初三中考数学实数的运算与大小比较

2019 初三数学中考复习实数的大小比较和运算专题练习题1. 下列四个数中，最大的数是( )A．3 B. 3 C．0 D．π2．|6－3|＋|2－6|的值为( )A．5 B．5－2 6 C．1 D．26－13. 下列说法中正确的是( )A．实数－a2是负数 B.a2＝|a|C．|－a|一定是正数 D．实数－a的绝对值是a4. 下列实数中最大的数是( )A．3 B．0 C. 2 D．－45. 比较三个数－3，－π，－10的大小，下列结论正确的是( ) A．－π＞－3＞－10 B．－10＞－π＞－3C．－10＞－3＞－π D．－3＞－π＞－106. 3－11的相反数是___________．7. 估计5－12与0.5的大小关系是：5－12_______0.5.(填“＞”“＝”或“＜”)8. 若|a|＝|－5|，则a＝____________9. 若|a＋1|＝5，则a＝_______________________10. 实数a在数轴上的位置如图，则|a－3|＝__________11. 大于－18而小于13的所有整数的和为____．12. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a＋b____0.(填“＞”“＜”或“＝”)13. 求下列各式中的x：(1)|－x|＝5－1； (2)|3－x|＝ 2.14. 计算：25＋3－8－(3)2＋2215. 观察例题：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴7的整数部分为2，小数部分为7－2.请你观察上述规律后解决下面的问题：(1)规定用符号[m]表示实数m 的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3.按此规定，[10＋1]的值为____；(2)如果3的小数部分为a ，5的小数部分为b ，求3·a＋5·b－8的值． 参考答案：1---5 DCBAD 6. 11－37. ＞8. ±5 9. 5－1或－5－1 10. 3－a11. -412. ＞13. (1) 解：x ＝5－1或－5＋1.(2) 解：x ＝3＋2或3－ 2.14. 解：原式＝5－2－3＋2＝2.15. (1) 4(2) 解：∵1＜3＜4，即1＜3＜2，∴3的整数部分为1，小数部分为a ＝3－1.∵4＜5＜9，即2＜5＜3，∴5的整数部分为2，小数部分为b ＝5－2，∴3·a＋5·b－8＝3(3－1)＋5(5－2)－8＝3－3＋5－25－8＝－3－2 5.。

第2讲实数的运算及大小比较考点1平方根、算术平方根、立方根名称定义性质平方根如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根.记作±a.正数的平方根有两个，它们互为①；③没有平方根；0的平方根是② .算术平方根如果x2=a(x>0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.记作a.0的算术平方根是④ .立方根若x3=a，则x叫做a的立方根，记作3a.正数有一个⑤立方根；0的立方根是0；负数有一个⑥立方根.考点2实数的大小比较代数比较规则正数⑦，负数⑧，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而⑨ .几何比较规则在数轴上表示的两个数，左边的数总是⑩右边的数.考点3实数的运算内容运算法则加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等.特别地，a0=⑪ (其中a≠0)，a-p=⑫ (其中p为正整数，a≠0).运算律交换律、结合律、分配律.运算性质有理数一切运算性质和运算律都适应于实数运算.运算顺序先算乘方、开方，再算⑬，最后算⑭，有括号的要先算⑮的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右进行运算.1.比较实数的大小可直接利用法则进行比较，还可以采用作差法、倒数法及估算法，也可借助数轴进行比较.2.实数混合运算时，根据每个算式的结构特征，选择适当的方法，灵活运用运算律，就会收到事半功倍的效果.命题点1 平方根、算术平方根、立方根例1 (2014·东营) 81的平方根是( )A.±3B.3C.±9D.9方法归纳：解此类题需要先将原数化简，再根据平方根与算术平方根的概念、关系及符号的表示，并在此基础上正确运算.1.(2014·陕西)4的算术平方根是( )A.-2B.2C.-12D.122.(2013·资阳)16的平方根是( )A.4B.±4C.8D.±83.(2014·威海)若a3＝-8，则a的绝对值是( )A.2B.-2C.12D.-124.(2013·宁波)实数-8的立方根是 .5.(2014·河南)计算:327-|-2|= . 命题点2 实数的大小比较例2 (2014·南昌模拟)51212.(填“>”“<”或“=”)方法归纳：比较实数的大小除了基本的“正数负数”原则和方法外，还可采用作差法，倒数法，估算法，也可借助数轴进行比较.1.(2014·菏泽)比-1大的数是( )A.-3B.-109C.0D.-12.(2014·益阳)四个实数-2，0，-2，1中，最大的实数是( )A.-2B.0C.-2D.13.(2015·苏州模拟)如图所示，是数a，b在数轴上的位置，下列判断正确的是( )A.a<0B.a>1C.b<-1D.b>-14.(2014·重庆A卷)2014年1月1日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是-4 ℃、5 ℃、6 ℃、-8 ℃，当时这四个城市中，气温最低的是( )A.北京B.上海C.重庆D.宁夏命题点3 实数的运算例3 (2014·泸州)计算：12-4sin60°+(π+2)0+(12)-2.【思路点拨】先将代数式中的各部分化简，再进行有理数的加减. 【解答】方法归纳：解答本题的关键是掌握零指数幂a0=1(a≠0)、负整数指数幂a-n=1na(a≠0,n是正整数)、算术平方根和乘方的意义.正确运用整数指数幂的运算法则进行计算，不要出现(12)-2= - (12)2这样的错误.1.(2014·荆门)若( )×(-2)＝1，则括号内填一个实数应该是( )A.12B.2C.-2D.-122.(2014·菏泽)下列计算中，正确的是( ) A.a 3·a 2＝a6B.(π-3.14)0＝1 C.(13)-1＝-3 D.9＝±3 3.(2014·十堰)计算4+(π-2)0-(12)-1= . 4.(2014·重庆A 卷)计算4+(-3)2-2 0140×|-4|+(16)-1.5.(2014·长沙)计算：(-1)2 014+38-(13)-1+2sin45°.1.(2014·江西)下列四个数中，最小的数是( ) A.-12B.0C.-2D.2 2.(2014·枣庄)2的算术平方根是( )A.±2B.2C.±4D.4 3.(2014·潍坊)()321-的立方根是( )A.-1B.0C.1D.±1 4.(2014·德州)下列计算正确的是( )A.(-3)2＝-9B.327=3C.-(-2)0＝1 D.|-3|= -35.(2014·绍兴)比较-3，1，-2的大小，正确的是( )A.-3＜-2＜1B.-2＜-3＜1C.1＜-2＜-3D.1＜-3＜-26.(2014·重庆B 卷)某地连续四天每天的平均气温分别是：1℃，-1℃，0℃，2℃，则平均气温中最低的是(A ) A.-1℃ B.0℃ C.1℃ D.2℃7.(2014·宁波)杨梅开始采摘了！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图.则这4筐杨梅的总质量是( )A.19.7千克B.19.9千克C.20.1千克D.20.3千克 8.(2013·宜昌)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( )A.a+b ＝0B.b ＜aC.ab ＞0D.|b|＜|a|9.(2014·徐州)点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中A 、B 表示的数分别为-3、1.若BC=2，则AC 等于( )A.3B.2C.3或5D.2或610.(2014·梅州)4的平方根是 .11.(2014·陕西)计算(-13)-2= .12.(2014·滨州)计算：-3×2+(-2)2-5= .13.(2014·资阳)计算：38+(2-1)0= .14.(2013·西双版纳)若a＝-78，b=-58，则a、b的大小关系是a b(填“＞”“＜”或“=”).15.(2013·杭州)把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 .16.(2014·梅州)计算：(π-1)0+|2-2|-(13)-1+8.17.(2014·南充)计算：(2014-1)0-(3-2)+3tan30°+(13)-1.18.(2014·内江)计算：2tan60°-|3-2|-27+(13)-1.19.(2015·南充模拟)如图一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m.(1)求m的值；(2)求|m-1|+(m+2 014)0的值.20.如图所示，数轴上表示2，5的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是( )555521.(2013·泰安)观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2 187，….解答下列问题：3+32+33+34+…+32 013的末尾数字是( )A.0B.1C.3D.722.(2013·常德)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3-2=18+7-6-5=415+14+13-12-11-10=924+23+22+21-20-19-18-17=16……根据以上规律可知第100行左起第一个数是 .23.(2013·黄石)在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”.而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制的比较如下表：十进位制0 1 2 3 4 5 6 …二进制0 1 10 11 100 101 110 …请将二进位制10101010(二)写成十进位制数为 .参考答案考点解读①相反数②负数③0 ④0 ⑤正的⑥负的⑦大于⑧小于⑨小⑩小于⑪1 ⑫1pa⑬乘除⑭加减⑮括号内各个击破例1A题组训练 1.B 2.B 3.A 4.-2 5.1例2 ＞题组训练 1.C 2.D 3.C 4.D例3 原式=23-4×3+1+(2-1)-2=23-23+1+22=1+4=5.题组训练 1.D 2.B 3.14.原式=2+9-1×4+6=13.5.原式=1+2-3+2×22＝1.整合集训1.C2.B3.C4.B5.A6.A7.C8.D9.D10.±211.912.-713.314.＜15.7377 16.原式22217.原式3+2+3×3333+3=6.18.原式＝+3＝1.19.(1)∵蚂蚁从点A向右爬2个单位到达点B，∴点B所表示的数比点A所表示的数大2.∵点A表示B所表示的数为m,∴(2)原式020.C 21.C22.10 200提示：第n行第一个数为：(n+1)2-1.23.170提示：10101010(二)=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×2=128+32+8+2=170.。

实数考点1 实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数． 例1 比较3－2与2－1的大小．分析：比较3－2与2－1的大小，可先将各数的近似值求出来， 即3－2≈1.732－1.414=0.318，2－1≈1.414－1=0.414，再比较大小例2 在-6,0,3,8这四个数中，最小的数是（ ）A.-6B.0C.3D.8 答：2－1，A 利用数轴考点2 无理数常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· (2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。

如：35,3注意：（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环；（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如4，327就是有理数）．例3 下列是无理数的是（ ）A.-5/2B.πC. 0D.7.131412例4在实数中－23 ，0 3.14 ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答：B ，A考点3 实数有关的概念实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数例5若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例6实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例7 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2B. 2－5C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例8已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b的值为 分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。

初中数学中常用的比较大小方法例谈为使同学们简捷、准确地解答比较大小这种数学中常见题型，下面介绍几种方法:一、 利用减法比较两个数a 、b 的大小，最常用的就是利用减法——看其差： 若a －b>0，则a>b ； 若a －b=0，则a=b ；若a －b<0，则a<b 。

例1、 已知：a 、b 、x 都是实数，且a=12+x ， b=2x ，试比较a 、b的大小。

解：a －b=12+x －2x=(x －1)2.需分两种情况讨论：①当x=1时，(x －1)2=0，则a=b ；②当x ≠1时，(x －1)2>0.则a>b 。

∴a ≥b 。

例2、 已知 a 、b 、c 为不等边△ABC 的三条边，x=a 2+b 2+c 2,y=ab+ac+bc 试证明x>y 。

证明：x －y= a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc =21(2 a 2+2b 2+2c 2－2ab －2ac －2bc) = 21〔(a －b) 2+(a －c) 2+(b －c) 2〕∵a 、b 、c 为不等边△ABC 的三条边 ∴21〔(a －b) 2+(a －c) 2+(b －c) 2〕>0∴x>y二、 利用除法比较两个数的大小，有时利用除法看其商也是常用之法。

若a 、b 都是正数，当b a >1时，则a>b ；当b a =1时，则a=b ； 当b a <1时，则a<b 。

例3：已知a=x 3+1，b= x 2－x+1，其中x>0，试判断a 、b 的大小。

解：∵x>0∴a=x 3+1>0; b= x 2－x+1= x 2－x+41+43=(x －21)2+43>0 又b a =1+x - x 1x 23+=1+x - x 1)+x - x )(1(x 22+=x+1>1 ∴a>b;三、 利用绝对值两个正数比较大小，绝对值大的原数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

中考数学知识点总结 实数 （6大知识点+例题） 新人教版基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。