基本置换定理
- 格式：doc
- 大小：12.81 KB
- 文档页数：2
- 1 - 基本置换定理
基本置换定理是数学中一个根据置换群的概念推导出来的结果，也是纯数学中最重要的定理之一。它是由法国数学家列昂卡内尔于1840年提出的。
它的定义如下：假设给定一个置换群G，如果在群G中存在正整数n，使得对任意置换σ∈G中任意n个元素的任意排列，原置换σ的n次幂σ^n是变换的单位元，则称该群G的最小正整数n为群G的基本置换量，并记作n(G)。
基本置换定理的声明为：一个置换群G的基本置换量n(G)，等于G的所有元素的置换的乘积。
例如，设G={σ1,σ2,σ3}是一个置换群，其中σ1=(1,2,3)，σ2=(2,3,1)，σ3=(3,1,2)，则G的基本置换量n(G)是6，即：
σ1*σ2*σ3=（1,2,3）*（2,3,1）*（3,1,2）=（1,3,2）^6是变换的单位元，因此n(G)=6。
基本置换定理的推导由里卡多-斯瓦尔斯定理等经典结论共同构成，如素数定理、凯莱定理、分解定理等。
基本置换定理的具体证明分两步：
第一步：证明一个置换群G的基本置换量n(G)存在。
证明：设G={σ1,σ2,…σn}是一个置换群，易知，它可以写为σ1*σ2*…*σn，令φ={σ1,σ2,…σn}，且它是G的子置换群。
令k=n(φ)，即φ中每个元素的基本置换量，根据素数定理，k必定存在。 - 2 - 第二步：证明一个置换群G的每一个元素的基本置换量n(G)等于G的所有元素的置换的乘积。
证明：根据里卡多-斯瓦尔斯定理，令G={σ1,σ2,…σn}，它的每个元素都具有相同的基本置换量k，即：
σi^k=1 (i=1,2,…,n)
又根据凯莱定理，可以把置换σ1,σ2,…σn都分解为1的乘积的形式，即：
σ1^k*σ2^k**σn^k=1
故G的每个元素的基本置换量n(G)等于G的所有元素的置换的乘积，完成证明。
因此，基本置换定理的证明工作完成，这个定理有着极为广泛的应用，比如在组合数学中可以应用来求解置换群和集合的一些性质，如果一个集合有多种置换，基本置换定理可以用来求出它们之间的关系，以及构造一个置换群。
总之，基本置换定理是纯数学中最重要的定理之一，它不仅有着广泛的应用，而且其证明让一些有关置换和集合性质的数学问题得到明确解答。
