高斯定理 安培环路定律

l B dl
I
B
a
b
d
c
b
c
d
a
a B dl b B dl c B dl d B dl Bab
根据安培环路定理： l B dl Bab μ0nabI
所以，长直载流螺线管内的磁场： B μ0nI
例题2 已知：I 、N、R1、R2，求密绕载流螺绕环内 的磁场分布。
解：由对称性， 取同心圆安培环路
b
c
d
a
B dl l
a B dl b B dl c B dl d B dl
Ba ab 0 Bd cd 0
由于环路内没有包围任何电流，按安培环路定理
B dl 0 l
Ba Bd Bb Bc
管内任一点的B与轴线上的B相同，即均匀场！
场强大小 选择安培环路如图所示： B沿闭合回路的环流为：
例题1 ：长直密绕载流螺线管，单位长度上电流匝数 为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
I B
解： 对称性分析 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零 原因：无漏磁！
性质：匀强磁场
螺线管内任取安培环 路如图，cd段位于轴 线上：
ab I
d
c
B
由于螺线管无限长，则 Ba = Bb，Bc = Bd 。
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I R
磁场分布——轴对称
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
P
dS2
电流及其产生的磁场呈轴对称分布
作积分回路如图 r > R
则B沿该闭合回路的环流为：
l B dl l Bdl 2 rB
根据安培环路定理：
B dl l
μ0 I
源自文库
得
B
μ 0
I
2πr
I R
r
B
如图示，当 r 时R 作积分回路如图 则B沿该闭合回路的环流为
1. 无限长直线电流，同心圆积分回路
根据电流的走向，按右手螺旋方向取一条同心圆 积分环路 —— 安培环路（Amperian loop）
磁场具有轴对称性，环路上各
点的磁场都在切线方向，且大 小处处相同。
II
l
B dl
l
μ 0
I
2πr
dl
cos
0
μ 0
I
2πr
l
dl
μ 0
I
I dl
即
B dl l
l B dl l Bdl 2 rB
根据安培环路定理：
B dl l
μ0 I
0
I R2
r2
得
B
0 I 2 R2
r
B
0
I
2 R
o
I R
I
r
r
R
讨论 长直载流圆柱面。已知I、R
l B dl Bdl 2 rB
I
0 r R
B dl l
0
I
rR
R
0I B
2R
0 r R
所以
B
可见，电流若不在安培环路内，由它激发的磁场在 这个环路上的环流就是零。
5. 安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度沿任意 闭合曲线的环流, 等于穿过该闭合曲线的所有电流 强度的代数和的μ0倍。
B dl L
0
I內i
i
与环路成右手螺旋关系的电流取正, 反之取负。
6. 说明：
B dl l
——高斯定理 ——这是无磁单极子的必然结果。
高斯定理反映了稳恒磁场的基本性质之一： 磁场是无源场。
8.4 安培环路定理
对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的 通量和环流。
一 安培环路定理
静电场的环流为零 E dl 0 l ——说明静电场是保守场；
稳恒磁场的环流如何呢？ B dl ? l
S B dS 0
磁感应线闭合 无自由“磁荷” 磁场是无源场
二 安培环路定理的应用
1. 条件 若电流分布具有高度对称性时，磁场分布也具有 高度对称性。此时才可以应用安培环路定理计算 磁感应强度的分布。
2. 关键
利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。
3. 环路选取原则
μ0 I1
I1 d
I2 r
dl
I3
如果环路内还有其它无限长直线电流,
根据叠加原理，可知
B dl
l
μ0 (I1 I2 I3)
3. 回路不环绕电流
l B4 dl
l
0 I4 2 r4
cos 4 dl4
a
l
0 I4 2 r4
r4 d 4
I4
b
0I4
2
4 0
d4
0 I 4 2
0
4 d4 0
l B dl l Bdl 2 rB
根据安培环路定理
B dl l
μ0 NI
B 0 NI
2 r
I Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N
2 R1
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
例题3 已知I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布，求 “无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
(1) 环路要经过所研究的场点；
(2) 环路的长度便于计算；
(3) 要求环路上各点磁感应强度的大小相等，方 向与环路方向一致（相同或相反），或者与环路 垂直。
目的:
将
L B dl 0 I
写成
B 0 I dl
或磁感应强度的方向与环路方向垂直，
B dl , cos 0 L B dl 0
通电螺线管的磁感应线 I
2 磁通量（magnetic flux）
S
B均匀
B⊥S
B
S nˆ B均匀
B
m BS 1 2
m B dS 3 4
S dS nˆ
B
m BS
m B dS 0
S
dS
nˆ
B
一般曲面
闭合曲面
3 磁场中的高斯定理
穿过任意闭合曲面的磁通量为零。
m B dS 0 S
μ0 I
若电流方向相反
只要积分环路符合右手螺旋法
则，都有
I
B dl l
μ0 I
而当电流走向 和 环路方向与右手螺旋方向相背时
B dl l
μ0I
2. 无限长直线电流，任意积分回路
l B dl l B cosθdl
B方向的投影
0I1 cos dl
l 2 r
0I1 rd
l 2 r
得
B dl l
与2匝电流铰链
③ 环路定理只适用于闭合电流或无限电流. 有限 电流不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定 律。
静电场
l E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E dS 1
S
0
qi
电场线起于正电荷 止于负电荷
静电场是有源场
稳恒磁场
Bdl l
0
Ii
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
0
I內i
i
① 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场 是有旋场，是非保守场，不能引入势能的概念。
② 磁感应强度是环路上一点的磁感应强度，不是其 它点的，环路上一点的磁感应强度是由环路内、 外电流共同产生的，但磁感应强度的环流只与环 路内的电流有关。
与环路铰链的电流才对环流有贡献。
回路与电流铰链