专题2 实数的运算与大小比较
一、考纲要求
1.理解乘方、幂的有关概念；
2.掌握实数运算法则和运算顺序，能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算，以及简单的混合运算；
3.灵活运用运算律简化实数运算；
4. 会比较实数的大小.
二、知识梳理
1.有理数加、减、乘、除、乘方及其混合运算的运算法则
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得零.
③一个数同0相加，仍得这个数.
（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
（3）有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.
②几个不等于0的数相乘，积的符号由__负因数的个数_决定.当__负因数的个数为奇数时，积为负，当__负因数的个数为偶数时_，积为正.
③几个数相乘，有一个因数为0，积就为_0_.
（4）有理数除法法则：
①除以一个数，等于_乘以这个数的倒数_._零_不能作除数.
②两数相除，同号得正_，异号得负_，并把_绝对值相除_. 0除以任何一个_非零 的数，都得0
（5） 乘方运算：①=n a a ·a ·a …·a (n 个a 相乘) ，其中a 叫做底数，n 叫做指数.
②正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0的任何次幂都是0 ③=0a 1 （其中a ≠0 ）=-p a a p 1
（其中a ≠0 且p 是正整数）
（6）实数的运算顺序：
①先算_乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减
②同级运算从左到右，按顺序进行
③如果有括号，就先做括号里面的，按小括号、中括号 、大括号 依次进行.
2.运算律
（1）加法交换律：a +b =b +a . (2)加法结合律： (a +b )+c=a +(b +c).
（2）乘法交换律： ab =ba . (4)乘法结合律： (ab )c=a (b c).
（3）乘法分配律： (a +b )c=a c+b c.
3.实数大小的比较——常用的几种方法
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数， 右边 的点表示的数总比 左边的点表示的数大.
（2）代数比较法：正数 大于 0，负数 小于 0，正数 大于 负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
（3）倒数比较法:对任意正实数a 、b 有：
（4）平方比较法：如，因为(23)2 ＜(32)2，所以2
（5）求差比较法：设a 、b 是任意两个数，若a -b >0a > b ；若a -b =0，则a = b ，若a -b <0，则a < b .
（6）求商比较法: 已知a >0、b >0，若
b a >1，则a > b ；若b a =1，则a = b ；若b
a <1，则a <
b . （7）近似估算法、特殊值法 三、要点精析
1.提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．
在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.
如5÷5
1×5=5÷1=5，正确的算法是5×5×5=125. 2. 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任何两数的大小，而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小，还有“平方法”“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．
四、中考真题和试题精粹
1.(2015安徽省)在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是（ ）
A ．－4
B ．2
C ．－1
D ．3
【答案】A
【解析】
试题分析：根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．
试题解析：∵正数和0大于负数，
∴排除2和3．
∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4，
∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣4＜﹣2＜﹣1．
故选：A ．
点评：考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 考点：有理数大小比较．
2.(2015安徽省) ）
A B ．4 C D ．2
【答案】B
【解析】
试题分析：直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．
4==
故选：B ．
点评：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
考点：二次根式的乘除法．
3.(2015安徽省)与1 ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
试题分析：由于4＜5＜9，由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平方数，再估算与最接近的整数即可求解．
试题解析：∵4＜5＜9，
3．
又5和4比较接近，
2.
∴与 3.
故选：B．
点评：此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．考点：估算无理数的大小．
4.（2014•菏泽，第1题3分）比﹣1大的数是（）
A.-3
B.
10
9
- C.0 D.-1
【答案】C
【解析】
试题分析：根据零大于一切负数，负数相比较，绝对值大的反而小试题解析．
试题解析：-3、
10
9
-、0、-1四个数中比﹣1大的数是0．
故选C．
点评：本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记大小比较方法是解题的关键．
考点：有理数大小比较．
5.（2014•新疆，第1题5分）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
A．阿勒泰B．喀什C．吐鲁番D．乌鲁木齐
【答案】A
【解析】
试题分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
试题解析：﹣25＜﹣16＜﹣8＜﹣5，
故选：A．
点评：本题考查了有理数比较大小，负数比较大小，绝对值大的数反而小．
考点：有理数大小比较
6.（2014·台湾，第11题3分）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与
11﹣( )
