08y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)09y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b10xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—11Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系．θ0°0°<θ<90°90°90°<θ<180°k 0k>0不存在k<0 “斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．1．已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－1答案 A解析 ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A ．2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 4．(2019·四川绵阳联考)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 答案 B解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，①当a ＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5,2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y 12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.故选B ．5．(2020·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，B 项符合．6．直线l 与直线y ＝1，直线x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案 C解析 设P (a,1)，Q (b ，b －7)，由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2，1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k＝1－－3－2－4＝－23，故选C ．核心考向突破考向一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．[即时训练] 1.(2019·南昌模拟)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. 2．(2019·安徽五校联考)已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k PA ＝2，k PB ＝34，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)．故选B ．考向二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)直线3x －4y －5＝0与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，所求直线过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，且斜率k ＝－34，所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0.1．直线方程的求法(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：其具体步骤为，①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．2．应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．[即时训练] 3.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案 D解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，直线在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋aa，得a ＝－2或a ＝1.4．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1，1)，所以其所在的直线方程的x －y ＋2＝0.5．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________． 答案 2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0 解析 设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.精准设计考向，多角度探究突破 考向三 直线方程的应用角度1 例3 过点P (4,1)作直线l ，分别交x 轴，y 轴的正半轴于点A ，B ．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，S △AOB ＝12ab ≥8，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立．所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0. 角度2 直线方程与函数的结合例4 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )． 又m30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．[即时训练] 6.已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解 如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接PA ，PB ，则k PA ≤k ≤k PB ．易得A (1,1)，B (－1,5)，所以k PA ＝1－－31－－2＝43，k PB ＝5－－3－1－－2＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43. 7．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？解 如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3－4k，0，B (0,4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫24－9k －16k ，因为k <0， 所以－9k －16k≥2－9k ⎝⎛⎭⎪⎫－16k＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6,0)，B (0,8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米．1、在最软入的时候，你会想起谁。

2021届高考数学总复习：直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)。

2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ；若直线的倾斜角θ＝90°，则斜率不存在。

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1。

(x1≠x2)3．直线方程的五种形式1．直线倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。

(2)不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了。

2．截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数。

应注意过原点的特殊情况是否满足题意。

一、走进教材1．(必修2P 86练习T 3)若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1。

答案 A2．(必修2P 100A 组T 9改编)过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________。

解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0。

答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 二、走近高考3．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ，则直线AP 斜率的取值范围是________。

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程错误!１．直线的倾斜角（１）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0°.（２）倾斜角的范围为[0，π）_． ２．直线的斜率（１）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．（２）过两点的直线的斜率公式：经过两点P １（x １，y １），P ２（x ２，y ２）（x １≠x ２）的直线的斜率公式为k ＝错误!＝错误!. ３．直线方程名称 几何条件方 程局限性点斜式 过点（x 0，y 0），斜率为k y —y 0＝k （x —x 0） 不含垂直于x 轴的直线 斜截式斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式过两点（x １，y １），（x ２，y２），（x １≠x ２，y １≠y ２） 错误!＝错误!不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b （a ，b ≠0）错误!＋错误!＝１不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B不全为0）１．利用两点式计算斜率时易忽视x １＝x ２时斜率k 不存在的情况．２．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．３．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．４．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝—错误!.[试一试]１．若直线（２m２＋m—３）x＋（m２—m）y＝４m—１在x轴上的截距为１，则实数m是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—错误!Ｄ．２或—错误!解析：选D 当２m２＋m—３≠0时，即m≠１或m≠—错误!时，在x轴上截距为错误!＝１，即２m２—３m—２＝0，故m＝２或m＝—错误!.２．过点M（—２，m），N（m,４）的直线的斜率等于１，则m的值为________．解析：∵k MN＝错误!＝１，∴m＝１．答案：１３．过点M（３，—４），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：１若直线过原点，则k＝—错误!，所以y＝—错误!x，即４x＋３y＝0．２若直线不过原点．设错误!＋错误!＝１，即x＋y＝a.则a＝３＋（—４）＝—１，所以直线的方程为x＋y＋１＝0．答案：４x＋３y＝0或x＋y＋１＝0１．求斜率可用k＝tan α（α≠90°），其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．２．求直线方程的一般方法（１）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．（２）待定系数法，具体步骤为：１设所求直线方程的某种形式；２由条件建立所求参数的方程（组）；３解这个方程（组）求出参数；４把参数的值代入所设直线方程．[练一练]１．直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角的取值范围是（）Ａ．[0，π）Ｂ．错误!∪错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!∪错误!解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝—sin α其中sin α∈[—１,１]．又θ∈[0，π），∴0≤θ≤错误!或错误!≤θ＜π.２．过点（５,１0）且到原点的距离是５的直线的方程为________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x—５＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y—１0＝k（x—５），即kx—y＋（１0—５k）＝0．由点到直线的距离公式，得错误!＝５，解得k＝错误!.故所求直线方程为３x—４y＋２５＝0．综上知，所求直线方程为x—５＝0或３x—４y＋２５＝0．答案：x—５＝0或３x—４y＋２５＝0错误!考点一直线的倾斜角与斜率１．（２0１３·秦皇岛模拟）直线x＋错误!y＋１＝0的倾斜角是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k＝—错误!，设倾斜角为α，则tan α＝—错误!，又α∈[0，π），所以α＝错误!.２．（２0１４·常州模拟）若ab＜0，则过点P错误!与Q错误!的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ＝错误!＝错误!＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π），故直线PQ的倾斜角的取值范围为错误!.答案：错误![类题通法]１．求倾斜角的取值范围的一般步骤（１）求出斜率k＝tan α的取值范围；（２）利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．２．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程：（１）直线过点（—４,0），倾斜角的正弦值为错误!；（２）直线过点（—３,４），且在两坐标轴上的截距之和为１２．[解] （１）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝错误!（0＜α＜π），从而cos α＝±错误!，则k＝tan α＝±错误!.故所求直线方程为y＝±错误!（x＋４）．即x＋３y＋４＝0或x—３y＋４＝0．（２）由题设知截距不为0，设直线方程为错误!＋错误!＝１，又因为直线过点（—３,４），所以错误!＋错误!＝１，解得a＝—４或a＝9．故所求直线方程为４x—y＋１6＝0或x＋３y—9＝0．[类题通法]１．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．２．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[针对训练]经过点P（—５，—４），且与两坐标轴围成的三角形的面积为５的直线方程是（）Ａ．8x＋５y＋２0＝0或２x—５y—１２＝0Ｂ．8x—５y—２0＝0或２x—５y＋１0＝0Ｃ．8x＋５y＋１0＝0或２x＋５y—１0＝0Ｄ．8x—５y＋２0＝0或２x—５y—１0＝0解析：选D 由题意设所求方程为y＋４＝k（x＋５），即kx—y＋５k—４＝0．由错误!·|５k—４|·|错误!—５|＝５得，k＝错误!或k＝错误!.考点三直线方程的综合应用直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结合，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有：１与基本不等式相结合求最值问题；２直线方程与平面向量的综合.角度一与基本不等式相结合求最值问题１．已知直线l过点M（１,１），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（１）当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；（２）当|MA|２＋|MB|２取得最小值时，直线l的方程．解：（１）设A（a,0），B（0，b）（a＞0，b＞0）．设直线l的方程为错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝（a＋b）错误!＝２＋错误!＋错误!≥２＋２错误!＝４，当且仅当a＝b＝２时取等号，此时直线l的方程为x＋y—２＝0．（２）设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y—１＝k（x—１），则A错误!，B（0,１—k）, 所以|MA|２＋|MB|２＝错误!２＋１２＋１２＋（１—１＋k）２＝２＋k２＋错误!≥２＋２错误!＝４，当且仅当k２＝错误!，即k＝—１时，|MA|２＋|MB|２取得最小值４，此时直线l的方程为x＋y—２＝0．角度二直线方程与平面向量的综合２．已知直线l过点M（２,１），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当MA·MB取得最小值时，直线l的方程．解：设A（a,0），B（0，b）则a＞0，b＞0，直线l的方程为错误!＋错误!＝１，所以错误!＋错误!＝１．故MA·MB＝—MA·MB＝—（a—２，—１）·（—２，b—１）＝２（a—２）＋b—１＝２a＋b—５＝（２a＋b）错误!—５＝错误!＋错误!≥４，当且仅当a＝b＝３时取等号，此时直线l的方程为x＋y—３＝0．[类题通法]１．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．２．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.错误![课堂练通考点]１．（２0１４·云南检测）直线x＝错误!的倾斜角等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．π解析：选C 直线x＝错误!，知倾斜角为错误!.２．直线l：x sin ３0°＋y cos １５0°＋１＝0的斜率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：选A 设直线l的斜率为k，则k＝—错误!＝错误!.３．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O（0,0），A（１,３），点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为（）Ａ．y—１＝３（x—３）Ｂ．y—１＝—３（x—３）Ｃ．y—３＝３（x—１）Ｄ．y—３＝—３（x—１）解析：选D 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以k AB＝—k OA ＝—３，所以直线AB的点斜式方程为：y—３＝—３（x—１）．４．若过点P（１—a,１＋a）与Q（３,２a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．解析：k＝tan α＝错误!＝错误!.∵α为钝角，∴错误!＜0，即（a—１）（a＋２）＜0，故—２＜a＜１．答案：（—２,１）５．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为３，分别求满足下列条件的直线l的方程：（１）过定点A（—３,４）；（２）斜率为错误!.解：（１）设直线l的方程为y＝k（x＋３）＋４，它在x轴，y轴上的截距分别是—错误!—３,３k ＋４，由已知，得（３k＋４）错误!＝±6，解得k１＝—错误!或k２＝—错误!.故直线l的方程为２x＋３y—6＝0或8x＋３y＋１２＝0．（２）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝错误!x＋b，它在x轴上的截距是—6b，已知，得|—6b·b|＝6，∴b＝±１．∴直线l的方程为x—6y＋6＝0或x—6y—6＝0．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．若直线l与直线y＝１，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（１，—１），则直线l的斜率为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：选B 设P（x P,１），由题意及中点坐标公式得x P＋7＝２，解得x P＝—５，即P（—５,１），所以k＝—错误!.２．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）Ａ．ab＞0，bc＜0 Ｂ．ab＞0，bc＞0Ｃ．ab＜0，bc＞0 Ｄ．ab＜0，bc＜0解析：选A 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝—错误!x—错误!.易知—错误!＜0且—错误!＞0，故ab＞0，bc＜0．３．若实数a，b满足a＋２b＝３，则直线２ax—by—１２＝0必过定点（）Ａ．（—２,8）Ｂ．（２,8）Ｃ．（—２，—8）Ｄ．（２，—8）解析：选D a＋２b＝３⇒４a＋8b—１２＝0，又２ax—by—１２＝0，比较可知x＝２，y＝—8故选Ｄ．４．将直线y＝３x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移１个单位，所得到的直线为（）Ａ．y＝—错误!x＋错误!Ｂ．y＝—错误!x＋１Ｃ．y＝３x—３Ｄ．y＝错误!x＋１解析：选A 将直线y＝３x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝—错误!x，再向右平移１个单位，所得直线的方程为y＝—错误!（x—１），即y＝—错误!x＋错误!.５．（２0１４·浙江诸暨质检）已知两点M（２，—３），N（—３，—２），直线l过点P（１,１）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）Ａ．k≥错误!或k≤—４Ｂ．—４≤k≤错误!Ｃ．错误!≤k≤４Ｄ．—错误!≤k≤４解析：选A 如图所示，∵k PN＝错误!＝错误!，k PM＝错误!＝—４，∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥k PN；当l的倾斜角大于90°时，k≤k PM，由已知得k≥错误!或k≤—４，故选Ａ．6．已知A（３,５），B（４,7），C（—１，x）三点共线，则x＝________.解析：因为k AB＝错误!＝２，k AC＝错误!＝—错误!.A，B，C三点共线，所以k AB＝k AC，即—错误!＝２，解得x＝—３．答案：—３7．已知两点A（0,１），B（１,0），若直线y＝k（x＋１）与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．解析：y＝k（x＋１）是过定点P（—１,0）的直线，k PB＝0，k PA＝错误!＝１．∴k的取值范围是[0,１]．答案：[0,１]8．过点M（—３,５）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：（１）当过原点时，直线方程为y＝—错误!x，（２）当不过原点时，设直线方程为错误!＋错误!＝１，即x—y＝a.代入点（—３,５），得a＝—8．即直线方程为x—y＋8＝0．答案：y＝—错误!x或x—y＋8＝09．已知两点A（—１,２），B（m,３）．（１）求直线AB的方程；（２）已知实数m∈错误!，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解：（１）当m＝—１时，直线AB的方程为x＝—１；当m≠—１时，直线AB的方程为y—２＝错误!（x＋１）．（２）１当m＝—１时，α＝错误!；２当m≠—１时，m＋１∈错误!∪（0，错误!]，∴k＝错误!∈（—∞，—错误!]∪错误!，∴α∈错误!∪错误!.综合１２知，直线AB的倾斜角α∈错误!.１0．已知直线l：kx—y＋１＋２k＝0（k∈R）．（１）证明：直线l过定点；（２）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（３）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：（１）证明：法一：直线l的方程可化为y＝k（x＋２）＋１，故无论k取何值，直线l总过定点（—２,１）．法二：设直线l过定点（x0，y0），则kx0—y0＋１＋２k＝0对任意k∈R恒成立，即（x0＋２）k—y0＋１＝0恒成立，∴x0＋２＝0，—y0＋１＝0，解得x0＝—２，y0＝１，故直线l总过定点（—２,１）．（２）直线l的方程为y＝kx＋２k＋１，则直线l在y轴上的截距为２k＋１，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k的取值范围是[0，＋∞）．（３）依题意，直线l在x轴上的截距为—错误!，在y轴上的截距为１＋２k，∴A错误!，B（0,１＋２k）．又—错误!<0且１＋２k>0，∴k>0．故S＝错误!|OA||OB|＝错误!×错误!（１＋２k）＝错误!错误!≥错误!（４＋４）＝４，当且仅当４k＝错误!，即k＝错误!时，取等号．故S的最小值为４，此时直线l的方程为x—２y＋４＝0．第Ⅱ组：重点选做题１．（２0１４·哈尔滨模拟）函数y＝a sin x—b cos x的一条对称轴为x＝错误!，则直线l：ax—by ＋c＝0的倾斜角为（）Ａ．４５°Ｂ．60°Ｃ．１２0° Ｄ．１３５°解析：选D 由函数y＝f（x）＝a sin x—b cos x的一条对称轴为x＝错误!知，f（0）＝f错误!，即—b＝a，∴直线l的斜率为—１，∴倾斜角为１３５°.２．已知直线l１：ax—２y＝２a—４，l２：２x＋a２y＝２a２＋４，当0＜a＜２时，直线l１，l２与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a＝________.解析：由题意知直线l１，l２恒过定点P（２,２），直线l１的纵截距为２—a，直线l２的横截距为a２＋２，所以四边形的面积S＝错误!×２×（２—a）＋错误!×２×（a２＋２）＝a２—a＋４＝错误!２＋错误!，当a＝错误!时，面积最小．答案：错误!。