基本不等式经典习题1、已知x,y 为正数，则22x y xyx y的最大值为▲ 2．实数a 、b 、c 满足2225abc，则2687abbc c 的最大值为▲ ．3、已知正实数x ，y 满足24310xyxy，则xy 的取值范围为▲．【答案】[1，83]4、设x,y 是正实数，且x+y=1，则2221x yxy 的最小值为▲ 455.（浙江理16）设,x y 为实数，若2241,x yxy则2x y 的最大值是．21056、（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是D.112A.3B.4C.解析：考察均值不等式7（2010四川理数）（12）设0ab c，则221121025()aac c aba ab 的最小值是（A ）2（B ）4（C ）25（D ）58、设0a ＞b ＞，则211aaba a b的最小值是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49（2013考湖南卷（理））已知222,,,236,49a b c a b c abc 则的最小值为______.【答案】1210、[2014·辽宁卷] 对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．16．－211．设正实数,,x y z 满足22340xxy yz ，则当xy z取得最大值时，212xyz的最大值为（A ）0（B ）1（C ）94（D ）312、若实数,a b 满足12ab a b ，则ab 的最小值为13.设实数,x y 满足2214xy，则232x xy 的最小值是▲．92。
基本不等式训练题一、题点全面练x 2－2x ＋1⎡1⎤1．已知f (x )＝，则f (x )在⎢，3⎥上的最小值为()x⎣2⎦14A. B.23C ．－1D ．0x 2－2x ＋11解析：选D f (x )＝＝x ＋－2≥2－2＝0，x x1⎡1⎤当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号．又1∈⎢，3⎥，x⎣2⎦⎡1⎤所以f (x )在⎢，3⎥上的最小值是0.⎣2⎦2．(2018·哈尔滨二模)若2＋2＝1，则x ＋y 的取值范围是()A ．[0,2]C ．[－2，＋∞)x y x y x y B ．[－2,0]D ．(－∞，－2]x ＋y 解析：选D 由1＝2＋2≥22·2，变形为2时取等号．则x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．1≤，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y4123．若实数a ，b 满足＋＝ab ，则ab 的最小值为()a bA.2C ．22B ．2D ．412解析：选C 因为＋＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，a b12由ab ＝＋≥21a ba b 2·＝22ab，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.31m 4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式＋≥恒成立，则m 的最大值为()a b a ＋3bA ．9C ．1831m 解析：选B 由＋≥，a b a ＋3bB ．12D ．24⎛31⎫9b a得m ≤(a ＋3b ) ＋⎪＝＋＋6.⎝a b ⎭a b9b a又＋＋6≥29＋6＝12，a b⎛当且仅当9b ＝a ，即a ＝3b 时等号成立⎫，⎪a b ⎝⎭∴m ≤12，∴m 的最大值为12.1925．正数a ，b 满足＋＝1，若不等式a ＋b ≥－x ＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，a b则实数m 的取值范围是()A ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]B ．(－∞，3]D ．[6，＋∞)19解析：选D 因为a ＞0，b ＞0，＋＝1，a ba b 9a b 9a ⎛19⎫所以a ＋b ＝(a ＋b ) ＋⎪＝10＋＋≥10＋29＝16，当且仅当＝，即a ＝4，b ＝⎝a b ⎭b a b12时，等号成立．由题意，得16≥－x ＋4x ＋18－m ，即x －4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，令f (x )＝x －4x －2＝(x －2)－6，所以f (x )的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.116．(2019·青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则＋的最小值x 3y 是________．11⎛11⎫解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则＋＝ ＋⎪(x ＋3y )＝2x 3y ⎝x 3y ⎭3y x 3y x 1111＋＋≥4，当且仅当＝，即x ＝，y ＝时取等号，故＋的最小值为4.x 3y x 3y 26x 3y 答案：47．若正数x ，y 满足4x ＋9y ＋3xy ＝30，则xy 的最大值为________．解析：30＝4x ＋9y ＋3xy ≥236x y ＋3xy ，即30≥15xy ，所以xy ≤2，2322当且仅当4x ＝9y ，即x ＝3，y ＝时等号成立．3故xy 的最大值为2.答案：222222222228．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x的最小值为________．x解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1.1⊗x x ＋x ＋11又f (x )＝＝＝1＋x ＋≥1＋2＝3，xxx当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3.答案：139．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．82解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1.x y又x ＞0，y ＞0，82则1＝＋≥28x y x y28·＝，得xy ≥64，xy82当且仅当＝，即x ＝16且y ＝4时，等号成立．x y所以xy 的最小值为64.82(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1，x y⎛82⎫则x ＋y ＝ ＋⎪(x ＋y )x y ⎝⎭2x 8y＝10＋＋≥10＋2y x2x 8y·＝18.y x2x 8y当且仅当＝，即x ＝12且y ＝6时等号成立，y x所以x ＋y 的最小值为18.3810．(1)当x ＜时，求函数y ＝x ＋的最大值；22x －3(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 183解：(1)y ＝(2x －3)＋＋22x －32－2x 的最大值．＝－ ⎛3－2x＋8⎫＋3.⎪3－2x ⎭2⎝23当x ＜时，有3－2x ＞0，2∴3－2x 8＋≥223－2x3－2x 8·＝4，23－2x3－2x 81当且仅当＝，即x ＝－时取等号．23－2x 2355于是y ≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.222(2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x－2x ＝2·x－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋A ．3C ．2B.3D.21的最小值为()b －1231解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋＝7，得t ＝，t 21112即log a b ＝，a ＝b ，所以a ＋2＝a －1＋＋1≥22b －1a －1当a ＝2时取等号．故a ＋1的最小值为3.b －12a －1＋1＝3，当且仅a －112212．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为()a b a －1b －2A ．25C.2B.32232D ．1＋4122a解析：选A 由a ，b 为正数，且＋＝1，得b ＝＞0，所以a －1＞0，a b a －1所以21212a －1＋＝＋＝＋a －1b －2a －12a a －12－2a －1≥22a －1·＝2，a －122a －112＝和＋＝1同时成立，a －12a b 当且仅当即a ＝b ＝3时等号成立，所以21＋的最小值为2.a －1b －233．函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为________．x3⎛3⎫解析：∵x ＜0，∴y ＝1－2x －＝1＋(－2x )＋ －⎪≥1＋2x⎝x ⎭－2x3＝1＋－x26，当且仅当x ＝－63时取等号，故函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为[1＋26，＋∞)．2x 答案：[1＋26，＋∞)(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与函数交汇]已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为()A ．16C ．12B ．8D ．14x ym n解析：选B 由题意，函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)，令x ＋4＝1，可得x ＝－3，代入可得y ＝－1，∴图象恒过定点A (－3，－1)．∵直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，3131∴＋＝2，即＋＝1.m n 2m 2nx ym n⎛31⎫913n 3m ∴3m ＋n ＝(3m ＋n ) ＋⎪＝＋＋＋≥2⎝2m 2n ⎭222m 2n时，取等号)∴3m ＋n 的最小值为8.3n 3m·＋5＝8(当且仅当n ＝m ＝22m 2n5．[与数列交汇]已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ，满足a m a n ＝a 4，21则＋的最小值为()*22m nA ．13B.2C ．29D.2解析：选A 根据题意，设{a n }的公比为q ，则a m ＝q ，a n ＝q ，a 4＝q .由a m a n ＝a 4得q 22m n 4m ＋2n ＝q ，8＝1.8∴m ＋2n ＝8，∴m ＋2n21*又m ，n ∈N ，∴＋＝m nm ＋2n m ＋2n 1n m 11＋＝＋＋＋≥＋28m 8n 42m 8n 421＝1，16当且仅当＝，即m ＝2n ＝4时取“＝”，2m 8n21∴＋的最小值为1.n mm n6．[与解析几何交汇]若直线mx ＋ny ＋2＝0(m ＞0，n ＞0)被圆(x ＋3)＋(y ＋1)＝1所截13得的弦长为2，则＋的最小值为()22m nA ．4C ．12B ．6D ．16解析：选B 圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直131⎛13⎫1⎛n 9m ⎫1线过圆心，所以－3m －n ＋2＝0，3m ＋n ＝2，所以＋＝(3m ＋n ) ＋⎪＝ 6＋＋⎪≥m n 2⎝m n ⎭2⎝m n ⎭2⎛6＋2⎝n 9m 13n 9m ⎫·⎪＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.m n m n m n ⎭x ＋2y －3≤0，⎧⎪7．[与线性规划交汇]已知x ，y 满足⎨x ＋3y －3≥0，⎪⎩y ≤1，a bz ＝2x ＋y 的最大值为m ，若14正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，则＋的最小值为__________．解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y 的几何意义为直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距最大，即目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎧⎪x ＋2y －3＝0，⎨⎪x ＋3y －3＝0，⎩解得M (3,0)，所以z 的最大值为2×3＋0＝6，即m ＝6，所以a ＋b ＝6，141⎛14⎫1⎛b4a⎫1⎛故＋＝ ＋⎪·(a＋b)＝ 5＋＋⎪≥ 5＋2 a b6⎝a b⎭6⎝a b⎭6⎝b4ab4a⎫3当且仅当＝，即b＝4，·⎪＝，a ba b⎭2a＝2时等号成立．3答案：2。
专项训练：基本不等式一、单选题1．若两个正实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞1时，≥2C．当x≥2时，x+有最小值2D．当0＜x≤2时，x﹣有最大值3．（题文）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是A．9B．10C．11D．124．的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为A．B．C．D．5．已知lg a＋lg b＝0，则lg(a＋b)的最小值为( )A．lg 2B．2 C．－lg 2D．26．若，，则的最小值为A．B．C．D．7．下列结论正确的是( )A．当，时，B．当时，的最小值为C．当时，D．当时，的最小值为8．下列各式中，最小值等于2的是（）A．B．C．D．9．已知，，，则的取值范围是( )A．B．C．D．10．若，则的最小值为（）A．-1B．3C．-3D．1A ． 1B ．C ．D ．12．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．13则f(x)=A ． 最大值B ． 最小值C ． 最大值1D ． 最小值114．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ． y=x+B ． y=sinx+（0＜x ＜π）C ． y=e x +4e ﹣xD ． y=+15x 的值为（ ） A ． 1 D ． 2 16．若实数 ， 满足，则 的最小值为A ．B ．C ．D ．17．下列函数中， y 的最小值为4的是 （ ） A ．C ． 18．在平面直角坐标系中，已知第一象限的点(),a b 在直线2310x y +-=上，则 23a b +的最小值为（ ） A ． 24 B ． 25 C ． 26D ． 2719，则()f x 取最小值时对应的x 的值为（ ）A ． 1- D ． 1 20．已知实数 ， 满足 ，其中 ，则 的最小值为（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 1221．若a ＞b ＞1,P=,Q =(lg a +lg b ),R =lg(),则 A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q b a lg lg ⋅212b a +二、填空题22．已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则ab的最大值为________．23．已知，则函数的最小值为______．24．若，则的最小值为__________．25________．26．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是__________．27__________．专项训练：基本不等式参考答案1．A【解析】【分析】根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．【详解】∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故选：A．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A 中不满足“正数”，C中“=”取不到．【详解】A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选：B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．3．D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：，三点共线，则：，据此有：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B【解析】【分析】根据三角形面积公式和不等式性质，可求得三角形面积的最大值。
基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\) 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 \(p\) 和 \(q\) 是大于 \(1\) 的实数且满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于任意 n 维实数序列\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\)，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots,x_n\)，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 \(a\) 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量，\(E(X)\) 为期望，\(V(X)\) 为方差。
5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 \(a > 0\) 和 n 维非负实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量。
