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m a t l a b入门经典教程--第四章数值计算-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第四章数值计算4.1引言本章将花较大的篇幅讨论若干常见数值计算问题：线性分析、一元和多元函数分析、微积分、数据分析、以及常微分方程（初值和边值问题）求解等。
但与一般数值计算教科书不同，本章的讨论重点是：如何利用现有的世界顶级数值计算资源MATLAB。
至于数学描述，本章将遵循“最低限度自封闭”的原则处理，以最简明的方式阐述理论数学、数值数学和MATLAB计算指令之间的内在联系及区别。
对于那些熟悉其他高级语言（如FORTRAN，Pascal，C++）的读者来说，通过本章，MATLAB卓越的数组处理能力、浩瀚而灵活的M函数指令、丰富而友善的图形显示指令将使他们体验到解题视野的豁然开朗，感受到摆脱烦琐编程后的眉眼舒展。
对于那些经过大学基本数学教程的读者来说，通过本章，MATLAB精良完善的计算指令，自然易读的程序将使他们感悟“教程”数学的基础地位和局限性，看到从“理想化”简单算例通向科学研究和工程设计实际问题的一条途径。
对于那些熟悉MATLAB基本指令的读者来说，通过本章，围绕基本数值问题展开的内容将使他们体会到各别指令的运用场合和内在关系，获得综合运用不同指令解决具体问题的思路和借鉴。
由于MATLAB的基本运算单元是数组，所以本章内容将从矩阵分析、线性代数的数值计算开始。
然后再介绍函数零点、极值的求取，数值微积分，数理统计和分析，拟合和插值，Fourier分析，和一般常微分方程初值、边值问题。
本章的最后讨论稀疏矩阵的处理，因为这只有在大型问题中，才须特别处理。
从总体上讲，本章各节之间没有依从关系，即读者没有必要从头到尾系统阅读本章内容。
读者完全可以根据需要阅读有关节次。
除特别说明外，每节中的例题指令是独立完整的，因此读者可以很容易地在自己机器上实践。
MATLAB从版升级到版后，本章内容的变化如下：MATLAB从版起，其矩阵和特征值计算指令不再以LINPACK和EISPACK库为基础，而建筑在计算速度更快、运行更可靠的LAPACK和ARPACK程序库的新基础上。
数值分析第四章外推法计算数值微分MATLAB计算实验报告数值分析MATLAB计算实验报告姓名班级学号⼀、实验名称⽤MATLAB编程实现数值微分的外推法计算。
⼆、实验⽬的1．掌握数值微分和定义和外推法的计算过程；2．了解数值微分外推法的计算⽅法并且编写出与其算法对应的MATLAB程序代码；3．体会利⽤MATLAB软件进⾏数值计算。
三、实验内容⽤外推法计算f(x)=x2e?x在x=0.5的导数。
四、算法描述1.命名函数。
2.如果输⼊未知数少于四个，默认精度10^-33.描述T表矩阵坐标4.依次赋值计算 T表第⼀列5.根据数值微分计算公式求出T表矩阵的值6.若达到精度则运算结束，若未达到循环计算7.输出T表，得出的值就是导数值五、实验结果六、实验结果分析此实验通过MATLAB实现外推法数值微分计算，得到相应的数据，⽅便对数据进⾏分析。
从结果可以看出，当步长h=0.025时⽤中点微分公式只有3位有效数字，外推⼀次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字。
七、附录（程序）function g=waituifa(fname,x,h,e)if nargin<4,e=1e-3;end;i=1;j=1;G(1,1)=(feval(fname,x+h)-feval(fname,x-h))/(2*h);G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2)-feval(fname,x-h/2))/h;G(i+1,j+1)=(4^j*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);while abs(G(i+1,i+1)-G(i+1,i))>ei=i+1;G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2^i)-feval(fname,x-h/2^i))/(2*h/2^i); for j=1:iG(i+1,j+1)=((4^j)*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);endendGg=G(i+1,i+1);。
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。
随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。
本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。
第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。
它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。
数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。
第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。
2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。
3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。
高精度数值计算方法的优化与应用第一章前言高精度数值计算方法是一种针对数值运算精度不够的解决方案，它可以解决数值计算中的精度问题，适合于在科学计算、金融计算、工程计算等领域应用。
本文旨在探讨高精度数值计算方法的优化和应用。
第二章高精度数值计算方法高精度数值计算方法，是指对计算机中的浮点数进行扩展，提高其计算精度的方法。
一般来说，高精度数值计算可归为两种方法，一种是基于多精度算法，一种是基于浮点数精度的扩展。
多精度算法是将数据的位数扩展至数百位或数千位，以保证运算精度，同时也增加了运算的复杂度和时间。
而浮点数精度的扩展则是通过增加尾数位数或扩充指数的方法，直接提高了精度。
第三章高精度数值计算方法的优化在实践应用中，高精度数值计算方法面临着诸多困难和挑战。
针对这些问题，可以进行一些优化。
以下是一些常见的优化方法：1. 采用高效的数据结构：在计算过程中，数据的存储结构非常重要，可以使用链表、数组或向量来存储。
其中，向量相对于链表或数组的存储方式，时间效率更高。
2. 使用快速数论变换算法（FFT）：FFT算法是多项式乘法的高效实现，使用FFT算法可以大大提高精度计算的效率。
3. 使用预处理技术：高精度数值计算涉及到很多重复计算，可以采用预处理技术，将计算结果存储下来，用于后续的计算。
4. 算法并行化：高精度数值计算的计算量较大，可以通过并行化加快计算速度。
5. 有效的指令优化：对数值计算的汇编代码进行优化，可以提高计算效率。
6. 采用合适的算法：不同的算法在不同的情况下，会有不同的效率表现。
因此，在实际应用时，要根据具体情况采用合适的算法。
第四章高精度数值计算方法的应用高精度数值计算方法广泛应用于科学计算、金融计算、工程计算等领域。
以下是一些典型的应用领域：1. 科学计算：在科学计算中，需要对粒子、分子、波动等进行计算。
由于这些计算需要高精度，因此，高精度数值计算方法在科学计算中应用广泛。
2. 金融计算：在金融领域中，需要计算一些复杂的金融衍生品的价格。
大学应用数学第四章大学应用数学是一门培养学生数学思维、解决实际问题的专业课程。
第四章是该课程的关键章节之一，主要涉及概率论与数理统计。
本文将围绕概率论和数理统计这两大内容展开论述，并结合实际案例进行讲解。
一、概率论概率论是研究随机事件发生的规律性的数学学科，它广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
在大学应用数学中，概率论有着重要的作用。
1.1 概率的基本概念概率的基本概念包括样本空间、随机事件、事件的概率等。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合，随机事件是指样本空间的子集，事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
1.2 概率的运算规则概率的运算规则包括加法规则和乘法规则。
加法规则适用于求两个事件中任一事件发生的概率，乘法规则适用于求两个事件同时发生的概率。
1.3 条件概率和独立性条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
二、数理统计数理统计是指通过对样本数据的收集和整理，来对总体进行推断的一门学科，它可以帮助我们了解总体的特征和规律。
2.1 抽样与抽样分布抽样是指从总体中获取样本的过程，通过样本数据可以对总体进行推断。
抽样分布是指在特定条件下的样本统计量所服从的分布。
2.2 参数估计参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计，其中最常用的方法是点估计和区间估计。
点估计是指通过样本数据推断出总体参数的一个估计值，区间估计是指通过样本数据推断出总体参数的一个估计区间。
2.3 假设检验假设检验是通过样本数据对总体的某个假设进行推断的方法。
它包括建立原假设和备择假设、选择合适的检验统计量以及确定显著性水平等步骤。
三、实际应用案例在实际生活中，概率论和数理统计有着广泛的应用。
以市场营销为例，通过对顾客购买行为的概率分析，可以制定更有效的宣传策略；以金融领域为例，通过数理统计方法对股票价格进行预测，有助于投资者进行决策。
结语大学应用数学第四章内容涉及概率论和数理统计，这两大内容在实际应用中发挥着重要的作用。
第四章有限差分方法离散方程有限差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
在第四章中，我们将介绍有限差分方法的离散方程，以及如何使用这些方程来求解一些常见的问题。
在有限差分方法中，我们将偏微分方程中的导数用差分形式来逼近。
具体来说，我们将自变量和因变量的取值范围进行离散化，然后用近似的差分公式来代替偏导数。
通过这种方法，我们可以将偏微分方程转化为一个线性代数方程组，进而求解出数值解。
在介绍离散方程之前，我们首先需要将自变量和因变量的取值范围进行离散化。
一般来说，我们将自变量的取值范围划分为若干个等距的网格点，用$h$表示网格点之间的距离。
类似地，对于因变量，我们也将其取值范围划分为网格点，用$k$表示网格点之间的距离。
通过这种方式，我们可以将偏微分方程转化为一个差分方程。
在离散方程中，我们用$u_{i,j}$表示在第$i$个网格点和第$j$个网格点处的解。
对于一阶导数，我们可以使用差分公式$\frac{\partialu}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1,j} - u_{i,j}}{h}$和$\frac{\partial u}{\partial y} \approx \frac{u_{i,j+1} -u_{i,j}}{k}$来逼近。
类似地，对于二阶导数，我们可以使用差分公式$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1,j} -2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2}$和$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\approx \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{k^2}$来逼近。
通过将这些差分公式代入偏微分方程中，我们可以得到一个离散方程。
例如，在求解一维热传导方程时，我们可以将偏微分方程$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$转化为离散方程$\frac{u_{i,j+1} -u_{i,j}}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2}$，其中$\Delta t$表示时间步长。
第四章MATLAB 的数值计算功能Chapter 4: Numerical computation of MATLAB数值计算是MATLAB最基本、最重要的功能，是MATLAB最具代表性的特点。
MATLAB在数值计算过程中以数组和矩阵为基础。
数组是MATLAB运算中的重要数据组织形式。
前面章节对数组、矩阵的特征及其创建与基本运算规则等相关知识已作了较详尽的介绍，本章重点介绍常用的数值计算方法。
一、多项式(Polynomial)`多项式在众多学科的计算中具有重要的作用，许多方程和定理都是多项式的形式。
MATLAB提供了标准多项式运算的函数，如多项式的求根、求值和微分，还提供了一些用于更高级运算的函数，如曲线拟合和多项式展开等。
1．多项式的表达与创建(Expression and Creating of polynomial) (1) 多项式的表达（expression of polynomial）_Matlab用行矢量表达多项式系数(Coefficient)，各元素按变量的降幂顺序排列，如多项式为：P(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2…a n-1x+a n则其系数矢量(Vector of coefficient)为：P=[a0 a1… a n-1 a n]如将根矢量(Vector of root)表示为：ar=[ ar1 ar2… ar n]则根矢量与系数矢量之间关系为：（x-ar1）(x- ar2) … (x- ar n)= a0x n+a1x n-1+a2x n-2…a n-1x+a n(2)多项式的创建（polynomial creating）a)系数矢量的直接输入法利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量，就可方便的建立符号形式的多项式。
例1：创建多项式x3-4x2+3x+2poly2sym([1 -4 3 2])ans =x^3-4*x^2+3*x+2POLY Convert roots to polynomial.POLY(A), when A is an N by N matrix, is a row vector withN+1 elements which are the coefficients of the characteristicpolynomial, DET(lambda*EYE(SIZE(A)) - A) .POLY(V), when V is a vector, is a vector whose elements arethe coefficients of the polynomial whose roots are theelements of V . For vectors, ROOTS and POLY are inversefunctions of each other, up to ordering, scaling, androundoff error.b) 由根矢量创建多项式已知根矢量ar, 通过调用函数p=poly(ar)产生多项式的系数矢量, 再利用poly2sym函数就可方便的建立符号形式的多项式。
