数学期望性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。

2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。

5.数学期望的基本性质利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则性质1.E(c)=c；性质2.E(aξ)=aE(ξ)；性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．例3.5.7设随机变量X的概率分布为:P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.求E(X),E(3X+2)．解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11．例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:求E(X),E(2X-1)．解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知=-1/6+1/6=0．∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2 数学期望的性质（1）设是常数，则有。

证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。

所以，。

（2）设是随机变量，是常数，则有。

证若是连续型随机变量，且其密度函数为。

当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。

（3）设都是随机变量，则有。

此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。

这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即。

（4）设是相互独立的随机变量，则。

证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。

设的概率密度分别为和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有。

由此得此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。

例4.1.2 倒扣多少分？李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。

期望的性质
数学期望的性质：
1、设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）。

2、设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）。

3、设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。

4、设C为常数，则E（C）=C。

扩展资料：
期望的应用
1、在统计学中，想要估算变量的期望值时，用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得数据的平均值来作为此变量的期望值的估计。

2、在概率分布中，数学期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。

3、在古典力学中，物体重心的算法与期望值的算法近似，期望值也可以通过方差计算公式来计算方差：
4、实际生活中，赌博是数学期望值的一种常见应用。

概率论中的期望与方差概率论是一门研究随机现象的数学理论。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。

本文将围绕这两个概念展开阐述，并探讨它们在概率论中的应用。

一、期望的定义与性质期望是对随机变量的平均值的度量，反映了随机变量的平均水平。

设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的期望E(X)定义为∑[x·P(X=x)]。

期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。

期望在概率论中有着广泛的应用。

在统计学中，期望被用于描述样本均值的性质。

在金融领域，期望被用于计算资产收益的预期值。

在工程学中，期望被用于评估系统的性能。

二、方差的定义与性质方差用于衡量随机变量的离散程度。

设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的方差Var(X)定义为∑[(x-E(X))^2·P(X=x)]。

方差的算术平方根称为标准差。

方差的计算是概率论中的重要内容。

方差衡量了随机变量与其期望之间的差异程度，越大表示随机变量值的分散程度越大。

方差的应用包括金融学中的风险度量、质量控制中的异常度量等。

三、期望与方差的关系期望和方差是概率论中两个紧密相关的概念。

根据方差的定义可得，Var(X)=E[(X-E(X))^2]。

这说明方差是对随机变量离散程度的度量，同时也可以看作是随机变量与其期望之差的平方的期望。

期望和方差之间存在一定的关系。

例如，对于两个独立随机变量X和Y，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。

这个性质被称为方差的可加性。

另外，若常数a和b分别为aX和bY的系数，则Var(aX+bY)=a^2·Var(X)+b^2·Var(Y)。

四、期望与方差的应用期望和方差在概率论中有着广泛的应用。

以期望为例，它可以用于计算随机变量的平均值，进而评估随机事件的结果。

在统计学中，期望被用于估计总体参数，如样本均值是总体均值的无偏估计。

方差的应用也是多种多样的。

在金融学中，方差被用于度量资产的风险程度。