基本不等式1的代换原理

1 基本不等式作业

1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是( )

A．有最大值－2 B．有最小值2

C．无最大值和最小值 D．无法确定

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )

A．400 B．100

C．40 D．20

3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．

4．已知f(x)＝12x＋4x.

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；

(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )

A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1

C．2x＋2－x D．x(1－x)

2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )

A．32－3 B．－3

C．62 D．62－3

3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是( )

A．200 B．100

C．50 D．20

4．给出下面四个推导过程：

①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；

②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx·lgy；

③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24a·a＝4；w w w .x k b 1.c o m

④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.

其中正确的推导过程为( )

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

2 5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )

A．2 B．22

C．4 D．5

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有( )

A．最大值64 B．最大值164

C．最小值64 D．最小值164

二、填空题

7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

经典题突破方法　高考数学２¨】８年：｛月　

仞Ｉ析基本不等武中　

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代换及应用　

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1. 已知a，b都是正数，则 a＋b2、a2＋b22的大小关系是

。

2.已知121(0,0),mnmn则mn的最小值是

3.已知：226xy， 则 2xy的最大值是＿＿＿

4 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处

5.已知正数xy、满足3xyxy，则xy的范围是 。

6. 给出下列命题：

①a,b都为正数时,不等式a+b≥2ab才成立。②y=x+1x的最小值为2。

③y=sinx+2sinx(02x)的最小值为22.

④当x>0时，y=x2+16x≥2316x,当x2＝16x时，即x=16,y取最小值512。其中错误的命题是 。

7.已知正数yx,满足12yx,求yx11的最小值有如下解法：

解：∵12yx且0,0yx. ∴242212)2)(11(11xyxyyxyxyx

∴24)11(minyx. 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．

8.已知141ab，且a>0，b>0,求a+b最小值。

9.已知x＞0，函数y＝2－3x－4x有

值是 .

10．设1x，则函数461yxx的最小值是

。

11.函数xxy4的值域是 。

7.已知a、b是正数，且ax＋by＝1(x，y∈R＋，求证：x＋y≥(a＋b)2.

12．某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：

高三一轮复习专题一基本不等式及其应用

【考点预测】

1.基本不等式

如果00ba，，那么2baab，当且仅当ba时，等号成立．其中，2ba叫作ba，的算术平均数，ab叫作ba，的几何平均数．即正数ba，的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若ab，R，则abba222，当且仅当ba时取等号；

基本不等式2：若ab，R，则abba2（或abba2），当且仅当ba时取等号.

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧与总结】

1.几个重要的不等式

（1）20,00,0.aaRaaaaR

（2）基本不等式：如果,abR，则2abab(当且仅当“ab”时取“”).

特例：10,2;2abaaaba（,ab同号）.

（3）其他变形：

①2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)

②222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)

③22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)

④重要不等式串：222,1122ababababRab即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2.均值定理

已知,xyR. （1）如果xyS(定值)，则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果xyP(定值)，则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：)0,0(2nmmnxnmx，当且仅当mnx时等号成立；

模型二：)0,0(2)(nmmamnmaaxnaxmaxnmx，当且仅当mnax时等号成立；