八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考测试北师大版

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、等腰三角形周长为17cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的腰长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．5cm 或6cmD ．5cm2、如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②DE ＝BD +CE ；③若∠A ＝50°，则∠BFC ＝115°；④DF ＝EF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，AD 是△AAA 的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF ．下列结论：①AF DF =；②::ABD ACD SS AB AC =；③BAF ACF ∠=∠；④BF AC ⊥．其中命题一定成立的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个AB）为半径作弧，两弧相交4、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12于点M和点M，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AC＝6，AB＝8，BC＝4，则△BEC 的周长（）A．10 B．12 C．8 D．145、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD则BD的长为（）A．2 B．C．D．6、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；④等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．47、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8、如图，在△AAA 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，则ABD △的周长为13cm ，则△AAA 的周长是（ ）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．19cm9、如图，△ABC 中，90C ∠=︒，∠CAB 的角平分线AD 交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，2cm DE =，且4cm DB =，则BC 的长是（ ）A ．6cmB ．4cmC ．10cmD ．以上都不对10、如图，在△AAA 中，∠AAA =90°，∠AAA =30°，AA =6√3，D 为AB 上一动点（不与点A 重合），△AAA 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段BG 长的最小值是（ ）A ．2√3B ．6C ．3√3D ．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将宽为2cm 的纸条沿BC 折叠，45CAB ∠=︒，则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）2、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(78，0)外，还可以是_____．3、如图，在△AAA 中，AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点D ，ABD △的周长为13cm ，4.5cm AE =，则△AAA 的周长______cm ．4、如图，在△ABC 中，点D 在AB 的延长线上，∠CAB 平分线与CB 的垂直平分线交于点E ，连接BE ．若∠ACB ＝28°，∠EBC ＝25°，则∠EBD 的度数为 _____°．5、如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，12AB =，15BC =，△AAA 的面积是36，则DE 的长是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，直线AB //CD ，现想在直线AB 、CD 之间作一条直线l 平行于直线AB 、CD ，并且使直线l 上的点到直线AB 、CD 之间的距离相等．小明做了如下操作：分别作∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点G ，过点G 作直线AB 、CD 的平行线，过点G 分别作直线AB 、CD 、EF 的垂线，垂足分别为M 、N 、H ，此时直线l 上的点到直线AB 、CD 的距离相等．（1）试说明：GM GN GH ==；（2）若120FEB ∠=︒，EG =4，直线l 交EF 于点k ．试问EGF ∠的度数为 ，EKG △是 三角形；EKG △周长为 ；（3）若点P 是射线EB 上的一个动点（不包括端点）．如图2，连接PF ，将△EPF 折叠，顶点E 落在点Q 处，若∠PEF=58°，点Q 刚好落在其中的一条平行线上，试求EFP ∠的度数．2、如图1，AAAA 中，AA ⊥AA 于A ，且AA :AA :AA =2:3:4；（1）试说明AAAA 是等腰三角形；（2）已知A AAAA =40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)．①若AAAA 的边与BC 平行，求t 的值；②在点N运动的过程中，ADN能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．3、如图，把长方形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在点D，CD交x轴于点E，已知CB＝8，AB＝4（1）求AC所在直线的函数关系式；（2）求点E的坐标和△ACE的面积；（3）坐标轴上是否存在点P（不与A、C、E重合），使得△CEP的面积与△ACE的面积相等，若存在请直接写出点P的坐标．4、数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．下面是小路设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝，( )（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠，( )（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．5、如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．（1）求证：∠EAC＝∠BAD；（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数．-参考答案-一、单选题1、C【分析】分为两种情况：5cm是等腰三角形的腰或5cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】若5cm为等腰三角形的腰长，则底边长为17﹣5﹣5＝7（cm），5+5＞7，符合三角形的三边关系；若5cm为等腰三角形的底边，则腰长为（17﹣5）÷2＝6（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，5cm，符合三角形的三边关系；∴该等腰三角形的腰长为5cm或6cm，故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．2、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．【详解】解：∵BF是∠AB的角平分线，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴11,22FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．3、C【分析】根据垂直平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可判断①②；根据∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，即可判断③；根据∠BAF不一定为90°，则∠ACF不一定为90°，即可判断④．【详解】解：∵EF是线段AD的垂直平分线，∴AF=DF，故①正确；∴∠ADF=∠DAF，过点D分别作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，∴DH=DG，∠BAD=∠CAD∵1=2ABDS AB DH⋅△，1=2ACDS AC DG⋅△，∴12=12ABDACDAB DHS ABS ACAC DG⋅=⋅△△，故②正确；∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，∴∠BAF=∠ACF，故③正确；∵∠BAF不一定为90°，∴∠ACF不一定为90°，∴AF与BC不一定垂直，故④错误，故选C．【点睛】本题主要考擦了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．4、A【分析】由垂直平分线的性质得AE BE =，故BEC △的周长为BE EC BC AC BC ++=+，计算即可得出答案．【详解】由题可知：MN 为AB 的垂直平分线，AE BE ∴=，6AC =，6AC AE EC BE EC ∴=+=+=，6410BEC C BE EC BC ∴=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．5、B【分析】过点C 作CN ⊥AB 于点N ，连接ED ，EN ，利用SAS 证明△DCE ≌△BEN ，可得ED ＝NB ，∠CED ＝∠ENB ＝135°，得△ADE 是等腰直角三角形，可得AD ＝DN ＝BN ，进而可得结果．【详解】解：如图，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，连接EN ，∴∠CNA ＝90°，∵∠BAC ＝45°，∴∠NCA ＝∠A ＝45°，∴AN ＝CN ，∵点E 是AC 的中点，∴∠ANE ＝∠CNE ＝45°，∠CEN ＝∠AEN ＝90°，∴∠CEF +∠FEN ＝90°，∵CD ⊥BE ，∴∠CFE ＝90°，∴∠CEF +∠FCE ＝90°，∴∠DCE ＝∠BEN ，在△DCE 和△BEN 中，CE EN DCE BEN CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BEN （SAS ），∴ED ＝NB ，∠CED ＝∠ENB ＝135°，∴∠AED ＝45°＝∠A ＝∠ACN ，∴AD ＝DE ，∵AE ＝CE ，∴AE =EN ，∴AD ＝DN ，∴AD＝DN＝BN，∴BD＝2AD＝故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解．6、B【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．综上，正确的有①④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．7、B【分析】根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．【详解】如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线∵AD=CD=BD∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB∵∠A+∠ACB+∠B=180°∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180即2∠A+2∠B=180°∴∠A+∠B=90°∴∠ACB=90°∴△ABC是直角三角形故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．8、D【分析】根据题意，得AB+BD+AD= AB+BD+DC=AB+BC=13，AC=2AE=6，从而得到AB+AC+BC=19．【详解】AE ，∵DE是AC的垂直平分线，3cm∴AE =EC =3，AD =DC ，AC =2AE =6，∵ABD △的周长为13cm ，∴AB +BD +AD = AB +BD +DC =AB +BC =13（cm ），∴AB +AC +BC =19（cm ）．故选D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质，等量代换，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．9、A【分析】由角平分线的性质得CD =DE =2，等量代换后求出BC 的长．【详解】解：∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，∠C =90°，∴CD =DE =2，又∵4cm DB =，∴BC =BD +CD =4+2=6（cm ）；故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，熟练掌握角平分线的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键．10、B【分析】连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，先判定AG 为线段DE 的垂直平分线，再判定()BAC BAG AAS '≅，然后由全等三角形的性质可得答案．解：如图，连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，DE DF ⊥，G 为EF 的中点，DG GE ∴=，∴点G 在线段DE 的垂直平分线上， AED 为等边三角形，AD AE ∴=，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，AG ∴为线段DE 的垂直平分线，AG DE ∴⊥，1302DAG DAE ∠=∠=︒， ∴点G 在射线AH 上，当BG AH ⊥时，BG 的值最小，如图所示，设点G '为垂足，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，ACB AG B '∴∠=∠，CAB BAG '∠=∠，则在BAC 和BAG '△中，ACB AG B CAB BAG AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩， ()BAC BAG AAS '∴≅．∵90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，=AC∴12BC AB =，222BC AB +=，∴222(2)BC BC +=，解得：6BC =，∴6BG BC '==故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．二、填空题1、2【分析】利用折叠的性质可得出△ABC 是等腰三角形，有AC =AB ；过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则得CG =2，且△CGA 为等腰直角三角形，从而可求得AC 的值，则可求得面积．【详解】如图，由折叠性质得：∠ECB =∠ACB∵DE ∥AB∴∠DCA =∠CAB =45°∵∠DCA +∠ACB +∠ECB =180° ∴1(180)67.52ACB DCA ∠=︒-∠=︒∵∠CAB +∠ACB +∠ABC =180°∴∠ABC =∠ACB =67.5°∴AB =AC即△ABC 是等腰三角形过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则CG =2，且∠ACG =∠CAB =45°∴△CGA 为等腰直角三角形∴AG =CG =2由勾股定理得：AC ==∴AB =∴重叠部分△ABC 的面积为2112)22AB CG ⨯=⨯=故答案为：2【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定△ABC 是等腰三角形是本题的关键．2、（1-，0）、（4-，0）、（9，0）【分析】先表示出PB =|a -4|，PB 2=a 2+9，AB =5，再分三种情况①当PB =AB 时．②当PA =PB 时，③当PA =AB 时，讨论计算即可．【详解】设P（a，0），∵A（0，3），B（4，0），∴PB=|a-4|，PA2=a2+9，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当PB=AB时，∴|a-4|=5，∴a=-1或9，∴P（-1，0）或（9，0），②当PA=PB时，∴（a-4）2=a2+9，∴a=78，∴P（78，0），③当PA=AB时，∴a2+9=25，∴a=4（舍）或a=-4，∴P（-4，0）．即：满足条件的点P的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，等腰三角形的性质，分类讨论和用方程思想解决问题是解本题的关键．3、22【分析】根据“AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D”可知DE是AC的垂直平分线，利用中垂线的性质可△的周长为AB+BD+AD= 13cm，可知AB+BC=12，再求AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，从而得DC=DA，由ABD可以得到△ABC的周长．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=CE=4.5cm∴AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，△的周长为AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∵ABD∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=13+9=22cm．故答案为22．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将△ABD 的周长转化为AB+BC是解题的关键．4、53【分析】过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，证明Rt△ECM≌Rt△EBN，进而可得结果．【详解】解答：解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，连接E C，∵AE 是∠CAB 平分线，∴EM ＝EN ，∵E 是CB 的垂直平分线上的点，∴EC ＝EB ，∴∠ECB ＝∠EBC ＝25°，在Rt △ECM 和Rt △EBN 中，EC EB EM EN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ECM ≌Rt △EBN （HL ），∴∠EBN ＝∠ECM ＝∠ACB +∠ECB ＝28°+25°＝53°．故答案为：53．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．5、83##【分析】根据角平分线性质，得出DE =DF ，利用S △ABC =S △ABD +S △BCD 得出()11215362DE +⋅=，求解即可． 【详解】解：∵BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴DE =DF ，S △ABC =S △ABD +S △BCD =()()11111215362222AB DE BC DF AB BC DE DE ⋅+⋅=+⋅=+⋅=， 解得728273DE ==． 故答案为83．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形面积，一元一次方程，掌握角平分线性质，三角形面积，一元一次方程，关键是利用S △ABC =S △ABD +S △BCD 列出方程．三、解答题1、（1）证明见详解；（2）90︒；等边，12；（3）满足条件的EFP ∠的值为32︒或61︒．【分析】（1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可证明；（2）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得60EFD ∠=︒，根据角平分线的性质及各角之间的关系，可得90EGF ∠=︒；再由平行直线的性质可得60EGK BEG ∠=∠=︒，得出AAAA 是等边三角形，根据周长的公式即可得出三角形周长；（3）分两种情况讨论：①当点Q 落在AB 上时，根据折叠的性质可得：90EPF QPF ∠=∠=︒，结合图形即可得出EFP ∠；②当点Q 落在CD 上时，根据平行线及角平分线的性质即可得出EFP ∠．【详解】解：（1）∵EG 平分BEF ∠，GM BE ⊥，GH EF ⊥，∴GM GH =，∵FG 平分DEF ∠，GN FD ⊥，GH EF ⊥，∴GN GH =，∴GM GH GN ==；（2）∵AB CD ∥，∴180FEB EFD ∠+∠=︒，∵120FEB ∠=︒，∴60EFD ∠=︒，∵EG 平分BEF ∠，FG 平分DEF ∠，∴60FEG BEG ∠=︒=∠，30EFG ∠=︒，∴90EGF ∠=︒；∵直线l AB ∥，∴60EGK BEG ∠=∠=︒，∴AAAA 是等边三角形，∵4EG =，∴AAAA 的周长为12，故答案为：90︒；等边，12；（3）①当点Q 落在AB 上时，如图所示：∵将AAAA 折叠，顶点E 落在点Q 处，∴90EPF QPF ∠=∠=︒，∵58PEF ∠=︒，∴9032EFP PEF ∠=︒-∠=︒；②当点Q 落在CD 上时，如图所示：∵AB CD ∥，∴180PEF EFQ ∠+∠=︒，∵58PEF ∠=︒，∴122EFQ ∠=︒，∵EFP QFP ∠=∠， ∴1612EFP EFQ ∠=∠=︒，综上可得，满足条件的EFP ∠的值为32︒或61︒．【点睛】题目主要考查角平分线及平行线的性质，图形折叠的性质，理解题意，熟练掌握角平分线及平行线的性质是解题关键．2、（1）证明见解析；（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【分析】（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；（2）①由△ABC 的面积求出BD 、AD 、CD 、AC ；再分当MN ∥BC 时，AM ＝AN 和当DN ∥BC 时，AD ＝AN 两种情况得出方程，解方程即可；②分三种情况：AD =AN ；DA =DN ；和ND =NA ，三种情况讨论即可【详解】解：（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt△ACD中，AC5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；×5x×4x＝40cm2，而x＞0，（2）①S△ABC＝12∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．当MN∥BC时，AM＝AN，即10−t＝t，此时t＝5，当DN∥BC时，AD＝AN，此时t＝6，综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；②ΔADN能成为等腰三角形，分三种情况：（ⅰ）若AD=AN=6，如图：则t=6=6s；1（ⅱ）若DA=DN，如图：过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ， 由1122ACD S AD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯， 解得245DH =，在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==， 3615AN t s ∴==； （ⅲ）若ND =NA ，如图：过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142NQ CD ==，5AN ∴==，51AN t s ∴==； 综上，点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想．3、（1）y ＝142x -+；（2）E (3，0)，10；（3）P 1(-2，0)，P 2(0，323)，P 3(0，-83)． 【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先证明CE ＝AE ；设CE ＝AE ＝x ，则OE ＝8－x ，在直角△OCE 中，OC 2＋OE 2＝CE 2，则()22248-x x +=，求出x 得到OE 的长即可求解； （3）分P 在x 轴上和y 轴上两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ＝8，AB ＝4．∴A (8，0)、C (0，4)，设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ，∴804k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴AC 所在直线的函数关系式为y ＝142x -+；（2）∵长方形OABC 中，BC ∥OA ，∴∠BCA ＝∠CAO ，又∵∠BCA ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠CAO ，∴CE ＝AE ；设CE ＝AE ＝x ，则OE ＝8－x ，在直角△OCE 中，OC 2＋OE 2＝CE 2，则()2224+8-x =x ，解得：x ＝5；则OE ＝8－5＝3，则E (3，0)，∴S △ACE ＝12×5×4＝10；（3）如图3-1所示，当P 在x 轴上时，∵A AAAA =A AAAA ， ∴1102PE OC ⋅=，∴5PE =，∵E 点坐标为（3，0），∴P 点坐标为（-2，0）或（8，0）（舍去，与A 点重合）如图3-2所示，当P在y轴上时，同理可得1102PC OE⋅=，∴203 PC=，∵C点坐标为（0，4），∴P点坐标为（0，83-）或（0，323）；综上所述，坐标轴上是在点P（-2，0）或（0，323）或（0，83-）使得△CEP的面积与△ACE的面积相等．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形面积，坐标与图形，勾股定理与折叠，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于鞥个熟练掌握相关知识进行求解．4、（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC；等边对等角．【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；(2)解：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．5、（1）见解析；（2）42°【分析】（1）利用边边边证得△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，即可求证；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠AEC＝∠C＝69°，再由△ABC≌△ADE，可得∠AED＝∠C＝69°，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE．∴∠BAC＝∠DAE．∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE．即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝12×(180°－∠EAC)＝12×(180°－42°)＝69°．∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．。

2019-2020学年八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考测试含解析新版北师大版一、选择题（每小题3分，共30分）1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，那么这个直角三角形的斜边长为（）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 24 cm【答案】C【解析】根据勾股定理可以得出：斜边长==10cm.故选：C．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是灵活应用勾股定理的公式计算.2. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选D．考点：作图—复杂作图3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°【答案】A【解析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．“点睛”考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．4. 如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为（）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm【答案】C【解析】试题分析：根据中垂线的性质可得：BN=AN，则△BCN的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC=7cm，根据AC=4cm可得：BC=7－4=3cm.考点：中垂线的性质5. 如图，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m【答案】D【解析】如图所示，作BC⊥AE于点C，则BC＝DE＝8，设AE＝x，则AB＝x，AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(x－2)2＋82＝x2，解得x＝17．所以旗杆的高度为17m．6. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（）A. 若a＝b，则a2＝b2B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形两底角不相等【答案】C【解析】根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：若a=b，则a2＝b2的逆命题为：若a2＝b2，则a=b，是假命题；同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题；等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.故选：C.7. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】试题解析：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°-∠B-∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故选B．8. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为（）A. 10B. 7C. 5D. 4【答案】C【解析】作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC⋅EF=×5×2=5，故选C.9. 如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A. 18B. 3C. 12D. 2【答案】D【解析】过点D作DF⊥EC于点F，利用正三角形的性质得出CF=1，BF=3，再利用勾股定理求出DF==，则可得BD=．故选：D.点睛：此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出DF的长是解题关键．10. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 5【答案】A【解析】试题分析：作AF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=CF=4，然后根据勾股定理求得AF=3，连接AP，根据△ABC的面积=△ABP的面积+△ACP的面积解出答案即可.考点：轴对称问题二、填空题（每小题4分，共32分）11. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_________.【答案】面积相等的三角形全等【解析】试题分析：把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形．考点：互逆命题12. 若一个三角形的三边长分别为3 m，4 m，5 m，那么这个三角形的面积为___.【答案】6 m2【解析】根据勾股定理的逆定理，可由三边的长判断出此三角形是直角三角形，3cm、4cm是三角形的两直角边，所以根据三角形的面积公式可得面积为3×4÷2=6m2.故答案为：6m2.13. 如图，点D，C，A在同一条直线上，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶5∶10，若△EDC≌△ABC，则∠BCE的度数为＿.【答案】20°【解析】利用三角形的三角的比∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°，根据三角形的内角和为180°得3x+5x+10x=180，解得x=10，求出三角的度数∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°，可得∠BCN=180°-100°=80°，再由△MNC≌△ABC得到∠ACB=∠MCN=100°，因此可求得∠BCM=∠NCM-∠BCN=100°-80°=20°.故答案为：20°.点睛：本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝＿.【答案】2【解析】试题分析：根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质视频15. 如图，在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．【答案】2【解析】根据题意，可得三种命题，由①②③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命题；由①③②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③①，根据SAS可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.故答案为：2.点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】2.9【解析】试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.考点：解直角三角形.17. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是＿.【答案】4∶3【解析】试题分析：估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．考点：角平分线的性质．18. 如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……依次画下去，直到得到第n条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n＝__.【答案】9【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故选B．考点：等腰三角形的性质．视频三、解答题（共58分）19. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E，那么△ACE是等腰三角形吗？请证明你的结论.【答案】△ACE是等腰三角形，证明见解析.【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠BAD =∠E，∠CAD=∠ACE；然后结合角平分线的性质和等量代换推知∠E=∠ACE，故△ACE是等腰三角形．试题解析：△ACE是等腰三角形．证明：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD．因为CE∥AD，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE.所以∠E=∠ACE.所以AE=AC，即△ACE是等腰三角形．点睛：本题考查了等腰三角形的判定．判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．20. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，试求CD的长.【答案】CD的长为3.4.试题解析：因为DE是AC的垂直平分线，所以CD＝AD.所以AB＝BD+AD＝BD+CD.设CD＝x，则BD＝5－x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+(5－x)2，解得x＝3.4.故CD的长为3.4.21. 如图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，∠B=15°，CD是AB边上的高，求CD的长．【答案】CD的长是5 cm．【解析】试题分析：根据等边对等角和三角形的外角求出∠CAD的度数，然后根据30°角的直角三角形的性质可求解.试题解析：在△ABC中，因为AB=AC=10 cm，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°.所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．因为CD是AB边上的高，所以∠D=90°.所以CD=AC=×10=5（cm），即CD的长是5 cm．22. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .如图所示四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．试题解析：证明：∵在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=BD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，BD是△ABC的角平分线，点O在BD上，分别过点O作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足为E，F，且OE=OF.（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）OE＝2.【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OC，根利用勾股定理求出AB的长，据三角形的面积公式即可得出结论．试题解析：（1）证明：过点O作OM⊥AB于点M.因为BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E，所以OM＝OE.又OE=OF，所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分线上.（2）连接OC.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝13.因为S△ABO+S△BCO+S△ACO =S△ABC，所以×13·OM+×12·OE+×5·OF=×5×12.由（1）知OM=OE=OF，所以15OE=30，解得OE＝2.点睛：本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．24. 按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.如图，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC. 思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是＿三角形.同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝＿，且CE＝CD，可知＿；（2）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＝＿；（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿.请写出完整的证明过程.【答案】（1）等边，60°，△DCE是等边三角形；（2）AC，BE；（3）△BED≌△ACD，证明见解析.【解析】试题分析：（1）连接BD，根据等边三角形判定推出即可；求出∠DCE=60°，得到等边三角形DCE 即可；（3）根据等边三角形性质推出AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，推出∠ADC=∠BDE，证△ADC≌△BDE即可；（4）由（3）即可得出答案．试题解析：（1）（1）解：连接BD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵∠BCD=120°，∴∠DCE=180°-∠BCD=180°-120°=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，故答案为：等边，60°，△DCE是等边三角形．（2）证明：∵等边三角形ABD和DCE，∴AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，在△ADC和△BDE中，∴△ADC≌△BDE，∴AC=BE=BC+CE，故答案为：BE，AC．（3）△BED≌△ACD证明过程如下：连接AC，BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形.所以AD＝BD，∠ADB＝60°.因为∠BCD＝120°，所以∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°.因为CE＝CD，所以△DCE是等边三角形.所以CD＝DE，∠CDE＝60°.所以∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE.在△ADC和△BDE中，AD＝BD，∠ADC＝∠BDE，DC＝DE，所以△ADC≌△BDE.所以AC＝BE＝BC+CE=BC+DC.附加题（15分，不计入总分）25. 如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；（2）利用（1）的图形，分别求得每一个等腰三角形的周长．试题解析：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.。

第一章 三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1. A 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使CE =CD ．求证：BD =DE .2. B 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PD ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，D ，且AH ⊥BC 于H ，试用三角形面积公式证明：PE +PF +PD =AH .3. B 如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD =AE ，AD 与CE 交于点F ，求证：△ABD ≌△CAEBB4. A △ABC 中，∠B =∠C ，求证：AB =AC5. B 如图，AD 和BC 交于点O ，AB ∥DC ，OA =OB ，试说明△OCD 是等腰三角形.B6. B 如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD =3cm ，则CD 等于( )A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cm7. B 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是( )A ．BD 平分∠ABCB ．△BCD 的周长等于AB +BCC ．AD =BD =BCD ．点D 是线段AC 的中点8. A 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④9. B 如图，等边△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上两点，下列结论：①若AD =AE ，则△ADE 是等边三角形；②若DE ∥BC ，则△ADE 是等边三角形，其中正确的有( )A ．①B ．②C ．①②D ．都不对OBB10. B 如图，D ，E ，F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形.11. B 如图，D 为等边三角形ABC 内一点，将△BDC 绕着点C 旋转成△AEC ，则△CDE 是怎样的三角形？请说明理由.B1. A 如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．2. A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．3. B 如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．4. A 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．1. B 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由.2. C 如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个.A. 3B. 5C. 8D. 103. B 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为.4. C 如图，△ABC中，∠ABC=46º，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21º，试确定∠CAD的度数.5. C 一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36º，求原三角形最大内角的所有可能值.专题2 重要的30°1. A 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =12∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =12DB ．2. B 如图，在一场足球比赛中，球员A 欲传球给同伴B ，对方球员C 意图抢断传球，已知球速为16m/s ，球员速度为8m/s.当球由A 传出的同时，球员C 选择与AC 垂直的方向出击，恰好在点D 处将球成功抢断，则角α=．(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)1. A 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ． 求证：BD =2CD ．CB2. A 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．1. B 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为，ME的长为.专题3 反证法1. A 求证：一个三角形中至多有一个钝角．2. B 用反证法证明：若a ，b 是正整数，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除．1. C 已知：在同一平面内，直线m ⊥l ，直线n 与l 相交但不垂直，求证：直线m 、n 相交．1. C 设x ，y等腰三角形习题课1. B 已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．C B2. C 如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．3. C 如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB =15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．4. B 如图，△ABC 为等边三角形，∠BAD = ∠CBE =∠ACF ．(1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形．BOB5. B 已知，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，请证明：AB =2BC .6. B 已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点.(1)若AD =BE =CF ．试证明△DEF 是等边三角形．(2)若△DEF 是等边三角形，那么AD =BE =CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.7. B 如图，等边△ABC 与等边△DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ．BB8. C 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，DB =8，求AC 的长．9. C 如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =105°，∠BOC =α．以OC 为边作等边△OCD ，连接AD ．(1)请证明：OB =AD ．(2)△AOD 能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．DBB10. C 等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.2 直角三角形专题1 直角三角形1. A 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？2. B 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？变式1：若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？变式2：若∠ACD=∠B，CD⊥AB，则△ACB为________三角形．变式3：如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，则△ADE是___________三角形．3. A 判断正误：这样描述勾股定理的逆定理正确吗？如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．4. A 分别以下列四组数为一个三角形的边长(1)1，2，3；(2)3，4，5；(3)5，12，13；(4)6，8，10．其中能组成直角三角形的有()A．4组B．3组C．2组D．1组5. B 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CF、EF D．GH、AB、CD6. A 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，则下列说法中错误的是( )．A ．如果∠C -∠B =∠A ，那么△ABC 是直角三角形，∠C =90°B ．如果a ：b ：c =3：4：5，则∠B =60°，∠A =30°C ．如果∠A ：∠B ：∠C =5：2：3，那么△ABC 是直角三角形D ．如果c 2-a 2=b 2，那么△ABC 是直角三角形7. B 如图所示，四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．1. B 若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是_______．2. C 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】(1)第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据__________，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．B(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．①在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)②∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若_________，则△ABC≌△DEF．3. C 下列4个判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；(3)三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；(4)有一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.专题2 逆命题和逆定理1. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题. 等边三角形的每个角都等于60°．2. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.3. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.4. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明. 1.同旁内角互补，两直线平行；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形；3.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.专题3 斜边、直角边判定定理1. A 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，过点A 作BC 边上的高AD ，求证：△ABD ≌△ACD ．2. A 已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，AD =CB ，DE =BF ，求证：AF =CE .3. A 已知：如图，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL”判定，还需要加条件___________________，若加条件∠BAD =∠CAD ，则可用________________判定.CA4. A 如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，由点D 分别向AB 、AC 两边引垂线，并与AB 、AC 交于E 、F 两点，且BE =CF ，请判断AD 是否为∠BAC 的角平分线，并证明.3 线段的垂直平分线1. A 如图，点D 是△ABC 内一点，且AB =AC ，DB =CD ，求证：线段AD 在线段BC 的垂直平分线上.B2. B 求证：三角形的三条垂直平分线交于一点.3. A 如图，已知线段AB ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点C 和点D ，作直线CD ，在CD 上取两点P 、M ，连接P A 、PB 、MA 、MB ，则下列结论一定正确的是( )A. P A =MAB. MA=PEC. PE =BED. P A =PB4. A 如图所示，A 、B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C ，请你设计一个方案，使供水站到两村庄的距离相等，不写画法，但要保留作图痕迹 .B1. A 如图，AC=AD，BC=BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB2. A 如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．3. C 小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．(1)小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？(2)设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．4. B △ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P ，求证：点P 也在BC 的垂直平分线上.5. C △ABC 中，D 为BC 中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ．求证：BF =CG ．6. C 如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A ．在AC ，BC 两边高线的交点处B ．在AC ，BC 两边中线的交点处C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处BB1. C 在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图1；(2)若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；(3)如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB、CE、ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.2. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC =90°，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE//AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．3. B 已知，如图△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．求证：∠EAF=∠ABD．4. C 已知△ABC内一点M满足∠BMC=100︒，线段BM的中垂线交边AB于点P，线段CM的中垂线交边AC于点Q，∠A=20︒，求证：P、M、Q三点共线．4 角平分线专题1 角平分线的性质和判定1. A 如图，在△ABC 中，D 为△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DE =DF ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是( )A ．AD 平分∠BACB ．ME ＝MFC ．AE ＝AFD ．BD ＝DC2. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC ．3. A 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 中点，且AE 平分∠DAB ．求证：BE 平分∠ABC ．BA4. A 已知：△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ．求证：AP 平分∠BAC ．5. A 如图所示，BD 平分∠ABC ，AB =BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，M 、N 为垂足.求证：PM =PN .6. A 已知，在四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DAB ，且∠DAB =120°，∠B 和∠D 互补.求证：AB +AD =AC ．B1. B (1)如图，△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，求证：点P 在∠A 的角平分线上．(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．2. B 如图，已知△ABC 的周长是21，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =4，△ABC 的面积是多少？BB3. A 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是()A．P A=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP4. A 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．5. A 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．(1)求证：∠3=∠B；(2)连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．6. B 如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．1. C 在△ABC中，如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等腰三角形ABD和ACE，AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE，CD与BE相交于点O.(1)求证：BE=CD；(2)若设∠BAD=α，∠AOE=β，则用α表示β为，并证明你的结论.专题2 角平分线的模型1. A 如图，在△ABC中，(1)PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2；(2)PB、P A为平分线，证明PC也是平分线；(3)PC、P A为平分线，证明PB也是平分线.2. B △ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．3. B 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PB、P A交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC .其中正确的是( )A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③4. B 已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB＋CD.5. B 已知：如图，四边形ABCD中，∠B+ ∠D =180°，AC平分∠BAD.求证：BC=CD.6. B 在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于E ，求证：BE =1()2AC AB .7. B 已知，如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于点E 、F .①图中有几个等腰三角形，请说明EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们，另第①问中EF 与BE 、CF 的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？8. B 如图，正方形ABCD中，F为BC的中点，E为AB上的一点，且DF平分∠CDE，求证：DE=BC+EB .1. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB =60°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，则∠AEB=_______．2. C 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，求证：BD+BC=AD．3. C 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于点E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．三角形综合习题课1. A 如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是()A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC2. A 如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB =DE ，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是( )A ．∠BCA =∠FB ．∠B =∠EC ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF3. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且AD 平分∠BAC ，则下列结论中不正确的是( )A ．△ADF ≌△ADEB ．△BDF ≌△CDEC ．△ABD ≌△ACDD ．BD =AD4. A 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△BEC ≌△CDA ．AA1. B 如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD .(1)求证：AB =AD ；(2)请你探究∠EAF ，∠BAE ，∠DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论.2. B 两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题，试验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α(α<∠A 1A 0A 2)，3θ、4θ、5θ、6θ所表示的角如图所示.(1)用含α的式子表示角的度数：3θ= ，4θ= ，5θ= ，6θ= ；(2)连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1B 2…B n －1重合(其中A 1与B 1重合)，现将正多边形A 0B 1B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α(0°<α<180n︒)； (3)设n θ与上述“3θ、4θ… ”的意义一样，请直接写出n θ的度数； (4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由.3. B 如图△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求AE，BE的长.4. B C是线段AB的中点，在CE上取两点D、E.(1)若AD = BE，求证：∠ADC=∠E；(2)若∠ADC=∠E，求证：AD = BE.A已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF.已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE 于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.5. B 在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.1. C 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 为AB 左侧的一个动点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2. C 如图，已知AB =CD =AE =BC +DE =2，∠ABC =∠AED =90°，求五边形ABCDE 的面积．3. B 如图，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．4. C 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．5. C 如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．6. B 如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，AD BC ⊥．求证AC BD DC =-．7. C 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为( )A ．aB ．kC ．2k h D ．h8. C 如图，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ．9. C 如图，求出图中∠DCA 的角度.期中期末串讲—三角形的证明1. B 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD，AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有( )A．3个B．4个C．5个D．6个2. A 下列条件中，不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．三边都相等的三角形D．有一个角是60°且是轴对称图形的三角形3. B 如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30º，∠C=90º，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．4. B 已知：△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P．求证：点P也落在∠A的平分线上．5. A 平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积．(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B2C3．(3)写出点A1，B2，C3的坐标．6. B 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．7. A 根据下列已知条件, 不能唯一确定△ABC的大小和形状的是( )A．AB=3，BC= 4，AC=5B．AB= 4，BC=3，∠A=30ºC．∠A=60º，∠B= 45º，AB= 4D．∠C=90º，AB=6，AC=58. A 如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC．参考答案第一章三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1.证明：∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠CBD=12∠ABC=30°，又∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，∴∠E=30°=∠CBD，∴BD=DE(等角对等边).2.证明：如图，连接P A，PB，PC，则S△ABC= S△P AB+S△PBC+S△P AC，∴S△ABC=S△P AB+S△PBC+S△P AC=12PE×AB+12PD×BC+12PF×AC，又∵AB=BC=AC，∴S△ABC=12(PE+PF+PD)×BC，又∵S△ABC=12AH×BC，∴PE+PF+PD=AH.3.证明：在△ABD和△CAE中，∵,,,DBA EA BD AEBA ACC ⎧⎪==∠=⎨∠⎪⎩∴△ABD ≌△CAE (SAS).4.证明：方法一：如图，作△ABC 中BC 边上的高线，垂足为D ， 在Rt △ADB 和Rt △ADC 中，∵,,,B C ADB AD AD AD C =⎧⎪⎨⎪=∠∠∠=⎩∠∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (AAS)∴AB =AC ．方法二：如图，作△ABC 中∠BAC 的角平分线AD ，在△ADB 和△ADC 中，∵,,,AD A BAD CAD B D C ∠∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC (AAS)，∴AB =AC ．方法三：将△ABC 视为△ABC 和△ACB 两个三角形，在△ABC 和△ACB 中，∵,,,BC B C C B CB ∠∠∠=⎧∠==⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ACB (ASA)，∴AB =AC ．5.证明：∵OA =OB ，∴∠A =∠B ，又∵AB ∥DC ，∴∠C =∠B ，∠D =∠A ，∴∠C =∠D ，∴OC =OD ，∴△OCD 是等腰三角形.6. A ．7. D ．8. D ．9. C ．10.证明：∵△ABC 是等边三角形，且AD =BE =CF ，∴AF =BD =CE ，在△ADF 、△BED 和△CFE 中，∵,,AD BE CF C AF BD B E A C ==∠∠∠=⎧==⎪=⎪⎨⎩，∴△ADF ≌△BED ≌△CFE (SAS)，∴DF =ED =FE ，∴△DEF 是等边三角形.11.△CDE 是等边三角形证明：∵△AEC 由△BDC 绕着点C 旋转而成， ∴△AEC ≌△BDC ，∴CD =CE ，∴△CDE 是等腰三角形，又∵∠BCD =∠ACE ，∴∠BCD +∠ACD =∠ACE +∠ACD ，即∠ACB =∠ECD ，∴∠ECD =60°，∴△CDE 是等边三角形.1.证明:∵AD =AE∴∠ADE =∠AED∴∠ADB =∠AEC∴△ABD 和△ACE 中，BD =CE ，∠ADB =∠AEC ，AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠B =∠C2.证明：∵AB=AC, ∠A=60°，∵△ABC为等边三角形，∵BD是中线，∵∵CBD=∵ABD=30°，∵CE=CD，∵∵E=∵CDE=12∵BCD，∵∵BCD=60°，∵∵E=30°，∵∵E=∵CBD，∵DB=DE．3.证明：∵∵EAC+∵ECA=90°，∵BCF+∵ECA=90°，∵∵ECA=∵BCF，∵△AEC和△CFB中，∵EAC=∵FCB，∵AEC=∵CFB=90°，AC=CB，∵△AEC∵△CFB（AAS），∵AE=CF，∵BF=CE，∵EF=AE+BF.4.证明：∵∵ABC为等边三角形，∵∵BAC=∵BCA =∵B =60°，AB=AC，∵CE平分∠ACD，∵∵ACE=∵ECD =60°，∵∵ABD和∵ACE中，AB=AC，∵B =∵ACE =60°，BD=CE，∵∵ABD∵∵ACE（SAS），∵AD=AE，∵BAD=∵CAE，∵∵BAC=∵DAE=60°，∵∵ADE为等边三角形.1.等腰直角三角形.证明：连接MA，∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=CA.∴△DAB是等腰直角三角形，∴∠MDA=∠MBA=45°又∵M为BD的中点，∴∠DAM=∠MAB=45°，AM⊥BD.∴△DAM与△MAB是等腰直角三角形.∴AM=MD=MB=12 BD.∴∠MDE=∠MAC=105°.∵DE=AC，∠MDE=∠MAC，MD=AM，∴△MDE≌△MAC.∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°.∴△EMC是等腰直角三角形.2. C.3.1.5.4.67°.5.原三角形最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°.专题2 重要的30°1.证明：∵∠BAD=12∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等)，∴在△ADE和△BDE中，。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元复习测试题（含答案）北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元复习测试题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共24分)1．如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为(C)A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．若AB＝13，AD＝12，则BC的长为(B)A．5 B．10 C．20 D．243．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是(D)A．35°B．55°C．60°D．70°4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC ＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C 在直线b 上，直线a交AB于点D，交AC于点E.若∠1＝145°，则∠2的度数是(C)A．30°B．35°C．40°D．45°6．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是(B)A B C D7．如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.若∠AFD＝145°，则∠EDF ＝（ c ）A．30°B．35°C．55°D．45°8．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD ＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为(B)A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题(每小题3分，共27分)9．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC ＝DB；③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是②(只填序号)．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则DC＝1．11．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“HL”．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.已知△BCE的周长为8，AC－BC＝2，则AB的长是5．＝40，DE＝4，AC 13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝12，则AB的长是8．14．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD.若△ABD 为直角三角形，则∠ADC的度数为90°或130°．15．已知在△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于16．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝4．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB.若AB＝8，CE＝6，则BC的长为三、解答题(每小题4分，共20分)18．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD.求证：∠A BD ＝∠BDF.证明：∵EF垂直平分BD，∴FB＝FD.∴∠FBD＝∠BDF.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD.∴∠ABD＝∠BDF.19．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.判断△CED的形状，并说明理由．解：△CED是等边三角形，理由如下：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠COE＝30°.∵CE∥OA，∴∠AOB＝∠CED＝60°.∵CD⊥OC，∴∠OCD＝90°.∴∠EDC＝60°.∴△CED是等边三角形．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.解：(1)∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.∵∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.(2)证明：由(1)知，∠BAD＝∠CAD.∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD.∴∠BAD＝∠F.∴AE＝FE.21．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD ＝90°，D 为AB边上一点．求证：(1)△ACE ≌△BCD ；(2)2CD 2＝AD 2＋BD 2.证明：(1)∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE.∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACE ＋∠ACD ＝∠BCD ＋∠ACD.∴∠ACE ＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中，AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD ，，∴△ACE ≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACB 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝45°.∵△ACE ≌△BCD ，∴∠B ＝∠CAE ＝45°，AE ＝BD.∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠BAC ＝45°＋45°＝90°.∴AD 2＋AE 2＝DE 2，即AD 2＋BD 2＝DE 2.又∵在Rt △DEC 中，DE 2＝CE 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋BD 2.22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，△AOB 为等边三角形，P 是x 轴上一个动点(不与点O 重合)，以线段AP 为一边在其右侧作等边△APQ.(1)直接写出点B 的坐标；(2)在点P 的运动过程中，∠ABQ 的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由；(3)连接OQ ，当OQ ∥AB 时，求点P 的坐标．解：(1)B(23，2)．(2)∠ABQ ＝90°，始终不变．理由如下：∵△APQ ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ ，AO ＝AB ，∠PAQ ＝∠OAB ＝60°.∴∠PAO ＝∠QAB.在△APO 和△AQB 中，AP ＝AQ ，∠PAO ＝∠QAB ，AO ＝AB ，∴△APO ≌△AQB(SAS )．∴∠ABQ ＝∠AOP ＝90°.(3)∵要满足OQ ∥AB ，∴由图形可知，点P 在x 轴负半轴上，且此时点Q 在点B 的下方．∵AB ∥OQ ，∴∠BQO ＝180°－∠ABQ ＝90°，∠BOQ ＝∠ABO ＝60°.∴∠OBQ ＝30°. 又∵OB ＝OA ＝4，∴OQ ＝2，BQ ＝2 3.由(2)可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝2 3.∴点P的坐标为(－23，0)．。

第一章 三角形的证明 回顾与思考（1）习题含答案一、填空题：1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米. 2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 三角形.3. △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D .若DC =7，则D 到AB 的距离是 .4. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长为 .5. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________ ；二、选择题：6. 等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）A. 60°;B. 90°;C.120°;D.150°7. 如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（ ）A. B. C. D.前面A,B,C 三个答案都对 8.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形第18题图 CBA 第7题图第4题图第5题图 第1题图D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形9. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点10. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，CD⊥AB于点D若BC=a，则AD等于（）A.21aB.23a C.23a D.3a三、解答题11. 如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC的度数（2）AD和CD的长.12.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.13. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．答案1.40米。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=3，DE=5，则线段EC的长为（）A.3B.4C.2D.2.52、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，∠B的度数为（）A.20°或70°B.30°或60°C.25°或65°D.35°或65°3、下列命题中错误的有（）个（ 1 ）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦A.1B.2C.3D.44、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A.55°B.40°C.35°D.20°5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是( )A. B. C. D.AC=AB7、如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D 点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.22cm8、等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（）A.50°，80°B.65°，65°C.50°，80°或65°，65° D.无法确定9、如图，在中，，则的度数为（）A. B. C. D.10、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A.2B.8C.2D.1012、等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9cmB.12 cmC.12 cm或15 cmD.15 cm13、如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为( )A. B. C.8 D.914、已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为A.13 cmB.17cmC.13cm或17cmD.10cm或13cm15、△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）A.50°B.60°C.150°D.50°或130°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，若正方形ABCD的边长为1，且∠BFC＝90°，则AE的长为________17、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为________．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长度是________cm.19、如图，于，于，且.若，，则的大小为________度.20、如图，在中，点在上，，点在的延长线上，，连接，则的度数为________ ．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若∠B=30°，CD=1，则BD的长为________．22、如图，等腰△ABC的周长为27cm，底边BC=7cm，AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为________cm ．cm23、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O恰好是AC的中点，则CD的长为________．24、如图， AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点D，若∠A=38°，则∠BDM=________度.25、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处。

ABCD 第一章回顾与反思课后作业班级 姓名一、选择题1．等边三角形一个边的长为1，那么它的面积是 ( )A. 1 B ．3 C ．23D ． 432．一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（ ）A. 40° B ．100° C ．60° D ．40°或100°3. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ）A.∠A=∠DB.∠ACB=∠FC.∠B=∠DEFD.∠ACB=∠D4．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ， 则∠A 的度数为（ ）A.30°B.36°C.45°D.70°5．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（第3题图） （第4题图） （第5题图）6. 点E 在正方形ABCD 内，满足∠A EB ＝90°.AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．80第6题图 第7题图 第12题图二、填空题7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝2cm ，则AC= .8.“直角三角形的两个锐角相等”的逆命题是_____________________________．9．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是 .10．已知⊿ABC 中，∠A =90o线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = .11．Rt ⊿ABC 中，∠C=90º，∠B=30º，则AC 与AB 两边的等量关系是 .12.图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是△ABC 内两点， AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°，若BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，则BC ＝ cm.三.解答题13.如图，DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ．（7分）14.如图，ABC ∆中，DE A AC AB ，， 40=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。