安培环路定理
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2安培环路定理
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
安培环路定理
无限长圆柱面电流，圆柱外磁场分布与电流集中在轴线上的 直线电流产生的磁场相同；圆柱内处处磁场为0。 B分布曲线为：
I
B
0 I 2R
R
1
r
B0
0 I 1 B 2r r
2
r
L
o
R
r
例 15.7 一环形载流螺绕环，匝数为
N ，螺绕环轴线半径为R ，通有电 流 I ，求管内磁感应强度。
分析对称性,作积分回路如图 计算环流
Bdl I
0 l
i
B
空间所有电流共同产生 在场中任取的一闭合线 L绕行方向上的任一线元 环路所包围的电流 与L套连的电流
L dl
I3
I1
Ii
L
I 2 dl
电流分布
比较
静电场
?
l
磁 场
E dl 0
l
Bdl I
0 i
i
电场有保守性，它是 保守场，或有势场.
环管内截面上宽为dr、高为h的一窄条面积通过的磁通量为：
0 NIh d Bhdr dr 2r
0 NIh R 1 0 NIh R2 dr ln 全部截面的磁通量为： d R 2 r 2 R1
2 1
本次课结束
课后作业
15.7 15.15
谢谢！
15.15 在长直导线近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平 行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距 离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有电流I1时，它受 到的磁力的大小和方向如何？它又受到多大的磁力矩？
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场.
1 E d S qi 0 S
安培环路定理
I )=0
二、 环路定理的应用
1. 载流长直螺线管内的磁场
. . . . . . . . . . . . . a d b c B
∫ l B. dl = ∫abB . dl + ∫bc B . dl + ∫cd B . dl+ ∫daB . dl = ∫abB . dl + 0 + 0 + 0 = ∫abB dl cos 0
由几何关系得： 由几何关系得：
L
O
r dϕ = dl cos θ µoI B= 2 r π
.
I r dl
dϕ
P
r B
θ
r dl
∫ l B . dl = ∫l B cosθ
=
∫l B r dϕ
µoI µoI r dϕ = 2 π 2π r
=∫
∫0
2 π
d ϕ =µ o I
安培环路定理： 安培环路定理：磁感应强度矢量沿任意闭合 路径一周的线积分等于真空磁导率乘以穿过 穿过闭合 路径一周的线积分等于真空磁导率乘以穿过闭合 路径所包围面积的电流代数和 电流代数和。 路径所包围面积的电流代数和。
∫ l B . dl =µ Σ I
o
电流和回路绕行方向 构成右旋关系的取正值
电流 I 取负值 I
向 方 绕 行
I
向 行方
绕
I2
I1
I I
l2
I
l3
l1
(a) (a)
(b)
1
(b)
(c)
o
∫l B . dl = µ
∫l B . dl = 0
2
(I 1 I 2 )
(c)
∫l B . dl = µ
《大学物理》安培环路定理
根据安培环路定理得
B 2r
0
r2 R2
I
B
0I 2R
B
0 2
I R2
r
r
O
R
（r＜R） 载流圆柱体的磁场分布曲线
ll.7 安培环路定理
例4 载流螺绕环的磁场分布。 所谓螺绕环，就是将细导线N匝密绕在内径为R1，
外径为R2的圆环上（如图所示）。接通稳恒电流I， 求环内外的磁场分布。
解 在圆环轴线所在平面内，
b B dl d B dl 0
d
c B dl 0
ll.7 安培环路定理
b
LB dl a B dl B l
穿过矩形环路的电流强度： Ii I n l
安培环路定理：
B dl L
o Ii
B l 0I nl
B 0nI
ll.7 安培环路定理
例2 计算无限长载流圆柱体的磁场。设圆柱体 导线的半径为R，轴向电流I均匀地通过导线横截面。
取半径为r的圆周L为环路，
方向如图。
(1)当 r>R2 (2) 当 r<R1 (3)当R1<r<R2
B=0 B=0
R2 R1 r
环路 L 磁感应线
ll.7 安培环路定理
B dl B dl B2r 0 NI
L
L
B 0 NI 2r
0
B
0 NI
2r
0
r R1 R1 r R2
r R2
i 1
ll.7 安培环路定理
2．环路L不围绕电流I
B dl B' dl ' B cosdl B' cos 'dl '
0I 2r
rd
大学物理10.4安培环路定理及其应用Xiao
实验设备与材料
01
02
磁场测量仪
用于测量磁场强度和方向。
导线
用于产生电流，形成磁场。
03
电源
为导线提供电流。
04
磁力计
用于测量磁力大小。
实验步骤与操作
步骤2
连接电源，使导线通电，产生 电流。
步骤4
使用磁力计测量导线受到的磁 力大小。
步骤1
将导线绕制成一定形状，如圆 形或矩形，并固定在实验台上。
步骤3
02
安培环路定理的数学表达式为： ∮B·dl = μ₀I，其中B表示磁场强度， dl表示微小线段，I表示穿过曲线的 电流，μ₀表示真空中的磁导率。
安培环路定理的推导过程
安培环路定理的推导基于电磁场的基 本理论，通过应用高斯定理和斯托克 斯定理，结合电流连续性和电荷守恒 定律，逐步推导出安培环路定理。
大学物理10.4安培环路定理及其 应用
目 录
• 安培环路定理的概述 • 安培环路定理的应用场景 • 安培环路定理在实践中的应用 • 安培环路定理的实验验证 • 安培环路定理的扩展与思考
01 安培环路定理的概述
安培环路定理的定义
01
安培环路定理是描述磁场与电流 之间关系的物理定理，它指出磁 场对电流的作用力与电流分布及 路径有关。
03
电磁场仿真
安培环路定理是电磁场仿真的基础之一，通过仿真软件实现安培环路定
理的算法，可以模拟电机的电磁场行为，预测电机的性能，并为实际电
机设计提供理论依据。
电磁场仿真软件的安培环路定理实现
有限元法（FEM）
有限元法是一种常用的电磁场仿真方法，通过将连续的电磁场离散化为有限个小的单元，并应用安培环路定理进行求 解。这种方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，得到高精度的仿真结果。
安培环路
B d l B d cos l Brd 0I 0 I d B dl rd 2π 2πr
d
l
I
dl
B
r
I r1
r2
l
B d l B d l 0 1 1 2 2 结论： d l 0 B
l
(3) 多电流情况
I1
B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
2、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体半 径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I
解：沿圆周L的B环流为
(L )
R
I d l B 2 r 0 内 B
dB
P
dB d B
当 r R 时 , I I B 2 r I 内 0 0I B 2 r I 2 当 r R 时 , I r 内 2 R r2 I 0 B2 r I B r 0 2 2 R 2 R
d l I 0 B
l
R
l
I
B
若电流反向时，则：
I 0 l B dl 2πRl dl 0I
对任意形状的回路 B 0 I 2 r
I
l 2 I 0 B d l d 结论： B d l I 0 l 0 l 2 0I 0 I (2) 闭合曲线不包围长直电流： B2 B1 B2 2 π r2 2 π r1 B1 μ μ 0I 0I B d l1 d φ B dφ l2 d φ 1 2 d dl 2 π 2 π 2 dl1
dB1
解 1)对称性分析 2）选取回路 设：面电流密度为j
d dB
P
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
安培环路定理
小结
s B dS s BdS cos
二、磁场的高斯定理
S B dS S BdS cos 0
三、安培环路定理
B dl
L
0
Ii
i
四、利用安培环路定理求磁场
自己总结几种常见磁场公式（长直、圆环或盘、螺线管等）
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
B
B1
B2
μ0 Jd 2
方向垂直两轴线联线。从上式可见两轴联线上各点的
磁感强度B大小和方向均相同。
(2) 证明：设N为腔内任一点， 由安培环路定理分别求得
讨论： 如图所示一段导线可以用安培环路定理求出B吗？
B dl
L
θ1 θ2 / 4
L
0I
4a
cos1
cos
2
dl
0I 2 2 2a
4a 2
I
2
a L 1
0 2I
2
0I
☆ 安培环路定理只适用于闭合的载流导线（或无限
长），对于任意设想的一段载流导线不成立！！
⑤安培环路定理揭示了磁场的基本性质，磁场是涡旋 的，而电流是磁场涡旋的中心。磁场是无源有旋场， 是非保守场，故不能引入势能的概念。
μ 0
I
2πr
r
B
如图示，当 r 时R
作积分回路如图
则B沿该闭合回路的环流为：
B
l
dl
Bdl
l
2πrB B
μ 0
I
11.4 安培环路定理
...............
a
I nabI
B 的环流为：
b
B
B外 0
d
c
B dl
b
a
B dl B dl B dl B dl
b c d
c
d
a
bc与da：
B dl , cos 0
...............
a
B dl B dl 0,
10.4
磁场的安培环路定理
安培 (Ampere, 1775-1836)
安培：法国物理学家，电动力学的创始 人。1805年担任法兰西学院的物理教授， 1814年参加了法国科学会，1818年担任 巴黎大学总督学，1827年被选为英国皇 家学会会员。他还是柏林科学院和斯德 哥尔摩科学院院士。 安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了 一系列的重要定律、定理，推动了电磁 学的迅速发展。1827年他首先推导出了 电动力学的基本公式，建立了电动力学 的基本理论，成为电动力学的创始人。
b d
c
a
b
B
螺线管外B =0；
d
c
B dl 0
b
d
c
B dl B dl Bab 0 I 0nabI a
B 0nI
密绕载流直螺线管的磁场
例4：一环形载流螺线管，匝数 为N，内径为R1 ，外径为R2 ，通 有电流I，求管内磁场分布及螺绕 环内的磁通量。P80习题11.4
写成
Bdl cos B dl I
L
0
L
B
0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环 路方向一致， B // dl , cos 1 或垂直 B dl , cos 0
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静电场是有源无旋场 稳恒磁场无源有旋场 静电场的高斯定理反映了电荷以发散的方式激发电场，
凡有电荷的地方，必有电场线从那里发出或汇聚 安培环路定理反映了电流以涡旋的方式激发磁场，凡
有电流地方，其周围必围绕着闭合的磁感应线
静电场
E dl 0
l
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E
S
dS
1
ε 0
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
a
B1
vv
11.6 安培环路定理
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意 闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分 回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
3）计算 r
I ri
Ñ 4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
μ 0
I
2πr
r
B
如图示，当 r 时R
作积分回路如图
则B沿该闭合回路的环流为：
B
l
dl
Bdl
l
2πrB B
μ 0
I
根据安培环路定理： 2πR
B
dl
μ 0
I
l
μI 0πR
πr
2
2
则：B
μ 0
Ir
2πR 2
0I Bo
2π R
oR
I
R
I
r
R
r
讨论：无限
长圆柱面电
流I 的磁场
r
练习题：同轴的两无限长 筒状导线通有等值反向的 电流I,求其磁场分布。
讨论： 如图所示一段导线可以用安培环路定理求出B吗？
θ1 θ2 / 4
B dl
L
L
0I
4a
cos1
cos
2
dl
0I 2 2 2a
4a 2
I
2
a
L 1
0 2I
2
0I
☆ 安培环路定理只适用于闭合的载流导线（或无限
长），对于任意设想的一段载流导线不成立！！
⑤安培环路定理揭示了磁场的基本性质，磁场是涡旋 的，而电流是磁场涡旋的中心。磁场是无源有旋场， 是非保守场，故不能引入势能的概念。
qi
电场线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
稳恒磁场
B
dl
μ 0
I
i
l
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
B dS 0
S
磁感应线闭合、 稳恒磁场是无源
场
二、安培环路定理的应用
利用安培环路定理可以求解具有对称性稳恒电流的 磁场分布
解题要点:
1）分析磁场特点，选择适当的积分回路
vv
2）计算 ÑL B dl
单位长窄条，其面积为
dS 。
dS=1·dx
R
S
dx
窄条处的磁感应强度
B
0
2π
Ix R2
通过dS的磁通量为
1m
dΦ BdS
0
2π
Ix R2
dx
通过S的磁通量为
Φ dΦ R 0 Ix dx 0I
0 2π R2
4π
2：无限长直载流螺线管内的磁场分布 已知：I、n(单位长度线圈匝数)
...............
I1 I2
I3
l
L
关于安培环路定理的讨论： ①若电流方向与环路的正方向满足右旋关系，则：
I 0 否则 I 0
②
μ 0
中I
为I穿过环路总电流，环路外不计。
③磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路 上一点的磁强是由环路内、外电流共同产生的。
④此定理仅适用于稳恒电流产生的磁场，故定理仅适用 于闭合的或者无限长的载流导线，而对于回路中的某 一段导线或电流元是不成立的。
得： B μ0nI
无限长直载流螺线管内的磁场： B μ0nI
例3：环形载流螺线管内的磁场分布
已知：I 、N、R1、R2 N — 导线总匝数
.. . . .
.
.
磁感应线分布如图 作积分回路如图
. . .
o R1
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
...
... .
.. .
( 1 ) r R2 , B 0
R2
I
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
( 3 ) r R1 , B 0
R1
rI
例题11.6：一根长直圆柱形铜导体载有电流I，均匀分布 于截面上。在导体内部，通过圆柱中心轴线作一平面S。 试计算通过每米长导线内S平面的磁通量。
解 在距离导线中心轴线
为x与x+dx处，作一个
思考题：
L1
I1
r1 A
I2 r2
求 B dl ? L1
A点的磁感应强度B =？
例4：半径为a的无限长金属圆柱体内挖去一半径为 b(b<a)的无限长柱体，两柱体轴线平行，轴间距d ( d <(ab) )。空心导体沿轴向通有电流I并沿截面均匀分 布。(1) 求此二柱体轴线联线上任一点M的B；(2) 证明 腔内磁场是均匀磁场。
r
R2
. ..
.. . . . . . .
.
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
NI
l
B 0 NI 2r
若 R、1 R2 R2 R1
n N
2 r
则： B μ0nI
B
.. .
. .. .
. . .
o
R1
.
..
... .
.. .
r
R2
. ..
.. . . . . . .
.
o
R1
R2
r
关于安培环路定理的应用 1、注意应用范围：磁场具有某种空间对称性。 2、积分环路的选择: ①环路必须通过所求场点。 ②环路上各点B 的大小相等，B 的方向平行于线元dl
或一部分环路B 的方向垂直于线元dl，或某一部分 环路上B =0 。 ③闭合环路的形状尽可能简单，总长度可求。 3、注意环路方向与电流方向的右旋关系。
Ñ B1 dl B1 2πr 0πr2J
J
B2 b O M O
v
B1
v
μ0 Jr 2
B
I
分析对称性 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
选择环路如图所示：
.............. B
则B沿该闭合回路的环流为： a
b
B dl
l
d
c
I
b
c
d
a
B dl B dl B dl B dl Bab
a
b
c
d
根据安培环路定理： B dl Bab μ0nabI l
凡有电荷的地方，必有电场线从那里发出或汇聚 安培环路定理反映了电流以涡旋的方式激发磁场，凡
有电流地方，其周围必围绕着闭合的磁感应线
静电场
E dl 0
l
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E
S
dS
1
ε 0
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
a
B1
vv
11.6 安培环路定理
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意 闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分 回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
3）计算 r
I ri
Ñ 4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
μ 0
I
2πr
r
B
如图示，当 r 时R
作积分回路如图
则B沿该闭合回路的环流为：
B
l
dl
Bdl
l
2πrB B
μ 0
I
根据安培环路定理： 2πR
B
dl
μ 0
I
l
μI 0πR
πr
2
2
则：B
μ 0
Ir
2πR 2
0I Bo
2π R
oR
I
R
I
r
R
r
讨论：无限
长圆柱面电
流I 的磁场
r
练习题：同轴的两无限长 筒状导线通有等值反向的 电流I,求其磁场分布。
讨论： 如图所示一段导线可以用安培环路定理求出B吗？
θ1 θ2 / 4
B dl
L
L
0I
4a
cos1
cos
2
dl
0I 2 2 2a
4a 2
I
2
a
L 1
0 2I
2
0I
☆ 安培环路定理只适用于闭合的载流导线（或无限
长），对于任意设想的一段载流导线不成立！！
⑤安培环路定理揭示了磁场的基本性质，磁场是涡旋 的，而电流是磁场涡旋的中心。磁场是无源有旋场， 是非保守场，故不能引入势能的概念。
qi
电场线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
稳恒磁场
B
dl
μ 0
I
i
l
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
B dS 0
S
磁感应线闭合、 稳恒磁场是无源
场
二、安培环路定理的应用
利用安培环路定理可以求解具有对称性稳恒电流的 磁场分布
解题要点:
1）分析磁场特点，选择适当的积分回路
vv
2）计算 ÑL B dl
单位长窄条，其面积为
dS 。
dS=1·dx
R
S
dx
窄条处的磁感应强度
B
0
2π
Ix R2
通过dS的磁通量为
1m
dΦ BdS
0
2π
Ix R2
dx
通过S的磁通量为
Φ dΦ R 0 Ix dx 0I
0 2π R2
4π
2：无限长直载流螺线管内的磁场分布 已知：I、n(单位长度线圈匝数)
...............
I1 I2
I3
l
L
关于安培环路定理的讨论： ①若电流方向与环路的正方向满足右旋关系，则：
I 0 否则 I 0
②
μ 0
中I
为I穿过环路总电流，环路外不计。
③磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路 上一点的磁强是由环路内、外电流共同产生的。
④此定理仅适用于稳恒电流产生的磁场，故定理仅适用 于闭合的或者无限长的载流导线，而对于回路中的某 一段导线或电流元是不成立的。
得： B μ0nI
无限长直载流螺线管内的磁场： B μ0nI
例3：环形载流螺线管内的磁场分布
已知：I 、N、R1、R2 N — 导线总匝数
.. . . .
.
.
磁感应线分布如图 作积分回路如图
. . .
o R1
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
...
... .
.. .
( 1 ) r R2 , B 0
R2
I
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
( 3 ) r R1 , B 0
R1
rI
例题11.6：一根长直圆柱形铜导体载有电流I，均匀分布 于截面上。在导体内部，通过圆柱中心轴线作一平面S。 试计算通过每米长导线内S平面的磁通量。
解 在距离导线中心轴线
为x与x+dx处，作一个
思考题：
L1
I1
r1 A
I2 r2
求 B dl ? L1
A点的磁感应强度B =？
例4：半径为a的无限长金属圆柱体内挖去一半径为 b(b<a)的无限长柱体，两柱体轴线平行，轴间距d ( d <(ab) )。空心导体沿轴向通有电流I并沿截面均匀分 布。(1) 求此二柱体轴线联线上任一点M的B；(2) 证明 腔内磁场是均匀磁场。
r
R2
. ..
.. . . . . . .
.
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
NI
l
B 0 NI 2r
若 R、1 R2 R2 R1
n N
2 r
则： B μ0nI
B
.. .
. .. .
. . .
o
R1
.
..
... .
.. .
r
R2
. ..
.. . . . . . .
.
o
R1
R2
r
关于安培环路定理的应用 1、注意应用范围：磁场具有某种空间对称性。 2、积分环路的选择: ①环路必须通过所求场点。 ②环路上各点B 的大小相等，B 的方向平行于线元dl
或一部分环路B 的方向垂直于线元dl，或某一部分 环路上B =0 。 ③闭合环路的形状尽可能简单，总长度可求。 3、注意环路方向与电流方向的右旋关系。
Ñ B1 dl B1 2πr 0πr2J
J
B2 b O M O
v
B1
v
μ0 Jr 2
B
I
分析对称性 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
选择环路如图所示：
.............. B
则B沿该闭合回路的环流为： a
b
B dl
l
d
c
I
b
c
d
a
B dl B dl B dl B dl Bab
a
b
c
d
根据安培环路定理： B dl Bab μ0nabI l