3.3函数的基本性质(零点)

函数与函数的零点知识点总结函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数一般用f(x)或者y来表示，其中x称为自变量，y称为因变量。

函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。

零点，也称为函数的根或者零，是指函数在一些特定的自变量值下，对应的函数值为0的情况。

即f(x)=0时的x值。

零点是函数图像与x轴的交点。

知识点一：线性函数的零点线性函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。

线性函数的零点可以通过给定y=0来求解方程kx + b = 0，解方程可得x的值，即为线性函数的零点。

知识点二：二次函数的零点二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数的零点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来得到，解方程的方法一般有因式分解、配方法和求根公式等。

知识点三：多项式函数的零点多项式函数是由一系列单项式相加或相减而得到的函数。

多项式函数的零点是使得函数值等于0的自变量值。

求多项式函数的零点可以通过因式分解，然后将每个因子设置为0，解出自变量的值。

知识点四：无理函数的零点无理函数是指具有无理指数或无理根的函数，常见的无理函数有开方函数、分式函数等。

求无理函数的零点一般通过化简为二次方程或者其他方程，然后求解方程得到。

知识点五：幂函数的零点幂函数是指以幂指数函数为自变量的函数，形如y=x^a，其中a为常数。

幂函数的零点可以通过将幂指数函数设置为0来求解。

当a为偶数时，幂函数的零点只有一个，即x=0；当a为奇数时，幂函数的零点有两个，即x=0和x=-0。

知识点六：三角函数的零点三角函数是一类基本的数学函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数的零点是指函数值等于0的自变量的值。

求三角函数的零点一般通过观察三角函数图像的周期性，找到函数值为0的自变量区间。

综上所述，函数与函数的零点是高中数学中的重要内容。

《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。

《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。

以下是《函数的基本性质》的知识总结大全：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。

函数的定义域和值域可以用图像来表示。

2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。

可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。

4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。

5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。

极大值和极小值统称为极值。

6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。

7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。

8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。

10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。

复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。

高中数学必修一函数零点知识点总结函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，也就是函数使得y=0的x值。

函数零点是函数的重要特征之一，对于数学问题的解决有着重要的意义。

本文将会对于高中数学必修一中的函数零点知识点进行总结和归纳，目的是帮助大家更好的理解和掌握这一知识点。

一、函数零点的基本概念在高中数学必修一中，我们首先需要了解函数和零点的基本概念。

1.函数函数是一种映射关系，通常用f(x)表示。

f(x)代表的是自变量x 经过一个映射后得到的因变量y。

2.零点零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即函数使得y=0的x 值。

二、函数零点的求解方法了解了基本的概念后，下一步就是了解函数零点的求解方法。

通常用以下几种方法进行求解：1.图像法用函数的图像上的交点来确定零点的大致位置。

这是一种较为直观的方法，但是可能存在误差。

2.代数法代数法是计算函数表达式的零点。

对于一次函数，可以通过解一元一次方程的方法求解零点；对于高次函数，可以使用因式分解再使用一元高次方程求解零点。

3.牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数求得函数的切线，再求得切线与x轴的交点，作为函数零点的估算值，通过反复迭代不断无限接近真实的零点。

三、函数零点的意义函数零点的意义不仅仅是代表交点的横坐标，而且它还有许多重要的实际意义。

1.解方程函数零点可以帮助我们解出方程，对于很多实际问题，都可以通过建立函数模型，然后求出函数的零点来解决问题。

2.最优解函数的零点常常代表着一些最优解。

例如，在一段时间内销售收入为0的时间点可能是关键节点，需要重点关注。

3.寻找某些性质在研究函数性质的过程中，函数的零点也具有重要的作用。

比如，函数在零点处是否有极大值或者极小值等。

四、函数零点的应用函数零点在实际应用中也有着广泛的应用。

1.物理学应用物理学中的许多问题都可以通过建立函数模型求解。

例如，简谐运动的周期、波浪的速度等等，都需要求解函数的零点。

2.经济学应用函数零点可以帮助我们优化经济模型，例如，一些变量的收益和成本之间的平衡点可以通过函数零点来寻找。

备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。

函数零点的性质及应用函数的零点指的是函数的图像与x轴（或称为横轴）相交的点，在数学中也被称为函数的根、解或交点。

零点的性质及其应用广泛存在于数学、物理、工程等各个领域，下面将从数学的角度来探讨函数零点的性质及应用。

一、函数零点的性质：1. 零点的存在性：函数存在零点的条件是函数的图像与x轴相交，即f(x) = 0。

对于连续函数而言，根据介值定理，如果函数在闭区间[a, b]上有不同的符号，即f(a)f(b) < 0，则在[a, b]上一定存在一个实数c，使得f(c) = 0，即函数在[a, b]上一定存在一个零点。

2. 零点的唯一性：对于单调函数而言，如果函数在某个区间上是单调递增（递减）的，那么这个函数在该区间上的零点是唯一的。

特别地，对于严格单调递增（递减）的函数，其零点一定只有一个。

3. 零点的重数：零点的重数指的是函数在该零点处连续的次数，也叫做该零点的重子数。

常见的有一重零点、二重零点等。

如果一个函数在某个点x=a处的导数为0，且导数的导数在该点不为0，则称x=a是函数的二重零点。

4. 零点的性质：函数的零点是函数图像与x轴的交点，因此在零点处，函数的取值为0。

而在零点附近，函数的取值可能会从负数变成正数或从正数变成负数，因此可以利用函数的零点来确定函数表达式的变号区间。

此外，零点还可以用来求解函数的方程，即通过求解f(x)=0来确定x的值。

二、函数零点的应用：1. 方程的求解：函数的零点在求解方程中有很重要的作用。

通过求解f(x)=0，可以将一个方程转化为一个函数的零点问题，从而可以利用函数零点的性质来解决方程。

例如，求解一元二次方程ax^2+bx+c=0可以转化为求解函数f(x)=ax^2+bx+c的零点问题。

2. 函数图像的描绘：函数的零点是函数图像与x轴相交的点，因此可以通过求解函数的零点来确定函数图像的交点。

通过绘制函数的零点，可以更加清晰地了解函数的增减性、拐点、极值等信息。

⾼中数学：函数的基本性质⼀、知识点1、函数（1）了解构成函数的要素，会求⼀些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的⽅法（如图象法、列表法、解析法）表⽰函数．（3）了解简单的分段函数，并能简单应⽤．（4）理解函数的单调性、最⼤（⼩）值及其⼏何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．（5）会运⽤函数图象理解和研究函数的性质．2、指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景．（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．（3）理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．（4）知道指数函数是⼀类重要的函数模型．3、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道⽤换底公式能将⼀般对数转化成⾃然对数或常⽤对数；了解对数在简化运算中的作⽤．（2）理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。

（3）知道对数函数是⼀类重要的函数模型．（4）了解指数函数与对数函数互为反函数．4、幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况．5、函数与⽅程（1）结合⼆次函数的图象，了解函数的零点与⽅程根的联系，判断⼀元⼆次⽅程根的存在性及根的个数．（2）根据具体函数的图象，能够⽤⼆分法求相应⽅程的近似解．6、函数模型及其应⽤（1）指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．（2）函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会⽣活中普遍使⽤的函数模型）的⼴泛应⽤．⼆、点拨：1、关于映射和函数的基本概念在应⽤时应注意把重点放在它们的⼏个要素上，从定义⼊⼿，其规律⽅法是：（1）映射的定义是有⽅向性的，即从集合A到B与从集合B到A的映射是两个不同的映射，映射是⼀种特殊对应关系，只有⼀对⼀、多对⼀的对应才是映射。

（2）函数的定义有两种形式，都描述了定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。

《32函数的基本性质》教研教案教学设计一、教学目标1.理解函数的定义和表示方法。

2.掌握函数的基本性质。

3.能够应用函数的性质解决实际问题。

二、教学重点1.函数的定义和表示方法。

2.函数的基本性质。

三、教学难点1.函数的定义和表示方法的理解和应用。

2.函数的性质的理解和应用。

四、教学内容与过程1.预习导入（10分钟）-引导学生回顾函数的定义和表示方法，并简要复习函数的基本性质。

-提问：函数的定义是什么？函数有哪些表示方法？函数的基本性质有哪些？2.理论学习（30分钟）-讲解函数的定义和表示方法：-函数的定义：函数是一个集合，它由一个自变量集合、一个因变量集合和一个对应关系组成。

其中，自变量集合中的每个元素只能和因变量集合中的一个元素对应。

-函数的表示方法：方程表示法、图像表示法、映射表示法等。

-讲解函数的基本性质：-单调性：函数在定义域上的任意两个元素的对应值之间的大小关系不变。

-奇偶性：函数的奇偶性与函数的对称性有关，可通过函数的对称轴和图像的对称性来确定函数的奇偶性。

-周期性：函数的周期性表示函数的图像在一定的横坐标上有规律地重复出现。

-最值和增减性：函数图像在一定范围内是否有最大值、最小值以及函数的增减情况。

-零点和方程的解：函数的零点是函数在定义域上使得函数值为零的自变量值，根据函数的定义域和图像可以求解方程。

3.实例分析（30分钟）-提供一些函数实例，引导学生分析函数的性质。

-案例一：已知函数f(x)在区间[0,2π]上单调递增，并且f(0)=0，f(π)=1，求f(x)的表达式。

-案例二：已知函数g(x)=x^2-4x+3在区间[-1,5]上单调递增，求g(x)的零点和最值。

4.练习巩固（20分钟）-给出一些综合性的练习题，让学生应用函数的性质解答。

-练习题一：已知函数h(x)=2x+1，求h(x)在区间[-2,3]上的图像。

-练习题二：已知函数k(x)在区间[-π,π]上的零点为x=-π/2，x=0，x=π/2，求k(x)的表达式。