参赛密码（由组委会填写）第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛学校空军工程大学参赛队号队员姓名1.唐茂2.史密3.李世杰参赛密码（由组委会填写）第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛题目机动目标的跟踪与反跟踪摘要：为解决机动目标的跟踪与反跟踪问题，本文综合运用航迹拟合、数据关联、滤波原理，建立了目标的运动模型，并基于自适应卡尔曼滤波原理建立了目标跟踪模型。
运用所建立的模型进行仿真，估计和预测了目标机动情况，提出了跟踪与反跟踪策略。
针对问题一，首先将雷达量测数据按照坐标转换公式统一到地心地固坐标系中，采用多项式拟合方法估计目标初始状态；其次综合考虑，确定建立Singer模型来跟踪目标运动状况；最后设计了卡尔曼滤波器估计目标的状态信息，得到目标的航迹。
针对问题二，进行降维处理简化模型，通过数据关联算法分离测量信息，确定测量数据属于哪个目标；依据两个目标的测量数据分别进行卡尔曼滤波得到两个目标各自的航迹图；分析了当雷达一段时间只有一个回波点迹时，怎样使得航迹不丢失。
针对问题三，依据Data3中的数据描点做出点迹图；由于目标运动轨迹较为简单，采用多项式拟合得到目标的拟合航迹一。
再依据题目要求，采用问题一所建立的跟踪模型进行处理，得到拟合航迹二。
分别对两条航迹进行二次差分得到目标加速度随时间变化规律，并作对比。
针对问题四，依据最小二乘估计，对问题三得到的拟合航迹一做预测；目标着落点即预测航迹与地平面的交点，联立方程求此着落点在以雷达为原点的站心切平面坐标系中坐标。
最后对比分析两种预测算法的复杂度，发现复杂度随预测步数指数增加。
针对问题五，建立两种机动动作模型；分析了问题一的跟踪模型对采用以上机动动作的目标的跟踪能力；确定了跟踪策略；采用交互式多模型算法对问题一建立的模型进行完善；调整了跟踪策略。
关键词：目标跟踪；数据关联；卡尔曼滤波；Singer模型；数据拟合；实时预测一、问题重述目标跟踪[1]是为了维持对目标当前状态的估计，同时也是对传感器接收到的量测进行处理的过程（多源信息融合），它在军事和民用领域都已经得到了广泛的应用。
同时，被跟踪目标为了反跟踪往往会进行机动或释放干扰，这对目标跟踪技术提出了更高的要求。
本题介绍了机动目标跟踪的难点以及目标跟踪处理流程，给定了三组机动目标的测量数据以及雷达坐标和测量误差。
其中Data1给定了多个雷达站在不完全相同时刻获得的单个机动目标的测量数据；Data2给定了某个雷达站获得的两个机动目标的测量数据；Data3给定了某个雷达站获得的空间目标的测量数据。
根据已知内容，需要解决的问题如下：问题一：1）根据Data1.txt中的数据，分析目标机动发生的时间范围，统计目标加速度的大小和方向。
2）建立对该目标的跟踪模型，利用多个雷达的测量数据估计出目标的航迹。
问题二：1）根据Data2.txt中的数据，完成各目标的数据关联，形成相应的航迹，并阐明所采用或制定的准则。
2）通过处理保证若出现雷达一段时间只有一个回波点迹的状况，可使得航迹不丢失。
问题三：1)根据Data3.txt中的数据，分析空间目标的机动变化规律(目标加速度随时间变化)。
2)若采用第1问的跟踪模型进行处理，结果会有哪些变化？问题四：对第3问的目标轨迹进行实时预测，估计该目标的着落点的坐标，给出详细结果，并分析算法复杂度。
问题五：1）Data2.txt数据中的两个目标已被雷达锁定跟踪。
分析该目标应采用怎样的有利于逃逸的策略与方案来应对之前所建立的跟踪模型。
2）分析为了保持对目标的跟踪，跟踪策略又应该如何相应地变换。
二、模型假设1，假设雷达均处在正常工作状态。
2，假设电磁波在传播过程中符合几何光学定律。
3,假设目标的机动符合现有的技术水平。
3，假设目标在飞行过程中不会发生坠毁等突发状况。
4，忽略多径效应对测量结果的影响。
三、基本符号说明四、问题一模型的建立与求解4.1问题一分析Data1给定了多个雷达站在不完全相同时刻测量获得的单个机动目标的距离、方位、俯仰和时间数据信息。
由于雷达量测值为目标距离方位和俯仰，为使得观测数据更直观，并简化下文所建立模型的状态方程和量测方程，需要进行坐标转换以统一坐标系：首先将距离，方位和仰角的极坐标信息转换到站心切平面坐标系中。
题目中站心切平面坐标系为：原点设为雷达中心，传感器中心点与当地纬度切线方向指向东为x 轴，传感器中心点与当地经度切线方向指向北为y 轴，地心与传感器中心连线指向天向的为z 轴，目标方位指北向顺时针夹角（从y 轴正向向x 轴正向的夹角，范围为0~360°），目标俯仰指传感器中心点与目标连线和地平面的夹角，据此，极坐标转换为站心坐标转换公式[2]为：cos sin cos sin sin x r H A y r H A z r H =⎧⎪=⎨⎪=⎩(4.1) 式中(,,)x y z 是目标在站心切平面坐标系中的坐标，r 为目标量测距离，H 为目标俯仰角，A 为目标方位角。
依据坐标转换得到的数据，在Matlab 中编程（见附件），直接呈现该机动目标的量测数据，如下图所示：图4.1雷达一量测值 图4.2雷达二量测值 图4.3雷达三量测值第二步将目标的站心切平面坐标转换到地心地固坐标系中。
公式为：sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0sin i i i X X B L L B L x Y Y B L L B L y Z Z B B z ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4.2) 式中(,,)X Y Z 为目标在地心地固坐标系下的坐标，(,,)i i i X Y Z 为第i 个雷达在地心地固坐标系下的坐标，B 为大地纬度，L 为大地经度。
所得结果如下所示： 图4.4雷达数据合成图4.2问题一跟踪建模建立与求解所谓估计就是根据测量得到与状态()X t 有关的数据()()*()()Z t H t X t V t =+解算出()X t 的计算值ˆ()X t 。
对目标的跟踪过程本质上是根据雷达的量测数据估算目标真实位置的过程。
其中，最小二乘估计、最小方差估计、极大后验估计、极大似然估计、线性最小方差估计和维纳滤波都是几种最优估计算法[3]。
考虑到滤波算法的复杂程度和目标运动特征未知的情况，本组决定采用卡尔曼滤波的方法。
下面简述卡尔曼滤波模型的构建步骤：设系统k 时刻的状态[]k X xx x y y y z z z =&&&&&&&&&,个分量分别表示目标三维坐标下的位置，速度和加速度。
状态方程为:,11k k k k k X F X W --=+(4.3)量测方程为：k k k k Z H X V =+(4.4)其中k V 为量测噪声，k W 为系统噪声。
设量测噪声方差阵k R ，滤波步骤如下： 状态一步预测：1,11ˆˆk k k k k X F X ---=(4.5)状态估计：11ˆˆˆ()k k k k k k k X X K Z H X --=+-(4.6)滤波增益为：111()T T k k k k k k k k kK P H H P H R ---=+(4.7) 一步预测均方误差：1,11,1Tk k k k k k k P F P F ----=(4.8)估计均方误差：1()k k k k k P I K H P -=-(4.9)只要给定初始值ˆo X 和0P ，根据k 时刻的量测k Z 就可以推算k 时刻的状态ˆkX 。
通过以上分析，为了完整卡尔曼滤波方程，需要获得目标初始的状态信息和目标机动的状态方程，既确定目标运动模型。
4.2.1目标初始值的估计卡尔曼滤波是一种递推算法，启动时必须先给定初值0ˆX 和0P 。
如果选取00ˆX X m =，则滤波过程中估计始终是无偏的[4]，即[]ˆk k E X E X ⎡⎤=⎣⎦。
如果滤波的起始时刻有量测量0Z ，根据卡尔曼状态估计和滤波增益，0ˆX 为： 000010000000ˆ()()T T X X X X X m C H H C H R Z H m -=++-(4.10) 事实上，如果系统是一致完全随机可控和一致完全随机可观测的，则卡尔曼滤波器一定是一致逐渐稳定的。
随着滤波步数的增加，初值0ˆX 和0P 对滤波值的逐渐减小甚至消失，估计逐渐趋向无偏。
然而在实际求解中，很难准确知道目标在初始时刻的状态信息（包括目标位置、速度和加速度）。
为使滤波顺利进行，采用拟合[5]量测信息的方法估计目标初始状态。
滤波的稳定性以及拟合算法的可行性将在下节做具体阐述。
由于只需要知道目标运动初始状态，这里拟合雷达1的量测值，得到如下图所示的运动轨迹：图4.5目标拟合轨迹投影通过差分运算可以得到目标初始速度和加速度的估算值：图4.6目标拟合速度投影 图4.7目标拟合加速度投影由上图可以得到滤波算法的初始值：下面根据误差理论[6]确定卡尔曼滤波器的估计均方误差k P 由雷达极坐标测量误差转换为站心切平面误差时cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos x r H A y r H A z r H x H A r r H A A r H A H y H A r r H A A r H A H z H r r H H =⎧⎪=⎨⎪=⎩∆=∆+∆-∆⎧⎪∆=∆-∆-∆⎨⎪∆=∆+∆⎩(4.11)化简得:cos sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin 0cos x H A r H A r H A r y H A r H A r H A A z H r H H ∆-∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪∆=--∆ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪∆∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4.12)同理可得:cos sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin 0cos x H A r H A r H A r y H A r H A r H A A z H r H H ∆-∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪∆=--∆ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪∆∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭&&&&&&(4.13) cos sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin 0cos x H A r H A r H A r y H A r H A r H A A z H r H H ∆-∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪∆=--∆ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪∆∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭&&&&&&&&&&&&(4.14)令cos sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin 0cos H A r H A r H A P H A r H A r H AH r H -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭(4.15)PI PP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4.16)误差向量为：(,,,,,,,,)T x x x y y y z z z ∆=∆∆∆∆∆∆∆∆∆&&&&&&&&&(4.17)12cov()()T T I I σ-∆∆=(4.18)其中()2222222222Tr A Hr A Hr A H σσσσσσσσσσ=(4.19)可取12cov()()T T I I σ-∆∆=作为初始状态，即: 0cov()TP =∆∆(4.20)4.2.2目标运动模型的确定通过对机动目标跟踪算法的学习，本组决定采用自适应跟踪算法。
