人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径 (共15张ppt)

【解析】如图所示：连接OD ∵直径AB=15 ∴BO=7.5 ∵OC：OB=3：5 ∴CO=4.5 ∴ DC DO2 CO2 6 ∴DE=2DC=12．
3.（2021•杭州期末）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， AB⊥MN，点C在线段AB上，OC=AC=2，BC=4，求⊙O的半径．
ABC ACB BAC
A⌒B ⌒BC
⌒ A⌒CB BAC
B O●
C
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解 决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
③ AE=BE
④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=⌒BD C
举例证明其中一种组合方法 已知:
求证：
O
E
A
B
D
【证明举例】
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2） A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？
C
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
A
E
B
O
【跟踪训练】
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= 16cm.
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB，
AE OAc2m OE2
102 62
8
∴ AB=16cm.
A
E
B
O·
垂径定理
内容
推论
辅助线
基本图形及 变式图形

（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）

船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？

下课!
课堂作业：课本 家庭作业：练习册
O
A
B
E
D
∴ CD⊥弦AB ，A⌒D=
⌒
BD
，A⌒C=B⌒C
1.判断下列图形，能否满足垂径定理？
B
B
B
O
O
O
C A
(×)
DC A
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得A
C D B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
O
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
图一：AC、BD有什么关系？ A C O D B
变式：图二AC＝BD依然成立吗？ (1)
AC
O
将圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，把问题 转化为直角三角形的问题。
B
A P
O
如图，A⌒B 所在圆的圆心是点O， 过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m， 弦AB=16 m，求此圆的半径.
课本例题
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN