第三章正弦交流电

2. 复数的四种形式 (1)复数的代数形式 (2) 复数的三角形式 (3) 复数的指数形式 (4) 复数的极坐标形式
A = a + jb
A = r cosθ + jr sin θ
A = re
jθ
A = r∠θ
例 3.5
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。 解 A1的模 解 辐角
第3章 正弦交流电路 章
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 单一参数电路元件的交流电路 3.4 克希荷夫定律的相量形式 3.5 RCL无源二端网络电路分析 无源二端网络电路分析 3.6 正弦交流电网络的分析 3.7 正弦交流电路的功率与功率因数的提高
重要性和难点
重要性： 应用场合和范围。 难点： 1.正弦交流电中，增加了理想化元 件RCL，是电路更复杂。 2.由于正弦交流电电压和电流是时 间的函数，进行分析计算时，要具备 较高的数理基础。
+j a2 O a A
θ
a1 +1
3.2.1 复数及四则运算（一） 复数及四则运算（
1.复数 复数
A = a + jb
r= A = a 2 + b2 (θ ≤ 2π ) b θ = arctan a
＋j b P
r
θ
O a ＋1
a = r cos θ b = r sin θ
3.2.1 复数及四则运算（二） 复数及四则运算（
例
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
解 因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
u = 100 2 sin(ωt + 60°)V
3.1.3 相位、初相和相位差 相位、
相位： 相位：正弦量表达式中的角度 初相： 时的相位 初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差， 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。 值等于它们的初相之差。如
振幅 角频率 相位 初相位: 简称初相 初相位 简称初相 振幅、角频率和初相位称为正弦量的的三要素。 振幅、角频率和初相位称为正弦量的的三要素。 称为正弦量的的三要素
i Im
波形
θi O
θ 若零点在坐标原点左侧， i >0 θ 若零点在坐标原点右侧， i <0
ωt
3.1.1 周期频率与角频率
周期T 周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间 频率f 频率f：正弦量在单位时间内变化的次数 周期与频率的关系： 周期与频率的关系：
A 设1 = a1 + jb1 = r1 θ1 A2 = a2 + jb2 = r2 θ 2
O A1 ＋1 ＋j A1＋A2
A2 A1－A2
则 A1 ± A2 = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 )
图4.9 复数相加减矢量图
3.2.1 复数及四则运算（四） 复数及四则运算（
(2) 复数的乘除法
r1 = 42 + ( −3) 2 = 5
−3 θ1 = arctan = −36.9° 4
（在第四象限）
则A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9° 2 2 A2的模 r2 = ( −3) + 4 = 5 辐角
−4 θ 2 = arctan = 126.9° 3
(在第二象限)
则A2的极坐标形式为
A2 = 5 / 126.9°
例 3.6
写出复数A=100 30°的三角形式和代数形式。 解 ： 三角形式A=100（cos30°+jsin30°） 代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
3.2.1 复数及四则运算（三） 复数及四则运算（
3. 复数的四则运算 (1) 复数的加减法
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
+j Im O
ω θi
+1
i
Im
θi O
ωt
(a) 以角速度ω旋转的复数
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
正弦量
相量
i = I m sin(ωt + θ i ) = 2 I sin(ωt + θ i )
Im I= = 0.707 I m 2 Um U= = 0.707U m 2 U m = 220 2 = 311V
例
电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V 的单相交流电源上？
解： 因为 220V的单相交流电源为正弦电压, 其振幅值 为311 V, 大于其耐压值250V,电容可能被击穿, 所以不 能接在220 V的单相电源上。各种电器件和电气设备的 绝缘水平（耐压值）, 要按最大值考虑。
1 f = T
角频率ω 角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数 角频率与周期及频率的关系： 角频率与周期及频率的关系： 2π ω= = 2πf T
3.1.2 振幅与有效值
瞬时值： 瞬时值：正弦量任一瞬间的值 振幅： 振幅： 正弦量的最大值 有效值：让周期电流i和直流电流 有效值：让周期电流 和直流电流 分别通过两 和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R， 如果在相同的时间T内 个阻值相等的电阻 ， 如果在相同的时间 内 两个电阻消耗的能量相等， ，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流 I的值为周期电流 的有效值。 的值为周期电流i的有效值 的值为周期电流 的有效值。 注意：有效值电量必须大写， 注意：有效值电量必须大写，如：U、I 、
u = U m sin(ωt + θ u )
相位差为： 相位差为：
i = I m sin(ωt + θ i )
ϕ = (ωt + θ u ) − (ωt + θ i ) = θ u − θ i
由于正弦交流电具有周期性， 由于正弦交流电具有周期性，故要求 −180 ≤ ϕ ≤1，u 与 i 同相。 ϕ > 0 ，u 超前 i，或 i 滞后 u。 ϕ = ±π ，u 与 i 反相。 π ϕ = ± ，u 与 i 正交。
2
u、i u i i
u、 i
u
O (a) u、 i u 与 i 同相 u i
ωt
O (b) u、i u i u 超前 i
ωt
O (c) u 与 i 反相
ωt
O (d) u 与 i 正交
ωt
两种正弦信号的相位关系
同 相 位
i2
ϕ2 ϕ1
i1
i2
ϕ1 = ϕ2 t i 与 i 同相位 2 1
∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 > 0
& = I e jθ i = I ∠θ Im m m i
并称其为相量。 并称其为相量。
旋转矢量；
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 在纵轴上的投影值来表示。 在纵轴上的投影值来表示。
u = U m sin(ω t + ϕ )
ω
ϕ
Um
ωt
ϕ
矢量长度 =
3.1 正弦交流电的基本概念
随时间按正弦规律变化的电压、 随时间按正弦规律变化的电压、电流 称为正弦电压和正弦电流。表达式为： 称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
u = U m sin(ωt + θ u )
i = I m sin(ωt + θ i )
以正弦电流为例
i = I m sin(ωt + θ i )
Q = I RT
2
Q = ∫ i R dt
2 0
T
I RT = ∫ i 2 R dt
2 0
T
1 T 2 I= ∫0 i dt T 1 T 2 U= ∫0 u dt T
正弦量的有效值
1 I= T
∫
T
0
I sin ωtdt =
2 m 2
2 Im T
∫
T
0
1 − cos 2ωt dt 2
2 2 T Im T Im = ( ∫ dt − ∫ cos 2ωtdt ) = (T − 0) 0 0 2T 2T
(2) I=-5sin(314t+30°) =5sin(314t+30°+180°) =5sin(314t+210°)A 所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相 θi=210°。
例 3.2（一） （
已知选定参考方向下正弦量的波形图 如下图所示, 试写出正弦量的解析式。 解：
有效值
1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。 2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和直流I通过同一电阻R在相同时间 内所产生的热量相等，则这个直流电流I的数 值叫做交流I的有效值
有效值
一个周期内直流电通过电 阻R所产生的热量为： 交流电通过同样的电阻R， 在一个周期内所产生热量： 根据定义，这两个电流所 产生的热量应相等，即
ϕui = θ u − θ i = −125° − 45° = −170° 表明电压u滞后于电流i 170°。
例 3.4
i i1 π 2 0 i i2 π 3π 2 i2 2π i1
ωt
0
π 2
π
3π 2
2π
ωt
θ1＝θ2
(a)
(b)
i i1
i i2
i1
i2
0
π 2
π
3π 2π 2
ωt
0
π 2
π
3π 2
2π
ωt
3π 4
(c)
(d)
图4.6 例 4.5 图
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明 i1滞后于i2 90°。 (b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。 (c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。