二轮复习 函数零点的性质问题 学案(全国通用)

高中数学函数零点教案
目标:
学生能够掌握函数零点的概念以及求解零点的方法。

教学内容:
1. 函数零点的定义
2. 方程求解的方法（因式分解、配方法、二次函数公式）
3. 利用图像法求解零点
教学步骤:
1. 引导学生了解函数零点的定义，即函数图像与X轴的交点。

2. 讲解如何求解函数的零点，分别介绍因式分解、配方法和二次函数公式的应用。

3. 演示练习，让学生在老师的指导下解决一些函数的零点问题。

4. 引导学生通过作图的方法求解函数的零点，讲解如何在函数图像上找到交点。

5. 练习巩固，让学生自主完成一些函数的零点求解问题。

评价方式:
1. 学生的课堂参与度
2. 课堂练习的正确率
3. 课后作业的完成情况
Homework:
1. 完成课后练习
2. 尝试解决更复杂的函数零点问题
备注:
老师在教学过程中要引导学生注意函数零点的概念理解和求解方法，遇到困难要及时给予帮助和指导。

提倡学生多做练习，加深对函数零点的理解和掌握。

培优点二 函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞Q ，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增， ()31ln 30f =-<Q ，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭Q ，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln 3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。

函数的零点导学案学习考试大纲与考试说明结合二次函数的图像，了解函数零点与方程的联系一、说考点(一) 考点回顾1. 函数零点概念：一般的，如果函数y = f(x)在实数Q 处的值等于零，即 __________ ,则—叫 做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与兀轴的公共点是 __________ 点。

2. 零点存在性定理：如果函数歹=/(兀)在一个区间 ______ 上的图彖 __________ ,并在它的两个 端点处的函数值 _______ ,即 ______________ ,则这个函数在这个区间上 _______________ 零点•即 存在一点 x Q G (a,b),使 f(x 0) = 0。

(二) 高考如何考例・1、(2013天津7)函数/(x) = 2x |log 05 x|-l 的零点的个数为()A 1B 2C 3D 4函数f(x) = 2x +x 3-2在区间(0,1)内零点个数(B 1C 2D 3 二、深挖教材、预测高考例3、选自教材(1) (必修一P”例题)求函数y = x 3-2x 2-x + 2的零点，并画出它的图像。

(2) (必修一P79I ⑸)如果二次函数y = x 2+ mx + (/?? + 3)有两个不同零点,则加的取值范围是 A (—co,—2) U (6,+co) B (—2,6) C [—2,6] D{-2,6} (3) 已知函数/(x) = 2(/7? + l)x 2 + 4mx + 2m-1: (2)如果函数的一个零点在原点,求加的值例4、求函数/⑴=X 3-6X 2+9x-10的零点的个数。

变式1、讨论方程tz = ?-6x 2+9x-10的根个数。

例2、(2012天津4) A 0变式2、讨论函数/(x) = x3 -6x2 +9x-lQ-a的零点的个数。

变式3、函数f(x) = x3-6x2+9x-10-a在［2,4］上冇零点，则a的取值范围______________例5、(1)函数/(x) = lgx-cosx的零点有 (A. 4 个B. 3 个C. 2 个D.变式1：若函数为/(X)= lgx -COSX ,贝Ij冇_____ 个零点.变式2：若函数为/(x) = lg|x|-cos^，贝|J有_________ 个零点三、课堂小结四、当堂检测1、(2012湖北9)求函数f(x) = xcosx2在区间［0,4］上的零点的个数()A 4B 5C 6D 72^ (2011 陕西6)函数f (x) = Vx -cosx在区间［0,+oo)内( )D冇无穷多个零点A没冇零点B冇F1.仅冇一个零点C冇仅冇两个零点3、(2013 重庆6)若a <b <c ,贝U函= (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间() A (a,b)和@,c)内 B (-oo,t7)和(a,b)内C (b,c)和(c,+oo)内D (一oo,a)和(c,+oo)内4^ (2012 陕西21)设函数f tl(x) = x n +bx + c(n G N+,b,c e R)(1)设n>2,b = l,c = -1,证明九(兀)在区间(丄,1)内存在唯一零点。

专题11 零点、根、交点教你如何转化考纲要求:1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．基础知识回顾:一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点。

函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等。

（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得f(c)=0，这个也就是方程的根。

函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件。

【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。

二、二分法 （1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

微专题1——复合函数的零点问题研究【知识回顾】函数与方程这个知识点在高考中的出镜率几乎是100%，我们应该非常重视这个知识点的系统梳理，其中有一个常见考点是复合函数的零点问题.复合函数的零点问题是，类似y =f [g (x )]函数的零点问题.解题的核心词两个，换图、换元.换句话说，就是逐层解方程，先解f (t )=0的根，再解t =g (x )的根，用数形结合去观察根的个数以及范围，显得更直观一些. 【例题分析】例题 (江苏省无锡市普通高中2020届高三第一学期期中调研考试14) 已知函数22212()log (2)2x x x f x x x ⎧-++⎪=⎨->⎪⎩，≤， 则方程114f x a x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭恰好有6个不同的解，则实数a 的取值范围为 . 解法一 如图，令114t x x=++以及()y f x =的函数图象，根据a 的值进行讨论(1)若0a <，()f t a =由图象可知，此时唯一解0t <，而114t x x=++只有两个解，舍去； (2)若0a =，()f t a =由图象可知，此时解120,3t t <=，而12111,1,44t x t x x x=++=++各有两个解，一共4个解，舍去；(3)若01a <<，()f t a =由图象可知，此时解1230,23t t t <<<<，而12111,1,44t x t x x x =++=++31+14t x x=+各有两个解，一共6个解，符合条件； (4)若1a =，()f t a =由图象可知，此时解12340,2,23t t t t ==<<<，而111,4t x x=++ 211,4t x x =++各有1个解；311,4t x x =++ 411,4t x x=++各有两个解，一共6个解，符合条件；(5)若12a <<，()f t a =由图象可知，此时解1234023t t t t <<<<<<，而111,4t x x=++ 211,4t x x =++无解；311,4t x x =++ 411,4t x x=++各有两个解，一共4个解，舍去； (6)若2a =，()f t a =由图象可知，此时解1231,23t t t =<<<，而111,4t x x=++无解； 211,4t x x =++ 311,4t x x=++各有两个解，一共4个解，舍去； (7)若2a >，()f t a =由图象可知，此时解1223t t <<<，而111,4t x x =++211,4t x x=++各有2个解；一共4个解，舍去；解法二由图可知，114t x x=++的根的可能个数为0（02t <<），1（0=2t t =或），2（02t t <>或）； 而()f x a =的根的可能个数为1(a <0)，2(a =0或a >2),3(0<a <1或a =2),4(1≤a <2)； 因为f (t )=a ，要有6个不同的根，显然()f x a =的根的个数不小于3个；若()f x a =有3个根，每个根的范围都只能是02t t <>或，所以01a <<符合条件；若()f x a =有4个根，同理解法一中的情况(4)和(5)，可知a =1符合条件，综上，0<a ≤1. 【解题回顾】解法一，虽然讨论的情况数多达7种，但是一一讨论之后，就会对复合函数的零点个数判断有非常深刻的认识，可能达成解法二迅速缩小变量a 的讨论范围.下面把江苏各地20届的模拟试题按照从易到难(小编自己的划分标准，具体到各位因人而异，请多多谅解啊)给出，大家练习后可以点击后面的空白处查看答案. 【巩固练习】1.（★★★江苏省南通市2020届高三上学期第一次调研抽测9月数学试题13） 函数2()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______.2. （★★★江苏省苏州市部分学校2020届高三第一学期月考模拟试卷14）设函数1,1()log 11,1a x f x x x =⎧⎪=⎨-+≠⎪⎩ ,若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313++x x x x x x 等于 ．3. （★★★江苏省淮安市2020届高三上学期期中联考数学试卷（文科）14）已知函数()xx f x e=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .4. （★★★江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试数学试卷13）若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范围是 ．5. （★★★江苏省扬州中学2020届高三上学期10月阶段检测数学试卷13）函数lg ,0()2,0xx x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩≤，若函数2()1y f x a =--存在5个零点，则整数a 的值为 . 6. （★★★江苏省盐城中学2020届高三上学期第二次阶段性质量12月检测数学12）已知函数3||3,0()2,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎪⎩≤，若函数1[()][(()]2y f x a f x a =-+-有5个零点，则实数a 的取值范围是 .7. （★★★★镇江2020届高三上学期第一次八校联考数学试卷14）若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ．8. （★★★★江苏省南京师范大学附属中学2020届高三12月一模前测数学试卷14）已知函数32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+>⎪=⎨--⎪⎩≤ .若函数[()]y g f x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________．9. （★★★★南通、泰州2020届高三第一次调研测试数学试卷14）已知函数11,0(),01x x f x x x x ⎧--⎪=⎨<⎪-⎩≥ ，若关于x 的方程22()2()10f x a f x a +⋅+-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .10. （★★★★苏州2020届高三第一学期期末考试数学试卷14）已知函数,2()48,25x exx e f x x x x⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩≤，若关于x 的方程22()3()20f x a f x a -⋅+= 恰有5 个相异的实根，则实数a 的取值范围是 .11. （★★★★江苏省百校大联考2020届高三第二次考试数学试题14）14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-⎧<⎪=⎨⎪⎩≥.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________．12. （★★★★2020届江苏高考南通学科基地数学密卷十13）设函数3ln 2,0()3,0x x f x x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩≥，方程22()()10f x m f x m +⋅+-=有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是 .13. （★★★★江苏省南京师大附中2020届高三11月模拟考试数学试卷14）已知函数()41,16,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+⎩≥，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 .14. （★★★★★2020届江苏高考南通学科基地数学密卷九13）设函数2()(1)(,)f x a x bx a a b R =+-+∈，若函数()y f x =有零点，且与函数(())y f f x =的零点完全相同，则b 的取值范围是 .15. （★★★★★江苏扬州高邮市2020届高三上学期开学考试数学试卷(理科)14）己知m R ∈，函数22|31|,<1(),()221log (1),>1x x f x g x x x m x x +⎧==-+-⎨-⎩,若函数m x g f y -=)]([有4个零点，则实数m 的取值范围是 .【答案】1.94k k=->或2. 23.1(1,1)e+4.1(0,)325. 26.3[1,){2}2U7. 10a a=<或8. 314a<<9.(1,1--10.12425a ae=<或≤11.135{}(,)444⋃12.(1,1]-13.3(,3)214.(4,0]-15.5{0}(,1)7U。

专题03 解密函数零点相关问题一．方法综述新课标下的高考越来越注重对生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

近几年的数高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分.根据函数零点的定义：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点的横坐标⇔函数)(x f y =有零点。

围绕三者之间的关系，在高考数中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题.二．解题策略类型一：函数零点的分布问题例1、(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4) D ．(4，＋∞)【答案】C【举一反三】函数f (x )＝ln x ＋x －12，则函数的零点所在区间是( ) A.)21,41( B.13(,)24 C.3(,1)4D ．(1，2) 【答案】C【解析】函数f (x )＝ln x ＋x －12的图象在(0，＋∞)上连续，且3()4f ＝ln 34＋34－12＝ln 34＋14＜0，f (1)＝ln 1＋1－12＝12＞0，故f (x )的零点所在区间为3(,1)4.* 类型二 函数零点的个数问题【例2】【2017课标3】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．12- B ．13 C ．12D ．1 【答案】C【举一反三】已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a << 【解析】函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.*类型三 函数零点与简易逻辑交汇问题例3.【2018广东省化州市模拟】已知函数()2,1 ,1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈（ ）A. []1,2B. (]1,2C. ()1,2D. (]0,1【答案】C【举一反三】已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(⌝q)为真命题，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，2] C．(1，2] D．(－∞，1]【答案】C【解析】由题意可得，对命题p，令f(0)f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则⌝q对应的a的取值范围是a≤2.∵p∧(⌝q)为真命题，∴实数a的取值范围是(1，2]．*。

函数零点、单调性、极值都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与导数是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数思想的运用是我们解决问题的重要手段，而导数是我们解决问题的一个行之有效的工具. 1函数零点函数零点问题主要是研究函数与方程问题，方程()0f x =的解就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即零点.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大.例1 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。

有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 错误！未找到引用源。

的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞【解析】（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,l n(2)x a ∈-时,'()0f x <；当(l n (2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 综上,a 的取值范围为(0,)+∞．例2【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

函数的零点学案--优质课竞赛一等奖简介本文档旨在介绍一个获得优质课竞赛一等奖的函数的零点学案。

学案内容1. 零点的定义首先，我们将介绍函数的零点的定义。

函数的零点指的是函数图像与x轴相交的点，即函数在该点上的取值为零。

2. 零点的求解方法接下来，我们将介绍几种常用的求解函数零点的方法：- 图像法：通过绘制函数图像，观察图像与x轴的交点，可以找到函数的零点。

- 代数法：通过解方程来求解函数的零点。

对于一元次数较低的函数，可以使用代数法求解。

3. 零点的应用最后，我们将介绍函数的零点在实际问题中的应用。

- 方程求解：函数的零点可以用于求解方程。

- 函数图像分析：函数的零点可以帮助我们分析函数的图像特点，如函数的增减性、极值点等。

教学策略为了使学生更好地掌握函数的零点的概念和求解方法，我们将采用以下教学策略：- 概念讲解：通过简单易懂的语言和例子，向学生介绍函数的零点的定义。

- 图像展示：使用计算机或投影仪展示函数的图像，引导学生观察函数的零点。

- 基础练：设计一些基础练题，让学生通过代数法计算函数的零点，巩固所学知识。

- 实例分析：通过实际问题的例子，引导学生应用函数的零点进行方程求解和图像分析。

教学流程以下是本课的教学流程安排：1. 介绍函数的零点的定义，让学生了解什么是零点。

2. 展示几个函数的图像，让学生观察函数的零点，并进行讨论。

3. 通过解方程的例子，向学生介绍代数法求解函数零点的方法。

4. 设计基础练题，让学生进行练，巩固所学知识。

5. 引出实际问题，让学生应用所学的函数的零点知识进行方程求解和图像分析。

6. 总结课程内容，梳理函数的零点的概念和求解方法。

教学评估为了评估学生对函数的零点的掌握程度，我们将使用以下评估方法：- 练题考核：设计一些练题，让学生独立完成，检验他们是否能够准确求解函数的零点。

- 实际问题解答：给学生提供一些实际问题，并要求他们应用函数的零点知识进行方程求解和图像分析。

14函数与方程一、基础训练1．函数f (x)x38 的零点是．2．已知定义在R上的函数 f ( x) 与 g ( x) ，若 f ( x) 的零点为a1和a2， g( x) 的零点为a2和a3，并且 a1, a2 , a3是互异的，则“x{ x | f ( x)0} ”是“ x{ x | f ( x)g( x)0} ”的条件．3．已知函数y f ( x) 是定义在a,b 上的单调函数，若 f ( a) f (b)0，则 f (x) 的零点个数至多为．4 f (x)e x 2的零点在区间(n, n1)（ n Z ）内，则n．．若函数x5．函数f (x)3x x2 2 的零点共有个．6．已知f (x) 2 x ,x 1，则 g( x) f (x)1的零点为．log81 x, x127 f (x)ax b（ b0 ）有一个零点3，那么函数g (x)bx3ax的零点是．．若函数28．（ 2011山东卷）已知函数f( x) log a x x b，当2 a 3b4时，函数 f ( x) 的零点x0 ( n, n1)，则 n．二、例题精讲例 1．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．（ 1）f ( x)x23x18 ， x1,8；（ 2）f (x)x3x1， x1,2；（ 3）f ( x)log2 (x2) x ， x1,3 ．例 2．已知函数f ( x) ax2bx1有相异零点x1 , x2（ x1x2），函数 g( x)a2 x2bx 1有相异零点 x3 , x4（ x3 x4）．若a1 ，求证：x1x3 x4x2．例 3．已知函数 f ( x) 2ax22x 3 在区间(0,1)内有零点，求实数 a 的取值范围．xax2，其中 a R ．例 4．设函数f ( x)x2（ 1）当a2时，求函数 f (x) 的零点；（ 2）当a0时，求证：函数 f ( x) 在 (0,) 内有且仅有一个零点；（ 3）若函数 f ( x) 有四个不同的零点，求 a 的取值范围．三、巩固练习1．已知函数f ( x) lg x x个．，则 f ( x) 的零点共有102．若函数f (x)x3x2ax 与函数 g(x)x2x 的图像只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是．3．若函数4．若函数f (x) x33x a 在(1,2)内有零点，则实数 a 的取值范围是．f (x) a x x a （a0 且 a 1）有两个零点，则 a 的取值范围是．四、要点回顾1．函数零点的概念，函数零点与方程根的关系．（ 1）对于函数y f ( x) ， x D ，我们把使 f ( x)0 得实数x（ x D ）称为函数 y f ( x) 的零点，实质上函数y f ( x) 的零点就是函数 y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标．（ 2）函数y f ( x)g( x) 的零点可以看成是函数y f ( x) 与 y g( x) 图像交点的横坐标．（ 3）若函数yn则函数 y f ( x) 至多有n个f (x) 的定义域是（ n N * ）个单调区间的并集，零点．2．函数零点的性质若函数 y f ( x) 在闭区间a, b 上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a) f (b) 0 ，则在区间 (a,b)内，函数 y f ( x) 至少有一个零点，即相应的方程 f (x)0 在区间 (a, b) 内至少有一个实数解．我们所研究的大部分函数，其图像是连续的曲线．函数与方程作业1．若函数 f (x)mx 1m 在区间(0,1) 内有零点，则实数m 的取值范围是．2．要求方程x3 2 x50 在区间2,3内的实根，取区间中点x0 2.5 ，那么下一个有根区间是．3．已知函数y f ( x) 满足：对任意 x R ，均有 f (x) f (6x) ．若 y f ( x) 共有5个相异零点，则这 5 个零点之和为．4．若方程x22ax40的两根均大于1，则实数a的取值范围是．5．若方程ln x2x60的根为x0，则小于x0的最大整数是．6．方程2x x30 的实根的个数是．7．已知关于x的方程x212m x m2 1 0 （m是与x无关的实数）的两个实根在区间20,2 内，求实数 m 的取值范围．．已知关于x 的二次方程 x22mx2m 1 0 ．8（ 1）若方程有两根，其中一根在区间( 1,0) 内，另一根在区间(1,2) 内，求实数m的取值范围；（ 2）若方程两根都在区间(0,1)内，求实数 m 的取值范围．9．已知二次函数 f ( x) x2ax b （a,b R ）．（ 1）若方程 f ( x) 0 无实根，求证：b0 ；（ 2）若方程 f ( x) 0 有两个实根，且实根是相邻的两个整数，求证： f ( a)1(a 2 1) ．410．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2(b a) x （ b 2a 且 ab 0 ）． （ 1）求证：函数 f ( x) 的导函数 f '( x) 在区间1, 1内有惟一零点；3（ 2）试就 a,b 的不同取值情况，讨论函数 f (x) 的零点个数．。