工程电磁场第八版课后答案第01章

工程电磁场习题解答（1）1. 真空中两个点电荷q 和-pq (0<p<1)，求两电荷连线上，电场强度为零的点电荷间的距离。

解：因为0<q<1，A 离-qp 近，离q 远，则二者即产生的 E 会抵消，而B 点不行，这是因为离q 近离-pq 远，即产生的E 一大一小无法抵消。

令x 如图，则两点电荷在A 点产生的场强分别为：q 点：r x d q E 201)(4+=πε， -pq 点：r x pqE 2024πε-= 令021=+=E E E A ，有04)(42020=-++xpqx d q πεπε 解此方程，可得：d pp x -=1（只能取正值）。

2. 两同号的点电荷q1=q, q2=3q, 在真空中相距d ，问在两点电荷的连线上，在哪一点上，它们各自产生的电场强度大小、方向均相同。

解：因为q1<q2, 分析知，只可能是A 点，令x 如图示，由点电荷电场的计算公式：r r q E 204πε=据题意有：2020)(434x d qx q +=πεπε 求解方程可得，x=1.37d.电场强度E 的环路定理与电位函数3. 长直电缆的缆芯与金属外皮为同轴圆柱面。

长度L 远大于截面尺寸，若缆芯的外半径为R 1，外皮的内半径为R 2，其间绝缘介质的电容率为ε，试确定其中电场强度与电压的关系。

解 作半径为R 的同轴圆柱面，R 1<R <R 2。

设缆芯单位长度上的电荷量为τ，由高斯定理，R2E R 2D πετ=⇒πτ=两柱面间的电压：12R R R R 12R R ln 2R dR 2R d E U 2121πετ=πετ=⋅=⎰⎰ 121212121212R R ln R U R 21R R ln U 2E ,R R ln U 2=πε⋅πε=πε=τ∴4. 圆柱形电容器的柱面之间充满了体密度为ρ的均匀体积电荷，电容率为ε0,内、外柱面的半径分别为R 1和R 2，施加电压U 12。

第一章习题解答【习题Ll解】【习题L2解】【习题L3解】(1)要使ALR,则须散度A-B=O所以从Z∙5=T+3H8c=0可得：3b+8c=l即只要满足3b÷8c=l就可以使向量二和向量了垂直。

(2)要使4||月，则须旋度AxB=O所以从可得b=-3,c=-8【习题1・4解】A=I2以+9e y+6z,B=CIeX+be y,因为3JLA,所以应有A∙3=0g∣j(12久+9e y+e z^∙^ae x+Z?Gy)=12Q+9/?=0(I)又因为同=1;所以病存=1；(2)一4由⑴，⑵解得Q=±《，"=+W【习题1.5解】由矢量积运算规则4_B=A?C a x a2a3=(%Z-+(a3x-a x z)e y+(01y-a2x)e7xyz =8名+纥5+BZeZ取一线元：dl=e x dx+e y dy+e z dz则有dx_dy_dz则矢量线所满足的微分方程为丁二万一=Hιy xy"z或写成=常数）a2z-a3ya3x-a l za↑y-a2x求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用以下方法d(qx)="(/丁)二d(%z)a i a2z-a i a3ya2a3x-a l a2za l a3y-a2a i xxdx_ydy_ZdZx(a2z-a3y)y{a3x-a x z)z(a l y-a2x)由（1）（2）式可得d(a2y)=k(a2a3x-aλa2z)ydy=k(a3xy-a}yz)(4)对⑶⑷分别求和所以矢量线方程为【习题L6解】矢量场A=(αxz+x2)eχ+Sy+孙2)0+{z-z1-∖-cxz-2xyz)e z假设A是一个无源场，则应有divΛ=O即：divA=V•4=空L+空L+空■=O∂x∂y∂z因为A=axz+X2∕ξ=by+xy1A z=z-z1+cxz-2xyzx所以有divA=az+2x+b+2xy+l-2z+cχ-2xy=X(2+c)÷z(a-2)+b+l=0 得a=2,b=-1,c=-2【习题1.7解】设矢径r的方向与柱面垂直，并且矢径不到柱面的距离相等（r=a）f∙ds-[rds=a∖ds=a2πah所以，①=S JSJS【习题1.8解】φ=3X2y i A=X2yze v+3xy2e^而rot((∕A)=Vx(以)=×A÷V^×A又=巴?十3?+再等=6xye x+3jc2e y ox-oy∂z所以+9x3y2e v-lSx2y3e v+6x3y2ze z=3X2y2[(9X一X2)e x-9yeγ+4xze z]【习题1.9解】所以&CyCzrotA=VXA=———∂x∂y∂zA x A y A(-1+1)&+(4/Z-4xz)e、+(2y-2y)&=6由于场H的旋度处处等于0,所以矢量场A为无旋场。

第一章1-1解: 方法（一）：应用高斯定理由于电荷分布具有球对称性,所以容易用高斯定理来直接求解电场.如图所示：应用高斯定理 （1）r<a ：（2） a<r<b 同理： ， （3） r>b 同理: ， 求以上三个 区域内的 。

*因为静电场是无旋场，所以在以上三个区域内 ： *应用球坐标系下的矢量旋度公式(P251)求以上三个 区域内的 *应用高斯定理 *应用球坐标系下的矢量散度公式(P251) 代入计算结果也可求出相应区域的1-2解：因两圆柱面间的电荷分布不对称，不能直接用高斯定理求解。

可采用补偿叠加的方法，设小圆柱面内具有体密度为 的两种电荷分布,将不对称电荷分布化为对称电荷分布的叠加。

如下图所示:s VE dS q d Vερ==∑⎰⎰2300443r S E dS E r r εεπρπ=⋅=⋅⎰3r r r r E E a a ρε⇒==03r r D E a ρε== 230044443r S E dS E r a εεπρπ=⋅=⋅⎰32012r r r a E E a a r ρε⇒== 30243r a D E a r ρε== 2300443r S E dS E r a εεπρπ=⋅=⋅⎰3203r r r a E E a a r ρε⇒== 3023r a D E a r ρε== E ∇⨯ 0E ∇⨯= 2sin sin 000r r a a a r r r E r E ϕθθθθϕ∂∂∂∇⨯==∂∂∂D ∇∙()V S V D dV D dS dVρ∇==⎰⎰⎰ D ρ⇒∇=⎧⎪⇒⎨⎪⎩r a <a r b <<r b >D ρ∇=0D ∇=0D ∇=221()r D r D r r∂∇=∂ D∇ ρ±1r 2r1o 2o ρ2o P P r ρ1o P ρ-'r r 'r =+d 在内圆柱面内，即的区域，应用高斯定理'1r r <0sVE dS q dVερ==∑⎰⎰ 1）设内圆柱中的负电荷在P 点产生的电场为2102E r h r hρππε⋅∆=-∆10022rr r E a a ρρεε⇒=-=- 2''202E r h hr ρππε⋅∆=∆1200()22r r E E E a a dρρεε'=+=-= 1E2）设外圆柱中的正电荷在P 点产生的电场为2E'20022r rr E a a ρρεε''⇒== 则P 点的电场为和的叠加，即：E 1E2Ed o o '=------？： 1-8外球壳半径为b=20cm,两球壳之间的正电荷的体密度为 方法一:用高斯定理求解电场强度,然后由E 沿半径的积分求电位. 分 r<a,a<r<b 和r>b 三个区域进行讨论.(1) ： (2)： (3) ： 由于电荷分布在有限空间,可选取无穷远处为零电位参考点.于是电位在球坐标系中 根据前面所计算的三个区域电位的表达式,可分别求出各个区域的电场强度,即根据电场强度的表达式,可得: r=50cm=0.5m 时,P 点的电场强度为: ,可画出电位和电场强度的图形(到r=1m)（1-14）1-14 此题与P25例题十分相似,可以先根据电流分布求解矢量磁位的的泊松方程,然后再求其旋度即得磁感r(m)5(10)V ⨯120)2E E E r ρε=+='rr 'r rd d'r r d-= 4310/c m ρ-=1208.8510/F m ε-=⨯0s VE d S q dVερ==∑⎰⎰p r a ≤2010140r S E d S E r εεπ=⋅=⎰10E ⇒= a r b ≤≤233020244()3r S E d S E r r a εεπρπ=⋅=⋅-⎰3363322220() 3.7710(0.1)3r r r r r a r E E a a a r r ρε-⨯-⇒=== r b ≥233030344()3r S E d S E r b a εεπρπ=⋅=⋅-⎰33433220() 2.64103r r r b a E a a a r r r φρε∂-⨯⇒=-==∂ rE dr φ∞=⎰(1),r a ≤1123a b r a b E dr E dr E drφ∞=++⎰⎰⎰51.710=⨯(2),a r b ≤≤322223031322b r b a E dr E dr b r r ρφε∞⎡⎤=+=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰2560.0012.2610 3.7710()2r r =⨯-⨯+(3),r b ≥()334330 2.64103r b a E d r r rρφε∞-⨯===⎰r E a rφφ∂=-∇=-∂(1),r a ≤(2),a r b ≤≤(3),r b ≥110r E a r φ∂=-=∂3363322220() 3.7710(0.1)3r r r r a r E a a a r r r φρε∂-⨯-=-==∂33433220() 2.64103r r rb a E a a a r r rφρε∂-⨯=-==∂ 530.51.0410(/)P r E E V m ===⨯5(10/)V m E⨯应强度,进而计算出磁场强度. 设内导体所通过的直流电流为I,外导体通过的直流电流为-I. 解:在圆柱坐标系中,矢量磁位的每个分量都满足泊松方程:因为电流密度分别沿 z 轴(正、负)方向，所以A 只有z 方向分量，故仅有 设同轴线无限长，因为场分布具有轴对称性，故问题可视为与 无关，即 所以下面分4个区域进行求解，4个区域的 及积分常数分别用下标1，2，3，4表示。