佛山市第一中学2012届高三5月模拟考试(文数)

佛山市第一中学2012届高考模拟(文科数学)试题一．选择题(每小题5分，共60分)1.设集合},02|{2R x x x x A ∈≤-=，}21,|{2≤≤--==x x y y B ，则C R （A ∩B ）等于A ． RB ．}0,|{≠∈x R x xC ． {0}D ．φ2.函数)13lg(14)(2++-+=x xx x f 的定义域为A ．),31(+∞- B ．)31,(--∞ C ．)1,31(- D ．)31,31(-3.现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查A ．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样B ．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样C ．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样D ．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样 4.曲线x x y 23+-=在横坐标为1-的点处的切线为L ，则点（3,2）到L 的距离是A ．227 B ．229 C ．2211 D ．10109 5.在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是A ．34 B ．1 C ． 32 D. 316.一个空间几何体的三视图如下，则它的体积是正视图侧视图22222A ．32+πB ．3344+π C ．3322+π D ．332+π 7.设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 A ．212- B ．22C ．22-D ．12- 8.三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，则A c C a cos cos +的值是 A ． b B ．2cb + C ．B cos 2 D ． B sin 2 9.下列四个命题中真命题是P1：xxx )31()21(),,0(≥+∞∈∀ P2：x x x 3121log log ),1,0(≤∈∀P3：x x x21log )21(),,0(≤+∞∈∃ P4：x x x31log )21(),31,0(≥∈∃A ．P1，P3B ．P1，P4C ．P2，P3D ．P2，P4 10.当x>0时，下列函数中最小值为2的是 A ．111+++=x x y B ．322+-=x x y C ．11072+++=x x x y D ．x x y ln 1ln +=二．填空题(每小题5分，共20分)(必做题11----13，选做题14----15考生只能从中选做一题)11.过原点且倾斜角为60度的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为 12.设复数z 满足，且i z i 6)33(=-，则=z13.设y x ,满足⎩⎨⎧≥≤-+-21)2()2(22y y x ，则x y的取值范围是14.极坐标方程为θρcos =与θρsin =的两个圆的圆心距为 15. 如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ， CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于 三．解答题16.(12分)掷两枚骰子，记事件A 为“向上的点数之和为n ”. （1）求所有n 值组成的集合；（2）n 为何值时事件A 的概率P(A)最大？最大值是多少？ （3）设计一个概率为0.5的事件（不用证明）17.(12分)如图，有三个并排放在一起的正方形，βα=∠=∠AFB AGB ,. （1）求βα+的度数；（2）求函数1cos sin 3sin 2-+=x x x y的最大值及取得最大值时候的x 值。

18.(14分)如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2。

（1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求E 到平面ACD 的距离；（3）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值。

19.(14分)设函数)(x f 是定义在]1,0()0,1[ -上的偶函数，当)0,1[-∈x 时，ax x x f -=3)(（a 是实数）。

（1）当]1,0(∈x 时，求f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在（0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得当]1,0(∈x 时，f(x)有最大值1.20.(14分)在ABC Rt ∆中，322),22,0(),22,0(,90=-=∠∆ABC S B A BAC，动点P ABCDOABCDEFGHαβO CBDA的轨迹为曲线E ，曲线E 过点C 且满足|PA|+|PB|为常数。

（1）求曲线E 的方程；（2）是否存在直线L ，使L 与曲线E 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出L 的斜率的取值范围；若不存在说明理由。

21.(14分)已知函数4)(2-=x x f ，设曲线y=f(x)在点))(,(n n x f x 处的切线与x 轴的交点为)0,(1+n x ，（1*,x N n ∈为正数） （1）试用n x 表示1+n x （2）若,41=x 记22lg-+=n n n x x a ，证明}{n a 是等比数列，并求数列}{n x 的通项公式； （3）若n n n T x b x ,2,41-==是数列}{n b 的前n 项和，证明：3<n T文科数学答案一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BCAAACDAAB二．填空题11. 32； 12. i 2323+-； 13. ]374,32[+； 14.22； 15. 5 三．解答题16.（1）投掷两枚骰子的所有可能结果如下表 1234561 (1,1) (1,2) (1,2) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)-----------------4分向上的点数和有2，3，…，12，所有n 值的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (或写成},122|{Z n n n ∈≤≤)----------------------------------6分 （2）油表中可见n=7时候P （A ）的概率最大为167---------------------------9分 (3)“向上点数和为奇数”就是其中一个概率为0.5的事件 --------------12分 17.（1）不妨设正方形边长为1，易知31tan ,21tan ==βα ----------------2分 1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+βαβαβα ---------------------------4分又因为,20,20πβπα<<<<所以4,0πβαπβα=+<+< --------------------6分 （2）21)62sin(212cos 212sin 2312sin 2322cos 1--=--=-+-=πx x x x x y ， -------------------9分 所以21max =y ----------------------10分 由)(3,2262Z k k x k x ∈+=+=-πππππ----------------------11分即当)(3Z k k x ∈+=ππ时函数y 的最大值为21---------------------12分 18.（1）证明：在三角形ABC 中，因为2==AD AB ，O 是BD 中点，所以AO ⊥BD ，且11)2(2=-=AO ------------------2分连结CO ，在等边三角形BCD 中易得3=CO ， 所以222222)3(12CO AO AC +=+==所以AO ⊥CO --------------------------------4分 因为CO ∩BD=O ，CO 、BD ⊂平面BCD所以AO ⊥平面BCD ---------------------6分 （2）分别取BC 、AC 的中点E 、F ，连结EF 、EG 因为CD EO AB EF 21//,21//所以∠FEO 或其补角就是异面直线AB 、CD 所成的角---------8分连结FO ，因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥CO ， 所以在Rt △ACO 中，斜边AC 上的中线121==AC FO ， 又因为2221,121====AB EF CD EO ， 所以在△EFO 中，422cos 222=⋅-+=∠EO EF FO EO EF FEO因为FEO ∠cos >0,所以异面直线AB 、CD 所成的角的余弦值是42-------------------14分19.（1）设],1,0(∈x 则)0,1[-∈-x -----------------------1分 所以ax x x a x x f +-=---=-33)()()( -------------2分 因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x) -----------------3分 所以)]1,0(()(3∈+-=x ax x x f -------------------4分 （2）当]1,0(∈x 时，]3,0(3,3)(22'∈+-=x a x x f 所以)0,3[32-∈-x因为f(x)在(0,1]上是增函数，所以032≥+-a x -------------6分 所以a 的取值范围是),3[+∞ ---------------------------7分 FEOAC B D（3）(i)当3≥a 时，由（2）知f （x ）在区间(0,1]上是增函数 所以2,11)1()(max ==-==a a f x f 不合题意，舍去 （ii ）当30<<a 时，在区间（0,1]上，a x x f +-=2'3)(令3,0)('ax x f == -----------------------8分 由下表x)3,0(a 3a )1,3(a )('x f ＋－)(x f 增极大值 减f(x)在3ax =处取得最大值 -----------------9分 1)3()3()(3max =---=aa a x f -----------------10分 所以33223427==a -----------------------11分 注意到322303<<，所以)1,0(3,330∈<<a a 符合题意 -------------12分 (iii)当0≤a 时，在区间（0,1]上，03)(2'≤+-=a x x f ， 所以f(x)为减函数，无最大值 --------------13分 综上所述，存在3223=a 使得当]1,0(∈x 时，f(x)有最大值1、 20.（1）易知24||=AB ，又因为90=∠BAC ，所以322||||21==∆AC AB S ABC ， 所以31||=AC ，317||||||22=+=AB AC BC 由|PA|+|PB|的值为常数知动点P 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆 ------4分 其中189,3,6||||2,22222=-=-===+==c a b a BC AB a c ------6分 （2）假设L 存在，因为L 与直线21-=x 相交，所以直线L 有斜率， 设L 的方程为m kx y += ----------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1922得0)9(2)9(222=-+++m kmx x k （*） ------9分 因为直线L 与椭圆有两个交点所以（*）的判别式09,0)9)(9(44222222<-->-+-=∆k m m k m k ① -----10分 设),(),(2211y x N y x M ，则92221+-=+k kmx x -------------11分因为MN 被直线21-=x 平分 所以k k m k km x x 29192,2122221+=-=+--=+， ② ----------12分 把②代入①得0)9()29(222<+-+k kk 因为092>+k 所以014922<-+kk ---------------13分 所以,32>k 所以3-<k 或3>k即直线L 的斜率取值范围是),3()3,(+∞--∞ ------------14分21.（1）因为x x f 2)('= 所以曲线y=f(x)在点),(1+n n x x 处的切线方程是)(2)(n n n x x x x f y -=-， ----------------2分令y=0得x x x n n 242=+ 显然,0≠n x 所以nn x x x 22+=即n n n x x x 221+=+（或nn n x x x 2221+=+） ---------------4分 （2）由（1）知n n n n n x x x x x 2)2(222221+=++=++，nn n x x x 2)2(221-=-+ 所以211)22(22-+=-+++n n n n x x x x ---------------------6分从而22lg 222lg 11-+=-+++n n n n x x x x ，即n n a a 21=+其03lg 22lg 111≠=-+=x x a所以}{n a 是以3lg 为首项，2=q 为公比的等比数列 ----------------8分 所以)(3lg 2*1N n a n n ∈=-，即3lg 222lg1-=-+n n n x x所以12322-=-+n n n x x ，所以)(13)13(2*2211N n x n n n∈-+=-- -------------10分（3）13413)13(2)13(211112222-=---+=----n n n n n b 显然n b 恒大于0 ------------11分因为313131131)131312222211111=≤<+=--=-+-n n n n b b 所以n n b b 311<+ --------------------------12分 当1=n 时，显然322111<=-==x b T当1>n 时，11221)31()31(31b b b b n n n n ---<<<<所以3)311(3311)311()31(311111121<-=--=+++<++=-n n n n n b b b b b b b T 即3,*<∈∀n T N n 成立，证毕 -----------------------14分。