定积分基本定理

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定积分基本定理

定积分基本定理是微积分中的一条重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系，为我们求解定积分提供了重要的方法和技巧。本文将围绕定积分基本定理展开，介绍其基本概念、定理表述及应用。

一、定积分基本概念

定积分是微积分中的一个概念，它可以用来计算曲线下面的面积。给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上，我们可以将其曲线下方的面积进行划分，然后通过无限分割与极限的方法求得最终的结果。这个最终结果就是定积分。

二、定积分基本定理的表述

定积分基本定理是指：

如果函数f(x)在[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上就是一个定积分。即∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

这个定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上的定积分等于F(x)在区间端点处的值之差。

三、定积分基本定理的应用

定积分基本定理在实际问题中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：

1. 几何意义：定积分可以用来计算曲线下方的面积。例如，我们可以利用定积分来计算一个曲线所围成的封闭区域的面积。

2. 物理应用：定积分可以用来计算物理问题中的质量、体积、功等。例如，我们可以利用定积分来计算一个物体的质量，或者计算一个力的作用所做的功。

3. 统计学应用：定积分可以用来计算统计学中的概率密度函数下的概率。例如，我们可以利用定积分来计算某个随机变量在一定范围内取值的概率。

4. 经济学应用：定积分可以用来计算经济学中的总收益、总成本等。例如，我们可以利用定积分来计算某个企业在一定时间内的总收益。

5. 工程应用：定积分可以用来计算工程问题中的功率、能量等。例如，我们可以利用定积分来计算电路中的功率，或者计算流体中的能量损失。

定积分基本定理为我们求解定积分问题提供了一种简便的方法。通过找到原函数，我们可以将定积分转化为不定积分，从而利用不定积分的方法求解。定积分基本定理的应用范围广泛，几乎涵盖了各个学科领域，在实际问题中有着重要的作用。

在实际应用中，我们可以利用数值积分的方法来进行计算。数值积分是一种通过数值逼近的方法来计算定积分的近似值的方法，它适用于那些无法通过解析方法求解的定积分问题。数值积分方法有很多种，常见的有梯形公式、辛普森公式等。

定积分基本定理是微积分中的一个重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系，为我们求解定积分提供了重要的方法和技巧。通过掌握定积分基本定理，我们可以更好地理解和应用定积分，解决各种实际问题。

数学《定积分》讲义

第九章定积分

1 定积分的定义

一、背景

1、曲边梯形的面积

1()niiiSfx

2、变力所做的功

1()niiiWFx

上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.

二、定积分的定义

定义 1 设闭区间,ab内有1n个点，依次为0121nnaxxxxxb，其把,ab分成n个小区间1,,1,iiixxin.称这些点或小闭子区间构成,ab的一个分割，记为01,,nTxxx或12,,n，小区间i的长度为1iiixxx，同时记1maxiinTx，称为分割T的模(或细度). 注1 ||||,1,ixTin. 因而，||||T可用来刻画,ab被分割的细密程度，同时，若T给定，则||||T确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.

定义 2 设f为,ab上的函数,对,ab上的分割12,,nT,任取点,ii

1,in，作和式

1()niiifx，

称为函数f在,ab上的一个积分和，也称为Riemann和.

注2. Riemann和与分割T及i的取法有关. 对同一个分割T，相应的Riemann和有无穷多个.

定义 3 设f是,ab上的函数，J为一个确定的数. 若对任给正数0，存在正数0，使得对,ab上的任何分割T，以及其上任选的i，只要T，就有1()niiifxJ，则称f在,ab上可积(或Riemann可积) ，数J称为f在,ab上的定积分(或Riemann积分) ，记作()baJfxdx. 其中f称为被积函数，x称为积分变量，,ab称为积分区间，,ab分别称为积分的下限、上限.

定积分及微积分基本定理练习题

定积分及微积分基本定理应用（训练案）

【目标要求】

1. 巩固定积分概念和性质的基础上熟练掌握微积分基本定理的计算方法

2．在相应的练习题目中加深对微积分基本定理中牛顿—莱布尼茨公式的应用；

3．激情投入，感受数学语言的文字之美；

一、基础练习题

1．计算20sin2x2dx＝ ( )．

A.π4 B.π2－1 C．2 D.π－24

2．(2010·山东日照模考)a＝02xdx，b＝02exdx，c＝02sinxdx，则a、b、c的大小关系是( )

A．a

3．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )

A.112 B.14 C.13 D.712

4．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为( )

A．4 B.43 C.185 D．6

5．(2010·湖南省考试院调研) 11- (sinx＋1)dx的值为( )

A．0 B．2 C．2＋2cos1 D．2－2cos1

6．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( )

A．2π B．3π C.3π2 D．π

二、综合练习题

1．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成

立，则a＝________.

2．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．

3．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是

三、拓展练习题

求下列积分值：