不等式与不等关系

课题：不等式与不等关系
课时安排：1 课时
课标要求：会用不等式（组）来表示不等关系，理解不等式性质，并会证明简单的不等式. 知识与技能： 掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式，熟练掌握作差法比较两个数或代 数式的大小. 过程与方法： 三维 通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法，深刻领会作差法 目标 和作商法的思想. 情感、态度与价值观： 通过具体情境，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用；培养学生发现问题、分析问题和 解决问题的能力，进而培养学生的实践能力，进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普 遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想. 教学重点：用不等式（组）表示不等关系，利用不等式的基本性质证明简单的不等式. 教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的基本性质证明简单的不等式. 教学辅助手段：板书 教学过程： 一. 新课引入 1．P71 章引言：介绍本章学习的意义、内容. 2．在之前我们学习了很多与相等关系相关的知识，其实在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存 在着大量的不等关系，我们知道三角形的三边之间的关系是两边之和大于第三边，两边之差小于第 三边. 3．询问同学们身边有什么例子，让学生举举身边的例子. 讲台的高度比课桌的高度高，轻与重等. 【设计意图】通过章引言先让学生对本章的学习内容有一个大概的印象. 之后由生活实例入手引出本节 的学习内容. 二. 新课讲解 1．不等式（组）表示不等关系 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系，要表示不等关系，需要了解不等符号，不等符号 有 , , , , ，以及提示与文字之间的转换.如不少于： ，不多于： ，至少： ，至多： . 学生先自行看书 P71 问题 1-3.
板书设计： §3.1 不等式与不等关系 一、比差法 二、8 条基本性质 性质证明及例题讲解
课后反思： 本节课总体感觉上得不是很好，上课期间出现半路“卡壳”的情况. 并且觉得自己作为一名实习老 师，自己的数学素养有待提高，只有这样才不会再课堂上丢脸，也只有这样才会在学生面前树立一个老 师该有的威信. 一个老师最重要，也是最基本的就是自己本身的专业素养！今后定要在此方面多注意多 下工夫！本节课主要有以下不足有待改进： 1. 时间把握不好，导致例 3 没有时间讲. 2. 重点不够突出. 在讲课时定要注意详略之分，简单的部分要懂得一笔带过，不多讲！ 3. 教材准备得不够充分. 对于性质 6 的证明不必面面俱到， 定要每种证法都要讲到， 要懂得顺着学生的 思路，学生讲到什么，就用该方法顺着往下讲，讲清一种证法即可，其他方法可以略微提一下就好 了. 此外，性质 6 还有一种证法（比商法） ，这个方法在备课时没有想到，导致在课堂上出现短路的 尴尬场面.
c d
又a b
a c b d
将负化为正，转为利用“同向可加性”进行判断. （6）同向可乘性
a b 0, c d 0 ac bd .
证：法一：比差法
ac bd (ac bc) (bc bd ) (a b)c (c d )b
a b, c d a c b d .
证明：法一： （比差法）
(a c) (b d ) (a b) (c d ) a b, c d a b 0, c d 0 (a c) (b d ) 0
即ac bd 先由学生自己证明，之后再讲评.强调两不等式的不等号方向一致，否则不成立. 通过性质的证明，总结比差法的证明步骤：①作差；②通过化简、因式分解、提取公因式等变形与 0 做比较；③下结论. 思考：那如果 a b, c d a c ____ b d .（练习 第三题的第一小题） 解： c d
问题 1：画图分析. 问题 2：分析不等式的表示. 问：式中为什么是乘以“0.2”？（列不等式时要保持单位一致. ） 问题 3：由题意设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.由不等关系列出不等式：
500x 600 y 4000 y 3x . x 0 y 0 x, y Z
这里强调相乘的两个不等式的不等号方向必须一致.如果是两个不等式的不等号方向不同， 则不可以 直接用同向可乘性. 思考：这里只研究都大于 0 的情况，小于 0 的话怎么办呢？ 可以通过两边同乘-1 转变为大于 0 的情况.
a b 0, c d 0 ac ____ bd .（练习 第三题的第二小题）
点明：① x 、 y 是表示实际的根数，故必须是整数，这是书本上没有考虑到的. ②用“ ”联立多个不等式，此时引出“不等式组”的概念. 【设计意图】通过具体例题带领学生体会文字符号与数学语言之间的转换，用不等式来表示实际问题. 2．不等式性质 看书 P72. 为了利用不等式研究不等关系，我们需要对这个不等式性质进行研究.在讲解不等式性质之前，我们 先来看下两个实数之间的大小比较，最基本的用什么方法？比差法. 可以得到： a b 0 a b ， a b 0 a b ， a b 0 a b . 可以用比差法来判断 2 个数的大小，在今后的不等式证明中，比差法也是一种常用的方法. 【设计意图】给出判断两式大小的基本方法：作差法. 现在让我们来学习下有关不等式的基本性质.在初中时我们已经接触过一些不等式的性质， 有 （ 1） ～ （4） ，均可用作差法进行证明. （1）对称性： a b b a . （2）传递性： a b, b c a c . （3）可加性： a b a c b c . 在 a b 左右两边各加上一个数成立，那左右两边各乘上一个数是否成立？ （4）可乘性： a b, c 0 ac bc ； a b, c 0 ac bc 注意：所乘的数为非零实数及符号的方向. 【设计意图】通过类比推理法，创设认知冲突的情境，以利于学生认知结构的建构. （5）同向可加性
解： c d 0
c d 0
又a b 0
ac bd
即 ac bd
a b 0 , c d 0 ac bd （练习，第三题的第二小题变式）
（7）正数乘方性
a b 0 2 2 a b 3 3 利用同向可乘性可得 a b 0 a b „ ab0
1
n 0 则 y在(0 , ) 上单调递增； 4. 对于性质 7、 8， 均可从函数角度 （性质 7：y x ， 性质 8：y x n ，
n
1 0 则 y在(0 , ) 上单调递增）进行理解，但由于是文科班，考虑到学生的数学基础较差，对函 n
数的知识遗忘较多，故没有讲，但若是在理科班则是一个很好的理解方法，并且可以加强学生知识 间的联系，形成知识网络.
a ____ 3 b .（练习 第三题的第三小题）
解：直接应用不等式性质的正数开方性. 最后，强调，八条性质不能乱用，条件与结论对调不一定成立了. 【设计意图】对于某些较难理解的性质，从等式的性质，类比到不等式的性质，让学生更易理解，便于 记忆，并对这些性质进行证明，渗透比较两数大小，作差法的重要性. 对于需要强调的部分都配上易错 的练习，让学生加深印象，从而避免今后学习中出现这样的错误. 三. 实战演练 1.书本 74 页，例 1. 已知 a b 0, c 0 ，求证： 证：有两种方法. 法一（用性质） ： a b 0
运用 n 次同向可乘性则有 a b 0 a b (n N , n 1) .这里强调 n N , n 1.
n n
例： a b 0 a__ b2 .（练习 第三题的第四小题）
a 2 b2 0, a 2b2 0, 1 1 b2 2 2 ab ab 1 1 2 2 b a a2
2 2
1 0 ab
2 2
即 a 2 b2 （8）正数开方性
a b 0 n a n b (n N , n 2) .
强调“ a b 0 ”中的“ 0 ” ，如果没有则有可能导致开方没有意义. 但0 a b
n
a n b (n为奇数) 成立.
3
例： a b 0

3 2 2 2 3 2
又

3
2 3



3
2
2 2 ,即 2 3 3 3
3.《三维设计》S42 例 2 比较 x 2 3 与 3x 的大小.（备用练习） 【设计意图】第一题从实际例题出发，让学生体会不等式的性质，并学会充分的应用，并在最后再次证 明不等式的基本方法：作差法.第二题题型为给出未知数的范围，求对它进行加减的取值范围. 四. 作业布置 1. 交 A.3，4，5； B.1.(2)、(3)、(4)，2，3 2. 自觉完成《三维设计》
c c . a b
ab 0
1 0 ab 1 1 1 1 即 a b ab ab b a
即 又c 0
c c a b
法二（作差法） ：
b a c c c 1 1 c a b a b ab
又 a b 0, c 0
b a 0, ab 0
c c 0 a b
即
c c a b
1 1 a b
思考： 0 a b ，会有什么结论？则有
得出结论：同号的两个数，大的数的倒数小于小的数的倒数.该结论只能在小题中直接用. 2.已知 解：


3
,

3


2
，求 2 的取值范围.
又 a b 0, c d 0
a b 0, c d 0
ac bd 0 即 ac bd
法二：利用性质证明
a b ac bc c 0 ac bc bd ac bd c d bc bd b 0