13.5.3因式分解-用完全平方公式分解因式

13.5.3 完全平方公式因式分解教学目标 ㈠知识目标：1、进一步深入理解因式分解的意义，掌握因式分解的完全平方公式；2、掌握完全平方式的特征，能判断一个多项式是否为完全平方式；3、掌握运用完全平方公式分解因式的方法；㈡能力目标：1、进一步提高学生的观察问题、分析问题以及语言表达能力；2、进一步体会整体思想和互逆的数学思想；㈢情感目标： 在游戏中体会到学习数学的乐趣；激发学生兴趣； 教学重点和难点: 能辨认完全平方公式，并正确运用完全平方公式分解因式。

复习导学：你能写出它们的结果吗？()2b a += ()2b a -=课堂研讨：1、因式分解的完全平方公式：222b ab a ++=()2b a + 222b ab a +-=()2b a -2、观察思考，分析特征：怎样的多项式是完全平方式？辨一辨：请判断下列多项式是否为完全平方式?为什么? （1） 41292+-x x （ ） （2）222595341bab a +-（ )（3）1222++mn n m ( ) （4） 25x 4－10x 2+1 ( ) （5）16a 2+1 ( ) （6）x 2+xy+y 2 ( ) （7）22x --4x+1( ) （8）2x -2x-1 （ ） 3、应用新知，巩固规律只有是完全平方式，才能利用完全平方公式分解因式； 1、学一学：把上题中的完全平方式分解因式：（1）41292+-x x （2）222595341bab a +-（3）1222++mn n m （4）25x 4－10x 2+1 （5）(x+y)2+8(x+y)+16 解：（1）41292+-x x = 222)23(2232)3(-=+∙∙-x x x()=+21)1(x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-231)2(b a ()=+-23)3(y x ()=--232)4(y x（2）222595341bab a +-=（3）（3）1222++mn n m = （4）25x 4－10x 2+1= （5）(x+y)2+8(x+y)+16= 2、练一练：○1 填空：(1)x 2－10x+（ ）2=（ ）2(2)9x 2+（ ）+4y 2=（ ）2 (3)1－（ ）+92m =（ ）2○2分解因式： （1）x 2+2x+1 （2） 4a 2-4a+1 (3)1-6y+9y 2（4）x 2＋4xy ＋4y2(5) 25x 2+10x+y2(6) 1+m+42m(7) 9x 2-12xy+4y 2 （8）-1+2y-y 2 （9） 6a -a 2-9○3你从下列单项式中找出三项,把它们配成完全平方式 2a、 42x 、 92a 、-12ab 、 42b 、 9、6a 、20xy 、 252y 、-a 、-20xy 、a 、413、尝试把下列多项式进行因式分解：(1) x 4 -2x 2y 2 +y 4 （2）4 a 2－3b （4a －3b ） （3）-8ab -16a 2-b 2(4) 22363y xy x +- (5) 4 x 3y +4x 2y 2 +xy 3 ())25(8256222b a b a --课堂小结：和同学们交流一下这节课你学到了什么？教学反思。

灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 正确选取a,b. 注意 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 注意 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 在因式分解中 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )

完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。

完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。

完全平方公式分解因式在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。

它由以下公式给出：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中a和b是任意实数。

在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。

首先，让我们来看看为什么这个公式成立。

我们将用代数的方法来证明它。

首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。

因此，我们证明了完全平方公式的正确性。

现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。

考虑以下的二次三项式：x^2+6x+9我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。

具体来说，它可以分解为：x^2+6x+9=(x+3)^2通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。

这在解决数学问题和方程时非常有用。

接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。

例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。

根据完全平方公式，我们可以将其分解为：x^2+10x+25=(x+5)^2因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。

例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。

首先，我们要注意到这个三项式不是一个完全平方公式。

因此，我们需要找到适当的因式分解方法。

我们可以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积：4x^2-12x+9=(2x-3)(2x-3)通过展开右边的表达式，我们可以验证等式的正确性。

因此，4x^2-12x+9可以写成(2x-3)^2的形式。

总结起来，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将二次三项式分解为两个二次项的乘积。