不等式专题训练

不等式专题训练一．选择题（共9小题）1．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠0 2．下列说法不一定成立的是（ ）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b3．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2＜a≤﹣1 4．已知x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤25．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．6．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）A．﹣3＜b＜﹣2B．﹣3＜b≤﹣2C．﹣3≤b≤﹣2D．﹣3≤b＜﹣2 7．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）A．x﹣3＞y﹣3B．x+3＞y+3C．﹣3x＞﹣3y D．＞8．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤19．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）A．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≤0二．填空题（共4小题）10．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是 ．11．若不等式组有解，则a的取值范围是 ．12．不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，则m的取值范围是 ．13．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 ．三．解答题（共5小题）14．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值．15．已知x＝3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．16．解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．17．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．18．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．不等式专题练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠0【考点】C2：不等式的性质．【分析】当x＝1时，a+2＞0；当x＝2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的范围，最后综合得到a的取值范围．【解答】解：当x＝1时，a+2＞0解得：a＞﹣2；当x＝2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a的取值范围为：a＞﹣1．2．下列说法不一定成立的是（ ）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质进行判断．【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不符合题意；B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；C、当c＝0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，符合题意；D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不符合题意．故选：C．3．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2＜a≤﹣1【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先根据不等式组得出不等式组的解集为a＜x＜2，再由恰好有3个整数解可得a的取值范围．【解答】解：如图，由图象可知：不等式组恰有3个整数解，需要满足条件：﹣2≤a＜﹣1．故选：C．4．已知x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤2【考点】C3：不等式的解集．【分析】根据x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【解答】解：∵x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0，解得：a≤2，∵x＝1不是这个不等式的解，∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，解得：a＞1，∴1＜a≤2，故选：C．5．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．6．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）A．﹣3＜b＜﹣2B．﹣3＜b≤﹣2C．﹣3≤b≤﹣2D．﹣3≤b＜﹣2【考点】C7：一元一次不等式的整数解．【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出b的范围即可．【解答】解：不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴﹣3≤b＜﹣2故选：D．7．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）A．x﹣3＞y﹣3B．x+3＞y+3C．﹣3x＞﹣3y D．＞【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；故选：C．8．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）A．a＞1B．a＜1C．a≥1D．a≤1【考点】C3：不等式的解集．【分析】解两个不等式后，根据其解集得出关于a的不等式，解答即可．【解答】解：因为不等式组的解集为x＞1，所以可得a≤1，故选：D．9．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）A．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≤0【考点】C3：不等式的解集．【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．【解答】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0，故选：D．二．填空题（共4小题）10．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是 ＜a≤1．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有两个整数解得出不等式组1＜2a≤2，求出不等式组的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x＞﹣，解不等式②得：x＜2a，∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a，∵不等式组有两个整数解，∴1＜2a≤2，∴＜a≤1，故答案为：＜a≤1．11．若不等式组有解，则a的取值范围是 a＞﹣1．【考点】C3：不等式的解集．【分析】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．【解答】解：∵由①得x≥﹣a，由②得x＜1，故其解集为﹣a≤x＜1，∴﹣a＜1，即a＞﹣1，∴a的取值范围是a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．12．不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，则m的取值范围是 m＜2．【考点】C3：不等式的解集．【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，∴m﹣2＜0，m＜2，故答案为：m＜2．13．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是 131或26或5或．【考点】CE：一元一次不等式组的应用．【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1＝656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【解答】解：我们用逆向思维来做：第一个数就是直接输出其结果的：5x+1＝656，解得：x＝131；第二个数是（5x+1）×5+1＝656，解得：x＝26；同理：可求出第三个数是5；第四个数是，∴满足条件所有x的值是131或26或5或．故答案为：131或26或5或．三．解答题（共5小题）14．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值．【考点】97：二元一次方程组的解；CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先根据方程组可得，再解不等式组，确定出整数解即可．【解答】解：①+②得：3x+y＝3m+4，②﹣①得：x+5y＝m+4，∵不等式组，∴，解不等式组得：﹣4＜m≤﹣，则m＝﹣3，﹣2．15．已知x＝3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．【考点】C3：不等式的解集．【分析】方法1：先根据不等式，解此不等式，再对a分类讨论，即可求出a的取值范围．方法2：把x＝3带入原不等式得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：方法1：解得（14﹣3a）x＞6当a＜，x＞，又x＝3是关于x的不等式的解，则＜3，解得a＜4；当a＞，x＜，又x＝3是关于x的不等式的解，则＞3，解得a＜4（与所设条件不符，舍去）．综上得a的取值范围是a＜4．方法2：把x＝3带入原不等式得：3×3﹣＞，解得：a＜4．故a的取值范围是a＜4．16．解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式．【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，合并同类项得，﹣x≤﹣2，把x的系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：．17．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）等量关系为：甲件数+乙件数＝160；甲总利润+乙总利润＝1100．（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．根据题意得：．解得：．答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．根据题意得．解不等式组，得65＜a＜68．∵a为非负整数，∴a取66，67．∴160﹣a相应取94，93．方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．18．某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和340元两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买榕树a棵，则香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．【解答】解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，根据题意得，，解得，答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，根据题意得，，解不等式①得，a≥58，解不等式②得，a≤60，所以，不等式组的解集是58≤a≤60，∵a只能取正整数，∴a＝58、59、60，因此有3种购买方案：方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．。

基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。

- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。

- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。

- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。

所以答案是C。

2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。

根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。

所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。

3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。

不等式专题训练 姓名1、已知关于x 的方程5(x －1)=3a+x －11的根是正数，则a 的取值范围是（ ） (A)a<2 (B)a>－2 (C)a<－2 (D)a>22、若方程6253x b a x -=-的解是非负数，则a与b 的关系是（ ）(A)b a 65-≤ (B)b a 65≥ (C)b a 65-≥ (D)6528b a -≥ 3、已知方程组013313>+⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+y x my x my x 的解满足，则m 的范围是（ ）(A)m>1 (B)m<1 (C)m>－1 (D)m<－1 4、已知a >b ，且|m|+|-m|=2m ，则下列结论成立的是（ ）(A)a m<bm (B)a m>bm (C)a m ≤bm (D)a m ≥bm 5、⑴当m 为何正整数时，关于x 的方程222x m x x -=--的解为非负数.⑵k 取什么整数时，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-9114372y x ky x 得到的x,y 值都大于－3且都小于3.6：如果关于x 的不等式(2m －n)x+m －5n>0(n<0)的解集为x<710,试求关于x 的不等式mx>n 的解集.7：已知关于x 的方程3(2x －5)－a -4=a x 的解适合不等式组280405x x -≥⎧⎪-⎨≤⎪⎩，求代数式2153a a -的值.8：求适合2x-y<x+y ，且y 满足方程3y-5=2y+3x 的x 的取值范围.9：（1）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+622423z y x z y x 的解也满足x+y+z<7，求x,y,z 的正整数解.（2）如果把题目改为：x,y,z 都是正数，且⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+622423z y x z y x ，求x+y+z 的范围，你能解吗？10、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+133a y x a y x 的解是一对正数，求⑴a 的范围；⑵化简|2a +1|+|2－a |.11、若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+nm x n m x 的解集是－3<x<7，求不等式2mx －n<0的解集.12、已知不等式组3462211132x x x x -≤-⎧⎪+-⎨-<⎪⎩，⑴求此不等式组的整数解；⑵若上述整数解满足方程3(x+a )－5a +2=0,求a 的值；⑶求代数式7152a a-的值.13、求x,y 满足方程x-4y=20和不等式7x<x<8y 的整数解.14．若不等式组⎩⎨⎧<-≥-01m x x 无解，求m 的取值范围。

专题七不等式考点19 不等式的性质与解法、基本不等式题组一、选择题1. [2021全国卷乙，5分]下列函数中最小值为4的是( C )A. y=x2+2x+4B. y=|sin x|+4|sin x|C. y=2x+22−xD. y=ln x+4ln x[解析]对于选项A，因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3，所以当x=−1时，y 取得最小值，且y min=3，所以选项A不符合题意.对于选项B，令|sin x|=t,则0<t≤1,由函数y=t+4t在(0,1]上单调递减可知y≥5，所以选项B不符合题意.对于选项C，因为y=2x+22−x≥2√2x⋅22−x=4，当且仅当2x=22−x，即x=2−x，即x=1时不等式取等号，所以y min=4，所以选项C符合题意.对于选项D，当0<x<1时，ln x<0，y=ln x+4ln x<0，所以选项D不符合题意.故选C.【易错点拨】利用基本不等式求最值时，必须关注其中的“等号”能否取到.2. [2021浙江，4分]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是( C )A. 0B. 1C. 2D. 3[解析]因为α ,β ,γ是互不相同的锐角，所以sin α，cos β ,sin β，cos γ ,sin γ，cos α均为正数.由基本不等式可知sin αcos β≤sin2α+cos2β2，sin βcos γ≤sin2β+cos2γ2，sin γcos α≤sin2γ+cos2α2.三式相加可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤32，当且仅当sin α=cos β ,sin β=cos γ ,sin γ=cos α，即α=β=γ=π4时取等号，因为α ,β ,γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α<32，所以这三个值不会都大于12.若取α=π6,β=π3,γ=π4，则sinπ6cosπ3=12×12=14<12，sinπ3cosπ4=√32×√22=√64>24=12，sin π4cos π6=√22×√32=√64>12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C .3. [2020北京，4分]已知函数f (x )=2x −x −1 ，则不等式f (x )>0 的解集是( D ) A. (−1,1) B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)[解析]函数f (x )=2x −x −1 ，则不等式f (x )>0 的解集即2x >x +1 的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y =2x ,y =x +1 的图象（图略），结合图象易得2x >x +1 的解集为(−∞,0)∪(1,+∞) ，故选D .二、填空题4. [2021天津，5分]若a >0 ,b >0 ,则1a +ab 2+b 的最小值为2√2 .[解析]1a +a b 2+b ≥2√1a ⋅a b 2+b =2b +b ≥2√2 ,当且仅当{1a=ab 2,2b =b, 即a =b =√2时取等号,所以1a +ab 2+b 的最小值为2√2 .5. [2020天津，5分]已知a >0 ，b >0 ，且ab =1 ，则12a +12b +8a+b 的最小值为4.[解析]依题意得12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4 ，当且仅当{ a >0,b >0,ab =1,a+b 2=8a+b , 即{ab =1,a +b =4 时取等号.因此，12a +12b +8a+b 的最小值为4.6. [2020江苏，5分]已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R ) ，则x 2+y 2 的最小值是45 . [解析]解法一 由5x 2y 2+y 4=1 得x 2=15y 2−y 25，则x 2+y 2=15y 2+4y 25≥2√15y 2⋅4y 25=45 ，当且仅当15y 2=4y 25,即y 2=12 时取等号，则x 2+y 2 的最小值是45.解法二4=(5x2+y2)⋅4y2≤[(5x2+y2)+4y22]2=254(x2+y2)2，则x2+y2≥4 5，当且仅当5x2+y2=4y2=2，即x2=310,y2=12时取等号，则x2+y2的最小值是45.7. [2019天津，5分]设x>0 ,y>0 ,x+2y=4 ,则(x+1)(2y+1)xy 的最小值为92.[解析]解法一由题意知x=4−2y，代入得(4−2y+1)(2y+1)(4−2y)y =−4y2+8y+5−2y2+4y=2+5−2y2+4y，当y=1时，−2y2+4y取得最大值2，此时原式取得最小值，所以(x+1)(2y+1)xy ≥2+52=92.解法二由题意知y=2−x2，代入得(x+1)(4−x+1)x(2−x2)=(2x+2)(5−x)(4−x)x=−2x2+8x+10−x2+4x=2+10−x2+4x，当x=2时，−x2+4x取得最大值4，此时原式取得最小值，所以(x+1)(2y+1)xy ≥2+52=92.解法三由题意知(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，因为x>0,y>0，所以4=x+2y≥2√2xy，即xy≤2，当且仅当x=2y=2时取“=”，所以(x+1)(2y+1)xy ≥2+52=92.8. [2019北京，5分]李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80% .①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付130元;[解析]顾客一次购买草莓和西瓜各1盒共需60+80=140（元），总价达到120元，又x=10，即顾客少付10元，所以需要支付130元.②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为15.[解析]设顾客买水果的总价为a元，当0≤a<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x=0；当a≥120时，则0.8(a−x)≥0.7a恒成立，即x≤18a恒成立，x≤(18a)min，又a≥120，所以(18a)min=15，所以x≤15.综上可知，0≤x≤15，所以x的最大值为15.考点20 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题组一、选择题1. [2022全国卷乙，5分]若x，y满足约束条件{x+y≥2,x+2y≤4,y≥0,则z=2x−y的最大值是( C )A. −2B. 4C. 8D. 12[解析]作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分，作出直线y=2x，平移该直线，当直线经过点(4,0)时，z最大，此时z=2×4−0=8，故选C．第1题图2. [2022浙江，4分]若实数x ,y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是( B )A. 20B. 18C. 13D. 6[解析]第2题图作出不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线3x+4y=0，由图知，当直线经过点A(2,3)时目标函数z=3x+4y取得最大值，即z max=3×2+4×3= 18，故选B．3. [2021全国卷乙，5分]若x ,y满足约束条件{x+y≥4,x−y≤2,y≤3,则z=3x+y的最小值为( C )A. 18B. 10C. 6D. 4[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=−3x,并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y=−3x+z在y轴上的截距最小，即z最小.解方程组{x+y=4,y=3得{x=1,y=3,即点A的坐标为(1,3).从而z=3x+y的最小值为3×1+3=6.故选C.【方法技巧】一般地，求目标函数z=ax+by+c的最值时，要注意两个问题：①准确判断直线l0：ax+by=0与可行域的边界所在直线的相对位置；②当b>0时，l0向上平移z增大，l0向下平移z减小，当b<0时，l0向上平移z 减小，l0向下平移z增大. 常见的目标函数还有：距离型——形如z=(x−a)2+(y−b)2；斜率型——形如z=y−bx−a.具体解题时，必须注意转化的等价性及几何意义．4. [2021浙江，4分]若实数x ,y满足约束条件{x+1≥0,x−y≤0,2x+3y−1≤0,则z=x−12y的最小值是( B )A. −2B. −32C. −12D. 110[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=2x并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时z取得最小值.由{2x+3y−1=0,x+1=0,得{x=−1,y=1,所以A(−1,1),z min=−1−12=−32.故选B.【方法技巧】线性规划问题中，目标函数的最值通常在约束条件表示的可行域的边界交点处取得.5. [2020浙江，4分]若实数x ,y满足约束条件{x−3y+1≤0,x+y−3≥0,则z=x+2y的取值范围是( B )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞)[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x +2y =0 ，平移该直线，易知当直线经过点A (2,1) 时，z 取得最小值，z min =2+2×1=4 ，再数形结合可得z =x +2y 的取值范围是[4,+∞) .6. [2019天津，5分]设变量x ,y 满足约束条件{x +y −2≤0,x −y +2≥0,x ≥−1,y ≥−1, 则目标函数z =−4x +y 的最大值为( C ) A. 2B. 3C. 5D. 6[解析]作出可行域如图中阴影部分所示.由z =−4x +y 得y =4x +z ，结合图形可知当直线y =4x +z 过点A 时，z 最大，由{x −y +2=0,x =−1,得A (−1,1) ，故z max =−4×(−1)+1=5 .故选C .二、填空题7. [2023全国卷甲，5分]若x ，y 满足约束条件{3x −2y ≤3,−2x +3y ≤3,x +y ≥1, 则z =3x +2y的最大值为15.[解析]根据不等式组作出可行域如图所示，作出直线3x +2y =0 并平移，由图可知，当平移后的直线经过点A 时，z 取得最大值.根据{3x −2y =3,−2x +3y =3,得{x =3,y =3,所以z max =3×3+2×3=15 .8. [2023全国卷乙，5分]若x ，y 满足约束条件{x −3y ≤−1x +2y ≤93x +y ≥7 ,则z =2x −y 的最大值为8.[解析]如图，作出可行域，为一封闭三角形区域（包含边界）.作出直线y =2x 并平移，当直线y =2x −z 过点B (5,2) 时截距−z 取得最小值，即z 取得最大值，所以z max =8 .9. [2020全国卷Ⅰ，5分]若x ,y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0, 则z =x +7y 的最大值为1.[解析]作出可行域，如图中阴影部分所示，由{x −y −1=0,2x +y −2=0 得{x =1,y =0, 故A (1,0) .作出直线x +7y =0 ，数形结合可知，当直线z =x +7y 过点A 时，z =x +7y 取得最大值，为1.第9题图10. [2020全国卷Ⅲ，5分]若x ,y满足约束条件{x+y≥0,2x−y≥0,x≤1,则z=3x+2y的最大值为7.[解析]根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.结合图形可知，当直线y=−32x+z2过点A(1,2)时，z取得最大值，且z max=3×1+2×2=7.第10题图11. [2019全国卷Ⅱ，5分]若变量x ,y满足约束条件{2x+3y−6≥0,x+y−3≤0,y−2≤0,则z=3x−y的最大值是9.[解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x−y= 0，并平移，当直线经过点(3,0)时，直线在y轴上的截距最小，此时z=3x−y取得最大值，且z max=9.。