2020-2021学年高考数学文科第二次模拟考试试题及答案解析

浙江省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜13．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=______，数列{a n}通项公式a n=______．10．函数则f（﹣1）=______，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为______．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为______，x2+4y2+xy的最小值为______．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为______；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是______．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为______．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为______．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1} D．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式lgx≥0=lg1，得到x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：2x≥=2，即x≥，∴B={x|x≥}，则A∩B={x|x≥1}，故选：A．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【考点】四种命题的真假关系．【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．【解答】解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a=﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A 不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．3．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的对称性可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由x+=kπ+可x=kπ+，k∈Z．结合选项可得当k=0时，函数的一条对称轴为x=．故选：B．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，知：在A中，若m，n是异面直线，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定【考点】等差数列的性质．【分析】S n=na1+=+，利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：S n=na1+=+，可知：a1＞0，d＜0，则唯一确定时n不一定唯一确定，可能有两个值，故选：D．6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的零点，利用导数判断单调性．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x+）sin（﹣x）=（x﹣）•sinx=f（x）．∴f（x）是偶函数．故A错误．令f（x）=0得x﹣=0或sinx=0，∵x∈[﹣π，π]，∴x=±1或x=±π．∴f（x）有4个零点．故C正确．故选：C．7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连结BC，CD，则=AB2，=AD2．于是•==．【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC．∴=AB×AC×cos∠BAC=AB2=t+1．=AD×AC×cos∠CAD=AD2=t+2．∵，∴•===1．故选：A．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1= 1 ，数列{a n}通项公式a n= ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于3a2﹣4=2．利用等比数列的通项公式可得3a n﹣2n，即可得出．【解答】解：3a2﹣4=2．∴3a n﹣2n=2×2n﹣2=2n﹣1．∴3a1﹣2=1，解得a1=1．∴a n=．故答案分别为：1；．10．函数则f（﹣1）= 2﹣，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为（0，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=|﹣2|=2﹣，故答案为：2﹣，作出函数f（x）的图象如图：当x＜0时，f（x）=2﹣e x∈（1，2），∴当x≤1时，f（x）∈[0，2），当x≥1时，f（x）≥0，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），故答案为：2﹣，（0，2）．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为，x2+4y2+xy的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据基本不等式进行转化求解得的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求x2+4y2+xy的最小值．【解答】解：由x+2y=3得+=1，则=+=（+）×1=（+）（+）=2+++≥+2=+=，当且仅当=，即3x2=2y2取等号，即的最小值为．由x+2y=3得x=3﹣2y，由x=3﹣2y＞0得0＜y＜，则x2+4y2+xy=（3﹣2y）2+4y2+（3﹣2y）y=6y2﹣9y+9=6（y﹣）2+，即当y=时，x2+4y2+xy的最小值为，故答案为：，．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为 5 ；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是1＜a或a ＜．【考点】简单线性规划．【分析】（1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B （5，3）时，z最大，当直线过C时，z最小．（2）作出不等式组．表示的平面区域，从而解出．【解答】解：（1）画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=2x+y，作出目标函数对应的直线，，解得A（1，3），直线过A（1，3）时，直线的纵截距最大，z最小，最小值为5；则目标函数z=2x+y的最小值为：5．故答案为：5．（2）．如下图：y=a（x﹣3）恒过（3，0），则若不等式组表示的平面区域是一个三角形，K AB==﹣，则实数a的取值范围，1＜a或a＜，故答案为：1＜a或a＜．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为1002 ．【考点】数列与向量的综合；向量的模．【分析】根据题意，求出x n与y n的通项公式，计算的模长最小值即可．【解答】解：是按先后顺序排列的一列向量，且，，∴+（1，1），即（x n，y n）=（x n﹣1，y n﹣1）+（1，1）=（x n﹣1+1，y n﹣1+1）；∴，∴，∴||===；∴当n==1002，即n=1002时，其模最小．故答案为：1002．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为90°．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，且c=，b=，a=2．利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出．【解答】解：空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，c=，b=，a=2，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，∴∠APB=2∠APD=90°．故答案为：90°．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为．【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据题意，画出图形，找出与AC1垂直的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是什么，再求正方体在该平面上的投影面积．【解答】解：如图所示，连接BB1，DD1的中点MN，交AC1于点O，在对角面ACC1A1中，过点O作OP⊥AC，交AC1于点P，则平面MOP是对角线AC1的垂面；该平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是六边形MGHNFE；则正方体在该平面上的投影面积是MN•2OR=××2×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）使用二倍角公式得出关于cosC的方程解出；（II）使用和角公式计算sinB，利用正弦定理和面积公式计算b．【解答】解：（I）∵cosA=cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosC=±．∵A=2C，∴C是锐角，∴cosC=．（II）∵cosA=，cosC=，∴sinA=，sinC=．∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．由正弦定理得．∴a===5，∵S△ABC∴b=5．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1计算，进而可知a n=2n﹣7；通过b n+1=3b n可知数列{b n}为等比数列，利用b n=b2•3n﹣2计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知c n=，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=﹣5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣7，又∵当n=1时满足上式，∴a n=2n﹣7；∵b n+1=3b n，b2=3，∴数列{b n}为等比数列，故其通项公式b n=b2•3n﹣2=3n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知c n=，当n为偶数是，T n=+=+；当n为奇数时，T n=+=+；综上所述，T n=．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=．【解答】证明：（I）连结BD，∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，∴E是BD的中点．又F是BP的中点，∴EF∥PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，又BC⊂平面BCH，BH⊂平面BCH，BC∩BH=B，∴AP⊥平面BCH，又OB⊂平面BCH，∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，CH∩AP=H，∴OB⊥平面PAC．∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．∵AB=2，BC=1，∴BH=，CH==2，∴BO==，∴sin∠BPO==．即直线BP与面PAC所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设直线L的方程为y=kx+b，由点到直线距离公式和相切性质得k2+1=（1+b）2，联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由根的判别式得k2+2b=0，由此能求出直线L的方程．（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当P=1时，抛物线x2=2y，由题意直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+b，即kx﹣y+b=0，由题意得=1，即k2+1=（1+b）2，①联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由△=0，得k2+2b=0，②由①②得k=±2，b=﹣4，故直线L的方程为y=，（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，（*）由△=0，得pk2+2p=0，③∴b=﹣，代入（*）式，得x=pk，故点A（pk，），由①②得b=﹣，k2=，故A（pk，），∴|AB|===2•，点F到直线L的距离d==•=，∴S=|AB|•d==，∴==≥，当且仅当p=时，有最小值（2）．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，（3）若﹣≥1，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，y max=max{f（0），﹣f（1）}=max{1，﹣a﹣2}=，综上所述，y max=．。

2020-2021学年甘肃省嘉峪关一中高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|x2﹣6x+5＜0}，则A∩B＝（）A．（1，5）B．{2，3}C．{2，3，4}D．{3，4}2．复数z满足z（2+i）＝3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A．月收入的极差为60B．这一年的总利润超过400万元C．这12个月利润的中位数与众数均为30D．7月份的利润最大4．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足，，且，则m＝（）A．﹣2B．C．D．26．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a9＝（）A．﹣6B．﹣4C．﹣2D．27．设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l⊥α，l∥β，则α⊥βB．若l∥α，m⊥l，则m⊥αC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m8．函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若f（0）＝，则函数f（x）图象的对称轴方程为（）A．x＝kπ+（k∈Z）B．x＝+（k∈Z）C．x＝+（k∈Z）D．x＝kπ+（k∈Z）10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2B．2+4C．4+2D．4+411．已知圆M的圆心为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）虚轴的一个端点，半径为a+b，若圆M截直线l：y＝kx所得的弦长的最小值为2b，则C的离心率为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，5）B．（1，5]C．（5，+∞）D．[5，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省湛江市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}，则A∩B=()A. (0,1)B. (0,2)∪(3,+∞)C. ⌀D. (0,+∞)2.1+2i−2+i=()A. −1+45i B. −45+i C. −i D. i3.已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x=2y−1，则f(2)+f′(2)的值是()A. 2B. 1C. 1.5D. 34.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是()A. 10B. 11C. 12D. 165.设a=log2e，b=ln2，c=log1213，则()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<b<a6.函数y=sin3x1+cosx，x∈(−π,π)图象大致为()A. B.C. D.7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积是A. 8√33π B. 4√2π C. 4√3π D. 4√23π8. 在如图所示的程序框图中，若函数f(x)={log 12(−x )(x <0),2x (x ≥0),则输出的结果是( )A. 16B. 8C. 216D. 289. 若双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√3310. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若csinC−bsinB2a+b=sinA 2，则cosC =( )A. −14B. 14C. −12D. 1211. 将函数f(x)=2sin (ωx +π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[−π6,π3]上为增函数，则ω的最大值为( )．A. 54B. 32C. 2D. 312. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为6，O 1为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则四棱锥O 1−ABCD 的外接球的表面积为( )A. 9πB. 324πC. 81πD.2432π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(m,2)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则m =______．14. 已知函数f(x)=log 2(√x 2+a −x)是奇函数，g(x)={f(x),x ≤02x −1,x >0，则g(g(−1))=_________．15. 若α∈(0,π2)，且cos2α=2√55sin(α+π4)，则tanα=______．16.已知抛物线y2=4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=−n2+26n．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求a2+a5+a8+⋯+a3n−1的值．18.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=6，AB=10，BC=8，AA1=8，点D是AB的中点．(Ⅰ)求证：AC1//平面CDB1；(Ⅱ)求三棱锥B−CDB1的体积．19.袋中装着分别有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的一次取出2个小球．记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y(1)列举出所有基本事件；(2)求x+y是3的倍数的概率．20.已知函数f(x)=ln(ax+1)+1−x1+x，其中a>0．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F(√3,0)，且点A(2,0)在椭圆上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求▵OMN的面积．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3上，且点P到极点O的距离为4．(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}；∴A∩B=(0,1)．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．1+2i −2+i =(1+2i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−5i5=−i，故选C．3.答案：A解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确运用切线的方程是解题的关键，属于基础题．由已知切线的方程，结合导数的几何意义，可得f(2)，f′(2)，即可得到所求和．解：函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x−2y+1=0，即y=x+12，可得f(2)=2+12=32，f′(2)=12，即有f(2)+f′(2)=32+12=2，故选：A．4.答案：D解析：本题主要考查系统抽样的定义和方法，注意样本的编号成等差数列．根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，由条件可得此等差数列的公差为13，从而求得另一个同学的编号．解：根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，故此等差数列的公差为13，故还有一个同学的学号是16.故选D．5.答案：B解析：【试题解析】解：∵c=log23>log2e=a>1>ln2=b．∴b<a<c．故选：B．利用指数对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：函数y=sin3x1+cosx 满足f(−x)=−sin3x1+cosx=−f(x)，函数为奇函数，排除A，由于f(π2)=sin3π21+cosπ2=−1，f(π3)=sinπ1+cosπ3=0，f(2π3)=sin2π1+cos2π3=0故排除B，C故选：D．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．7.答案：A解析：本题考查了圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为4π，底面半径为2，圆锥的高为2√3；圆锥的体积为：13×π×22×2√3=8√33，故选A.8.答案：A解析：本题考查了程序框图，考查了循环结构中的直到型循环，直到型循环是先执行后判断，此题是基础题．框图在输入a=−4后，对循环变量a与b的大小进行判断，直至满足条件b<0算法结束．解：模拟执行程序框图，可得a=−16≤0，b=log1216=−4<0，a=log124=−2，不满足条件a>4，继续循环，b=log122=−1，a=log121=0，不满足条件a>4，b=20=1，a=21=2，不满足条件a>4，b=22=4，a=24=16，满足a>4，退出循环，输出a=16，故选A．9.答案：A解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为：2，因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为：√22−12=√3=√a2+b2，解得：4c2−4a2c2=3，可得e2=4，即e=2．故选A．10.答案：A解析：本题目考查正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键．利用正弦定理对csinC−bsinB2a+b =sinA2进行整理可得−12ab=a2+b2−c2，然后再利用余弦定理进行计算即可得．解：在△ABC中，由csinC−bsinB2a+b =sinA2，及正弦定理可得c2−b22a+b=a2，整理可的−12ab=a2+b2−c2，所以由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =−14，故选A．11.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，主要考查函数的图像变换和函数的单调性，根据题意列出式子即可求出结果．解：将f(x)的图象向右平移π4ω得g(x)=2sin[ω(x−π4ω)+π4]，即g(x)=2sinωx的图象．所以当y=g(x)满足ωx∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，即x∈[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω](k∈Z)时，y=g(x)单调递增．因为y=g(x)在[−π6,π3]上为增函数，所以{−π2ω≤−π6π2ω≥π3即ω≤32，故选B．12.答案：C解析：设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=(3√2)2+(3−R)2，可得R，即可求出四棱锥O1−ABCD的外接球的表面积．本题考查四棱锥O1−ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．解：设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=(3√2)2+(3−R)2，∴R=92，∴四棱锥O1−ABCD的外接球的表面积为4πR2=81π，故选：C．13.答案：−4解析：解：a⃗+b⃗ =(m+1,−1)；∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )；∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=m+1+3=0；∴m=−4．故答案为：−4．可求出a⃗+b⃗ =(m+1,−1)，根据a⃗⊥(a⃗+b⃗ )即可得出a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算．14.答案：√2解析：本题主要考查了函数的奇偶性，函数的定义域与值域，分段函数，掌握函数的奇偶性是解题的关键，属于基础题．解：因为函数f(x)=log2(√x2+a−x)是奇函数，所以，解得a=1，所以，所以．故答案为√2．15.答案：13解析：根据三角函数的恒等变换，利用同角的三角函数关系，即可得出tanα的值．本题考查了三角函数的恒等变换以及同角的三角函数关系，是中档题．解：α∈(0,π2)，且cos2α=2√55sin(α+π4)，∴cos2α−sin2α=2√55sin(α+π4)，∴(cosα+cosα)(cosα−sinα)=2√55⋅√22(sinα+cosα)，∴cosα−sinα=√105，两边平方，得sin2α−2sinαcosα+cos2α=25，∴sinαcosα=310，∴sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310，整理得3tan2α−10tanα+3=0，解得tanα=13或tanα=3，即cosα>sinα，得tanα<1，∴tanα=13．故答案为：13．16.答案：32解析：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，注意联立方程运用韦达定理，属于中档题．解：由题意，设直线方程为x=my+4，与抛物线方程联立消去x得，y2−4my−16=0，∴y1+y2=4m，y1y2=−16，则y12+y22=(y1+y2)2−2y1y2=16m2+32≥32，当m=0时取等号，则y12+y22的最小值为32.故答案为32.17.答案：解：(Ⅰ)依题意，S n=−n2+26n，S n−1=−(n−1)2+26(n−1)(n≥2)，两式相减得：a n=−2n+27(n≥2)，又∵a1=−1+26=25满足上式，∴a n=−2n+27；(Ⅱ)由(I)可知{a3n−1}是首项为23、公差为−6的等差数列，∴a2+a5+a8+⋯+a3n−1=23n+n(n−1)2⋅(−6)=−3n2+26n．解析：(Ⅰ)通过S n=−n2+26n与S n−1=−(n−1)2+26(n−1)(n≥2)作差、整理可知a n=−2n+ 27，进而计算可得结论；(Ⅱ)通过(I)可知{a3n−1}是首项为23、公差为−6的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18.答案：证明：(Ⅰ)∵点O为矩形CBB1C1的对角线交点，∴点O为BC1的中点．又点D是AB的中点，∴AC1//OD，又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1．∴AC1//平面CDB1．(Ⅱ)∵AC=6，BC=8，AB=10，则AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又点D是AB的中点．∴S△CDB=12×12×AC×BC=12．故三棱锥B−CDB1的体积V B−CDB1=V B1−CDB=13×S△CDB×B1B=13×12×8=32．解析：本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)推导出AC1//OD，由此能证明AC1//平面CDB1．(Ⅱ)求出S△CDB=12×12×AC×BC=12，根据V B−CDB1=V B1−CDB即可求出三棱锥B−CDB1的体积．19.答案：解：(1)袋中装着分别有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的一次取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y，则Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共有25个基本事件．(2)x+y是3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(4,5)，(5,4)，共9个，∴x+y是3的倍数的概率p=925．解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． (1)由已知条件利用列举法能写出所有基本事件．(2)利用列举法求出x +y 是3的倍数的基本事件个数，由此能求出x +y 是3的倍数的概率． 20.答案：解：(1)f(x)=ln (ax +1)+1−x1+x =ln(ax +1)+21+x −1，求导函数可得f′(x)=aax+1−2(1+x)2， ∵f(x)在x =1处取得极值， ∴f′(1)=0，∴aa+1−24=0， ∴a =1；(2)设f′(x)=aax+1−2(1+x)2>0，有ax 2>2−a ，若a ≥2，则f′(x)>0恒成立，f(x)在[0,+∞)上递增，∴f(x)的最小值为f(0)=1； 若0<a <2，则x >√2−a a，f′(x)>0恒成立，f(x)在(√2−a a,+∞)上递增，在(−∞,√2−a a)上递减，∴f(x)在x =√2−a a处取得最小值，f(√2−a a)<f(0)=1．综上知，若f(x)最小值为1，则a 的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)求导函数，根据f(x)在x =1处取得极值，可得f′(1)=0，即可求得a 的值；(2)设f′(x)=aax+1−2(1+x)2>0，有ax 2>2−a ，分类讨论：a ≥2，则f′(x)>0恒成立，f(x)在[0,+∞)上递增，f(x)的最小值为f(0)=1；0<a <2，可得f(x)在x =√2−a a处取得最小值，f(√2−a a)<f(0)=1，由此可得a 的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，正确求导是关键．21.答案：解：(1)由题意，椭圆焦点F(√3,0)且过点A(2,0)，得a =2，c =√3，又b 2=a 2−c 2=4−3=1， 所以椭圆方程为x 24+y 2=1．(2)由题意得，直线MN 的方程为y =x −√3， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立直线与椭圆方程{y =x −√3x 24+y 2=1, 得5x 2−8√3x +8=0，得则y 1−y 2=x 1−√3−(x 2−√3)=x 1−x 2， |MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2√(x 1−x 2)2， 又(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =(8√35)2−4×85=3225，所以|MN|=√2×√3225=85，设原点O 到直线MN 的距离为d ， d =√3|√12+12=√62． 所以△OMN 的面积S =12|MN|⋅d =25√6．解析：本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，也考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，属于中档题．(1)由题意可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；(2)过点F 且斜率为1的直线方程设为y =x −√3，联立椭圆方程，求得|MN|，再由点到直线的距离公式可得O 到MN 的距离d ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．22.答案：解：(1)曲线C 的普通方程为(x −√3)2+(y −1)2=4，点P 的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)． (2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC 的方程为：y =√33x ⇒x −√3y =0，点P 到直线OC 的距离d =|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以 S △OCP =12|OC|⋅d =2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP =π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S △OCP =12|OC|⋅|OP|sin∠COP =12⋅2⋅4⋅sin π6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1，∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5， ∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a 2+2+1b 2+1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2021年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1]C．[﹣1，2）D．[0，1]2．若z（1﹣i）＝4i，则z＝（）A．2+2i B．﹣2+2i C．﹣2﹣2i D．2﹣2i3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多C．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%4．若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1B．3C．5D．95．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2＝（x12+x22+x32﹣12），则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1的平均数为（）A．1B．3C．5D．76．把函数f（x）＝2sin x cos x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），若g（x）在[0，a]上是增函数，则a的最大值为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点M是BC的中点，则的值为（）A．﹣6B．6C．﹣8D．88．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2﹣a2＝bc，tan C＝，则tan B 的值为（）A．3B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．10．已知a＝，b＝，c＝e，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b11．双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点和虚轴的一个端点分别为F，A，点P 为C右支上一动点，若|AP|+|PF|最小值为5a，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是6，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（）A．4πB．8πC．12πD．24π二、填空题（共4小题）.13．从3名男同学和2名女同学中任选2人参加社会实践，则选中一名男同学和一名女同学的概率为．14．定义在R上的奇函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，若f（a﹣2）+f（a2）≤0，则实数a的取值范围是．15．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线AF的斜率为﹣2，则△PAF的面积为．16．关于函数f（x）＝x3﹣x2+c有如下四个命题：①函数y＝f′（x）的图象是轴对称图形；②当c＜0时，函数f（x）有两个零点；③函数y＝f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称；④过点（0，f（0））且与曲线f（x）相切的直线有两条．其中所有真命题的序号是（填上所有正确的序号）．三、解答题：共70分。

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。

2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}A B =，∴(){2,4}U C A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为 （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A（3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3 【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+ (5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。

2021年云南省曲靖市高考数学第二次教学质量监测试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x+1≥0}，B＝{x|x2+2x﹣15＜0，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）设复数z满足（1+2i）＝5，则|z|＝（）A．5B．C．D．13．（5分）在等差数列{a n}中，若a5+a6+a8+a9＝400，则数列{a n}的前13项和S13＝（）A．5200B．2600C．1500D．13004．（5分）过原点且与曲线x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切的直线方程是（）A．y＝0B．x＝0C．xy＝0D．x±y＝05．（5分）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为（）A．12B．16C．24D．246．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且甲、乙所选书法体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝sin x•ln（e x+e﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入N＝2021，则输出的结果是（）A．﹣1010B．1010C．1011D．﹣10119．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象经过点P（0，），则下列命题是真命题的是（）A．函数f（x）在（）上单调递增B．函数f（x）的图象的一个对称中心是（）C．﹣2π是函数f（x）的一个周期D．函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝kπ+（k∈Z）10．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的右焦点为F，直线l1、l2是双曲线的两渐近线，FH ⊥l1，H是垂足．点M在双曲线上，经过M分别与l1、l2平行的直线与l2、l1相交于A、B两点，O是坐标原点，△OFH的面积为S1，四边形OAMB的面积为S2.则S1：S2＝（）A．1：1B．1：2C．2：3D．3：211．（5分）已知在函数f（x）＝x2+lnx与函数g（x）＝2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，﹣e]D．（﹣∞，﹣1] 12．（5分）已知a＝，b＝log36，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡对应题号横线上. 13．（5分）解关于x的一元一次方程2x＝sin1921π﹣150•cos2021π+1949•sin（1949π+）﹣2049•cos（2049π+），得x＝（用数字回答）．14．（5分）已知实数x、y同时满足不等式≥1，≤1与y≥0，若z＝5x﹣2035y 的最大值等于14m，则m＝．15．（5分）在边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则所得三棱锥D﹣ABC外接球的表面积等于．16．（5分）已知正项数列{a n}满足a1＝2且a n+12﹣2a n2﹣a n a n+1＝0，令b n＝（n+2）a n﹣，则数列{b n}的前7项的和等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥PB，AD⊥AB，AB＝4，P A＝AD＝DC ＝2，PD＝．（1）证明：PB⊥PD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．18．（12分）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天食品A的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：x258911y1210887（1）求y关于x的线性回归方程；查看当天天气预报知道，第二天气温可能降至0℃左右，为第二天准备食品A多少千克比较恰当？（精确到个位数）（2）是否有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于9千克具有影响？附；参考公式与数据：①回归方程＝x +中，＝＝，．②K2＝．0.150.100.050.250.0100.0050.001P（K2≥k0）k02072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别等于a，b，c，列举如下五个条件：①a sin B ＝②sin A﹣cos A＝1；③sin A＝sin2A；④a＝2；⑤△ABC的周长等于6．（1）请在①②③中选择其中一个（仅选一个）条件作为依据，求角A的大小；（2）在（1）的结论的基础上，再在④⑤中选择其中一个（仅选一个）作为添加条件，求△ABC面积的最大值．20．（12分）已知点A （），B（﹣1，2），M是抛物线C：y＝x2上任一点．（1）求抛物线C的过点A的切线方程；（2）求点M与点B的距离的最小值．21．（12分）已知点B（﹣2，0），C（2，0），△ABC的周长等于4+4，点M 满足＝2．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）是否存在过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，与圆F：（x ﹣）2+y2＝交于R，S两点（其中点R在线段PQ上），且|PR|＝|QS|，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为C（），半径r＝．（1）求圆C的极坐标方程；（2）已知过点P（0，1）且倾斜角为α的直线l交圆C于A，B两点，且|P A|+|PB|＝，求角α．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|（x∈R）．（1）当a＝5时，解关于x的不等式f（x）＞x2；（2）设关于x的不等式f（x）＝|x﹣4|的解集为A，B＝{x||2x﹣1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．2021年云南省曲靖市高考数学第二次教学质量监测试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x+1≥0}，B＝{x|x2+2x﹣15＜0，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：A＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|x2+2x﹣15＜0，x∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．（5分）设复数z满足（1+2i）＝5，则|z|＝（）A．5B．C．D．1【解答】解：∵（1+2i）＝5，∴，∴z＝1﹣2i，∴|z|＝．故选：B．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a5+a6+a8+a9＝400，则数列{a n}的前13项和S13＝（）A．5200B．2600C．1500D．1300【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a5+a6+a8+a9＝400，∴a5+a6+a8+a9＝4a7＝400，解得a7＝100，∴数列{a n}的前13项和S13＝＝13a7＝1300．故选：D．4．（5分）过原点且与曲线x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切的直线方程是（）A．y＝0B．x＝0C．xy＝0D．x±y＝0【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，所以（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，当斜率不存在时，过原点直线方程为x＝0，此时圆心（1，1）到它的距离为1等于圆的半径，当斜率存在时，设过原点的切线方程为kx﹣y＝0，所以圆心（1，1）到切线的距离等于半径，所以＝1，解得k＝0，所以切线方程为x＝0或y＝0，即xy＝0．故选：C．5．（5分）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为（）A．12B．16C．24D．24【解答】解：把圆锥沿P点所在母线剪开，然后展开如图，设展开后所得扇形的圆心角的弧度数为θ，则2π×4＝12θ，得θ＝．在Rt△POP′中，由OP＝OP′＝12，可得小虫爬行的最短路程为：2×12×cos＝12．故选：A．6．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且甲、乙所选书法体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵甲，乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且甲、乙所选书法体互相独立，∴甲不选隶书体，乙不选草书体的概率P＝＝．故选：D．7．（5分）函数f（x）＝sin x•ln（e x+e﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sin x•ln（e x+e﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣sin x•ln（e x+e﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，排除D，在区间（0，π）上，sin x＞0，e x+e﹣x＞2，则有f（x）＝sin x•ln（e x+e﹣x）＞0，排除A，在区间（π，2π）上，sin x＜0，e x+e﹣x＞2，则有f（x）＝sin x•ln（e x+e﹣x）＜0，排除B，故选：C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入N＝2021，则输出的结果是（）A．﹣1010B．1010C．1011D．﹣1011【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝1﹣2+3﹣.....﹣2020+2021的值，由于S＝1﹣2+3﹣.....﹣2020+2021＝（1﹣2）+（3﹣4）+.....+（2019﹣2020）+2021＝﹣1010+2021＝1011．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象经过点P（0，），则下列命题是真命题的是（）A．函数f（x）在（）上单调递增B．函数f（x）的图象的一个对称中心是（）C．﹣2π是函数f（x）的一个周期D．函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝kπ+（k∈Z）【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象经过点P（0，）所以sin，解得，故f（x）＝sin（2x+），对于A：由于，所以的子集，故A错误；对于B：当x＝时，f（）≠0，故B错误；对于C：函数的最小正周期为π，故﹣2π为函数的周期，故C正确；对于D：令，解得（k∈Z），故D错误．故选：C．10．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的右焦点为F，直线l1、l2是双曲线的两渐近线，FH ⊥l1，H是垂足．点M在双曲线上，经过M分别与l1、l2平行的直线与l2、l1相交于A、B两点，O是坐标原点，△OFH的面积为S1，四边形OAMB的面积为S2.则S1：S2＝（）A．1：1B．1：2C．2：3D．3：2【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1渐近线方程为y＝±x，不妨取l1：y＝x，l2：y＝﹣x，l1⊥l2，设M（x0，y0），过M与l1平行的直线方程为l1′：y＝x﹣x0+y0，过M与l2平行的直线方程为l2′：y＝﹣x+x0+y0，l1′与l2的交点A，联立，解得；l2′与l1的交点为B，联立，解得．则|OA|＝|x A﹣0|＝|x0﹣y0|，同理|OB|＝|x0+y0|，则S2＝|OA|•|OB|＝＝；又F（，0），△OHF为等腰直角三角形，∴|OH|＝|HF|＝，则．∴S1：S2＝1：1．故选：A．11．（5分）已知在函数f（x）＝x2+lnx与函数g（x）＝2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，﹣e]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：因为函数f（x）＝x2+lnx与函数g（x）＝2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，所以f（x）﹣g（﹣x）＝0在（0，+∞）上有解，即x2+lnx﹣2x2+a（﹣x）＝0在（0，+∞）上有解，所以lnx﹣x2﹣ax＝0在（0，+∞）上有解，所以a＝在（0，+∞）上有解，令h（x）＝，x∈（0，+∞），h′（x）＝＝，令p（x）＝﹣x2+1﹣lnx，x∈（0，+∞），p′（x）＝﹣2x﹣＝＜0，所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（1）＝0，所以在（0，1）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（1，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝﹣1，所以a≤﹣1，故选：D．12．（5分）已知a＝，b＝log36，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：，，，∴a＜c＜b．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡对应题号横线上. 13．（5分）解关于x的一元一次方程2x＝sin1921π﹣150•cos2021π+1949•sin（1949π+）﹣2049•cos（2049π+），得x＝100（用数字回答）．【解答】解：因为2x＝sin1921π﹣150•cos2021π+1949•sin（1949π+）﹣2049•cos （2049π+），所以2x＝0﹣150•（﹣1）+1949•sin（π+）﹣2049•cos（π+），即2x＝0﹣150•（﹣1）﹣1949•sin+2049•cos，即2x＝150﹣1949×+2049×，即2x＝150+×100，解得x＝100．故答案为：100．14．（5分）已知实数x、y同时满足不等式≥1，≤1与y≥0，若z＝5x﹣2035y 的最大值等于14m，则m＝5．【解答】解：由≥1，得5x+13y≥65，≤1，得5x+13y+y≤70，又y≥0，∴0≤y≤5，若z＝5x﹣2035y的最大值等于14m，由于y≥0，∴当y取最小值且x取最大值时，z最大，即y＝0时，有13≤x≤14，x取最大值14，此时14m＝4×14，即m＝5．故答案为：5．15．（5分）在边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则所得三棱锥D﹣ABC外接球的表面积等于60π．【解答】解：如图，取AC中点E，连接BE，DE，由条件有BE⊥DE．设O1，O2分别为△ABC，△ADC的外心，过O1作平面ABC的垂线m，过O2作平面ADC 的垂线n，则m，n的交点即为三棱锥A﹣BCD外接球的球心O．因为，，所以，所以，表面积为．故答案为：60π．16．（5分）已知正项数列{a n}满足a1＝2且a n+12﹣2a n2﹣a n a n+1＝0，令b n＝（n+2）a n﹣，则数列{b n}的前7项的和等于1769．【解答】解：由a2﹣2a n2﹣a n a n+1＝0，得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）＝0，又a n＞0，所以a n+1﹣2a n＝0，所以{a n}是以2为公比的等比数列，所以a n＝2×2n﹣1＝2n；所以b n＝（n+2）a n﹣＝（n+2）•2n﹣，令数列{b n}的前n项的和为T n，则T7＝3×21+5×22+…+9×27﹣7×，设M＝3×21+5×22+…+9×27；则2M＝3×22+5×23+…+9×28；两式相减得﹣M＝6+2（22+23++27）﹣9×28＝6+2×﹣9×28＝﹣2﹣7×28；所以M＝2+7×28＝1794，则T7＝M﹣25＝1794﹣25＝1769．故答案为：1769．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥PB，AD⊥AB，AB＝4，P A＝AD＝DC ＝2，PD＝．（1）证明：PB⊥PD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵P A＝AD＝2，PD＝，∴P A2+AD2＝PD2，∴AD⊥AP，又AD⊥AB且AP∩AB＝A，∴AD⊥平面P AB，而PB⊂平面P AB，则PB⊥AD，又已知PB⊥P A，P A∩AD＝A，∴PB⊥平面P AD，则PB⊥PD；（2）解：由（1）知AD⊥平面P AB，又AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面P AB，在平面P AB中，作PH⊥AB，H为垂足，则PH⊥平面ABCD，已知P A⊥PB，则cos∠P AB＝，∠P AB＝60°，则PH＝P A•sin∠P AB＝2•sin60°＝．由已知得ABCD为直角梯形，则＝×（4+2）×2＝6，∴V P﹣ABCD＝×PH＝×6×．18．（12分）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天食品A的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：x258911y1210887（1）求y关于x的线性回归方程；查看当天天气预报知道，第二天气温可能降至0℃左右，为第二天准备食品A多少千克比较恰当？（精确到个位数）（2）是否有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于9千克具有影响？附；参考公式与数据：①回归方程＝x +中，＝＝，．②K2＝．0.150.100.050.250.0100.0050.001P（K2≥k0）k02072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1），，＝（﹣5）×3+（﹣2）×1+1×（﹣1）+2×（﹣1）+4×（﹣2）＝﹣28，，则，，∴y关于x 的线性回归方程为．将x＝0代入回归方程，得千克．∴依据第二天气温可能降至0℃的天气预报，为第二天准备该商品13kg左右较合适；（2）根据已知条件构造分类变量列联表：销量低于9kg销量不低于9kg合计气温高于6℃303气温不高于6℃022合计025计算随机变量K2的观测值：＞3.841，∴有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于9千克具有影响．19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别等于a，b，c，列举如下五个条件：①a sin B＝②sin A﹣cos A＝1；③sin A＝sin2A；④a＝2；⑤△ABC的周长等于6．（1）请在①②③中选择其中一个（仅选一个）条件作为依据，求角A的大小；（2）在（1）的结论的基础上，再在④⑤中选择其中一个（仅选一个）作为添加条件，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）不妨选择③作为条件，则sin A＝2sin A cos A，又A为△ABC的内角，故，即；（2）不妨选择④作为条件，则由余弦定理有，，∴bc＝b2+c2﹣4≥2bc﹣4，当且仅当b＝c时取等号，∴bc≤4，∴，即△ABC面积的最大值为．20．（12分）已知点A（），B（﹣1，2），M是抛物线C：y＝x2上任一点．（1）求抛物线C的过点A的切线方程；（2）求点M与点B的距离的最小值．【解答】解：（1）由y＝x2上可得y′＝2x，抛物线在点T（t，t2）处的切线方程为：y﹣t2＝2t（x﹣t），切线过点A（，0），则0﹣t2＝2t（﹣t）＝t﹣t2，解得t＝0或1．则抛物线C的过点A的切线方程为y＝0，y＝2x﹣1；（2）已知点B（﹣1，2），M（x，x2），|MB|2＝（x+1）2+（x2﹣2）2＝x4﹣3x2+2x+5，设f（x）＝x4﹣3x2+2x+5，f′（x）＝4x3﹣6x+2＝2（x﹣1）（x2+2x﹣1）令f′（x）＝0，可得x1＝﹣，x2＝，x3＝1，且当x∈（﹣），（，1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，），（1，+∞）时，f′（x）＞0．故f（x）有两个极小值：f（1）＝5，f（）＝＜f（1）．∴f（x）min＝﹣，即|MB|min＝．21．（12分）已知点B（﹣2，0），C（2，0），△ABC的周长等于4+4，点M满足＝2．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）是否存在过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，与圆F：（x﹣）2+y2＝交于R，S两点（其中点R在线段PQ上），且|PR|＝|QS|，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），A（x'，y'），由＝2可得x'＝2x，y'＝2y，因为B（﹣2，0），C（2，0），则BC＝4，又因为△ABC的周长等于4+4，所以AB+AC＝4＞4，故点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝2，则a＝2，b＝2，故点A的轨迹方程为（y'≠0），则点M的轨迹方程E为：（y≠0）；（2）当直线l与x轴垂直时，可得|PR|＝1﹣，|QS|＝1﹣，即|PR|＝|QS|，符合要求，此时直线l的方程为：x＝0；当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y＝kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立可得（1+2k²）x²﹣2＝0，则x1+x2＝0，x1•x2＝﹣，所以|PQ|＝|x1﹣x2|＝＝，圆心F（，0）到直线l：kx﹣y＝0的距离d＝，则|RS|＝2＝2，因为|PR|＝|QS|，即|PR|+|RQ|＝|RQ|+|QS|，所以|PQ|＝|RS|，即＝2，整理可得（4k²+1）（k²﹣1）＝0，解得k＝±1，此时直线l的方程为y＝±x，综上，符合条件的直线存在三条，其方程为x＝0，y＝±x．选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为C（），半径r＝．（1）求圆C的极坐标方程；（2）已知过点P（0，1）且倾斜角为α的直线l交圆C于A，B两点，且|P A|+|PB|＝，求角α．【解答】解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（），转换为直角坐标为C（1，1），半径r＝，所以圆的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1＝0．（2）过点P（0，1）且倾斜角为α的直线l转换为参数方程为（t为参数），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，得到t2﹣2t cosα﹣2＝0，所以t1+t2＝2cosα，t1t2＝﹣2，故|P A|+|PB|＝＝，整理得：4cos2α+8＝11，所以cos，当函数的值为正数时，当函数值为负值时，，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|（x∈R）．（1）当a＝5时，解关于x的不等式f（x）＞x2；（2）设关于x的不等式f（x）＝|x﹣4|的解集为A，B＝{x||2x﹣1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x）＞x2即|x+5|+|x﹣2|＞x2，故①或②或③，解①得x∈∅，解②得﹣＜x≤2，解③得2＜x＜3，故不等式的解集是{x|﹣＜x＜3}；（2）B＝{x||2x﹣1|≤3}＝{x|﹣1≤x≤2}，已知关于x的不等式f（x）＝|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，A∪B＝A即B⊆A，则不等式f（x）＝|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|对∀x∈B＝{x|﹣1≤x≤2}恒成立，当﹣1≤x≤2时，|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|⇔|x+a|+2﹣x≤4﹣x⇔|x+a|≤2⇔﹣2﹣a≤x≤2﹣a恒成立⇔⇔﹣1≤a≤0，故实数a的取值范围是[﹣1，0]．。

2023年陕西省汉中市高考数学第二次质检试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量，，且，则m 的值为( )A. B. 1C.或2 D. 24. 若，且，则的值为( )A.B. C. D.5. 如图所示，已知两个线性相关变量x ，y 的统计数据如下：x 681012y6532其线性回归方程为，则( )A. B.C. D.6. 设，则“”是“直线与直线平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点第一段圆弧，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为( )A. B. C. D.8. 三棱锥中，平面ABC，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.9. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则EF与CG所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.11. 已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为( )A. B. C. D.12. 已知函数是定义在R上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则a、b、c的大小关系是( )A. B. C. D.13. 抛物线的焦点到准线的距离为______ .14. 若三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，其面积，则边______ .15. 设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是__________.16. 已知，，P为平面内一动点不与A，B重合，且满足，则的最小值为______ .17. “绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄单位：岁分组：第1组第2组第3组第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示.求a的值和这200人的平均年龄每一组用该组区间的中点值作为代表；现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.18. 如图，多面体ABCDEF中，底面四边形ABCD为菱形，，平面ABCD，且求证：；求点A到平面FBD的距离.19. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.求数列的通项公式；设数列的前n项和为，在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且_____，求数列的前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20. 已知离心率为的椭圆，其焦距为求此椭圆的方程；已知直线与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点，求k的值.21. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；设，直线l与曲线C交于A，B两点，求23. 设求的解集；设的最小值为a，若，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合，，所以故选：利用集合的交集运算求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由条件可知，，即，解得或故选：根据数量积的坐标表示，即可求解．本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：，，又，，故选：由已知利用诱导公式可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用二倍角正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由表格中数据可得：，，则样本点的中心坐标为，代入，得，可得故选：由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.【答案】A【解析】解：若直线与直线平行，则，解得或，经检验或时两直线平行，故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”．故选：根据直线一般式中平行满足的关系即可求解．本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知，每段圆弧的圆心角为，第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，，n，故当得到的“蚊香”恰有9段圆弧时，“蚊香”的长度为故选：每段圆弧的圆心角为，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查弧长的求解，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图所示，根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可知该球的直径即为PC，设球的半径为R，可得，即，故三棱锥的外接球的表面积故选：根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，根据长方体的性质求外接球的半径，即可得结果．本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：不妨取双曲线一条渐近线方程为，因为圆的标准方程为，圆心是，半径是2，所以圆心到渐近线的距离为，所以由弦长公式得，则，即，即，故，所以故选：把圆方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到渐近线的距离，由勾股定理可得b，c关系，从而求得离心率本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．10.【答案】C【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系：，则，，，，，，，，所以，则，所以故选：建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：时，可得：要是函数有且只有两个零点，则，解得：故选：时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，有且只有两个零点，可得实数的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，考查了函数思想，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：令，则，所以是单调递增函数，所以，，，因为，所以故选：构造函数，然后利用函数的单调性比较大小．本题考查了利用函数的单调性比较大小的问题，属于中档题．13.【答案】6【解析】解：由抛物线可得，且焦点在y轴正半轴上，则焦点坐标为，准线为，所以焦点到准线的距离为故答案为：求出抛物线的焦点坐标、准线方程即可计算作答．本题主要考查了抛物线的性质，属于基础题．14.【答案】2或【解析】解：的面积，即，解得，，故或，若，，即；若，，即；综上所述：或故答案为：2或根据题意结合余弦定理、面积公式运算求解．本题主要考查正弦定理、余弦定理，考查转化能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：定义域，由题意知，，即，，因为，当且仅当时取等号，所以，所以即为所求．故答案为：求出定义域，然后令恒成立，再结合分离参数，研究对应函数的最值即可．本题考查已知函数的单调性求参数范围问题的解题思路，一般利用导数转化为不等式恒成立问题求解，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设，，，整理得，即，可得，，又，则，，可得当时，取到最小值故答案为：设，根据题意求点P的轨迹方程，再根据数量积的坐标运算可得，结合点P的轨迹方程分析运算．本题考查“五步求曲“法的应用，向量数量积的最值的求解，属中档题．17.【答案】解：由小矩形面积和等于1可得：，，平均年龄为岁第1组总人数为，第2组总人数为，故根据分层抽样可得：第1组抽取人，设为A，B，第2组抽取人，设为a，b，c，从这5人中抽取2人有：，，，，，，，，，，共有10种等可能的结果，若2人的年龄都在第2组的有，，，共3种等可能的结果，即“至少1人的年龄在第1组中”为事件A，其概率为【解析】根据频率和为1求a的值，再根据平均数的计算公式运算求解；根据古典概型结合对立事件分析运算．本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．18.【答案】解：证明：如图，连接AC，平面ABCD，平面ABCD，，四边形ABCD为菱形，，又，平面FAC，平面FAC，平面FAC，又平面FAC，；平面ABCD，AB，平面ABCD，，，由，可得，由四边形ABCD为菱形，，可得，在中，由余弦定理可得：，，的面积，在中，由余弦定理得，可知为锐角，则，则的面积，设点A到平面FBD的距离为h，，，解得，点A到平面FBD的距离为【解析】根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；利用解三角形的知识求，的面积，再利用等体积转换求点到面的距离．本题考查线面垂直的判定定理与性质，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．19.【答案】解：设等差数列的公差为d，，因为，，成等比数列，所以，即，解得或舍去，又，所以数列的通项公式为解：选①，由，，当时，，当时等式也成立，所以，则，所以，，，两式相减得，所以选②，由，，当时，，所以，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以，则，所以，，，两式相减得，所以选③，由，，得，又，所以，所以是以2为首项，公比为2的等比数列，所以当时，，当时等式也成立，所以，则，所以，，，两式相减得，所以【解析】根据等比中项性质，结合等差数列通项公式得，再求通项公式即可；根据题意求得，再根据错位相减法求解即可．本题主要考查等差数列的与等比数列的综合，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：由题知，解得，，，椭圆的方程为将代入椭圆方程，得，又直线与椭圆有两个交点，，解得设，，则若以CD为直径的圆过E点，则又，而，，，，解得，满足，故【解析】根据离心率为和焦距为，由求解；将代入椭圆方程，设，，根据CD为直径的圆过E点，由求解．本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：，则，若时，则，，即切点坐标为，切线斜率，切线方程为，即，即，整理得，故原题等价于对任意实数，都有恒成立，构建，则，注意到，则，构建，则在上单调递增，且，故在内存在唯一的零点，可得当，则；当，则；即当，则；当，则；故在上单调递减，上单调递增，则，又为的零点，则，可得且，，即在上的最小值为0，故实数a的取值范围【解析】求导，根据导数的几何意义求切线方程；根据题意分析可得对任意实数，都有恒成立，构建，根据恒成立问题结合导数分析运算．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，消去t得，直线l的普通方程为；由得，，根据代入得，曲线C的直角坐标方程为将直线l的参数方程代入曲线，整理得，记A，B两点对应的参数分别为，，则，故，，故【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．23.【答案】解：由题意，等价于，即，则的解集为；，所以的最小值为1，，所以，当且仅当取等号，此时所以，的最小值为【解析】根据绝对值的几何意义解不等式即可；利用绝对值不等式求出a，再由基本不等式求出最小值．本题考查函数最值的求法，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集U＝{x|x>0}，M＝{x|1<e x<e2}，则∁U M＝（）A.(1, 2)B.(2, +∞)C.(0, 1]∪[2, +∞)D.[2, +∞)【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】∵U＝{x|x>0}，M＝{x|0<x<2}，∴∁U M＝[2, +∞)．2. 已知i为虚数单位，复数z满足z⋅i＝1+2i，则z的共轭复数为（）A.2−iB.2+iC.l−2iD.i−2【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】∵z⋅i＝1+2i，∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴z的共轭复数为：2+i，3. 已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（）A.10B.12C.13D.15【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】由分层抽样的定义得5045+50+55×30=13×30＝10人，4. 己知向量a→=(l, 2)，b→=(−l, x)，若a→ // b→，则|b→|＝（）A.√52B.52C.√5D.5【答案】 C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】利用向量平行先求出a ，由此能求出|b →|． 【解答】∵ 向量a →=(l, 2)，b →=(−l, x)，a → // b →，∴ −11=x2， 解得x ＝−2，∴ |b →|=√(−1)2+(−2)2=√5．5. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】通过证明，可判断充要性． 【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．6. 已知M(−2, 0)，P 是圆N:x 2−4x +y 2−32＝0上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A.x 29+y 25=1 B.x 25−y 29=1 C.x 25+y 29=1D.x 29−y 25=1【答案】 A【考点】 轨迹方程 【解析】结合已知条件根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以M、N为焦点，长轴长等于6的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．【解答】圆N:x2−4x+y2−32＝0，化为(x−2)2+y2＝36的圆心为N(2, 0)，半径r＝6，M(−2, 0)，|MN|＝4．连结QN，由已知得|QN|＝|QP|∵|QN|+|QM|＝|QM|+|QP|＝MP＝r＝6>MN|．根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以M、N为焦点，长轴长等于6的椭圆，即a＝3，c＝2，b2＝a2−c2＝9−4＝5，∴点Q的轨迹方程为：x29+y25=1．7. 己知某产品的销售额_y与广告费用x之间的关系如表：中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是20【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．【解答】由线性回归方程y＝6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A.1 8B.14C.38D.12【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率． 【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况， 甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14， 9. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A.√2B.2C.√3D.3 【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出双曲线的右焦点F ，直线OA ，OB 的方程，过F 平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A 的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a ，b 的关系，进而得到所求离心率． 【解答】 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F(c, 0)，设OA 的方程为bx −ay ＝0，OB 的方程为bx +ay ＝0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为√b 2+a 2=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c, bc2a )， 则平行四边形OAFB 的面积为S ＝b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2＝3a 2， 则e =ca=√1+b 2a 2=√1+3=2．10. 已知圆C:x 2+y 2−2x −8＝0，直线l 经过点M(2, 2)，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A.x −2y +2＝0 B.2x +y −6＝0 C.2x −y −2＝0 D.x +2y −6＝0 【答案】 D【考点】点与圆的位置关系【解析】由题意可知，当直线l与CM垂直时，直线l分圆C的两部分的面积之差的绝对值最大，再利用两直线垂直时斜率相乘等于−1，可求出直线l的斜率，从而求出直线l的方程．【解答】如图所示：圆C:x2+y2−2x−8＝0，化为标准方程为：(x−1)2+y2＝9，∴圆心C(1, 0)，当直线l与CM垂直时，直线l分圆C的两部分的面积之差的绝对值最大，∵k CM=2−02−1=2，∴直线l的斜率k=−12，∴直线l的方程为：y−2=−12(x−2)，即x+2y−6＝0，故选：D．11. 己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求导可知，函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，进而把原问题等价为f(log2m)<f(1)，则−1<log2m<1，解出即可．【解答】当x≥0时，f′(x)＝cosx−xsinx−cosx+x2＝x2−xsinx＝x(x−sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log2m)+f(log12m)<2f (1)等价为f(log2m)+f(−log2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴ −1<log 2m <1， ∴ 12<m <2． 故选：A ．12. 函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【答案】 D【考点】函数零点的判定定理 【解析】运用零点存在性定理可知，实数a 应满足f(0)f(1a )≤0，由此得到2≤a ≤3，观察选项即可得解． 【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0，∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0 ，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________． 【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行， ∴ a4=−(a+1)−6，解得a ＝2，∴ 实数a 的值为2．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是________．【答案】30.8【考点】茎叶图【解析】先通过茎叶图计算出成绩，再求出方差．【解答】由茎叶图可知五人成绩为：110，114，119，121，126．五人平均成绩为：x=110+114+119+121+1265=118，方差为：S2=(110−118)2+(114−118)2+(119−118)2+(121−118)2+(126−118)25=30.8．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【答案】2π3【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由周期求ω，由五点法作图求φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的零点以及图象的对称性，求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a+b+c+d=2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y2＝4x交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，若S△MBF＝4S△MAF，则△ABF的面积为________．【答案】3【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】利用S△MBF＝4S△MAF，得y2＝4y1，联立解方程组，求出k，利用S△ABF＝S△MFB−S△AMF＝3S△AMF，求出即可．【解答】不妨设A(x1, y1)，B(x2, y2)，且A，B在x轴上方，S△MBF＝4S△MAF，得y2＝4y1，设AB的方程为x＝ky−1，与y2＝4x联立得y2−4ky+4＝0，y1+y2＝4k，y1y2＝4，把y2＝4y1，代入上式得y1=4k5，y2=16k5，由y1y2＝4得，k=54，y1＝1，y2＝4，S△ABF＝S△MFB−S△AMF＝3S△AMF=3⋅12⋅|FM|⋅y1=3⋅12⋅2⋅1=3，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．【考点】独立性检验【解析】（1）由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5，得出中位数m的值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项．数列{b n}的通项公式为b n＝2a n+3．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n+√b n(n∈N∗)，求数列c n的前n项和S n．【答案】等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项，可得a4a7＝27，即(a1+6)(a1+12)＝27，解得a1＝−3或−15，由a3>0即a1+4>0，即a1>−4，可得a1＝−3（−15舍去），故a n＝−3+2(n−1)＝2n−5；b n＝2a n+3=22n−2＝4n−1；c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，前n项和S n＝(−3−1+...+2n−5)+(1+2+4+...+2n−1)=12n(−3+2n−5)+1−2n1−2=n2−4n+2n−1．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）运用等差数列的通项公式和等比中项性质，解方程可得首项a1，进而得到舍去a n，b n；（2）求得c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项，可得a4a7＝27，即(a1+6)(a1+12)＝27，解得a1＝−3或−15，由a3>0即a1+4>0，即a1>−4，可得a1＝−3（−15舍去），故a n＝−3+2(n−1)＝2n−5；b n＝2a n+3=22n−2＝4n−1；c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，前n项和S n＝(−3−1+...+2n−5)+(1+2+4+...+2n−1)=12n(−3+2n−5)+1−2n1−2=n2−4n+2n−1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．【答案】∵(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)＝c(c+b)，即a2＝b2+c2+bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵0<A<π，∴A=2π3．∵在△ABC中，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12BC⋅AD，即√32bc＝a⋅AD，由已知BC＝2√3AD，可得AD=2√3，∴3bc＝a2，∴在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2−2bccos120∘，即3bc＝b2+c2+bc，整理可得(b−c)2＝0，即b＝c，∴B＝C=π6，∴sinB＝sinπ6=12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知可得a2＝b2+c2+bc，由余弦定理可得cosA=−12，结合范围0<A<π，可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求AD=2√3，可得3bc＝a2，进而由余弦定理可得b＝c，可求A＝B=π6，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】∵(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)＝c(c+b)，即a2＝b2+c2+bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵0<A<π，∴A=2π3．∵在△ABC中，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12BC⋅AD，即√32bc＝a⋅AD，由已知BC＝2√3AD，可得AD=2√3，∴3bc＝a2，∴在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2−2bccos120∘，即3bc＝b2+c2+bc，整理可得(b−c)2＝0，即b＝c，∴B＝C=π6，∴sinB＝sinπ6=12．已知椭圆C：$${\{}$\${dfrac\{\{x\}^{\wedge}\{2\}\}\{2\}\, + \, \{y\}}$^${\{2\}\, = }$ （1）},动直线{l}过定点{(2,\, 0)}且交椭圆{C}于{A},{B}两点({A},{A}不在{x}轴上).{(l)}若线段{AB}中点{Q}的纵坐标是{ - \dfrac{2}{3}},求直线{l}$的方程；（2）记A点关于x轴的对称点为M，若点N(n, 0)满足MN→=λNB→，求n的值．【答案】设A(x, y)(x′, y′)，设直线AB的方程：x＝ty+2，联立与椭圆的方程整理得：(2+t2)y2+4ty+2＝0，△＝t2−2>0，得t>√2或t<−√2，y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，因为AB的中点的纵坐标为−23，所以−4t2+t2=2⋅(−23)，解得：t＝1或t＝2，由判别式得，t＝2，所以直线AB的方程：x−2y−2＝0；由题意知M(x, −y)，由MN→=λNB→，知，M，N，B三点共线，即k MN＝k MB，即yn−x =y+y′x′−x，n=y(x′−x)y+y′+x，将x＝ty+2，x′＝ty′+2，得n=2tyy′y+y′+2，联立直线与椭圆的方程：(2+t2)y2+4ty+2＝0，∴y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，∴n＝1【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）设直线AB的方程，联立与椭圆的方程，求出纵坐标之和，写出中点的纵坐标，由题意求出参数，进而写出直线l的方程；（2）由（1）得M的坐标，由向量的关系，求出n的值．【解答】设A(x, y)(x′, y′)，设直线AB的方程：x＝ty+2，联立与椭圆的方程整理得：(2+t2)y2+4ty+2＝0，△＝t2−2>0，得t>√2或t<−√2，y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，因为AB的中点的纵坐标为−23，所以−4t2+t2=2⋅(−23)，解得：t＝1或t＝2，由判别式得，t＝2，所以直线AB的方程：x−2y−2＝0；由题意知M(x, −y)，由MN→=λNB→，知，M，N，B三点共线，即k MN＝k MB，即yn−x =y+y′x′−x，n=y(x′−x)y+y′+x，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2，得n =2tyy ′y+y ′+2，联立直线与椭圆的方程：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2， ∴ n ＝1己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a ≥3，记函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），求f(x 2)−f(x I )的最大值． 【答案】f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x (x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，①当a ≤0或△≤0时，即a ≤2√2时，得f ′(x)≥0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f ′(x)>0，得0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82，由f ′(x)<0，得a−√a2−82<x <a+√a 2−82，∴ 函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a2−82, a+√a 2−82)上单调递减，综上所求，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增， 当a >2√2时，函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上单调递减；由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)， 则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根， ∴ x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)＝2ln x 2x 1+12(x22−x 12)−a(x 2−x 1)＝2ln x2x 1−x 22−x 122 ＝2ln x 2x 1−x 22−x 12x 1x 2＝2ln x 2x 1−x 2x 1+x 1x 2， 令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)＝ℎ(t)＝2lnt −t +1t ，由a ≥3，得a 22=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2≥92，即2t 2−5t +2≥0，解得t ≥2， ∵ ℎ′(t)=2t −1−1t 2=−t 2+2t−1t 2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在[2, +∞)上单调递减， ∴ ℎ(t)max ＝ℎ(2)＝2ln2−32， 即f(x 2)−f(x 1)的最大值为2ln2−32． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x(x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，利用导数结合△对a 分情况讨论，分别求函数f(x)的单调区间；（2）由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)，则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，利用根与系数的关系得到f(x 2)−f(x 1)＝2ln x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)＝ℎ(t)＝2lnt −t +1t，再利用导数得到ℎ(t)max ＝ℎ(2)＝2ln2−32，即f(x 2)−f(x 1)的最大值为2ln2−32． 【解答】f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x(x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，①当a ≤0或△≤0时，即a ≤2√2时，得f ′(x)≥0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f ′(x)>0，得0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82，由f ′(x)<0，得a−√a2−82<x <a+√a 2−82，∴ 函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a2−82, a+√a 2−82)上单调递减，综上所求，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增， 当a >2√2时，函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上单调递减；由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)， 则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根， ∴ x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴f(x2)−f(x1)＝2ln x2x1+12(x22−x12)−a(x2−x1)＝2ln x2x1−x22−x122＝2ln x2x1−x22−x12x1x2＝2ln x2x1−x2x1+x1x2，令t=x2x1(t>1)，则f(x2)−f(x1)＝ℎ(t)＝2lnt−t+1t，由a≥3，得a 22=(x1+x2)2x1x2=t+1t+2≥92，即2t2−5t+2≥0，解得t≥2，∵ℎ′(t)=2t −1−1t2=−t2+2t−1t2=−(t−1)2t2<0，∴ℎ(t)在[2, +∞)上单调递减，∴ℎ(t)max＝ℎ(2)＝2ln2−32，即f(x2)−f(x1)的最大值为2ln2−32．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+rcosφy=rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P(2, π3)，曲线C2的直角坐标方程为x2−y2＝1．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．【答案】将曲线C1的参数方程转化成普通方程为：(x−1)2+y2＝r2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C1得r2＝3，∴曲线C1的普通方程为：(x−1)2+y2＝3，C2可化为ρ2cos2θ−ρ2sin2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2的极坐标方程，得p12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）将参数方程转化成普通方程，直角坐标方程转化成极坐标方程；（2）将点带入可求等式，将所求转化成极坐标表示的长度，联立带入化简，计算，求值．【解答】将曲线C1的参数方程转化成普通方程为：(x−1)2+y2＝r2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C1得r2＝3，∴曲线C1的普通方程为：(x−1)2+y2＝3，C2可化为ρ2cos2θ−ρ2sin2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2的极坐标方程，得p12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【答案】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）由绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，由恒成立思想，解对数不等式可得所求范围． 【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。

2023年高考数学全真模拟卷二（全国卷）文科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}3A x N x =∈<，{}21B x x =-<≤，则A B = （）A ．[]0,2B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】D【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合{}3A x N x =∈<，{}21B x x =-<≤，所以A B = {}0,1，故选：D2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43izz +=+（）A ．5i +B ．5i -C ．35i -D ．4【答案】B【分析】由题意得34i z =-，再代入式子计算即可得到答案.【详解】由复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-得34iz =-5z ∴==()()()()34i 43i 34i555i 43i 43i 43i 43i z z ---∴+=+=+=-+++-故选：B.3．机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器．它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴．某公司为了研究某机器人的销售情况，统计了2022年2月至7月M ，N 两店每月该机器人的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图，则下列说法中不正确的是（）A ．N 店营业额的平均值是29B ．M 店营业额的中位数在[]30,35内C ．M 店营业额的极差比N 店营业额的极差小D ．M 店营业额的方差大于N 店营业额的方差【答案】D【分析】对A ，计算N 店营业额的平均值即可判断，对B 首先M 店的营业额从小到大排序，即可计算出其中位数，对C ，计算相关数据极差即可判断，对D 首先计算出M 店营业额的平均值，再计算M 店和N 店营业额的方差即可判断.【详解】对于A ，N 店营业额的平均值是()12816355063296⨯+++++=，所以A 正确；对于B ，将M 店的营业额/万元，从小到大排列得14,20,26,36,45,64，故其中位数为]236363152[30,+=∈，故B 正确；对于C ，M 店营业额极差为641450-=，N 店的极差为6326150-=>，故C 正确；所以B 正确；对于D ，M 店营业额的平均值是11(142026456436)3466⨯+++++=，所以M 店营业额的方差为2222222052052052052052051420264564366666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10109292803636==N 店营业额的方差为()()()()()()2222222292029262945296429362929391.5280636-+-+-+-+-+-=>,故D 错误，故选：D ．4．设x ，y 满足约束条件260303x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值为（）A ．3B ．152-C ．0D ．9【答案】A【分析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），把3z x y =-变形为33x z y =-，得到斜率为13，在y 轴上的截距为3z-，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线33x z y =-过点(3,0)A 时，截距3z-最小，即z 最大，所以3z x y =-的最大值为3．故选：A ．5．在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，且4BC =，3AD =，则⋅=AB AC （）A ．5-B ．5C ．8-D ．8【答案】B【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意如图所示：由AD BC ⊥，所以0,0AD DC AD DB ⋅=⋅= 又AB AC =，所以D 为BC 的中点，所以122BD DC BC ===，所以()()22945AB AC AD DB AD DC AD DC ⋅=+⋅+=-=-= ，故选：B ．6．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且656cos a c b C =+，则cos B =（）A ．78B ．56C ．34D ．23【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得cos B ．【详解】由656cos a c b C =+，边化角得6sin 5sin 6sin cos A C B C =+，又()sin sin A B C =+，所以()6sin 5sin 6sin cos B C C B C +=+，展开得6sin cos 6cos sin 5sin 6sin cos B C B C C B C +=+，所以6cos sin 5sin B C C =，因为sin 0C >，所以5cos 6B =．故选：B ．7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（）A ．12B ．1C D 【答案】B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱,,AA BB CC '''，交于点P ，因为6AB BC AC ===,3A B B C A C ''''''===，则24PA PB PC AA '====，作PO ⊥底面ABC 于O ，连接BO ，则BO ==，故2PO ==，故正三棱台ABC A B C '''-的高为12PO=故选：B 8．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为5，则C 的离心率为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】求出A 点，B 点坐标，利用斜率等于5结合222b c a =-得到22540c ac a -+=，方程两边同除以2a 得到关于离心率的方程，求出答案.【详解】由题意得：(),0F c ，(),0A a ，当x c =时，22221c y a b -=，解得2by a=±，因为AB 的斜率为5，所以B 点位于第一象限，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭，故25ABb a kc a==-，整理得：2255b ac a =-，因为222b c a =-，即22540c ac a -+=，方程两边同除以2a 得：2540e e -+=，解得：4e =或1（舍去）故选：A9．()()cos 0f x x x ωωω=>在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】根据两角和的余弦公式可得()()π2cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，可得其单调区间为π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据题意即可求解.【详解】()()πcos 2cos 03f x x x x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，令()ππππ3k x k k ω≤+≤+∈Z ()π2ππ33k x k ω-+≤≤∈Z .令0k =,可得π2π33x ωω-≤≤.故函数()f x 在π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以πππ2π312123ωω-≤-<≤，解得04ω<≤.所以ω的最大值是4.故选:C.10．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D11．如图，在平面四边形ABCD 中，,,30AD CD AC BC DAC BAC ︒⊥⊥∠=∠=，现将ACD沿AC 折起，并连接BD ，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若所得三棱锥D ABC -的外接球的表面积为4π，则三棱锥D ABC -的体积为（）A ．14B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得ADB ∠为直角，又ACB ∠为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB 的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥D ABC -的体积.【详解】∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ABC∩平面BCD=AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD ，又∵AD ⊂平面ACD ，∴AD ⊥BC ，又∵AD ⊥DC ，BC∩DC=C ，BC ⊂平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，∴AD ⊥平面BCD ，又∵BD ⊂平面BCD ，∴AD ⊥BD ，即ADB ∠为直角，又∵ACB ∠为直角，∴取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD ，可得O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，由三棱锥D ABC -外接球的表面积为4π，可得外接球的半径1r =，∴32,1,,22AB BC AC AD =====，∵BC ⊥平面ACD ，ADB ∠为直角，∴三棱锥D ABC -的体积为111313322ACD BC S ⨯=⨯⨯⨯=故选：C12．已知函数()ln k f x x x =+，k R ∈，1e()2g x x-=+，若对任意,()0x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >B ．1k ≥C ．3k >D ．3k ≥【答案】B【分析】将不等式()()f x g x ≥恒成立进行转化，利用参数分离法求函数的最值，即可求实数k 的取值范围.【详解】由()()f x g x ≥恒成立，得对一切()0,x ∈+∞，都有1eln 2k x x x-+>+，即21e ln k x x x ≥+--，记()21e ln p x x x x =+--，则()()2ln 11ln p x x x +='=--，令()0p x '=，得e x =，因为当()0,e x ∈时，()0p x '>；函数()p x 在()0,e 上递增；当()e,x ∈+∞时，()0p x '<；函数()p x 在()e,+∞上递减，所以()()max e 1k p x p ≥==，故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数是__________．【答案】20【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.【详解】()51x +的展开式中4x 的系数为45C 5=，()61x -的展开式中4x 的系数为46C 15=，故在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数为20．故答案为：2014．经过椭圆C ：22195x y +=的左焦点1F ，作不垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B两点，2F 是椭圆的右焦点，则2AF B 的周长为_________．【答案】12【分析】通过椭圆中的212BF BF a +=，212AF AF a +=，并通过2AF B 的周长为221122AB AF BF AF BF AF BF ++=+++从而求出周长的值.【详解】因为椭圆C ：22195x y +=的左焦点1F 为()2,0-，且作不垂直于x 轴的直线AB交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点()2,0所以2126BF BF a +==，2126AF AF a +==而2AF B 的周长为221122412AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==故答案为：12.15．已知直线l ：20kx y k +-+=，则圆2242110x x y y -+--=截直线l 所得的弦长的取值范围是______．【答案】⎡⎤⎣⎦【分析】求出直线l 所过的定点、圆心及半径，根据垂径定理可求弦长的最小值，最大值为直径的长度.【详解】直线l 的方程即()()120k x y ++-=，故直线l 恒过定点()1,2M -.圆的标准方程为()()222116x y -+-=，圆心为()2,1，半径为4，因为()()2212211016--+-=<，所以()1,2M -在圆内，直线l 恒与圆相交.圆心()2,1到点()1,2M -=则圆截直线l 所得的弦长的最小值为=248⨯=.所以圆截直线l 所得的弦长的取值范围是⎡⎤⎣⎦.故答案为:⎡⎤⎣⎦.16．①530.3log 5>，②22，③23e 2>，④1112ln sin cos 884⎛⎫+< ⎝⎭，上述不等式正确的有______（填序号）【答案】②④【分析】由指数对数的运算法则和不等式的性质比较大小.【详解】对于①：500.30.31<=，33log 5log 31>=，∴530.3log 5<，不等式①错误；对于②：ln 2ln e <=，∴ln 222<22<，不等式②正确对于③：22e 2.87.848<=<，∴()11233e8<，即23e 2<，不等式③错误；对于④：211111112ln sin cos ln sin cos ln 12sin cos ln 1sin 8888884⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()sin ,0,1f x x x x =-∈，则()1cos 0f x x '=->在()0,1x ∈上恒成立，()f x 在()0,1上单调递增，∴111sin (0)0444f f ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，11sin 44<，得115ln 1sin ln 1ln 444⎛⎫⎛⎫+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45ln5544ln ln ln e=11444⎛⎫==< ⎪⎝⎭，∴51ln 44<，∴11512ln sin cos ln 8844⎛⎫+<< ⎪⎝⎭，不等式④正确.故答案为：②④三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．为调查学生住宿情况，某教育主管部门从甲、乙两所学校各抽取200名学生参与调查，调查结果分为“住校”与“走读”两类，结果统计如下表：住校人数走读人数合计甲校80120200乙校60140200合计140260400参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.附表:()20P K k α= 0.10.050.010.0050.0010k 2.706 3.841 6.6357.87910.828(1)分别估计甲，乙两所学校学生住校的概率；(2)能否有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关？【答案】(1)甲：0.4，乙：0.3(2)有【分析】（1）根据表格进行数据分析,直接求出两所学校学生住校的概率；（2）计算2K 的观测值,对照参数下结论.(1)由表格数据得，甲校学生住校的概率估计值是800.4200=，乙校学生住校的概率估计值是600.3200=.(2)由题意可得2K 的观测值为()24008014060120400 4.396 3.84114026020020091⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关.18．在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n S a a a = ，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可.（2）根据（1）得到(7)321(4)21222n n n n n S a a a -++++-=== ，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）.因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=，解得12q =或13q =-（舍），又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a a a -++++-=== ，又()2717222n ny n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6，故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.19．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 14AA AC ==，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点.(1)证明：//EF 平面1ACD ；(2)若点P 为线段EF 上的动点，求点P 到平面1ACD 的距离.【答案】(1)证明见详解；(2)17.【分析】（1）取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，1BC ，证明平面EFG ∥平面1ACD ，原题即得证；（2）连接BD 与AC 相交于点O ，利用11E ACD D ACE V V --=求解.【详解】（1）证明：如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，1BC .∵G 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴EG AC ∥，因为AC ⊂平面1ACD ,EG ⊄平面1ACD ，所以//EG 平面1ACD .∵G 为BC 的中点，F 为1CC 的中点，∴1FG BC ∥.∵直棱柱1111ABCD A B C D -，∴11AD BC ∥，∴1//AD FG ，因为1AD ⊂平面1ACD ,FG ⊄平面1ACD ，所以//FG 平面1ACD .∵EG FG G = ，,EG FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面1ACD .又∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面1ACD .（2）解：如图，连接BD 与AC 相交于点O ，在1Rt ADD △中，1AD ===，同理1CD 由菱形ABCD 可知AC BD ⊥，2OA OC ==，在Rt OAB 中，1OB =.设点P 到平面1ACD 的距离为d ，由//EF 平面1ACD ，可知点E 到平面1ACD 的距离也为d ，由1OD ==可得1ACD △的面积为142⨯ACE△的面积为11212⨯⨯=.有1144133D ACE V -=⨯⨯=，1133E ACD V d d -=⨯=，由11E ACD D ACE V V --=43=，可得d =故点P 到平面1ACD20．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，点()2,1Q -关于x 轴的对称点P 在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A 、B 是抛物线C 上异于点P 的两个动点，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为1k 、()2120k k k ≠，若12112k k +=，求证：直线AB 过定点．【答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，求出a 的值，由此可求得抛物线C 的方程；（2）分析可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为=+y kx b ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理可求得b 的值，即可求得直线AB 所过定点的坐标.【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线C 的方程为2x ay =，易知点()2,1P ，由题意可得224a ==，所以，抛物线C 的方程为24x y =.（2）解：设点()11,A x y 、()22,B x y ，则21111111124224x y x k x x --+===--，同理2214x k +=，若直线AB 的斜率不存在，此时直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为=+y kx b ，联立2=4=+x yy kx b⎧⎨⎩可得2440x kx b --=，216160k b ∆=+>，由韦达定理可得124x x k +=，124x x b =-，()()121212121244114422224x x k k x x x x x x +++=+==+++++，可得124440x x b -=--=，解得1b =-，即直线AB 的方程为1y kx =-，所以，直线AB 过定点()0,1-.21．已知函数()2f x ax =，()lng x x x =．(1)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若=1a ，()()()1G x f x g x =--，且1mn >，证明：()()0G m G n +>．【答案】(1)1a ≥e(2)证明见解析【分析】（1）由()()f x g x ≥分离参数得ln xa x≥，构造函数，求函数的最值，即可得a 的取值范围；（2）由1mn >，可知m 与n 至少有一个大于1，假设1n >，则1m n>，求导，可得函数()G x 单调递增，所以()()()1G m G n G n G n ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，证明()10G n G n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭即可.（1）由()()f x g x ≥，即2ln ax x x ≥，0x >，所以ln xa x≥，设()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '=，解得=e x ，所以当0e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当e x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当=e x 时，()h x 取最大值为()1e eh =，所以1a ≥e ；（2）由1mn >，可知m 与n 至少有一个大于1，假设1n >，则1m n>，又()()()21ln 1G x f x g x x x x =--=--，则()2ln 1G x x x '=--，()1212x G x x x-''=-=，令()0G x ''=，得1=2x ，当102x <<时，()0G x ''<，()G x '单调递减，当12x >时，()0G x ''>，()G x '单调递增，所以()1ln 202G x G ⎛⎫''≥=> ⎪⎝⎭，所以()G x 在()0,+∞上单调递增，所以()1G m G n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()()()221111ln 11G m G n G n G n n n n n n n ⎛⎫+>+=--+-- ⎪⎝⎭11ln n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1n n -在1n >时单调递增，所以当1n >时，10n n->，设()1ln F x x x x =--，1x >，则()22222131112410x x x F x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'=+-==>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上单调递增，则()()10F x F >=，所以当1n >时，1ln 0n n n-->，所以11ln 0n n n n n ⎛⎫⎛⎫---> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()0G m G n +>.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C 的圆心坐标为()1,0，圆的半径为1.以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系且取相同单位长度.（1）写出圆C 的极坐标方程，（2）将射线l ；0,02πθααρ⎛⎫=-<<> ⎪⎝⎭绕极点逆时针旋转3π得射线m ，设m ，l 与圆C 的交点分别为A ，B .求三角形AOB 的面积的最大值.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）最大值为334.【分析】（1）方法一：先求圆的直角坐标方程，再互为极坐标方程；方法二：直接利用极坐标方程的意义求解即可.（2）射线m 的方程为0,032ππθααρ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，进而根据极坐标的意义结合三角形的面积公式得12cos 2cos sin 233AOBS ππαα∆⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭，再化简求值即可.【详解】解：（1）法一：以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的普通方程为()2211x y -+=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得C 的极坐标方程为2cos ρθ=.法二：如图.设(),P ρθ为圆上任一点﹐在直角三角形 OPB 中，2cos OP θ=，∴2cos ρθ=.（2）由题意得射线m 的方程为0,032ππθααρ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，∴()2cos ,B αα，2cos ,33A ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,02παρ⎛⎫-<<> ⎪⎝⎭，12cos 2cos sin233AOB S ππαα∆⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1cos cos 3223πααααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231cos 231cos sin sin 22222ααααα+-=-⨯23πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵02πα-<<，∴22333πππα-<+<.∴当203πα+=，即6πα=-时，AOB S ∆的最大值为334.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()222f x x x =+--.（1）解不等式()6f x ≥.（2）已知0a >，0b >，()()1g x f x x =-+的最大值m ，11m a b+=，求22a b +的最小值.【答案】（1）{10x x ≤-或}2x ≥；（2）最小值为89.【分析】（1）分2x >，12x -≤≤和1x <-三种情况解不等式；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最大值为3m =，从而得113a b+=，所以()222221119a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式求解即可【详解】解：（1）函数()4,22223,124,1x x f x x x x x x x +>⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪--<-⎩，当2x >时，不等式()6f x ≥即为46+≥x ，解得2x ≥，所以2x >；当12x -≤≤时，不等式()6f x ≥即为36x ≥，解得2x ≥，所以2x =；当1x <-时，不等式()6f x ≥即为46x --≥，解得10x ≤-，所以10x ≤-.综上所述，不等式()6f x ≥的解集为{10x x ≤-或}2x ≥；（2）()()()()112123=-+=+--≤+--=g x f x x x x x x ，所以()g x 的最大值为3m =，则113a b+=，故()222222222111122299⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b a b ba 18299⎛⎫≥++= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当2222a b b a=且22a b b a =，即23a b ==时取等号，故22a b +的最小值为89.。

2020年广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）．1.若集合A ＝{x |2﹣x ≥0}，B ＝{x |0≤x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A. [0，2] B. [0，1]C. [1，2]D. [﹣1，2]【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，再利用交集定义求出A ∩B ．【详解】解：∵集合A ＝{x |2﹣x ≥0}＝{x |x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}＝[0，1]． 故选：B ．【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则z =（ ）A. 2 2C. 1 2【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，结合复数的运算可得1z i =+，由模长公式可得答案． 【详解】∵(1)2z i i ⋅+=，∴()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-， 故22112z =+=故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题.3.已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点()2,1P -在角α的终边上，则tan α=（ ）A. 2B.12C. 12- D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用任意角的三角函数的定义求解即可． 【详解】∵点(2,1)P -在角α的终边上，∴11tan 22α-==-， 故选：C ．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4.若实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 2B.52C. 4D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域，将目标函数2z x y =-转化为2y x z =-，平移直线2y x =，当直线在y 轴上截距最大，目标函数取得最小值.【详解】由实数x ，y 满足23300x y x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域如图阴影部分：将目标函数2z x y =-转化为2y x z =-，平移直线2y x =， 当直线经过点31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，在y 轴上截距最大， 此时，目标函数取得最小值，最小值为3152222⨯-= 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题. 5.已知函数f （x ）＝1+x 3，若a ∈R ，则f （a ）+f （﹣a ）＝（ ） A. 0 B. 2+2a 3C. 2D. 2﹣2a 3【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （a ）与f （﹣a ）的表达式，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）＝1+x 3， 则f （a ）＝1+a 3，f （﹣a ）＝1+（﹣a ）3＝1﹣a 3， 则有f （a ）+f （﹣a ）＝2； 故选：C ．【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6.若函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C. 函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y A x =的图象向左平移6π个单位得到 【答案】A 【解析】 【分析】先由图象可知2A =，再把点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合02πϕ<<，可求得6π=ϕ，从而确定函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．然后根据正弦函数的对称中心、对称轴和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可． 【详解】由图可知，2A =， 函数()y f x =的图象经过点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，52sin 2012πϕ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭，()526k k Z πϕππ∴+=+∈，即()26k k Z πϕπ=+∈，02πϕ<<，0k ∴=，6π=ϕ，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令()26x k k Z ππ+=∈，则ππ122k xkZ ，当0k =时，对称中心为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即A 正确； 令()262x k k Z πππ+=+∈，则()62k x k Z ππ=+∈， 不存在k 使其对称轴为3x π=，即B 错误；令()222622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，， 则()36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，，当0k =时，函数()y f x =的单调递增区间为,,3633ππππ⎡⎤⎡⎤-⊃-/⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即C 错误； 2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到()2sin 22sin 263y x x f x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查利用三角函数图象求函数解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性、单调性以及三角函数图象变换，考查推理能力，属于中等题.7.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）高考资源网（ ）您身边的高考专家A.()221a p r-B. ()221a p r+C. ()1a p r-D. ()1a p r+【答案】A 【解析】【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p，则π可求．【详解】圆形钱币的半径为r cm，面积为S圆＝π•r2；正方形边长为a cm，面积为S正方形＝a2．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p S S S-==圆正方形圆122a rπ-，所以π()221a p r=-．故选：A．【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱AB的中点，动点F是侧面ACC1A1（包括边界）上一点，若EF//平面BCC1B1，则动点F的轨迹是（）A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】分别取AC，A1C1，A1B1的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，证明N，E，M，F共面，利用线面平行证明EF∥平面BCC1B1，则轨迹可求【详解】如图所示：分别取AC ，A 1C 1，A 1B 1的中点N ，F ，M ，连接ME ，MF ，NE ，EF ， 因为E 为AB 的中点，所以NE ∥BC 且NE 12BC =，FM ∥B 1C 1，MF 12=B 1C 1，所以N ，E ，M ，F 共面， 所以ME ∥BB 1，NE ∥BC ，所以ME ∥平面BCC 1B 1，NE ∥平面BCC 1B 1 而NE ∩ME ＝E ，BC ∩BB 1＝B ，所以面NEMF ∥平面BCC 1B 1，而EF ⊂面MN ， 所以EF ∥平面BCC 1B 1，所以要使EF ∥平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹为线段FN ． 故选：A ．【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题. 9.已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()(1)f x f x <+的解集为( ) A. (1,)-+∞ B. (1,1)-C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x 的范围．【详解】∵函数()22111log x x f x x x ⎧=⎨-≤⎩，＞，，则f （x ）＜f （x +1），∴当x ≤0时，则x +1≤1，则不等式f （x ）＜f （x +1），即x 2﹣1＜（x +1）2﹣1，求得12-＜x ≤0．当0<x ≤1时，则x +1>1，则不等式f （x ）＜f （x +1），此时f （x ）=x 2﹣1＜0＜f （x +1）=log 2（x +1），∴0<x ≤1成立．当x ＞1时，不等式f （x ）＜f （x +1），即 log 2x ＜log 2（x +1），求得x ＞1． 综上可得，不等式的解集为（12-，+∞）， 故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．10.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ） A.35B.34C.33D.32【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 【详解】解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，由正弦定理sin sin b cB C ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =，cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R=⇒=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =， c a <，则C 为锐角，解得3cos 2C =．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11.若关于x 的不等式2ln x ≤ax 2+（2a ﹣2）x +1恒成立，则a 的最小整数值是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先参变分离得：21212lnx x a x x+-≥+，令g （x ）21212lnx x x x +-=+，问题转化为()max a g x ≥ ，再对()g x 求导判断其单调性，求解()max g x ，从而得到a 的最小整数值. 【详解】若关于x 的不等式2ln x ≤ax 2+（2a ﹣2）x +1恒成立，问题等价于a 21212lnx x x x +-≥+在（0，+∞）恒成立， 令g （x ）21212lnx x x x +-=+，则g ′（x ）()223112212x x lnx x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令h （x ）3122=-x ﹣ln x ，（x ＞0）， 则h ′（x ）112x=--＜0，故h （x ）在（0，+∞）递减，又()110h =>，()12ln 202h =-<， 所以存在()01,2x ∈，使得()00031ln =022h x x x =--，即0031ln =22x x -，所以x ∈（1，x 0）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增，x ∈（x 0，2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减，∴g （x ）max ＝g （x 0）002001212lnx x x x +-=+，又0031ln =22x x -， 所以g （x ）max ＝g （x 0）00020000011112211122lnx x x x x x x x +-+===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，又1＜x 0＜2， ∴0112x ＜＜1， ∴a ≥1，a 的最小整数值是1. 故选：B ．【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，解题关键在于若能参变分离先分离，分离之后转化为利用导数求函数的最值问题，考查运算和分析转化能力，属于中档题.12.过双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若223F P F A →→= ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y ＝±12x B. y ＝±x C. y ＝±2x D. y ＝±25x 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为by x a=，求得直线F 2P ：y ()a x c b =--,与已知渐近线方程联立求得点P 的坐标，再由向量等式求得A 的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C 的渐近线方程．【详解】如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，则F 2P 所在直线的斜率为a b-，直线F 2P 的方程为：y ()a x c b =--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得P （2a ab c c ，）， 设A （x 0，y 0），由223F P F A →→=，得（2a c c -，abc ）＝3（x 0﹣c ，y 0）， 所以()20033a c x c c ab y c⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， 解得：2200233a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A （2223a c c +，3ab c ）， 代入2222x y a b -=1，得222222222(2)199a c a b a c b c+-=， 整理得：42340a a b b ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：2a b=，所以12b a =， ∴双曲线C 的渐近线方程为y 12x =±． 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质、渐近线方程的求法，考查向量关系的坐标表示，考查计算能力和分析转化能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(),1a k =-，()4,2b =-，若a 与b 共线，则实数k 的值为_____．【答案】2【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.【详解】根据题意，向量(),1a k =-，()4,2b =-，若a 与b 共线，则有()()2140k --⨯-=，解得2k =；故答案为：2．【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.14.已知等比数列{a n }是单调递增数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2＝4，a 1+a 3＝10，则S 4＝_____．【答案】30【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝4，a 1+a 3＝10，及等比数列{a n }是单调递增数列解得q ，再利用求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝4，a 1+a 3＝10，∴4q+4q ＝10，化为：2q 2﹣5q +2＝0， 解得q ＝2或12． ∵等比数列{a n }是单调递增数列，240a =>，∴q ＝2．∴a 142==2． 则S 4()421212⨯-==-30．故答案为：30．【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，方法是基本量法，即求出数列的首项和公比，然后由公式直接计算．15.斜率为33的直线l 过抛物线()220y px p =>的焦点，若直线l 与圆()2224x y -+=相切，则p =_____．【答案】12【解析】 【分析】求出直线l 方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．3l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的方程为332p y x ⎫=-⎪⎝⎭，即302p x -=， 直线l 与圆()22:24M x y -+=相切，圆心为()2,0，半径为2，22231p-=+，解得12p =或4p =-（舍去）. 故答案为：12.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的焦点坐标，解题时由抛物线焦点坐标写出直线方程，由圆心到直线距离等于半径即可求解．16.正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2,侧棱长为2,过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.【答案】43 (2). 12（或2） 【解析】【分析】由已知得△PAC 为正三角形,取PC 的中点G ,得AG ⊥PC ,且AG 6=然后证明AG ⊥EF ,且求得AG 与EF 的长度,可得截面四边形的面积；再求出四棱锥P ﹣AEGF 的体积与原正四棱锥的体积,则平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求.【详解】解：如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为2可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG6=设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.∴AG⊥EF.在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC3422222==⨯⨯, 则在Rt△PGE中,得242334PGPEcos BPC===∠.同理PF42=则EF∥DB,得到423EF=.∴11424362233AEGFS AG EF=⨯⨯==四边形；则1434623P AEGFV-==.又1462263P ABCDV-=⨯⨯=,∴平面α461924646=-.4312（或2）. 【点睛】本题主要考查了锥体中的截面计算问题,需要根据线面垂直的性质求出截面四边形,再根据三角形中的关系求解对应的边长以及面积等.属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝n （n +2）（n ∈N *）.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 4n na =,求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）a n ＝2n +1；（2）T n 116111()994n n +=-⋅. 【解析】【分析】（1）由n ＝1时求得a 1,当n ≥2时,由S n ＝n （n +2）（n ∈N *）① ,可得S n ﹣1＝（n ﹣1）（n +1）② ,由①﹣②得a n ＝2n +1,再检验当n ＝1时是否适合,求得a n ；（2）由（1）求得b n 2144n n n a n +==,再利用错位相减法求其前n 项和T n 即可. 【详解】解：（1）由题知：当n ＝1时,有S 1＝1×3＝3＝a 1；当n ≥2时,由S n ＝n （n +2）（n ∈N *）① ,可得S n ﹣1＝(1)(1)n n -+② ,由①﹣② 得a n ＝2n +1,又n ＝1时也适合,故a n ＝2n +1；（2）由（1）知b n 2144n n n a n +==, ∵T n ＝314⨯+521()4⨯+7×（14）3+…+（2n +1）•（14）n ③, ∴14n T =321()4⨯+5×（14）3+…+（2n +1）11()4n +⋅④, 由③﹣④可得：()2313311112[()())21()444444n n n T n +⎛⎤=++++-+⋅ ⎥⎝⎦()21111()[1)3144221()14414nnn-+⎛⎤- ⎥⎝⎦=+⨯-+⋅-1116111()1234nn++=-⋅,所以T n116111()994nn+=-⋅.【点睛】本题主要考查了根据数列的前n项和求解通项公式的方法,同时也考查了错位相减求和的方法,属于中档题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面11BB C C为菱形，1AC AB＝，11B C BC O⋂＝．（1）求证：1B C AB⊥；（2）若160CBB∠︒＝，AC BC=，三棱锥1A BB C-的体积为1，且点A在侧面11BB C C上的投影为点O，求三棱锥1A BB C-的表面积．【答案】（1）详见解析；（21523．【解析】【分析】（1）由侧面11BB C C为菱形，得1B C BO⊥，再由1AC AB＝，O为1B C的中点，得1B C AO⊥，利用直线与平面垂直的判定可得1B C⊥平面ABO，从而得到1B C AB⊥；（2）点A在侧面11BB C C上的投影为点O，即AO⊥平面11BB C C，设2BC a=，由三棱锥1A BB C-的体积为1求解a，再求解三角形可得三棱锥1A BB C-的表面积．【详解】（1）证明：∵侧面11BB C C菱形，∴1B C BO⊥，又1AC AB＝，O为1B C的中点，∴1B C AO⊥，而AO BO O ⋂＝，∴1B C ⊥平面ABO ，得1B C AB ⊥；（2）解：点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，即AO ⊥平面11BB C C ，在菱形11BB C C 中，∵160CBB ∠︒＝，∴1B BC 为等边三角形，又AC BC =，设2BC a =，则121226032BB C S a a sin a =⨯⨯⨯︒=， 3AO a =，则12313313A BBC V a a a -=⨯⨯==，即1a =． 在平面1BB O 中，过O 作1OE BB ⊥，连接AE ，可得OE 313⨯==，则22315(3)()2AE =+=． ∴11151522ABB S =⨯⨯=，同理可得15ABCS =． 则三棱锥1A BB C -的表面积为151222315232S =⨯+⨯⨯⨯=+．【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求三棱锥的表面积问题，属于常考题型.19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x 表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．（1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；（3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）．【答案】（1）众数是76，中位数是81；（2）310；（3）平均数为69，方差约为174.2．【解析】【分析】（1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数即可；（2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值即可；（3）根据题意求出x的值，再计算健康指数的平均数和方差．【详解】（1）根据茎叶图，得到样本中男职工健康指数的众数是76，中位数是1(8082)81 2⨯+=；（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，抽样比51 306 ==男职工抽11836⨯=（人），记为,,a b c，女职工2人，记为,D E，从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种，抽取的2人都是男职工的事件为ab、ac、bc，故所求的概率为P3 10 =；（3）由题意知: 811811696076.230x ⨯+⨯++=⨯，解得69x =；所以样本中所有女职工的健康指数平均数为(116969)6912x ⨯+==， 方差为221[11190(6969)]174.212s =⨯⨯+-≈. 【点睛】本题第一问考查众数和中位数，第二问考查古典概型，第三问考查方差和平均数，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>过点(2,0)A ，且离心率为12． （1）求椭圆C 的方程； （2）若斜率为k (0)k ≠的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点1(,0)8，求k 的取值范围． 【答案】（1）22143x y +=；（2）55(,)(,)-∞+∞． 【解析】【分析】（1）根据题意得2a =,再由离心率求出c ，进而得出b ，即可得到椭圆的方程．（2）设直线l 的方程：y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y +的值和>0∆，即2243m k <+①，根据线段MN 中点2243(,)3434km m k k-++，写出线段MN 的垂直平分线的方程为22314()3434m km y x k k k -=-+++，将点1(,0)8代入，得()21438m k k =-+，代入①式即可得到k 的取值范围．【详解】（1）因为椭圆C 过点(2,0),2A a ∴=，且离心率为1,1,32c b ∴== 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=． （2）设直线l 的方程：y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得： 222(34)84120k x kmx m +++-=.222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->整理得：2243m k <+①122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+， 12122286()2()23434km m y y k x x m k m k k +=++=-+=++. 因为线段MN 中点2243(,)3434km m k k-++， 所以线段MN 的垂直平分线的方程为22314()3434m km y x k k k-=-+++， 又因为线段MN 的垂直平分线过点1(,0)8， 所以223114()34834m km k k k-=-+++，即24830k km ++=， 所以()21438m k k =-+， 代入①式得：2222(43)4364k k k++＜， 整理得：4224016890k k +->，即22(201)(129)0k k -+>解得5k >5k <， 所以k 的取值范围为：55(,(,)1010-∞-+∞． 【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于较难题.21.已知函数f （x ）＝ln x ﹣sin x ,记f （x ）的导函数为f '（x ）.（1）若h （x ）＝ax 1x+-f '（x ）是（0,+∞）上的单调递增函数,求实数a 的取值范围； （2）若x ∈（0,2π）,试判断函数f （x ）极值点个数,并说明理由.【答案】（1）a ≥1；（2）函数f （x ）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点；理由详见解析【解析】【分析】（1）只需h′（x ）≥0在（0,+∞）恒成立,借助于三角函数的有界性,问题可解决.（2）分x ∈（0,1）,12x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，,322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,322x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，四种情形分别研究f （x ）的单调性,进而得出结论. 【详解】解：（1）∵1'f x cosx x =-（）, ∴11h x ax cosx x x=+-+=（）ax +cos x ,因为h （x ）是（0,+∞）上的单调递增函数, ∴h ′（x ）＝a ﹣sin x ≥0（x ＞0）恒成立,因为sin x ∈[﹣1,1],故a ≥1时,h ′（x ）≥0恒成立,且导数为0时不连续.故a ≥1即为所求.（2）由（1）知,1'f x cosx x =-（）, ①当x ∈（0,1]时,f ′（x ）≥1﹣cos x ＞0,此时函数f （x ）单调递增,无极值点； ②当12x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时,则12x π≥, ∵112cosx cos sin π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜,而由三角函数的性质可知,211122sin x πππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜＜＜, ∴1'0f x cosx x=-（）＞, 此时函数f （x ）单调递增,无极值点；③当322x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时,cos x ＜0,则1'0f x cosx x =-（）＞, 此时函数f （x ）单调递增,无极值点；④当322x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时,令1'g x f x cosx x ==-（）（）,则21'0g x sinx x =-+（）＜, ∴函数g （x ）单调递减,又()3210210232g g ππππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭＞，＜, ∴存在唯一的0322x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，,使得g （x 0）＝0, 且当032x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时,g （x ）＝f ′（x ）＞0,f （x ）单调递增, 当x ∈（x 0,2π）时,g （x ）＝f ′（x ）＜0,f （x ）单调递减,故x 0是函数f （x ）的极大值点,综上所述,函数f （x ）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点.【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求解参数范围的问题,需要根据题意求导分析在区间上恒成立的问题,同时也考查了利用导数求解函数极值点个数的问题,需要根据题意分情况讨论导数的正负以及原函数的单调区间,再利用零点存在定理求解.属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22413sin ρθ=+． （1）写出曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的切线，切点为A ，求|PA |的最大值． 【答案】（1）C 1的直角坐标方程为22(2)1x y +-=；C 2的直角坐标方程为2214x y +=；（2）53． 【解析】【分析】（1）由cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α，可得曲线C 1的直角坐标方程．由22413sin ρθ=+，得ρ2+3ρ2sin 2θ＝4，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 2的直角坐标方程；（2）由P 为曲线C 2上的动点，设P （2cos α，sin α），则P 与圆的圆心的距离2224cos (sin 2)3sin 4sin 8d αααα=+-=--+理求|PA |的最大值．【详解】解：（1）由cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α，可得22(2)1x y +-=． ∴曲线C 1的直角坐标方程为22(2)1x y +-=；由22413sin ρθ=+，得ρ2+3ρ2sin 2θ＝4， 即x 2+y 2+3y 2＝4，即2214x y +=． ∴曲线C 2的直角坐标方程为2214x y +=； （2）∵P 为曲线C 2上的动点，又曲线C 2的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩∴设P （2cos α，sin α），则P 与圆C 1的圆心的距离22222284cos (sin 2)3sin 4sin 83sin 33d ααααα⎛⎫=+-=--+=-++ ⎪⎝⎭． 要使|PA |的最大值，则d 最大，当sin α23=-时，d 221 ∴|PA |2max 2511383d -=-= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．23.已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|2x ﹣2|的最大值为M ，正实数a ，b 满足a +b ＝M ．（1）求2a 2+b 2的最小值；（2）求证：a a b b ≥ab ．【答案】（1）83；（2）详见解析． 【解析】【分析】（1）去绝对值得分段函数：3,1()31,113,1x xf x x xx x-≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，由单调性易求函数f（x）的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；（2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证.【详解】解：（1）函数3,1 ()31,113,1x xf x x xx x-≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，∴()f x在（−∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，当x＝1时，f（x）取得最大值(1)2f=，即M＝2，正实数a，b满足a+b＝2，由柯西不等式可得（2a2+b2）（12+12a22⋅+b）2，化为2a2+b22()8332a b+≥=，所以当2222ba=，即b43=，a23=时，2a2+b2取得最小值83；（2）证明：因为a+b＝2，a，b＞0，要证a a b b≥ab，即证a ln a+b ln b≥ln a+ln b，即证（a﹣1）ln a≥（1﹣b）ln b，即证（a﹣1）ln a≥（a﹣1）ln（2﹣a），即证（1﹣a）ln（2a-1）≥0，当0＜a＜1时，2a-1＞1，所以ln（2a-1）＞0，由1﹣a＞0，可得（1﹣a）ln（2a-1）＞0；当a＝1时，（1﹣a）ln（2a-1）＝0；当1＜a＜2时，02a-＜1＜1，所以ln（2a-1）＜0，因为1﹣a＜0，所以（1﹣a）ln（2a-1）＞0，综上所述，（1﹣a）ln（2a-1）≥0成立，即a a b b≥ab.【点睛】本题考查含绝对值的函数最值的求解，考查柯西不等式的应用以及分析法证明不等式，考查学生计算能力与分析能力，是中档题.。

2021年四川省眉山市仁寿一中南校区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁U A＝{1，2，5}，则集合A等于（）A．{0，1，2}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{0，3，4}2．已知复数z满足（2+i）z＝|4﹣3i|（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要（）个单位．A．70B．60C．80D．755．已知数列{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为S n，满足2a4＝a3+5，则S9＝（）A．35B．40C．45D．506．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．8C．D．47．已知在边长为3的等边△ABC中，＝+，则在上的投影为（）A．B．C．D．8．已知椭圆与直线交于A，B两点，焦点F（0，﹣c），其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．下列只有一个是函数（a≠0）的导函数的图象，则f（﹣1）＝（）A．B．C．D．或10．关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③11．设a＝3π，b＝π3，c＝33，则（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a12．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为（）A．1B．C．2D．二、填空题（共4小题）.13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为．14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝．15．已知sinα＝3sin（α），则tan（）＝．16．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，AB ＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a cos B＝b cos A+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．18．某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p﹣1（0.5≤p≤1）．（1）从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知A，B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？19．如图所示，△ABC是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，面ACDE⊥面ABC，AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2．（1）求证：EF⊥BC；（2）求四面体FABC的体积．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线l1与抛物线交于A、B两点，当l1⊥x轴时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）如图，过点F的另一条直线l与C交于M、N两点，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝0（k1＞0），且3S△AMF＝S△BMN，求直线l1的方程．21．已知函数f（x）＝alnx+x（a∈R）．（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数，且g（x）≥0在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a 的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣4＝0，曲线C的参数方程为（t为参数）．以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设射线θ＝α（ρ≥0，0≤α＜2π）与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2的解集；（2）若不等式f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁U A＝{1，2，5}，则集合A等于（）A．{0，1，2}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{0，3，4}解：因为全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁U A＝{1，2，5}，由补集的定义可知集合A＝{0，3，4}．故选：D．2．已知复数z满足（2+i）z＝|4﹣3i|（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i解：由（2+i）z＝|4﹣3i|＝，得z＝，故选：B．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”⇔a8＞0，a9＜0．则“”⇔．∴S n的最大值是S8”是“”的充要条件．故选：C．4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要（）个单位．A．70B．60C．80D．75解：由题意可得0＝a+，解得a＝﹣1，∴v＝﹣1+，∴﹣1+≥2，解得Q≥80，故选：C．5．已知数列{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为S n，满足2a4＝a3+5，则S9＝（）A．35B．40C．45D．50解：∵2a4＝a3+5，∴2（a5﹣d）＝a5﹣2d+5，∴a5＝5，∴S9＝＝9a5＝5×9＝45，故选：C．6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．8C．D．4解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，则该四棱锥的体积V＝．故选：A．7．已知在边长为3的等边△ABC中，＝+，则在上的投影为（）A．B．C．D．解：＝，∴＝＝＝，∴在上的投影为．故选：C．8．已知椭圆与直线交于A，B两点，焦点F（0，﹣c），其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：椭圆与直线交于A，B两点，焦点F（0，﹣c），其中C为半焦距，若△ABF是直角三角形，不妨设A（0，a），B（﹣b，0），则＝0，解得b2＝ac，即a2﹣c2＝ac，即e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），故e＝．故选：A．9．下列只有一个是函数（a≠0）的导函数的图象，则f（﹣1）＝（）A．B．C．D．或解：因为（a≠0），所以f′（x）＝x2+2ax+（a2﹣1），△＝4a2﹣4（a2﹣1）＝4＞0，开口向上，故导函数图像开口向上，与x轴有2个交点，对称轴是x＝﹣a，结合选项（3）符合，由f′（0）＝a2﹣1＝0且﹣a＞0得a＝﹣1，故f（﹣1）＝﹣﹣1+1＝﹣．故选：A．10．关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．11．设a＝3π，b＝π3，c＝33，则（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a解：考查幂函数y＝x3在（0，+∞）是单调增函数，且π＞3，∴π3＞33，∴b＞c；由y＝3x在R上递增，可得3π＞33，由a＝3π，b＝π3，可得lna＝πln3，lnb＝3lnπ，考虑f（x）＝的导数f′（x）＝，由x＞e可得f′（x）＜0，即f（x）递减，可得f（3）＞f（π），即有＞，即为πln3＞3lnπ，即有3π＞π3，则a＞b＞c，故选：C．12．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为（）A．1B．C．2D．解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|＝2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，得|MF1|﹣|NF2|＝2a，即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记C的横坐标为x0，则E（x0，0），于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，同样内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D＝，∠CF2O＝90°﹣，在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan（90°﹣）＝，在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan＝，由r1＝2r2，可得2tan＝tan（90°﹣）＝cot，解得tan＝，则直线的斜率为tanθ＝＝＝2，故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上. 13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为2．解：由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝经过点C时，直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大，由，得B（﹣2，﹣2）．代入目标函数z＝x﹣2y，得z＝﹣2﹣2×（﹣2）＝2，故答案为：2．14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝2．解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0+（﹣2）+0＝0，则有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×504+f（2017）+f（2018）＝f（1）+f（2）＝2；故答案为：2．15．已知sinα＝3sin（α），则tan（）＝．解：已知sinα＝3sin（α），则：sin[（）﹣]＝3sin（），整理得：﹣＝3，故：＝﹣，解得：，则：＝＝＝，故答案为：16．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，AB ＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是．解：设AB＝AC＝AA1＝2m．∵∠BAC＝120°，∴∠ACB＝30°，于是＝2r（r是△ABC外接圆的半径），r＝2m．又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA1的一半，∴球的半径为．∴球的表面积为＝，解得m＝．于是直三棱柱的高是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a cos B＝b cos A+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．【解答】解（1）由正弦定理a cos B＝b cos A+c化为：sin A cos B＝sin B cos A+sin C，∴sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，∴sin（A﹣B）＝sin C，∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．（2）在△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又．∴．18．某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p﹣1（0.5≤p≤1）．（1）从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知A，B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？解：（1）P＝1﹣（1﹣p）（1﹣（2p﹣1））＝1﹣2（1﹣p）2．令1﹣2（1﹣p）2≥0.995，解得p≥0.95．故p的最小值p0＝0.95．（2）由（1）可知A，B生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9．即A，B生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1．故从A生产线抽检的1000件产品中不合格产品大约为1000×0.05＝50件，故挽回损失50×5＝250元，从B生产线上抽检1000件产品．不合格产品大约为1000×0.1＝100，可挽回损失100×3＝300元，∴从B生产线挽回的损失较多．19．如图所示，△ABC是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，面ACDE⊥面ABC，AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2．（1）求证：EF⊥BC；（2）求四面体FABC的体积．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥BC，又△ABC是等边三角形，∴∠EDF＝∠ACB＝60°，又AC＝DE＝BC＝2DF＝2，在△EDF中，由余弦定理可得，EF＝，∴EF2+DF2＝DE2，故EF⊥DF，又DF∥BC，∴EF⊥BC；（2）解：取AC的中点O，连接DO，由AD＝DC，得DO⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴DO⊥平面ABC，且求得DO＝．由DE∥AC，DF∥BC，且DE∩DF＝D，可得平面DEF∥平面ABC，则F与D到底面ABC的距离相等，则四面体FABC的体积V＝．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线l1与抛物线交于A、B两点，当l1⊥x轴时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）如图，过点F的另一条直线l与C交于M、N两点，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝0（k1＞0），且3S△AMF＝S△BMN，求直线l1的方程．解：（1）根据题意可得F（，0），当l1⊥x轴时，直线l1的方程为x＝﹣，联立，解得y＝±p，所以A（，p），B（，﹣p），所以|AB|＝2p＝4，解得p＝2，进而可得抛物线的方程为y2＝4x．（2）由（1）可知F（1，0），设直线l1的方程为y＝k1（x﹣1），联立，得k12x2﹣（2k12+4）x+k12＝0，所以△＝（2k12+4）2﹣4k12＝16k12+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝，x1x2＝1，①因为k1+k2＝0，所以k1＝﹣k2，因为直线l2与抛物线交于点M，N，所以A与N关于x轴对称，M与B关于x轴对称，因为3S△AMF＝S△BMN，S△AMF＝S△BNF，所以3S△AMF＝S△AMF+S△BFM，所以2S△AMF＝S△BFM，所以2|AF|＝|BF|，由抛物线定义可得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，所以2x1+2＝x2+1，即x2＝2x1+1，代入①得（2x1+1）x1＝1，解得x1＝或﹣1（舍去），所以x2＝2x1+1＝2×+1＝2，所以x1+x2＝＝2，解得k12＝8，即k1＝2，所以直线l1的方程为y＝2（x﹣1）．21．已知函数f（x）＝alnx+x（a∈R）．（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数，且g（x）≥0在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a 的最小值．解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx+x，函数f（x）的定义域是（0，+∞），则＝令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）的单调减区间为（0，1），f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（2）由g（x）≥0，可得e﹣x﹣（﹣x）≥x a﹣alnx，即①，令h（t）＝e t﹣t，由h'（t）＝e t﹣1得，当t＜0时，h（t）递减，当t＞0时，h（t）递增，所以①即为h（﹣x）≥h（alnx），由于求实数a的最小值，考虑化为a＜0，所以﹣x≤alnx，即，令，则l′（x）＝﹣，令l′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令l′（x）＜0，解得：x＞e，故l（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故可得l（x）的最大值为﹣e，所以a的最小值为﹣e．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣4＝0，曲线C的参数方程为（t为参数）．以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设射线θ＝α（ρ≥0，0≤α＜2π）与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值．解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，即有ρ＝；曲线C的参数方程为（t为参数），可得sin2t+cos2t＝+x2＝1，则ρ2cos2θ+ρ2sin2θ＝1，即为ρ2＝＝；（2）设M（ρ1，α），N（ρ2，α），其中0≤α＜或＜α＜2π，则＝+＝+＝1+＝1+sin（2α+），由sin（2α+）＝﹣1即α＝或时，取得最小值1﹣．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2的解集；（2）若不等式f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范围．解：（1）∵f（x）＝|x|，∴3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2，即3|x﹣1|﹣|x+1|＞2，所以，①，或②，或③．解①得x≤﹣1，解②得﹣1＜x＜0，解③得x＞3，综合可得x＜0或x＞3，所以原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．（2）f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）即|x﹣a|+|x+2|≤|x+3|．因为不等式f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）的解集包含[﹣2，﹣1]，所以，|x﹣a|+|x+2|≤|x+3|对于x∈[﹣2，﹣1]恒成立．因为x∈[﹣2，﹣1]，所以，x+2≥0，x+3≥0，所以|x﹣a|+|x+2|≤|x+3|等价于|x﹣a|+x+2≤x+3，即|x﹣a|≤1恒成立，所以a﹣1≤x≤a+1在[﹣2，﹣1]上恒成立，所以，，解得﹣2≤a≤﹣1，即实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．。

2024年高考数学（文科）第二次模拟考试卷及答案解析（全国卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}22,U xx x =-≤≤∈∣Z ，集合{1,1,2},{2,0,1,2}A B =-=-，则U ()A B ⋂=ð（）A ．{1,0,1}-B ．∅C ．{2,1,0}--D ．{}1-【答案】C【分析】本题首先可以根据题意求出A B ⋂，然后根据补集的概念得出结果.【详解】由题意得{}{}{}22,2,1,0,1,2,1,2U xx x A B =-≤≤∈=--⋂=Z ∣，所以，U (){2,1,0}A B =-- ð，故选：C ．2．设i 为虚数单位，若复数1i1ia -+为纯虚数，则=a （）A ．1-B ．1C ．0D ．2【答案】B【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案.【详解】()()()()()1i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 22a a a a --+--==-++-，所以102a -=且102a +≠，解得1a =.故选：B3．已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]3,3-D ．[]5,5-【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得249m +≤，解之即可求解.【详解】由题意知，2(2,)a b m -=--，所以23a b -=，得249m +≤，即25m ≤，解得m ≤≤即实数m 的取值范围为[.故选：B4．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=；此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2.故选D.5．若{}n a 是等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和，3890,0a a S +><，则{}n S 中最小的项是（）A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 【答案】B【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得50a <，再结合等差数列的性质判断处6a 的符号，即可得出答案.【详解】因为()19959902a a S a +==<，所以50a <，因为56380a a a a +=+>，所以650a a >->，所以公差650d a a =->，故当5n ≤时，0n a <，当6n ≥时，0n a >，所以当5n =时，n S 取得最小值，即{}n S 中最小的项是5S .故选：B.6．已知函数()f x 的定义域为R ，设()()x g x e f x =．设甲：()f x 是增函数，乙：()g x 是增函数，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】D【分析】利用导数分别求出()f x 与()g x 为增函数的条件并结合充分必要条件进行判断即可求解.【详解】由题意得()f x 的定义域为R ，()()xg x f x =e 的定义域也为R ；充分性：若()f x 是增函数，则()0f x '≥恒成立，()()()()xg x f x f x ='+'e ，因为e 0x >，但()()f x f x +'的正负不能确定，所以()g x 的单调性不确定，故充分性不满足；必要性：若()g x 是增函数，则()()()()0xg x f x f x ='+'≥e恒成立，因为e 0x >，所以()()0f x f x +'≥恒成立，但()f x '的正负不能确定，所以()f x 的单调性不确定，故必要性不满足；所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D 正确.故选：D.7．已知点A 为椭圆M ：22143x y +=的一点，1F ，2F 分别为椭圆M 的左，右焦点，12F AF ∠的平分线交y 轴于点10,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AF F △的面积为（）A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】C【分析】结合光学性质，列出直线AB 方程，即可求解答案.【详解】设点()00,A x y 且不为顶点，因为椭圆方程为22143x y +=，所以过A 的切线方程即直线DE 为00143x x y y ⋅⋅+=，即000334x y x y y =-+，由光学几何性质知，1AB DE k k ⋅=-，所以043AB y k x =，则直线AB 的方程为()000043y y y x x x -=-．令0x =，得0133B y y =-=-，所以01y =．所以1212112AF F S =⨯⨯=△.故选：C8．设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】D【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D9．已知双曲线222:33C x y m -=的一条渐近线l 与椭圆222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ，B 两点，若12||F F AB =，（12,F F 是椭圆的两个焦点），则E 的离心率为（）A 1BC ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得260AOF ∠=︒，由已知条件可得四边形12AF BF 为矩形，则22AO OF AF c ===，1AF =，再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.【详解】由已知2222:13x y C m m-=，则双曲线的一条渐近线:l y =，即260AOF ∠=︒，又12F F AB =，即2OF OA =，且四边形12AF BF 为矩形，所以22AO OF AF c ===，则1AF ==，又根据椭圆定义可知122AF AF c a ++=，所以离心率1ce a ==．故选：A10．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB ==ABCD 是边长为12的正方形，S 是四边形ABCD 及其内部的动点，且满足6PS ≤，则动点S 构成的区域面积为（）A ．B ．12πC ．24πD ．【答案】B【分析】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，推导出PE ⊥平面ABCD ，可知点S 的轨迹是以点E为圆心，半径为.【详解】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，因为PA PB ==E 为AB 的中点，则PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PE ⊂平面PAB ，所以，PE ⊥平面ABCD ，因为SE ⊂平面ABCD ，则PE SE ⊥，因为四边形ABCD 是边长为12的正方形，则6AE =，所以，PE ===SE ==所以，点S 的轨迹是以点E 为圆心，半径为因此，动点S 构成的区域面积为(21π12π2⨯=.故选：B.11．已知等比数列{}n a 的公比为q =n S 为其前n 项和，且*2128,N n nn n S S T n a +-=∈，则当n T 取得最大值时，对应的n 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】利用等比数列通项公式、前n项和公式及已知得12728)2n n T +=-⨯+，应用基本不等式求最大值，并确定取值条件即可.【详解】由题设11nn a a q a +==，1(1)1n n a q S q -==-所以2128(1n n n n S S T a a +-==127128)(228)(1)(14322n +=-⨯+-≤-⨯=-，27n=，即3n =时取等号，所以当n T 取得最大值时，对应的n 为3.故选：B12．已知函数()()sin f x x ϕ=+，0πϕ<<，若函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，则ϕ的取值范围是（）A ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π,8π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意分类讨论π4ϕ≥和π4ϕ<两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可.【详解】若3π04x ≤<，则3π4x ϕϕϕ≤+<+，又因为0πϕ<<，函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，所以当3ππ4ϕ+≥，即π4ϕ≥时，只需满足3π3π42ϕ+≤，此时π3π44ϕ≤≤，当3ππ4ϕ+<，即π4ϕ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则π3ππ242ϕϕ-<+-，此时ππ84ϕ<<，综上，π3π84ϕ<≤，即ϕ的取值范围是π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，7943a a +=，且26108b b b =．则3813481a a ab b ++=-．【答案】23【分析】根据等差、等比数列的性质即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，且7943a a +=，所以842,3a =即8,32a =因为数列{}n b 是等比数列，且26108b b b =，所以368b =，即62b =，所以81382486332113a a a ab b b ++==--.故答案为：23.14．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，则关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】()(),10,1-∞-⋃【分析】由()00f =求出0a =，由奇函数的性质求出()f x 在R 上的解析式，再令()0f x <，即可求出答案.【详解】当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f a ==，所以当0x ≥时，()3f x x x =-，则当0x <时，0x ->，所以()3f x x x -=-+，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以当0x <时，()3f x x x =-，所以()3,R f x x x x =-∈，令()()()3110f x x x x x x =-=-+<，解得：01x <<或1x <-，故关于x 的不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃.故答案为：()(),10,1-∞-⋃.15．已知数列{}n a 满足121n n a a n ++=-，若1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，则1a 的取值范围为.【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由条件得到22n n a a +-=，再将问题转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.【详解】法一：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，则数列{}21n a +，{}2n a 都是以2为公差的单调递增数列.要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，只需2132a a a a >⎧⎨>⎩，而211a a =-，312a a =+，则1111121a a a a ->⎧⎨+>-⎩，解得11122a -<<.法二：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，又211a a =-，则()21112121n a a n n a =-+-=--，()21112112n a a n n a +=++-=+，要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，即2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，即11112212221n a n a n a n a +-->+⎧⎨+>--⎩，解得11122a -<<.故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将1n n a a +>恒成立，转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n na a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.16．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，且SA ⊥平面π,,3ABC SA ABC AC M ∠===是边BC 上一动点，直线SM 与平面ABC 所成角的正切值的O 的表面积为.【答案】43π【分析】根据题意，结合线面角的定义求得AM 的最小值，从而确定ABC 的形状，再利用直三棱柱的外接球的性质即可得解.【详解】将三棱锥S ABC -放入直三棱柱11SB C ABC -，则两者外接球相同，取底面11,ABC SB C 的外心为12,O O ，连接12O O ，取其中点为O ，连接1,OA AO ，如图所示，SA SA =⊥ 平面ABC ，则SMA ∠为直线SM 与平面ABC 的所成角，又直线SM 与平面ABC所以tan SA SMA AM ∠==min 3AM =，此时AM BC ⊥，在Rt ABM 中，π,33ABM AM ∠==，AB AC ∴==ABC ∴ 是边长为1223O A AM ∴==，又1122SA OO ==，222221143224OA OO O A ⎛∴=+=+= ⎝⎭则球O 的表面积为434π43π4⨯=.故答案为：43π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A ；(2)作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =b c +.【答案】(1)π3(2)6【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得.【详解】（1）因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠1sin 2A A =，即tan A =因(0,π)A ∈，故π3A =......................................................6分（2）因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠.因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =AB AC AB AC ⋅，即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=.....................................................9分又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=，解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=......................................................12分18．(12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()iix x yy r --=∑计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=...................................................4分（2）样本(,)i i x y (i =1，2， (20)的相关系数为20()0.943iix x y y r --=≈∑...................................................9分（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计....................................................12分19．(12分）在正方体1AC 中，E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I ，如图.（1）若1A C 交平面EFBD 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线；（2）线段AC 上是否存在点M ，使得平面11//B D M 平面EFBD ，若存在确定M 的位置，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且14AM AC =.【解析】【分析】（1）先得出PQ 为平面EFBD 与平面11AA C C 的交线，然后说明点R 是平面11AA C C 与平面EFBD 的公共点，即可得出P 、Q 、R 三点共线；（2）设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，然后证明出平面11//B D M 平面EFBD ，再确定出点M 在AC 上的位置即可.【详解】（1）AC BD P =Q I ，AC ⊂平面11AA C C ，BD ⊂平面EFBD ，所以，点P 是平面11AA C C 和平面EFBD 的一个公共点，同理可知，点Q 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，则平面11AA C C 和平面EFBD 的交线为PQ ，1A C 平面EFBD R =，1AC ⊂平面11AA C C ，所以，点R 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，由公理三可知，R PQ ∈，因此，P 、Q 、R 三点共线；...................................................6分（2）如下图所示：设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，下面证明平面11//B D M 平面EFBD .E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，11//B D EF ∴，11B D ⊄Q 平面EFBD ，EF ⊂平面EFBD ，11//B D ∴平面EFBD .又//OM PQ ，OM ⊄平面EFBD ，PQ ⊂平面EFBD ，//OM ∴平面EFBD ，11OM B D O =Q I ，OM 、11B D ⊂平面11B D M ，因此，平面11//B D M 平面EFBD .下面来确定点M 的位置：E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，所以，11//EF B D ，且1EF OC Q =I ，则点Q 为1OC 的中点，易知11//A C AC ，即//OQ PM ，又//OM PQ ，所以，四边形OMPQ 为平行四边形，111111244PM OQ OC A C AC ∴====，四边形ABCD 为正方形，且AC BD P =I ，则P 为AC 的中点，所以，点M 为AP 的中点，1124AM AP AC ∴==，因此，线段AC 上是否存在点M ，且14AM AC =时，平面11//B D M 平面EFBD ...................................................12分20．(12分）已知函数()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦.(1)若12a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线；(2)讨论()f x 的单调性；【答案】(1)10x y +-=(2)答案见解析【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，分12a >-，12a <-和12a =-三种情况，进行求解函数的单调性.【详解】（1）当12a =时，函数()()2e 21xf x x x =-+，则()01f =，切点坐标为()0,1，()()2e 1x f x x ='-，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线斜率为()01f '=-，所求切线方程为()10y x -=--，即10x y +-=.....................................................5分（2）()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦，函数定义域为R ，()()()()2e 122e 21x x f x x a x a x a x ⎡⎤=+--=-+⎣⎦'，①12a >-，()0f x '>解得1x <-或2x a >，()0f x '<解得12x a -<<，所以()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减，②12a <-，()0f x '>解得2x a <或1x >-，()0f x '<解得21a x <<-，所以()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减，③12a =-，()0f x '≥恒成立，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.综上，当12a >-时，()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减；当12a <-时，()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减；当12a =-时，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.....................................................12分21．(12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当A 点的横坐标为1时，点A 到抛物线的焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AD ，BD 与C 的另一个交点分别为M ，N ，点P ，Q 分别是AB ，MN 的中点，记直线OP ，OQ 的倾斜角分别为α，β.求()tan αβ-的最大值.【答案】(1)24y x =4【分析】（1）关键抛物线的定义可得22A px +=，求出p 即可求解；（2）设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将直线:1AB x my =+112:2x AD x y y -=⋅+和直线BD ，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示121212,,y y y y x x ++，1324,y y y y ，进而可得322y y =、412y y =，由中点坐标公式与斜率公式可得2221OP m k m =+和221OQ mk m =+，则tan tan 22OP OQ k k αβ===，当π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan()αβ-最大，由两角差的正切公式和换元法可得()1tan ()12OQ k k k k αβ-==+，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）抛物线的准线为2p x =-，由抛物线的定义知，22A px +=，又1A x =，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；.....................................................4分（2）由（1）知，(1,0),(2,0)F D ，设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则34341212(,),(,)2222x x y y x x y y P Q ++++，设直线:1AB x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，2121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-，则21212111()242x x my my m y y m +=+++=++=+，直线112:2x AD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，211314(2()320,8x y y y -∆=-+>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得12122121222212OPy y y y mk x x x x m ++===+++，3434121222222343434122()2()221244OQy y y y y y y y m k x x y y x x y y m ++++====+++++，又因为直线OP 、OQ 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22OP OQ k k αβ===，若要使tan()αβ-最大，需使αβ-最大，则π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220OP OQ k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--====+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以()tan αβ-的最大值为4 (12)分【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设220OP OQ k k k ==>，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。

精品 Word 可修改 欢迎下载江西省广信中学2021届高考数学仿真考试试题 文满分：150分 考试时间：120分钟注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色墨水笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束，监考员只需将答题卡收回装订。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|16,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-≤则PQ 等于A ．[1,3]B ．[1,2]C ．{}1,2D ．{}22．已知复数z 满足(12i)1i z +=-，则z 的虚部是A ．35B．3i 5C ．3i 5-D ．353．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现某家庭2021年全年的收入与2021年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是A．该家庭2021年食品的消费额是2021年食品的消费额的一半B．该家庭2021年教育医疗的消费额是2021年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2021年休闲旅游的消费额是2021年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2021年生活用品的消费额与2021年生活用品的消费额相当4．已知13 11531log,log,363a b cπ-===，则,,a b c的大小关系是A．b a c<<B．a c b<<C．c b a<<D．b c a<<5．ABC∆中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，设AC mAE nBD=+，则m n+的值为A．1 B．2 C.3 D.46．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0，|φ|<2π)的部分图象，则f(43π)＝A．－3B．－1C．1D．37．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入精品 Word 可修改欢迎下载精品 Word 可修改 欢迎下载A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+ 8．函数cos(π)()e e x xx f x -=-的大致图象为A ．B ．C ．D ．9．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()123++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g fA ．－3B ．－1C ．1D ．310．在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若直线y ＝x +b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为21，则a ＝ A ．14B ．12C ．1D ．2 11．已知α 为第二象限角，2sin 410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α的值为 A ．13-或2B ．13-C ．2D ．3- 12．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为1111,D C D A 的中点，过F E B ,,三点的平面截该正方体，则所得截面的周长为 A ．25B ．62C ．1322+D ．1342+ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合M={x|x(x−2)≤0}，N={x|x−1<0}，则M∩N=()A. {x|0≤x≤1}B. {x|0≤x<1}C. {x|1≤x≤2}D. {x|1<x≤2}2.复数1−4i2+i=()A. −2−9iB. 65−75i C. −25−95i D. 65+95i3.若sinα=35(π2<α<π)，则sin2α=()A. −725B. −2425C. 725D. 24254.某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现统计了该公司2011年−2020年研发投入(单位：百万)和研发投入占年利润的比，并制成如图所示的统计图.下列说法正确的是()A. 2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势B. 2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大C. 2011年开始，该公司的年利润逐年增加D. 2011年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势5.执行如图所示的程序框图，输出n的值为()A. 4B. 5C. 6D. 76.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=4，且(a⃗+b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )=−12，则a⃗⋅b⃗ =()A. 4B. 2C. −12D. −47.函数f(x)=x4e x+e−x的大致图象为()A. B. C. D.8. 已知O 为坐标原点，P 为圆C ：(x −1)2+(y −b)2=1(常数b >0)上的动点，若|OP|最大值为3，则b 的值为( )A. 1B. √2C. √3D. 29. 若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =2π3，b =2√3，且△ABC 的面积为3√32，则a =( )A. 3B. 4C. √21D. 3√310. 设α，β是两个不同平面，m ，n 是两条直线，下列命题中正确的是( )A. 如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α⊥βB. 如果m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α//βC. 如果m//n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α//βD. 如果α//β，m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，那么m//n11. 已知直线y =x −1与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于M ，N 两点，且抛物线C 上存在点P ，使得OM −+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则p =( ) A. 12 B. 1 C. 2 D. 412. 已知4m =3，3n =2，5p =2√2，则m ，n ，p 的大小关系为( )A. m >n >pB. m >p >nC. p >m >nD. p >n >m 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =kx(k >0)，离心率为2，则k 的值为______ ． 14. 若实数x ，y 满足{x ≥−1y ≤22x −y ≤0，则2x +y 的最小值是______ ．15. 已知三棱锥A −BCD 中，AB =AC =AD =BC =BD =2√2，CD =4，则点A ，B ，C ，D 所在的球面面积为______ ．16. 已知函数f(x)=|cos(2x −π6)−cos(2x −π2)|，给出下列四个结论：①f(x)的值域是[0,1]；②f(x)是以π2为最小正周期的周期函数；③f(x)在[0,2π]上有4个零点；④f(x)在区间[π6,2π3]上单调递增．其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分100分)，记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好”．(1)请补充完整2×2列联表；通过计算判断，有没有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”6名学生.若从这6名学生中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名学生中恰好有1名男生的概率． 附表及公式：其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．18.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是递增的等比数列，且a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=3a3−1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=2a n(b n−1)(b n+1−1)，求数列{c n}的前n项和S n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=90°，BC//AD，BC=2AD，平面PBC⊥平面ABCD，PB=PC=2，DP=DC=√3，E为PB的中点．(1)证明：AE⊥PC；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴长为4．(1)求a，b的值；(2)设直线y=kx−1(k∈R)与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=e x−12ax2(x>0,a∈R)．(1)当a=1时，比较f(x)与x+1的大小；(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，且x1<x2，证明：ln x2x1<(a−1)x1x2．22. 以直角坐标系的坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：{x =a +t,y =√3t(t 为参数，a 为常数)与曲线C 交于点A ，B ，且|AB|=1，求a 的值．23. 设函数f(x)=2|x +1|+|3−x|的最小值为t ．(1)求t 的值；(2)若正数a ，b 满足a +b =t ，求证：√a +2+√b +2≤4．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵M={x|0≤x≤2}，N={x|x<1}，∴M∩N={x|0≤x<1}．故选：B．可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：1−4i2+i =(1−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=−2−9i5=−25−95i，故选：C．利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．本题主要考查了复数的运算，解题的关键是熟练掌握复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为sinα=35(π2<α<π)，所以cosα=−√1−sin2α=−45，则sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2α的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由图表可知，只有2013年到2015年下降，和2016年到2017年轻微下降，其他都是上升趋势，故A不正确；也可知每年的研发投入占年利润的比并没有逐年增大，故B不正确；2015年和2016年的研发投入差不多，但2016年研发投入占年利润的比2015年占比高，所以说2016年的利润小于2015年的利润，故C不正确；由图表可知，2011年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势，故D正确．故选：D．观察图表，列举图表的意义，判断选项．本题考查统计图的实际应用，考查统计图的性质等基础知识，考查数据处理能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得n=0，n=1不满足条件n2−4n>5，n=2，不满足条件n2−4n>5，n=3，不满足条件n2−4n>5，n=4，不满足条件n2−4n>5，n=5，不满足条件n2−4n>5，n=6，此时，满足条件n2−4n>5，退出循环，输出n的值为6．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=4，且(a⃗+b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )=−12，可得2a⃗2+a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=−12，即：2+a⃗⋅b⃗ −16=−12，所以a⃗⋅b⃗ =2．故选：B．利用已知条件，化简求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积的求法，考查计算能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=(− x)4e−x+e x =x4e x+e−x=f(x)，即f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B，当x>0且趋向无穷大时，f(x)趋向0，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性，利用对称性以及极限思想进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，极限思想，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】解：圆C：(x−1)2+(y−b)2=1的圆心为C(1,b)，半径为1，所以圆C上的点P到原点的最大距离为|OP|=|OC|+1=3，即√12+b2+1=3，解得b=±√3，又b>0，所以b的值为√3．故选：C．求出圆C的圆心和半径，根据圆C上的点到原点的最大距离列方程求出b的值．本题考查了圆的标准方程与应用问题，也考查了运算求解能力和转化思想，是基础题．9.【答案】C【解析】解：∵A=2π3，b=2√3，且△ABC的面积为3√32，∴12bcsinA=3√32，即12×2√3×c×√32=3√32，∴解得c=√3，又∵a2=b2+c2−2bccosA=12+3−2×2√3×√3×(−12)=21，解得a=√21．故选：C ．由已知利用三角形的面积公式可求c 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由α，β是两个不同平面，m ，n 是两条直线，知：对于A ，如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α与β相交或平行，故A 错误；对于B ，如果m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，如果m//n ，m ⊥α，n ⊥β，那么由面面平行的判定定理得α//β，故C 正确；对于D ，如果α//β，m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，那么m 与n 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：C ．对于A ，α与β相交或平行；对于B ，α与β相交或平行；对于C ，由面面平行的判定定理得α//β；对于D ，m 与n 相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力等核心素养，是中档题．11.【答案】C【解析】解：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{y =x −1y 2=2px，整理可得：x 2−2(1+p)x +1=0， x 1+x 2=2(1+p)，y 1+y 2=x 1+x 2−2=2p ，因为OM −+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(2(1+p),2p)=23(x 0,y 0)， 所以可得x 0=3(1+p)，可得y 0=3p ，即P(3p +3,3p)，将P 点坐标代入抛物线上：(3p)2=2p(3p +3)，整理可得：p =2或0(舍)，故选：C ．联立直线与抛物线，可得两根之和，由向量的关系求出P 的坐标，将P 的坐标代入抛物线的方程可得p 的值．本题考查直线与抛物线的综合及向量的应用，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：因为4m =22m =3，则2m =√3，作出函数y =2x ，y =3x ，y =5x 的图象如图所示，再作出y =√3,y =2,y =2√2，然后观察交点的横坐标，则交点的横坐标即为m ，n ，p 的值，由图可知n <p <m ．故选：B ．在同一坐标系中作出函数y =2x ，y =3x ，y =5x 的图象，再作出出y =√3,y =2,y =2√2，然后由图象观察交点横坐标的大小，即可得到答案．本题考查了数值大小的比较问题，主要考查了对数函数图象的理解和应用，解题的关键是正确的作出三个函数的图象，属于中档题．13.【答案】√3 【解析】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =kx(k >0)，离心率为2， 可得c a =2，所以a 2+b 2a 2=4，所以b a =√3， 所以k =b a =√3．故答案为：√3．利用双曲线的离心率，推出a ，b 关系，然后求解双曲线的渐近线的斜率，即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率以及渐近线的关系，是基础题．14.【答案】−4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =−12x −y =0，得A(−1,−2)， 令z =2x +y ，化为y =−2x +z ，由图可知，y =−2x +z 过点A(−1,−2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 取得最小值−4．故答案为：−4．由约束条件作出可行域，令z =2x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】16π【解析】解：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，设点A ，B ，C ，D 所在的球半径为R ，∵三棱锥A−BCD中，AB=AC=AD=BC=BD=2√2，CD=4，∴BD2+BC2=DC2且AD2+AC2=DC2，∴BE=EC=ED=EA=R=12CD=2，∴点A，B，C，D所在的球面面积为：4π⋅R2=16π．故答案为：16π．取CD的中点E，连接AE，BE，结合题中数据求得BE=EC=ED=EA=R=12CD=2，进而求解结论．本题考查四面体的外接球表面积的求法，解题时要注意空间思维能力和空间想象能力的培养，是中档题．16.【答案】①②③【解析】解：f(x)=|cos(2x−π6)−cos(2x−π2)|=|2sin(2x−π3)sin(π6)|=|sin(2x−π3)|，对于①，f(x)的值域是[0,1]，所以①对；对于②，sin(2x−π3)的最小正周期为π，所以f(x)的最小正周期是π2，所以②对；对于③，因为f(x)在[0,π2]上仅有一个零点π6，区间[0,2π]长是周期的4倍，所以有4个零点，所以③对；对于④，区间[π6,2π3]长是π2，而f(x)在[0,π2]上不是单调函数，所以④错．故答案为：①②③．先化简函数，求函数值域判断①，求最小正周期判断②，求零点个数判断③，根据周期性判断④．本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的周期性和单调性及零点个数问题，属于基础题．效果一般效果较好合计男252045女154055合计4060100计算K2=100×(25×40−15×20)245×55×40×60=245011×27≈8.249>6.635，所以有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关．(2)根据列联表中的数据，用分层抽样法抽取6名学生，其中男生2人，记为A、B，女生4人，记为c、d、e、f，从这6名学生中随机选择2名，基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de，df、ef共15种，则所抽取的2名学生中恰有1名男生的基本事件为Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共8种，故所求的概率为P=815．【解析】(1)根据题意填写列联表，计算K2，对照附表得出结论．(2)利用分层抽样法抽取对应人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18.【答案】解：(1)设数列{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q(q≠1)的等比数列，由a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=3a3−1．可得2q=2(1+d)，2q2=3(1+2d)−1，解得d=0，q=1(舍去)或d=1，q=2，则a n=1+n−1=n，b n=2⋅2n−1=2n；(2)c n=2a n(b n−1)(b n+1−1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，则S n=1−122−1+122−1−123−1+123−1−124−1+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1．【解析】(1)设数列{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q(q≠1)的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；(2)求得c n=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取PC中点F，连接DF、EF，∵DP=DC，∴DF⊥PC，又E为PB的中点，∴EF//BC且EF=12BC，又∵BC//AD，BC=2AD，∴EF//AD且EF=AD，则四边形ADFE为平行四边形，得AE//DF，∴AE⊥PC；(2)解：∵平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，AB⊥BC，∴AB⊥平面PBC，则AB⊥PC，又由(1)知，PC⊥AE，而AB∩AE=A，∴PC⊥平面PAB，则PC⊥PB，作PG⊥BC，由面面垂直的性质可得PG⊥底面ABCD，且PG=12BC=√2，连接DG，∵∠ABC=90°，BC//AD，BC=2AD，∴四边形ADGB为矩形，可得DG⊥BC，又DC=√3，GC=√2，可得DG=AB=1，∴四棱锥P−ABCD的体积V=13S ABCD×PG=13×12(√2+2√2)×1×√2=1．【解析】(1)取PC 中点F ，连接DF 、EF ，则DF ⊥PC ，证明四边形ADFE 为平行四边形，得AE//DF ，则AE ⊥PC ；(2)证明AB ⊥PC ，又由(1)知，PC ⊥AE ，得PC ⊥平面PAB ，则PC ⊥PB ，作PG ⊥BC ，得PG ⊥底面ABCD ，连接DG ，可得DG ⊥BC ，由已知求解三角形得DG =AB =1，再由棱锥体积公式求解四棱锥P −ABCD 的体积．本题考查了面面垂直的判定与性质，考查空间距离与棱锥的体积计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知b =2， ca=√22且a 2=b 2+c 2，∴a =2√2，b =2； (2)由(1)知椭圆方程为x 28+y 24=1，设Q(0,m)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，{y =kx −1x 28+y 24=1，得(2k 2+1)x 2−4kx −6=0，∴x 1+x 2=4k 2k 2+1，x 1x 2=−62k 2+1， k QC k QD =y 1−m x 1×y 2−m x 2=(kx 1−1−m)(kx 2−1−m)x 1x 2，化简得k QC k QD =(43−m 23)k 2+(m +1)2， 为使其为定值则令43−m 23=0，解得m =±2，∴Q(0,2)或Q(0,−2)．【解析】(1)由椭圆的性质，直接求出a ，b 的值；(2)联立直线方程与椭圆方程，设出点Q 的坐标，表示出QC ，QD 的斜率，直接计算即可解出． 本题考查了椭圆的定义及性质，直线与椭圆相交，属于中档题．21.【答案】(1)解：当a =1时，f(x)=e x −12x 2(x >0)，令g(x)=f(x)−(x +1)=e x −12x 2−x −1，g′(x)=e x −x −1，g″(x)=e x −1，当x >0时，g″(x)>0，所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增， 所以g′(x)>g′(0)=0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，即f(x)−(x +1)>0， 所以f(x)>(x +1)．(2)f′(x)=e x −ax ，因为f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1<x 2， 所以e x 1−ax 1=0，e x 2−ax 2=0， 则a =e x 1x 1=e x 2x 2，①构造ℎ(x)=e x x(x >0)，ℎ′(x)=e x (x−1)x 2，所以在x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 在(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 当x →0时，ℎ(x)→+∞， 当x =1时，ℎ(1)=e ，当x →+∞时，ℎ(x)→+∞， 所以ℎ(x)≥ℎ(1)=e ，所以ℎ(x)=a 有2个不同的零点，所以a >e ， 此时x 1<1<x 2，由①可得ln x2x 1=ln(e x 2e x 1)=lne (x 2−x 1)=x 2−x 1，所以不等式ln x2x 1<(a −1)x 1x 2．可化为x 2−x 1<(a −1)x 1x 2，所以x2x 1−1<(a −1)x 2，所以x2x 1<(a −1)x 2，所以x 1>1a−1②，要证明②不等式成立，只需证f′(1a−1)>0，由(1)的结论知，任意x >0，e x >12x 2+x +1>x +1， 所以f′(1a−1)=e1a−1−a a−1>1a−1+1−a a−1=0，故原不等式成立．【解析】(1)令g(x)=f(x)−(x +1)，利用导数可求得g(x)在(0,+∞)上单调递增，从而可得g(x)>g(0)=0，即f(x)>(x +1)；(2)对f(x)求导得f′(x)=e x −ax ，根据题意可得a =e x 1x 1=e x 2x 2①，构造ℎ(x)=e x x(x >0)，求导，分析单调性，值域，进而可得ℎ(x)=a 有2个不同的零点，所以a >e ，此时x 1<1<x 2，由①可得ln x 2x 1=x 2−x 1，要证明原不等式，只需证f′(1a−1)>0，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，整理得ρ2=2ρcosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2x ．(2)直线l ：{x =a +t,y =√3t (t 为参数，a 为常数)转换为{x =a +12t y =√32t (t 为参数)，代入x 2+y 2=2x ， 得到：14t 2+at +a 2+34t 2=2a +t ，整理得t2+(a−1)t+a2−2a=0(t1和t2为A和B对应的参数)，故t1+t2=1−a，t1t2=a2−2a，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=1，解得a=0或2．【解析】(1)直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：函数f(x)=2|x+1|+|3−x|=2|x+1|+|x−3|={1−3x,x≤−1x+5,−1<x≤33x−1,x>3，函数的图形如图，可知x=−1是函数取得最小值为：4．所以t=4．(2)证明：正数a，b满足a+b=t，即a+b=4，所以a+2+b+2=8，令a+2=x，b+2=y，x≥2，y≥2，则：√a+2+√b+2=√x+√y=√x+y+2√xy≤√x+y+x+y=√16=4，当且仅当x=y，即a=b=2时，取等号，所以正数a，b满足a+b=t，√a+2+√b+2≤4．【解析】(1)取得绝对值符号，化简函数的解析式为分段函数，结合函数的图象，求解函数的最小值即可．(2)利用(1)推出a+b=4，构造a+2=x，b+2=y，x≥2，y≥2，利用基本不等式，化简所证明的不等式的左侧，推出结果即可．本题考查不等式的证明，重要不等式的应用，换元法的应用，绝对值函数求解最小值的方法，是中档题．。