“四招”判断函数零点个数(1)

函数零点的个数的几种判断方法
作者：陈锋
来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2018年第01期
【摘要】“函数零点”一节的教学，其重点是：一，函数零点的存在性定理，及定理的理解。

二，函数零点的个数的判断。

本人在“函数零点”一节的教学中，对于判断函数零点的个数问题，如函数y=f（x），我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

在判断一次或二次函数的零点，我们可直接利用公式求解；对于三次或四次或其它的一些函数，要判断函数零点的个数，学生就很难判断，本人在教学中总结了函数零点的个数的几种判定方法，而且学生很容易接受，下面举例说明。

【关键词】函数零点判断方法
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）01-126-01。

２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀利用函数图象确定零点个数◉江苏省南通市海门第一中学㊀曹㊀兵㊀㊀在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论．理论１:函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．理论２:如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)＜０,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在cɪ(a,b),使得f(c)＝０,这个c也就是方程f(x)＝０的解．理论３:函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点⇔方程g(x)－f(x)＝０有解,即g(x)－f(x)＝０有实数根⇔函数g(x)－f(x)＝F(x)有零点．上面的分析以及相应的三个结论,如果从纯粹的数学知识的角度来看,属于高中数学知识体系当中的重要内容．学生掌握这些内容,一方面可以完善自己的认知体系,另一方面可以形成较强的问题分析与解决能力．但笔者以为仅有这样的认识是不够的,因为利用函数图象确定零点的个数,更是在一定程度上体现了数学学科的内在特点,同时也体现出了数学思想方法的应用[１]．其中,最典型的思想就是数形结合思想．根据笔者的调查研究发现,尽管几乎所有学生在数学知识学习与运用的过程当中都能体会数形结合思想,但很多时候学生的这种体会并没有上升为数学意识,这也就导致很多学生在学习新的数学知识或在解题的时候,难以有意识地将数形结合作为思维突破的切入口．说得直白一点,就是学生的体验没有上升为理性认识,这显然无助于数学核心素养的发展．因此,基于上面的分析,接下来结合实例来分析㊁研究函数零点的相关问题,融合数形结合思想和函数思想,培养学生数形结合的思维方式,体会数形结合方法的典型性和优点．例１㊀已知方程(１２)x＝l n x,则此方程的实根的个数为．方法１:这道题求的是方程根的个数,根据理论１可知,方程根的个数即是函数零点的个数,因此可以通过构造函数来求根的个数．先将方程左边移到方程右边,即l n x－(１２)x＝０,再令f(x)＝l n x－(１２)x,通过观察发现,代入１和e,那么就有f(１)＝－１２＜０, f(e)＝１－１２e＞０．符合有零点的条件,即在(１,e)内f(x)有零点．再根据在(０,＋ɕ)内f(x)是增函数,因此可得函数f(x)在(０,＋ɕ)内有且只有一个零点．故方程(１２)x＝l n x有且只有一个实根．方法２:这道题还可以结合函数的图象来求解．假设h(x)＝(１２)x,且g(x)＝l n x．在同一个直角坐标图１系中作出函数h(x)＝(１２)x和g(x)＝l n x的图象,如图１所示．观察图象可以发现,这两个函数图象有且只有一个交点,由此可以得到,方程(１２)x＝l n x有且只有一个实数根．评析:利用方法１求解的时候,不仅需要求出f(１)＜０和f(e)＞０,还要知道函数f(x)＝l n x－(１２)x 在定义域内是单调的(不同函数单调情况也不相同),把这两个条件结合起来才能说明方程有且只有一个实数根．例２㊀方程l o g２x＝－(x－１)２＋２实数根的个数为．图２这道题也可以采用图象法．设g(x)＝－(x－１)２＋２,f(x)＝l o g２x在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图２所示．根据图象分析可以得到,两个函数图象有且只有一个交点,因此方程l o g２x＝－(x－１)２＋２有且只有一个实５５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀数根．评析:求方程实根的个数通常有两条途径．(１)转化为两个函数图象交点的个数,结合函数图象求解;(２)转化为一个函数零点的个数,结合零点存在定理求解．相较于利用零点存在定理,明显结合函数图象的方法更简单明了．例３㊀求方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g (a －x )(a 是常数)的实数根个数．方法１:首先求出x 的范围,分析原方程可以知道x 的限制条件是x －１＞０,３－x ＞０,a －x ＞０,ìîíïïïï即１＜x ＜３,x ＜a ．{那么,将原方程等价变换,可以得到l g [(x －１)(３－x )]＝l g(a －x ),即a －x ＝(x －１)(３－x )．图３令f (x )＝(x －１)(３－x )(其中１＜x ＜３),g (x )＝a －x (x ＜a ),在同一直角坐标系中作出这两个函数图象,如图３所示．由方程(x －１)(３－x )＝a －x的Δ＝０,求出a ＝１３４,此时方程l g (x －１)＋l g (３－x )＝l g(a －x )有一个实数根．结合图象可以发现,方程没有实数根时,a ɤ１或者a ＞１３４;方程有一个实根时,１＜a ɤ３或a ＝１３４;当方程有两个实根时,３＜a ＜１３４．方法２:根据题意分析可知,原方程等价于(３－x )(x －１)＝a －x ,x －１＞０,３－x ＞０,ìîíïïïï即－３＋５x －x ２＝a ,１＜x ＜３．{在同一个直角坐标系中,作出函数h (x )＝－３＋５x －x ２(１＜x ＜３),g (x )＝a 的图象,如图４所示．图４根据图象,可以观察函数y ＝h (x )和y ＝g (x )图象交点的个数情况(略)．评析:结合函数图象求解与函数零点个数相关的问题,不仅可以省去较为复杂的运算,而且通过图象可以快速得出正确的答案．掌握确定函数零点个数的方法对于学生来说十分重要,结合图象确定零点个数是目前最常用㊁最简便的方法之一,它要求学生有良好的计算能力和基本的作图能力,对学生的逻辑思维有一定的要求,要求学生能全面分析问题,还要注意限制条件,作图要尽量准确．学好零点个数求解,可以有效提升数学素养[２]．对上述教学过程进行概括与反思,笔者以为在高中数学教学中,最直接的抓手当然是数学知识的建构与运用,这是由当前的考核评价机制决定的,教师的教学必须努力服务于学生思维能力的发展与解题能力的提升．与此同时,教师也必须关注学生数学学科核心素养的发展和学生对数学思想方法的领悟．无论是核心素养的发展还是数学思想方法的领悟,其实都不影响学生解题能力的提升,同时还能够为学生的可持续发展奠定基础．比如上面所强调的数形结合,是数学学科特征的直接体现,更是高中数学教学最不能忽视的思想方法之一．对于数形结合,不仅要让学生有实际的体验,还要让学生有真切的收获．这种收获对于学生来说应当是显性的,只有当学生明确认识到数形结合能够反映数学学科的特征时,才能够有意识地在数学知识学习与运用的过程当中自动激活数形结合思想,从而让数形结合真正成为学生数学解题的利器[３]．在这篇文章当中,函数图象与零点个数的研究是一个突破口,只是一条明线,数形结合思想是背后的暗线,是学生领悟的重点,这才是笔者想重点强调的．参考文献:[１]李志中．直击高考真题,掌握函数零点[J ]．中学数学,２０１９(２３):６７Ｇ６８．[２]孔欣怡．例谈高考对零点问题的考查[J ]．中学数学,２０１７(１):５８Ｇ６１．[３]潘良铭．浅析复合函数零点的个数问题[J ]．中学数学,２０２０(２１):５１Ｇ５２．Z ６５。

二轮复习小专题：判断函数零点个数的方法一方法总结：判断函数零点个数常见方法：（1） 直接法：届方程f(x)=0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；（2） 图像法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；（3） 将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而()0()()0()(),f x h x g x h x g x =⇔-=⇔=则函数的零点个数即为y=h(x)与y=g(x)的图象的交点个数；（4） 二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式∆来判断。

二考题回顾：（2015江苏高考）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

三例题精析：例1：关于x 的方程210x mx --=在区间(0,1)上有唯一实根，则实数m 的范围【变式】若函数2()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是例题2：已知函数32111(),(),323k f x x x g x kx +=-=-若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围例题3：已知函数22log (1),()2,0,x x o f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。

【变式】已知函数21,0,()(1),0x x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且仅有两个不相等的实数根，则a 的取值范围例题4：已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有四个零点，则实数a 的取值范围例题5：若关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实数根，则a 的取值范围为。

【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤 先求函数的单调性，再画图分析. 学科@网【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三 方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =,再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有 （ ） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)22，15(,122+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1)+∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是(),m +∞, 单调递减区间是()0,m ；（2）1．学科@网【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()0,,'x m x m f x x+-+∞=．当0x m <<时，()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是(),m +∞, 单调递减区间是()0,m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

连续函数零点个数的判别准则【摘要】连续函数在数学中具有重要的地位，而其零点则是描述函数与x轴交点的概念。

本文将介绍连续函数零点个数的判别准则。

我们会讨论连续函数的基本概念，然后介绍零点个数的判别方法和单调性对其的影响。

接着，我们将探讨零点个数与导数之间的关系，并通过实际案例分析强化理论知识。

在结论部分总结连续函数零点个数的判别准则，同时展望未来研究方向。

通过本文的学习，读者将能更加深入地理解连续函数零点的判别方法，为数学领域的研究和应用提供有益的参考。

【关键词】连续函数、零点、判别准则、基本概念、单调性、导数、实际案例、总结、未来研究、重要性、概念介绍、影响、案例分析、展望、连续性1. 引言1.1 连续函数的重要性连续函数在数学中扮演着非常重要的角色。

连续函数是一种能够在实数集上连续取值的函数，它在数学分析、微积分、代数以及其他数学领域中都有着广泛的应用。

在实际问题中，我们通常遇到的函数都可以被描述为连续函数，因此研究连续函数的性质和特点对于理解现实世界中的问题至关重要。

连续函数可以通过解析方法、数值计算以及图形表示等多种方式来研究，它们在各种科学领域中都有着广泛的应用。

在物理学中，连续函数可以用来描述运动、力学、热力学等现象；在经济学中，连续函数可以用来建立经济模型以预测市场走势；在工程学中，连续函数可以用来描述电路、控制系统等。

1.2 零点概念的介绍零点是指函数在某一点上取值为零的情况。

在数学上，零点也被称为函数的根或解，是方程等式成立的条件。

零点的概念在数学中有着重要的作用，特别是在连续函数的分析和研究中。

对于一个连续函数而言，零点是其图像与横轴相交的点，即函数的取值为零的点。

通常来说，零点是我们希望找到的特殊点，因为它们可以提供有关函数性质的重要信息。

在实际问题中，零点通常代表着某种特定的意义，比如方程的解、函数的最值点等。

零点的概念不仅在数学分析中有着重要的作用，在实际生活中也有着广泛的应用。

求零点个数的四种方法一、函数图像法函数图像法是一种直观且常用的求解零点个数的方法。

通过观察函数的图像，可以得到函数的零点个数的大致范围。

我们需要绘制出函数的图像。

可以利用计算机软件或者手绘来实现。

在绘制的过程中，需要注意函数的定义域和值域，以及函数的特性，如是否为奇函数或偶函数，是否有对称轴等。

通过观察函数图像的变化，我们可以初步推测出函数的零点个数的范围。

接下来，我们可以通过进一步分析函数的图像来确定零点的个数。

具体方法有以下几种：1. 零点的个数等于函数图像与x轴的交点个数。

通过观察函数图像与x轴的交点个数，可以初步判断零点的个数。

但需要注意的是，这种方法只能给出零点个数的范围，并不能给出具体的个数。

2. 零点的个数等于函数图像上下波动的次数。

通过观察函数图像的上下波动次数，可以初步判断零点的个数。

但需要注意的是，这种方法只适用于单调函数和周期函数，对于非单调函数和非周期函数则不适用。

3. 零点的个数等于函数图像的最大值和最小值的个数。

通过观察函数图像的最大值和最小值的个数，可以初步判断零点的个数。

但需要注意的是，这种方法只适用于有极值点的函数，对于没有极值点的函数则不适用。

二、数值逼近法数值逼近法是一种通过数值计算来求解函数零点的方法。

通过利用数值逼近的原理，可以通过迭代计算来逐步逼近函数的零点。

常用的数值逼近法有以下几种：1. 二分法：将函数的定义域等分成若干个小区间，然后通过判断函数在每个小区间的取值来确定零点所在的区间。

不断迭代，直到获得足够精确的零点近似值。

2. 牛顿法：通过利用函数的切线来逼近函数的零点。

首先，选取一个初始点作为零点的近似值，然后利用函数的切线来逼近函数的零点。

通过迭代计算，可以得到足够精确的零点近似值。

3. 割线法：通过利用函数的两个近似点所确定的割线来逼近函数的零点。

首先，选取两个初始点作为零点的近似值，然后利用割线的交点来逼近函数的零点。

通过迭代计算，可以得到足够精确的零点近似值。

专题一“四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招应用函数性质，判定函数零点个数例1.已知偶函数()()4log ,04{8,48x x f x f x x <≤=-<<，且()()8f x f x -=，则函数()()12x F x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（）A.2020B.2016C.1010D.1008【答案】A 【解析】,当08x <<时，函数()f x 与函数12x y =图象有4个交点201825282=⨯+ ,由()4211122242f log ==>=知，当02x <<时函数()f x 与函数12x y =图象有2个交点故函数()F x 的零点个数为()2524222020⨯+⨯=,故选A .第二招数形结合，判定函数零点个数例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +=+，且[]0,1x ∈时，()4xf x =；(]1,2x ∈时，()()1f f x x=.令()()[]24,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B,∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=12x+2的图象，∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=12x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．第三招应用零点存在性定理，判定函数零点个数例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.∴当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）设，则由（1）知①当时，即，当时，，在单调递减，∴当，即，时，在上恒成立，∴当时，在内无零点.当，即，时，，根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.②当时，即，当时，，在单调递增，，.∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点.∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.当时，，∴此时，在无零点.③当时，即，当时，；当时，；则在单调递减，在单调递增.∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.∴综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；当时，在无零点.第四招构造函数，判定函数零点个数例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.综上知.（2）∵函数，令g（x）＝0，得.设，，当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，φ（x）的最大值为.又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：①当时，函数g（x）无零点；②当时，函数g（x）有且仅有一个零点；③当时，函数g（x）有两个零点；④a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上所述，当时，函数g（x）无零点；当或a≤0时，函数g（x）有且仅有一个零点；当时，函数g（x）有两个零点.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.。

求函数零点的四种解题方法在代数学中，函数的零点是使得函数值为零的输入值。

求解函数的零点是数学中常见的问题之一、以下将介绍四种常用的方法来求解函数的零点。

方法一：图像法图像法是一种常用的直观方法，在解决函数零点问题时非常有用。

它主要通过绘制函数图像来确定函数零点的位置。

具体步骤如下：1.首先，根据函数的定义确定函数的定义域和值域。

2.使用合适的比例和区间，在坐标轴上绘制函数的图像。

3.根据图像的形状和变化，使用直观的方法估计函数的零点的位置。

4.根据估计的位置，使用更精确的方法来求解函数的零点。

图像法的优点是直观、易于理解，在初步估计函数零点的位置时非常有用。

然而，它对于精确求解函数的零点并不总是有效，需要进一步使用其他方法来提高精度。

方法二：因数分解法因数分解法是一种常见的方法，适用于多项式函数（特别是一次、二次和三次多项式函数）。

它的基本思想是将多项式函数分解为两个或更多个因式相乘的形式，然后根据因式为零的性质来求解函数的零点。

具体步骤如下：1.将多项式函数表示为二项式或多项式的乘积。

2.令每个因式为零，解得每个因式的解。

3.将解代入原多项式函数，验证是否为零点。

因数分解法通常适用于可因式分解的多项式函数。

然而，对于高次多项式函数，因数分解法可能不太实用，因为需要找到合适的因式分解形式。

方法三：代入法代入法是一种常用的方法，适用于无法通过因数分解或图像法求解函数的零点。

具体步骤如下：1.首先，从函数的定义出发，选择一个合适的变量替换，将原函数转化为一个新的函数。

2.将新函数设置为零，并求解变量的值。

3.将求解得到的变量值代回原函数，验证是否为零点。

在实际应用中，选择合适的变量代换往往是关键。

代入法通常适用于复杂函数的求解，但也可能需要使用其他数值或近似方法来解决问题。

方法四：数值法数值法是一类通过数值计算来解决函数零点问题的方法。

它主要通过数值逼近的原理和算法，以迭代的方式逐步求解函数的零点。

连续函数零点个数的判别准则
对于连续函数的零点个数的判别准则，主要有零点定理和零点定理的推广两种方法。

在这篇文章中，我们将详细介绍这两种方法，并阐述它们的应用和局限性。

零点定理是一个非常重要的定理，它给出了连续函数的零点个数的准确判别条件。

零点定理的表述为：如果一个连续函数在闭区间[a, b]上取得了异号的函数值，那么在开区间(a, b)内至少存在一个零点。

也就是说，当一个连续函数取得了异号的函数值时，可以确定它在该区间内至少存在一个零点。

零点定理的证明主要依赖于连续函数的性质，通过使用介值定理和连续函数的定义来证明。

在实际应用中，我们可以通过这个定理来判断连续函数在一个区间内零点的个数，从而能够对函数的图像和性质有一个直观的了解。

零点定理只能给出零点的存在性，并不能给出零点的个数。

为了更准确地判断连续函数的零点个数，我们需要借助零点定理的推广，其中最常使用的是零点定理的推广版本——零点定理的推广。

零点定理的推广版本主要有如下几种情况：
1. 零点定理的单调版本：如果一个连续函数在区间[a, b]上单调，那么它在该区间内至多有一个零点。

以上这些推广版本都是在零点定理的基础上进行了特定条件的推广，从而能够更加准确地判断连续函数的零点个数。

这些推广版本在实际应用中非常重要，它们可以帮助我们更加深入地了解连续函数的性质和图像。

需要注意的是，零点定理和其推广版本都是在一定条件下成立的，它们并不是普遍适用的。

在一些特殊情况下，这些定理可能会失效，甚至出现错误的结论。

在应用这些定理时，需要结合具体的函数性质和区间的情况进行综合考虑，不能盲目地套用公式和结论。

引例分析函数零点个数的判定方法王兆彦【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)003【总页数】2页(P22-23)【作者】王兆彦【作者单位】山东省临沂第七中学【正文语种】中文函数的零点个数不但能充分体现出函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归的数学思想方法,而且涉及知识面广,综合性强,对学生的思维能力要求较高,因此成为高考考查的重点内容．例已知函数f(x)=x2-1,g(x)=2tln x,其中t≤1. 如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有1个公共点,求t的取值范围.函数的零点即y=0时的x值,也即函数图象与x轴交点的横坐标．本题中曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点,即函数f(x)-g(x)只有1个零点．零点的个数问题,可转化为判断函数图象与x 轴交点个数处理．解答此类问题,首先要明确常规函数零点问题的求解,如二次函数可利用判别式法,对数函数的零点为x=1等．另外常需借助零点的存在定理,应用中首先要明确函数的变化趋势,即函数的单调性、极值、最值等,进而可利用导数法求解．对于复杂的函数问题,也可考虑将其分离为2个常规函数,再判断2函数的交点数．借助导数法判断函数函数的变化趋势,判断函数与x轴的交点数．解法1 设函数h(x)=f(x)-g(x)=x2-1-2tln x,x∈(0,+∞).“曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h(x)有且仅有1个零点”.求导,得.1) 当t≤0时,由x∈(0,+∞),得h′(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以y=h(x)有且仅有一个零点1,符合题意.2) 当t=1时,当x变化时,h′(x)与h(x)的变化情况如表1所示.所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,hmin(x)=h(1)=0,故y=h(x)有且仅有一个零点1,符合题意.3) 当0<t<1时,令h′(x)=0,解得.当x变化时,h′(x)与h(x)的变化情况如表2所示. 所以h(x)在)上单调递减,在上单调递增,所以当时,).因为,且h(x)在上单调递增,所以.又因为存在,所以存在x0∈(0,1)使h(x0)=0,所以函数h(x)存在2个零点x0、1,与题意不符.综上,曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点时,t的范围是{t|t≤0或t=1}.在应用零点的存在定理时,须判断函数在区间端点处的正负,在区间端点处的函数值的正负不易判断或所要判断的区间为开区间时,可考虑取特殊值来代替．如本解法中选取特殊值,解答中同学们可能会产生疑问,为什么选取这个特殊值?是如何想到的?其实问题很明确,特殊值的选取以消参为主要依据,结合自然对数,便不难确定了．解法2 易知x∈(0,+∞)．令f(x)=g(x),即x2-1=2tln x,由对数函数的性质不难得出当x=1时,等式成立,即2个函数的交点为(1,0),由题意2个函数只有一个交点．当t=0时,符合题意．当t≠0时,可将其转化为若t<0,在同一坐标系中作出2函数的图象,如图1所示．可知2个函数只一个交点,符合题意．若t>0时,欲满足题意知2个函数相切于点(1,0),如图2所示函数y=ln x在点(1,0)的切线为y=x-1,则直线y=x-1与函数只有一个交点,即方程只有一个解,整理得x2-2tx+2t-1=0,Δ=4t2-4(2t-1)=0,解得t=1.所以满足条件的t的取值范围是此方法应用中,若直接利用函数(x2-1)与y=ln x相切,过程较为复杂．通过借助2函数的公切线实现了对问题的简洁求解．变式 (2016年全国卷)设函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(1) 若f(x)有2个零点,求a的取值范围;(2) 略.(1)由f(x)=0可得a(x-1)2=(2-x)ex,显然x=1时,a不存在,故x≠1.变形得令则f(x)有2个零点等价于直线y=-a与函数g(x)图象有2个交点.又,当x>1时, g′(x)>0;当x<1时, g′(x)<0,所以函数g(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又x≥2时,g(x)≥0,x<2时,g(x)<0,且g(0)=-2,故在同一坐标系中作直线y=-a及函数g(x)图象如图3所示.由图3知:当且仅当-a<0,即a>0时,直线y=-a与函数y=g(x)图象有2个交点.故a的取值范围为(0,+∞)．。

函数零点运用注意四点1.注意函数零点与方程根的关系函数)(x f 的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此求函数的零点，就是解0)(=x f 所得的实根。

例1已知函数b ax x f +=)(的零点是2，则函数ax bx x g +=2)(的零点是 。

解析：由已知得a b b a 2,02-=∴=+，则ax ax x g +-=22)(，由022=+-ax ax 解得01=x 或212=x ，故函数)(x g 的零点为0和21。

点评：本题考查了函数零点的定义，明确函数零点与方程的根之间的关系是解题关键。

2.注意函数图象与函数零点的关系一般地，函数))((D x x f y ∈=的图象与x 轴交点的横坐标即函数)(x f 的零点，求方程)()(x g x f =根或根的个数，即求函数)(x f y =与)(x g y =的图象交点或交点的个数。

例2已知函数m x f x --=|12|)(,请问当m 为何值时,函数)(x f 有一个零点、二个零点、无个零点？解析：由已知得m x =-|12|，令m y y x =-=21,12,则函数)(x f 的零点，即21y y =的解,作出其图象如图1,在图中平移 直线m y =2，由图1可知,当0<m 时, 1y 与2y 无交点，即函数)(x f 的无零点； 当10<<m 时, 1y 与2y 有两个交点，则函数)(x f 的有两个零点；当0=m 或1≥m 时, 1y 与2y 只有一个交点，则函数)(x f 的有一个零点；点评：利用函数图象判断函数零点的个数，形象直观,避免了复杂的计算,降低了思维难度.3.注意函数零点判断方法含义若函数)(x f y =在区间],[b a 上图象是连续不断的曲线．．．．．．．，并且0)()(<b f a f ，则函数)(x f 在区间],[b a 上至少有一个．．．．．零点，即至少存在一个数),(b a c ∈使得0)(=c f ，这个c 即方程0)(=x f 的一个根。

连续函数零点个数的判别准则连续函数是数学中的一个很重要的概念，它在各种实际问题中都有广泛应用。

在数学中，函数的零点是函数曲线与X轴的交点，也被称为函数的根或者解。

函数的零点可以用来解决各种实际问题，比如求方程的解、求方程组的解等等。

本文将讲述连续函数的零点个数的判别准则。

首先，我们来回顾一下什么是连续函数的零点。

连续函数的零点就是函数曲线与X轴的交点。

一般地，如果函数f(x)在x=a处连续，并且f(a)=0，那么a称为函数f(x)的一个零点。

例如，函数f(x)=x-3，在x=3时，f(x)的值等于0，那么3就是f(x)的一个零点。

连续函数的零点个数的判别准则是判断一个连续函数在某个区间内零点的个数。

它的具体表述如下：定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么f(x)在[a,b]上必有至少一个零点。

证明：由于f(a)与f(b)异号，不妨设f(a)<0,f(b)>0。

由于f(x)在[a,b]上连续，根据连续函数的中间值定理可知，存在一个数c∈[a,b]，使得f(c)=0.因此，f(x)在[a,b]上至少有一个零点。

三. 实例分析例1：判断f(x)=x^2-2x-3 在[-2,2]上的零点个数。

首先，我们可以计算出f(x)的极值点，并将其与f(x)=0的关系画在数轴上：f'(x)=2x-2=0，得到f(x)的极值点为x=1.f(-2)=11,f(2)=-1，f(1)=-4.因此，f(-2)与f(1)异号，由连续函数的零点个数的判别准则可知，在[-2,1]上必然有一个零点。

综上所述，在[-2,2]上f(x)共有两个零点，分别位于[-2,1]和[1,2]上。

四. 总结同时，我们以一个具体例子来说明了如何应用这个准则来判断连续函数的零点个数。

掌握这个准则，可以为我们解决各种实际问题提供帮助。

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.
【典型例题】
第一招 应用函数性质，判定函数零点个数
例1.已知偶函数，且，则函数在区间
的零点个数为（ ）
A. 2020
B. 2016
C. 1010
D. 1008
()()4log ,04
{ 8,48x x f x f x x <≤=-<<()()8f x f x -=()()1
2x F x f x =-[]2018,2018-。