高中数学解题方法研究策略

数学题解题思路自我总结策略数学是高中阶段难点科目，根据本人三年学习经验总结：在学习数学过程中，学习基础理论知识后，要将相关知识应用在解题过程中。

训练解题能力，对持续练就数学逻辑思维能力及问题分析能力、问题解决能力均具有一定重要意义。

进入高中时期，若想切实增强数学解题能力，绝非采用“题海战术”就能取得预期效果的，而是要在解题过程中产生数学思想，发散数学思维，以此提高数学素养。

锻炼数学解题能力，对整个学习生涯中的数学知识学习均具有重大的价值。

一、调节头脑思绪，尽早进入数学情境在面对数学题时，需要扫出所有杂念，确保大脑进入空白且放松的状态。

设置数学情境，不断沉淀数学思维，以便能提前进入解题者的角色。

在解题过程中，要学会使用用具，避免进入解题误区，防止出现知识混淆的现象。

注重减缓压力，尤其在面对复杂的数学难题时，切记不可被“敌人”恐吓住，而要持续增加自己的信心，平稳且主动的应对数学难题。

二、集中自身精力，避免焦虑怯场问题若想成功解决数学习题，解题过程中一定要保持专注力，而且要保障自己的神经始终处于紧绷且亢奋的状态，这样才能加速神经联系，更有利于积极解题。

高度集中注意力，保持积极的思维。

然而，若过度紧张，很容易产生负面效果，出现怯场问题，焦虑现象较为普遍，会在一定程度上制约数学思维的发展。

所以，我们在解题的过程中，一定要保持清醒的头脑以及愉快的心理状态。

三、注重沉着应战，保持振奋解题精神优良的开端，是成功解题的一半，在解决数学习题的心理角度来看，这一点非常重要。

在面对数学习题时，不可急于求成，也不可立即下手解题，而是要通读习题题干，找寻高价值内容。

如果在面对一整套数学试卷时，拿到试卷后，需要摸清题情，先选择最有信心的题目进行解答，以保障自己在内心深处产生“旗开得胜”的心理意识。

只有产生良好的开端，才能持续宝保留振奋精神，更能鼓舞自己的信心，从而进入优良的解题思维状态，这样才能保证后期做一题得一题，不断激励自我，在稳步解题过程中提高解题质量。

高中数学课题详细研究报告摘要本报告深入研究了高中数学中的一个重要课题，旨在探讨和分析该课题的核心概念、解题策略、应用场景以及相关教学方法。

通过对该课题的全面剖析，本报告为高中数学教育者、学生及爱好者提供了一份详尽的参考资料，以期提高数学素养，优化教学效果。

1. 课题背景随着我国教育事业的不断发展，高中数学课程在培养学生逻辑思维、抽象概括能力以及创新能力等方面发挥着重要作用。

本报告选取的高中数学课题，旨在让学生在掌握基本理论知识的基础上，运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

2. 课题分析2.1 核心概念课题涉及的核心概念包括：1. 定义：对课题涉及的基本概念进行详细阐述，如函数、导数、极限等。

2. 性质：分析核心概念的性质，如单调性、连续性、奇偶性等。

3. 关联概念：介绍与核心概念相关的衍生概念，如反函数、导数的应用等。

2.2 解题策略针对课题的解题策略包括：1. 基础知识运用：运用数学基础知识解决简单问题。

2. 公式运用：运用相关公式解决问题，如导数公式、积分公式等。

3. 数形结合：利用图形辅助解题，提高解题效率。

4. 逻辑推理：运用逻辑推理方法，解决复杂问题。

2.3 应用场景课题在不同领域的应用场景包括：1. 物理：如速度、加速度的计算等。

2. 化学：如反应速率与化学平衡的计算等。

3. 经济学：如边际效益、成本函数的分析等。

4. 生活：如优化路线、购物优惠策略等。

2.4 教学方法针对课题的教学方法包括：1. 课堂讲解：教师通过举例、讲解，让学生理解核心概念和解题策略。

2. 练习巩固：学生通过课后练习，巩固所学知识。

3. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决问题，提高合作能力。

4. 课外拓展：引导学生阅读相关资料，拓宽知识面。

3. 结论与建议通过对该课题的深入研究，我们得出以下结论：1. 掌握核心概念是解决问题的关键。

2. 运用解题策略，可以提高解题效率。

3. 联系实际应用场景，有助于提高数学素养。

高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立。

某函数地定义域为全体实数R 。

●某不等式地解为一切实数。

❍某表达式地值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数地性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生地综合解题能力,在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用.因此也成为历年高考地一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数地奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数地图象.二、恒成立问题解决地基本策略<一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min)]([)(x f m D x x f m≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x>地最大值或者最小值问题,我们可以通过习题地实际,采取合理有效地方法进行求解,通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f<x）地最值.这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现地试卷类型,希望同学们在日常学习中注意积累.(二>、赋值型——利用特殊值求解等式中地恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1>4+b 1(x+1>3+b 2(x+1>2+b 3(x+1>+b 4定义映射f：(a 1,a 2,a 3,a 4>→b 1+b 2+b 3+b 4,则f：(4,3,2,1>→(>A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4=0,故选D例2．如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线x=8π-对称,那么a=<）.A .1B .-1C .2D .-2.略解：取x=0及x=4π-,则f(0>=f(4π->,即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三）分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x>=ax+b(a≠0>,若y=f(x>在[m,n]内恒有f(x>>0,则根据函数地图象<直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x><0,则有)(0)(<<n f m f 例2．对于满足|a|≤2地所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立地x 地取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a>=(x-1>a+x 2-2x+1,则f(a>在[-2,2]上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1>∪(3,+∞>此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上地图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方<或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体地方法,在今后地解题中自觉运用.<1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0>大于0恒成立,则有00<∆>且a <2）若是二次函数在指定区间上地恒成立问题,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解.例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 地定义域为R,求实数a 地取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数地讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立,所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,f(x>地定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：()y f x =地函数图像都在X 轴及其上方,如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 地最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a> a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()(3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 地取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号地左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：<运用根地分布）2—2⑴当-<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥2∴a ≤2a ∉(4,+∞)∴a 不存53在.⑵当-2≤-≤22a,即-4≤a ≤4时,2g (a )=f (a 2)=--a +3≥24a ,2-22-2≤a ≤2－22-2∴-4≤a ≤2⑶当->2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥2,2a∴a ≥-5∴-5≤a <-4综上所述-5≤a ≤22-2.此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定地情形,对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5）,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量地范围已知,另一个变量地范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边,则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立,则g(a><f(x>min 。

新高考数学多选题解题方法探究策略【摘要】随着高考改革的推进，包括多选题、结构不良题型在内的更多新的题型出现在高考数学考卷中。

多选题具有更强的选拔功能，能有效提高试卷的区分度，在新高考全国卷的选择题中有一定比例。

本文将分析数学新高考中多选题的解法方法及命制策略。

【关键词】数学;新高考;多项选择题;解题方法;命制一、研究背景(一)高考引入多选题的改革背景十八届三中全会审议通过的《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》中提出:逐步推行普通高校基于统一高考和高中学业水平考试成绩的综合评价多元录取机制，探索全国统考减少科目、不分文理科、外语等科目社会化考试一年多考。

这一政策的提出开启了高考改革的征程，在新高考文理不分科的大背景下，对以往区分文理的数学科目提出了更高的选拔区分要求。

因此，新高考背景下的数学命题需要创新试题形式、优化试题结构以适应不分文理条件下的数学选拔功能。

(二)多选题的特点和功能多选题是对传统单选题的优化创新，在同样无需解题过程的前提下，每个多选题还具有比单选题更大的考查容量，更丰富的数学思想考查，需要更广的解题思路，综合性加强，难度增大，一道多选题就可以对学生进行层次的区分，具有更强的选拔功能，能有效提高试卷的区分度。

(三)多选题引入对学生的影响多选题的考试说明中明确提出“有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分”。

因此，多选题的引入，一方面，为不同层次数学基础的学生均提供了发挥空间，使能力较弱的考生也能通过“部分选对”得到3分，降低了不分文理对偏文科学生的影响;另一方面，由于多选题对学生能力的考查更加深入，对学生的推理、运算、应用等各方面能力都具有较高的要求，学生需要有完备的知识体系、活跃的思维能力、细心的计算习惯才有可能拿到满分，对于尖子生是把双刃剑，是好事，也是坏事，可能稍有不慎就可能5分变0分。

二、多选题命题策略(一)命题方向数学多选题的命制以高考评价体系为导向，以考查4类学科素养(理性思维、数学应用、数学探究、数学文化)、5种关键能力(逻辑思维、运算求解、空间想象、数学建模、创新)为目标，以《普通高中数学课程标准(2017年版)》为线索，将高中数学中预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动这几个重要主题中的若干核心概念、基本原理、基本方法进行系统考查。

高中数学19种答题方法 6种解题思想1.函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用三合一定理。

2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接心心距创造直角三角形解题；13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；18.平移与平移有关的，注意口诀左加右减，上加下减只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究分类讨论思想是一种在高中数学解题中十分常见的思维方式，它能够帮助学生更加系统、全面、深入地分析问题，从而得出更加准确、严谨的解答。

一、分类讨论思想的概念及特点分类讨论指的是将问题分成若干个独立的情况，并对每种情况进行分析，最终得出全面、深入的结论的思维方式。

分类讨论思想的特点是：有目的性、有系统性、有针对性、有全面性、有严谨性。

此外，分类讨论还要注意分类的互斥性和完备性。

1. 函数解析式的确定。

对于一些比较复杂的函数，可以采用分类讨论的思想来确定它的解析式。

例如，已知函数f(x)如下：$$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geqslant 0\\2x+1,&x<0\\\end{cases}$$我们可以发现，这个函数在x=0处存在“分界点”，如果使用同一种方法求解，就会产生问题。

因此，我们可以采用分类讨论的思想，将问题分为x≥0和x<0两种情况，对每种情况分别求解。

2. 组合数学问题。

组合数学中很多问题也可以使用分类讨论的思想进行求解。

例如，假设有n个格子要涂黑，但是其中的一些格子不能被涂黑。

我们可以考虑将格子分成两类：可以涂黑和不能涂黑的。

然后，对于可以涂黑的格子，我们可以使用组合数学的知识求解涂黑的方法数；对于不能涂黑的格子，我们可以先对它们进行计数，再将它们从总数中减去，得出最终的结果。

3. 几何问题。

几何问题中也常常需要使用分类讨论的思想。

例如，对于一个梯形，如果我们要计算它的面积，需要先确定底边长和高，这就需要对梯形进行分类讨论。

具体来说，我们可以将梯形分成上底和下底相等和上底和下底不相等两种情况，分别求解它们的面积，最终将两者相加即可得到梯形的面积。

三、分类讨论思想的教学策略针对分类讨论思想的教学，我们可以采用以下几种策略：1. 举例法。

在讲解分类讨论思想时，可以通过举一些对应的数学问题进行解析，让学生通过对具体问题的分析，加深对分类讨论思想的理解。

高中数学解题方法研究策略一、加强基础知识的学习和掌握要想在解题过程中游刃有余，首先要加强基础知识的学习和掌握。

在学习数学的过程中，学生们要牢固掌握基础概念和基本定理，建立起扎实的数学知识体系。

只有在基础知识扎实的基础上，才能更好地理解和解决数学问题。

二、深入理解题目背后的思想和原理解题方法的研究策略之一是深入理解题目背后的思想和原理。

高中数学题目的背后往往蕴含着一定的数学规律和思维逻辑，只有深入理解这些规律和逻辑，才能更好地解题。

学生们在解题时要善于思考、分析题目，理解题目的本质和难点，从而找到解题的思路和方法。

三、掌握多种解题方法和技巧在解题方法的研究策略中，掌握多种解题方法和技巧是非常重要的。

高中数学学科内容繁多，涉及范围广泛，因此在解题时要善于运用各种解题方法和技巧。

代数题目可以运用方程、不等式、函数等方法解题；几何题目可以运用图形、相似三角形、投影等方法解题。

只有在掌握了多种解题方法和技巧的基础上，才能更加灵活地解决各种数学问题。

四、注重练习和实践解题方法的研究策略中，注重练习和实践同样是至关重要的。

在学习数学的过程中，练习和实践是不可或缺的环节。

只有在大量的练习和实践中，才能逐渐熟悉和掌握各种解题方法和技巧，提高解题的能力和水平。

学生们在学习数学时，要注重练习，多做各种类型的数学题目，不断提高解题的能力。

五、合理利用学习资源和工具解题方法的研究策略中，合理利用学习资源和工具同样是非常重要的。

随着科技的不断发展，学生们可以利用各种学习资源和工具来辅助解题。

可以利用互联网查找相关数学知识和解题方法；可以利用数学软件来辅助解题和验证答案；还可以参加各种数学比赛和活动，拓展解题思路和方法。

只有在合理利用学习资源和工具的基础上，才能更好地应用各种解题方法和策略。

六、与同学和老师多交流和讨论在解题方法的研究策略中，与同学和老师多交流和讨论同样是至关重要的。

在学习数学的过程中，与同学和老师进行交流和讨论，可以帮助学生们更加深入地理解和掌握解题方法和策略。

新高考背景下高中数学多选题解题的策略研究摘要：新高考大背景下，高中数学多选题已经成为分数占比较多的题目，并且相应的题型也得到了进一步的升级。

为了帮助学生在高考的时候能够更加快速、准确的解答这类题目，教师必须有针对性的采取措施加以提高学生的解题能力。

据此，本文将主要围绕新高考背景下高中数学多选题解题的策略展开深入的研究和讨论。

关键词：新高考背景下；高中数学多选题解题策略；研究引言：高考数学中，学生对于选择题的解题效率对考试成果起到了关键性的作用。

高考数学试卷当中，不变的特性就是考题涉及的知识点范围广、题目数量多，在这样一种情况下，学生的解题过程必须是速度快、质量高。

并且多选题的分布位置也相对较前，学生做这些题过程中形成的心态对于后半段考试也会产生很大的影响。

接下来，将重点介绍几种新高考背景下，高中数学多选题解题的有效策略，以便于未来学生都能在高考数学中取得佳绩。

一、新高考背景下高中数学多选题解题策略研究的重要性新高考背景下，高考数学的题型得到了进一步的升级，题型也具有多样性。

而多选题在高考数学当中占据的比例也是不容忽视的，多选题同时也是学生非常容易失分的地方，一个选错，则都不得分，大大提高了学生的得分门槛，对于学生知识点掌握的精准度也是有了更高的要求。

为了更好的提高学生的高考数学成绩，教师必须针对多选题这一模块展开专门的教学。

良好的策略在解题过程当中可以有效的帮助学生快速、高效的解题，是学生高考数学取胜的重要媒介，只有在掌握一定有效的策略时，学生才能更有针对性的解题。

二、新高考背景下高中数学多选题解题策略（一）直接法直接法在高考数学选择题解题当中属于比较保守、稳定的方法，在数学选择题的解题过程当中，多数时候都是采取这一方法进行解题，正确率也是比较有保证的。

而在高考数学当作直接法涉及到的数学题型相对来说也是比较固定，学生可以在看到题目之后，根据题目的性质以及涉及到的知识点来确定是否采用直接法进行解题。

第一章 更高更妙的高中数学解题策略深化能力立意，突出能力与素质的考查始终是高考数学命题的导向与主题,数学《考试大纲》明确要求:“在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性;精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题;也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题”.综观近几年高考的数学试卷，我们也可以发现这样一个共同的特征:每份试卷在保证一定量的基础题的同时，也加大了能力题的考查.笔者认为，这也将成为今后命题的一大趋势，因为如此设计的优势在于可以让大部分学生获得基础分数，保证全省高考平均分达到一定的标准，又可满足部分优秀学生“英雄有用武之地”，冲击高分，脱颖而出.因此，要冲击一流大学，必须搞定能力题.关于能力题似乎没有一个标准的定义，一般认为，一份试卷中最后两题就是能力题，有时也称把关题、综合题.从高考试卷分布来看，能力题一般占全卷总分值的五分之一.能力题往往具有知识容量大、能力要求高等特点，它能够综合考查数学知识、数学思想与数学方法、对考生灵活运用所学知识解决实际问题的能力以及创新能力的要求较高.因此，解高考能力题没有一种“放之四海而皆准”的统一方法.但即使这样，我们还是可以从把握热点、突破难点、夯实基础、消除思维定式与适当延伸拓展等方面对其进行研究，从而掌握解决策略，增强应试信心.1.1 夯实基础知识，争取“拾级而上”夯实基础知识，掌握基本方法是解决能力题的前提.但夯实基础并不意味着搞题海战术.有人认为，数学教学最简单的方法是把大量的复习资料抛给学生，让学生在解题中自我领悟，教师只需评判结果，对对答案.笔者认为这是一种不负责任的教法，实践也证明了这是一种收效甚微的低水平的教学，是应该摒弃的.2003年的高考数学被认为是十几年来综合题最多、最难的.然而，笔者的一位女学生却考了满分(当年全省仅有三位同学获得高考数学满分).她在高三复习时并没有做大量的课外习题，而是非常认真地拿起教材，逐字逐句地阅读，一道一道地解决书本上的题目.这种学习方法值得我们深思与借鉴.因为很多时候，我们是“只在此山中，云深不知处”.另外，复习中我们发现很多同学数学成绩徘徊不前的一个重要原因就是“急功近利”，不能沉下心来认真研读教材，从教材中明了数学概念，领会数学思想，掌握数学方法.事实上，即使是高考试题中的能力题也不是空中楼阁，命题者往往会“心太软”，特意设计一些“梯子”，只要熟练掌握教材内容，熟悉常用方法，解答时就可“拾级而上”，甚至渐入佳境，直捣黄龙.2017年高考浙江卷的第15题是一道向量题，也是一道能力题，基础扎实的同学可以借助多种知识与方法来解决. 【例1】（2017年高考浙江卷第15题）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，求a b a b ++-的最小值和最大值． 解法一 运用坐标与三角换元的思想来解．不妨设()1,0a =，()2cos ,2sin b θθ=，则a b a b ++-==令u =[]21016,20u =+．所以a b a b ++-的最小值是4，最大值是 解法二 借助最值函数与绝对值不等式的性质．()()()(){}max,4a b a b a b a b a b a b ++-≥++-+--=，当且仅当a ，b 共线时等号成立． 由Cauchy 不等式有()()()222222420a b a b a b a ba b++-≤++-=+=，a b a b ++-≤a b a b +=-时等号成立．解法三 线性规划法．为了方便，可先做个代换，设a b m +=，a b n -=，则已知条件等价于：[]()2210,1,3m n m n +=∈，求m n+的取值范围．这是一个线性规划问题，易求得4,m n ⎡+∈⎣．解法四 先做变换．设a b x +=，a b y -=，则原题等价于： 已知2x y +=，4x y -=，求x y +的最值．{}max ,4x y x y x y +≥+-=．又因为()22222x y x y x y ++-=+，所以()22220x yx y x y +≤++-=．所以x y +最小值和最大值分别是4，评注 解法二、四中用到了Cauchy 不等式，平行四边形对角线平方和等于2倍的相邻边平方和等结论．2013年高考浙江卷理科第16题被认为是全卷得分率最低的一道题．很多考生不知从何入手，真的有那么难吗？事实上，只要准确把握问题本质，就可以从不同角度得到多种解法．【例2】（2013年高考浙江卷理科第16题）在ABC △中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点．若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=______．解法一 建立如图1-1-1所示的直角坐标系． 设(),0A a ，()0,2B ，()0,1M ，则2AB k a=-，1MA k a =-，2212tan 221a a a BAM a a-+∠==++，因为1sin 3BAM ∠=，所以1tan 22BAM ∠=，所以21222a a =+，即22220a a -+=，解得2a =， 所以2tan 2BAC a ∠==，由此易得6sin 3BAC ∠=． 解法二 如图1-1-2所示，过点B 作BD AM ⊥交AM 延长线于点D ，令1BD =，BM x =，()>0,>0AC y x y =．因为1sin 3BAM ∠=，所以3AB =， 由BDM ACM △∽△知，221AC y AM xx y ==+，所以2222x y x y =+．又因为在Rt ABC △中，可得2249x y +=，两式消去y ，得()22229494x x x x -=+-，可解得232x =，即62x =，所以26sin 33x BAC ∠==． 解法三 如图1-1-3所示，记BAC α∠=，BAM β∠=， 由12ABM ABC S S =△△得 1sin sin 2AB AM AB AC βα••=••，()cos AC AM αβ=•-，代入化简可得()2sin cos 3ααβ•-=． 同理，由ABM ACM S S =△△化简可得()1cos sin 3ααβ•-=， 将上两式相加得()sin 21αβ-=，注意到α，β的范围，可得22παβ-=，即22παβ=+，所以1cos 2sin 3αβ=-=-．由此解得6sin 3α=，即6sin 3BAC ∠=． 解法四 如图1-1-4所示，过点M 作MD AB ⊥交AB 于D 点， 令1MD =，则3AM =，22AD =． 又令CM MB x ==，则21BD x =-，29AC x =-．因为222AB AC BC =+， 所以()()222222194x x x +-=-+，解得3x =．所以22236sin 3222221BC x BAC AB x ∠====++-． 另解 216sin cos 3BDx BAC B BMx -∠====．解法五 如图1-1-5所示，过B 作BD AB ⊥交AM 的延长线于D 点，令1BD =，则3AD =．设BM x =，AM y =．284sin sin AC x BMD AMC y y -∠=∠==，22sin 3D =， 所以在BDM △中，由正弦定理知1sin sin xBMD D=∠，即222843yxx =-，得2229848y x x =-． 又因为在Rt ACM △中，22228483y x x x =+-=-， 代入①式，得()()222883849x x x -=-，解得243x =．所以26sin 322x BAC ∠==． 解法六 如图1-1-6所示，设1AM =，()sin 0<<1CAM k k ∠=， 则CM BM k==，21AC k =-，22213AB AC CB k =+=+，在ABM △中，由余弦定理，得()22213122cos 3213k k BAM k ++-∠==+，可解得213k =， 即33k =，所以2363sin 32BC BAC AB∠===．解法七 利用向量知识求解．设AB a =，AC b =，且a x =，b y =，则由90C ∠=︒知()0a b b -•=,所以22a b b y •==．因为()()1222cos 132a b a BAM a b a +∠==+， 所以2222222222323a b a y x a a b b a x x y •++==+•+•+，所以223x y =，即3AB AC =，所以6sin 3BAC ∠=． 2008年浙江省的高考数学试卷被认为是浙江省独立命题以来较难的．然而作为“最难”试卷的压轴题，真的像传说中的那么“恐怖”吗？其实也并非如此．【例3】已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，()22111n n n a a a n Z++++-=∈．记12nn Sa a a =++⋅⋅⋅+，()()()()()11212111111111n n T a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+．求证：当n Z +∈时，（1）1<n n a a +；（2）>2n S n -； （3）<3n T ．讲解 第（1）小题要证明1<n n a a +，实质上是比较两数大小，教材中关于比较两数大小的思路最典型的是：作差比较与作商比较，对于本题两种方法都可顺利实现．（1）证法一 （作差比较）由于0n a ≥，因此，只要证明221<n n a a +，即221>0n n a a +-． 而由已知条件知22111n n n a a a ++-=-，所以只要证明1<1n a +．注意到()()()()22221111111212111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++-=⇔+-=-⇔+-=-+，因此，11n a +-与1n a -同号，也与111a -=-同号， 因此，1<1n a +，得证．证法二 （作商比较）因为0n a ≥，所以要证明1<n n a a +，只要证1<1nn a a +． 注意到22211221111111111111n n n nn n n n n a aa a a a a a a +++++++⎛⎫+-=⇔=+-=+- ⎪⎝⎭，因此，也只要证明1<1n a +，由证法一可知成立．如果以上两种方法都想不到，运用数学归纳法也可大功告成． 证法三 （数学归纳法）用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12<a a ． ②假设当()n k k Z+=∈时，1<kk aa +．因为()()()()2222122112121111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a +++++++++-=+--+-=-++，所以12<k k a a ++，即当1n k =+时，1<n n a a +也成立． 根据①和②，可1<n n a a +知对任何n Z +∈都成立．有了第（1）小题作为基础，第（2）小题只要反复运用已知的递推关系式即可． （2）证法一 欲证>2n S n -，只需证()()()12111>2n a a a -+-+⋅⋅⋅+--．而由已知条件知22111n n n a a a ++-=-，所以()()()2222222121223111111n n n n a a a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--，由（1）知<1n a ，从而2>1n a --，所以>2n S n -，得证．证法二 由22111k k k a a a +++-=，1k =，2，…，()12n n -≥，得()()222311n n a a a a n a +++⋅⋅⋅+--=．因为10a =，所以21n n S n a =--．由以上（1）中证法一可知<1n a ，>2n S n -．当然，有了（1），<1n a 也可用以下方法证得：因为1<n n a a +及22111<1n n n a a a ++=+-，因此，<1n a ．（3）标准答案中提供的方法看起来简捷，实际上难以想到．原解答如下：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得()1112,3,,1,312k k ka k n n a a ++≤=⋅⋅⋅-≥+，所以()()()()2342131112n n n a n a a a a -≤≥++⋅⋅⋅+， 于是()()()()()2222232211<3111222n n n n n n a a n a a a a a ---≤=≥++⋅⋅⋅++， 故当3n ≥时，22111<113<3222n n n T --+++⋅⋅⋅+=-，又因为123<<T T T ，所以<3n T ． 事实上，根本无须如此“兴师动众”． 要证明<3n T ，肯定要对()()()()()11212111111111n n T a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+ 进行求和化简放缩或放缩求和化简．中学教材中，对于数列求和，最主要的策略就是转化，化归为等差或等比数列来处理．而从已知式的结构特征来看，转化为等比是首选，因此，不妨对通项()()()231111n a a a ++⋅⋅⋅+进行放缩．由1<n n a a +及0n a ≥，显然有()()()()1232111111n n a a a a -≤++⋅⋅⋅++，因此，()()22112222211111111<1111111111nn n a T a a a a a a -⎛⎫- ⎪+⎝⎭≤+++⋅⋅⋅+=++++--++． 只要证明21<3111a -+，化简可知只要证明21>2a，不难从已知条件解得21>2a =． 至此，原问题圆满解决．【例4】（2007年高考湖北卷理科最后一题）已知m ，n 为正整数． （1）用数学归纳法证明：当>1x -时，()11mx mx +≥+；（2）对于6n ≥，已知111<32n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，求证：11<32n mm n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，1m =，2…n ；（3）求出满足等式()()3423nnn n n n ++⋅⋅⋅++=+的所有正整数n ．讲解 本题的第（1）小题所要证明的不等式实际上是贝努力（Bernoulli ）不等式的一个变式．贝努力不等式的一般形式为：“设>1x -，则当0<<1α时，()11x x αα+≤+，而当<0α或>1α时，()11x x αα+≥+，当且仅当0x =时取等号．”用数学归纳法证明该题难度不大，此处证明略． 第（2）小题根据题设提供的不等式111<32nn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，可得111<32mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，只要证明111<11333mn nn mm n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而由（1）得10<1133mm n n ⎛⎫-≤- ⎪++⎝⎭，因此，上式成立，从而原不等式得证．第（3）小题可直接利用（2）的结论． 当6n ≥时，2121111111<1<13332222n n n nnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，有213<1333n n nn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()342<3nnn n n n ++⋅⋅⋅+++．故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．只需要逐一验证1,2,3,4,5n =的情形即可．不难得到所求的n 只有2，3．【例5】（2011年同济大学等九校（卓越联盟）自主招生）如图1-1-7所示，已知椭圆的两个焦点()11,0F -，()21,0F ，且椭圆与直线y x =-（1）求椭圆的方程（2）过1F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．讲解 （1）2212x y +=．（过程略） （2）解法一（i ）若直线PQ 的斜率不存在，即1x =-，可得PQ =而此时直线MN 方程为0y =，MN =故11222S PQ MN =•==． （ii ）若直线PQ 的斜率存在且不为零，设为k ，将直线方程()1y k x =+与2212x y +=联立，消元得()2222214220kx k x k +++-=，则2122421k x x k -+=+，21222221k x x k -=+，故)22121k PQ k +==+． 而直线MN 的方程为()11y x k=-+，利用整体代换，可得)22221111221k k MN k k ⎫+⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故()()()22224112212k S PQ MN k k +=•=++． 令2t k =，>0t ，则()()()()22224214112121221225225225t t t t S t t t t t t t t ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫===-=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭ ⎪++⎝⎭，因>0t ，224t t +≥，故16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 综上（i ）（ii ）得16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故最大值为2，最小值为169．解法二 利用焦半径公式．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，由椭圆的第二定义得焦半径公式：11F P a ex =+，12FQ a ex =+，()11122PQ F P FQ a e x x =+=++．在解法一的基础上，)2222142121k k PQ k k +-==++，以下同解法一． 另解 以1F 为极点，垂直于左准线的方向为极轴的正方向，建立极坐标系， 则椭圆的方程为1cos epe ρα=-．又12l l ⊥，则11cos epF P e α=-，11sin 1cos 2ep epF M e e a πα==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ()11cos 1cos ep ep F Q e e απα==-++，131sin 1cos 2ep epF N e e a πα==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 则()()11111122PMQN S PQ MN F P FQ F M F N =•=++ 222212221cos 1sin ep ep e e αα=••-- 22242844sin 2e p e e α=-+ 由得2212x y +=得2e =，1p =，代入得2168sin 2PMQN S α=+， 故PMQN S 的最大值为1628=，最小值为1616819=+． 在求出椭圆方程后，第（2）小题通常的做法是设直线的方程，然后与椭圆方程联立方程组，利用弦长公式可分别求出PQ ，MN 长，思路自然，但计算显烦琐，耗时长，易出错，即易忽视斜率不存在的特殊情形．解法二结合椭圆的第二定义，巧用焦半径公式，在一定程度上简化了运算．而仔细审视条件，妙用选修知识，借助椭圆的极坐标方程，可得焦半径公式的另外一种形式，可大大简化运算，问题快速获解．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的特点和性质．因此，在解题的过程中，计算占了很大的比例，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础，而在计算过程中，将某一个“因式”作为一个整体处理，可以简化运算．在另解的基础上，可得一般情形：过椭圆()22221>>0x y a b a b+=的左焦点1F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，则四边形PMQN 的面积的最大值为2222221e p b e =-，最小值为()2224224228844e p a b e e a b =-++． “喝牛奶能品出青草的芳香”，学数学做数学题也是一样，只有真正将基础知识了然于胸，遇到难题时，你才会抓住根本，巧妙得解．1.2 防止思维定式，实现“移花接木”思维定式是指思维在形式上常常采用的、比较固定的甚或是相对凝固的思维逻辑、思维推理或思维内容．它是人脑习惯使用的一系列已被固化的概念、规则、理论和逻辑的抽象形式．而数学解题的思维定式主要是指解题者在解决数学问题的思维过程中表现出来的思维的定向预备状态．它使人们以比较固定的方式去进行认知或做出反应，并影响着问题解决时的趋向性．对于高考中的很多能力题，有时受思维定式的影响，解题思路一不小心就会走进“死胡同”，如下题：【例1】如图1-2-1所示，在ABC △中，23AB =，4AC =，13AD =，D 为线段BC 中点，则B ∠的余弦值为______．讲解 解法一 设C θ∠=，BD a =，由余弦定理得22424cos 13a a θ+-⨯⨯=，()222428cos 12a a θ+-⨯⨯=，解得1a =，2BC ∴=．222BC AB AC +=，90B ∴∠=︒，cos 0B ∴=．解法二 设BD a =，则ABC △的半周长4232232ap a ++==++，ABD △的半周长23132ap ++'=．由海伦公式可得()()()2234ABC S p p a p p =---△，()()()2313ABD S p p a p p ''''=---△，又2ABC ABD S S =△△，则()()()()()()223422313p p a p p p p a p p ''''---=---，即()()()()423232332a a a a +++-+-+-()()()()2313231313232313a a a a =+++-+-+-，化解得42210a a -+=，解得1a =．易得cos 0B =． 解法三 令()13,0AD =，(),DC m n =，则(),DB m n =--．AD DC AC +=，AD DB AB +=， ()222134m n ∴++=，()()2221323m n -+=，m ∴=n =， 1BD m ∴==，2BC ∴=．易得cos 0B =．评注 此题来源于一道立体几何题常规解法中的一步．解法一使用了余弦定理，较为常规；解法二使用了海伦公式，此公式在初中竞赛中已引入介绍，但会使用的人不多，方程看似烦琐且有四次方，实际求解并不复杂，因此考验了学生的魄力；解法三运用了中点到线段两端的向量为相反向量，较有创意．【例2】（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量a 、b ，1a =，2b =，若对任意单位向量e ，均有a e b e ⋅+⋅≤则a b ⋅的最大值是______．讲解 解法一()221262a b e a e b e a e b e a b a b a b a b +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤+≤++⋅≤⇒⋅≤即a b ⋅的最大值为12． 解法二 设,a e α=，,b e αβ=-则()cos 2cos cos 2cos cos 2sin sin a e b e ααβααβαβ⋅+⋅=+-=++()()2cos 1cos 2sin sin βαβααϕ=++=+≤=≤所以，1cos 4β≤，1cos 2cos 2a b a b ββ⋅==≤． 【例3】（2014年高考浙江卷理科第5题）在()()6411x y ++的展开式中，记m nx y 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++=（ ）A ．45B ．60C ．120D ．210讲解 按一般思路是这样解的：()()()()30211203646464643,02,11,20,3120f f f f C C C C C C C C +++=+++=．如果能利用组合数学中算两次的思想，则能“秒杀”，原问题等价于从6名男生4名女生中选出3人，共有几种选法，因此，答案为310120C =．【例4】（2014年高考浙江卷理科第6题）已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()0<1233f f f -=-=-≤，则（ ）A ．c c ≤B ．3<6c ≤C ．6<9c ≤D ．>9c讲解 按常规的想法是解方程组，由()()()123f f f -=-=-得，184212793a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩， 解得611a b =⎧⎨=⎩，所以()32611f x x x x c =+++．又由()0<13f -≤，得0<16113c -+-+≤，即6<9c ≤，故选C ．如果能借助一元三次方程的韦达定理，也可“秒杀”该题．令()()()123f f f t -=-=-=，则()0f x t -=的三根为1-，2-，3-，利用韦达定理，得()()()123t c ---=-，所以(]66,9c t =+∈．【例5】已知函数()xf x e kx =-，x R ∈，（1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间； （2）若>0k ，且对于任意x R ∈，()>0fx 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：()()()()()1212>2n n F F F n e n Z ++⋅⋅⋅+∈．讲解 本题的三个小题之间联系不密切，其中（1）（2）借助导数不难解得．本处具体解答略；第（3）小题受思维定式的影响，一般会先将()F x 具体化，再代入所求证不等式左边，从而将原不等式转化为()()()()()()1223312>2n nnn e e eeeeeeen Z ----+++++⋅⋅⋅++∈．注意到不等式左右两边均含有n ，因此，很想运用数学归纳法进行证明，为此，从k 到1k +时需要证明11(1)1122()(2)(2)kk k k k k eeee-+-++++++≥，而该不等式的证既要用到故技巧又修学要用到多元柯西不等式，而这些都属于竞赛中的高层次要求，因比，解答时必須另辟蹊径。

高中数学解题方法及技巧分析数学解题方法和技巧对不同类型的数学习题的作答效率和正确率有非常大的影响。

下面是小编为大家整理的关于高中数学解题方法及技巧分析，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!1高中数学解题方法及技巧分析构建数学整体数学学习需要高中生具备整体思维，对现有条件等知识进行关联，建立起相关概念和数学知识的密切联系，才能灵活地对不同类型数学问题进行解答，最终将所学知识应用到实际数学问题解决过程中。

构建数学是一个长期的过程，需要不断对已经掌握的旧有数学知识不断理解和深化，才能形成整体数学意识，这样在解题时才能避免仅关注某一个条件，而不能建立条件之间的联系。

从我班实际情况来看，有些同学解题时，错误地认为原有数学知识是不可能解答新数学问题的，因此面对之前没有见过的数学问题，往往不知道从何处下手。

很多数学问题看似“新类型”，其实考察的知识点都是之前学习过的，需要我们整体看待这些问题，将题目中现有的条件及隐含的元素积极联系，以提高解题效率。

例如，我遇到过一个三角函数题，计算出22.5度的三角函数值，惯性思维下，我按照固有思路计算，但是发现计算起来非常麻烦，于是我转换角度，借用44.5度的三角函数值，并利用所学数学定理，即余弦定理、正弦定理，更为简便、快速地计算出题目所要求的22.5度的三角函数值。

解题后我进行了答题反思，发现使用数学整体思路解题比单一元素解题更为便捷高效，不管习题类型如何变化，要记住“万变不离其宗”，应当想办法运用已有知识联系题目，最终可能获得意想不到的收获。

巧妙加减同一个量求解积分等类型数学习题时，经常会使用“加减同一个量”“拼凑”出想要的公式模型或者定理，这样一来可以十分巧妙地解答出高中数学相关习题。

比如，求解积分函数时，应用“加减同一个量”的数学解题方法，可以在被积函数中需要时首先故意加上或者人为减去一个相等的量，为了确保最终答案正确性，还需要在给出答案之前，相应地减去或者加上这一个“相等的量”，这样才算解题完毕，避免答案错误。

高中数学解题方法研究策略高中数学是学生学习中的一大难题，很多学生都觉得数学难以理解和解题，这给他们的学习生活带来不小的困扰。

如何解决这一难题，提升学生的数学学习能力，成为了教育界和家长们关注的焦点之一。

对高中数学解题方法的研究和策略，将有助于提高学生的数学学习兴趣和成绩，提升整个教育培训的水平和质量。

一、关于高中数学解题方法的研究高中数学的解题方法是学习数学的关键，它关系到数学知识点的掌握以及数学思维能力的培养。

目前，学界对高中数学解题方法的研究主要集中在以下几个方面：1.1、理论研究针对不同难度的高中数学题型，理论研究者探索了各种解题方法的适用规律，提出了一些原理和规律，以指导教师和学生在实际教学和学习中更好地运用数学解题方法。

1.2、实践研究研究者也对高中数学解题方法进行了实践性的探索和应用，比如在教学实践中引入新的解题方法，或者在学生学习过程中进行解题方法的引导和训练，以期提高学生解题的效率和准确度，增强他们的数学解题能力。

1.3、案例分析通过对一些典型数学解题方法的案例进行分析和总结，研究者们发现了成功的解题方法背后的共性和规律，为学生和教师提供了宝贵的参考和借鉴。

1.4、技术手段随着现代技术的发展，一些研究者也开始尝试研究和探索利用现代技术手段，比如人工智能、大数据分析等，辅助高中数学解题方法的研究和应用，以期为数学学习提供更多样化和个性化的解题方法。

二、高中数学解题方法研究策略要加强对高中数学解题方法的研究，提高学生的数学学习能力，我们需要制定一些研究策略和实施措施。

具体来说，可以从以下几个方面入手：2.1、加强研究团队建设学校和教育机构应该加强对高中数学解题方法研究团队的建设和培训。

建立专门的研究小组，吸纳优秀的数学教师和研究者，强化团队意识和合作精神，集中优势资源，共同开展高中数学解题方法的深入研究。

2.2、鼓励实践探索学校和教育机构要鼓励教师和学生在高中数学课堂中进行实践探索，尝试新的解题方法和策略，鼓励创新和探索，推动解题方法的更新和优化。

高中数学考试的答题技巧（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学大题的解题技巧及解题思想解题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性〔转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式〔奇变、偶不变；符号看象限〕时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！〕。

二、数列题1.证明一个数列是等差〔等比〕数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差〔公比〕的等差〔等比〕数列；2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法〔用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否那么不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证；3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单〔所以要有构造函数的意识〕。

三、立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、外表积、体积等问题时，要建系；3.注意向量所成的角的余弦值〔范围〕与所求角的余弦值〔范围〕的关系〔符号问题、钝角、锐角问题〕。

四、概率问题1.搞清随机试验包含的所有根本领件和所求事件包含的根本领件的个数；2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式；3.记准均值、方差、标准差公式；4.求概率时，正难那么反〔根据p1+p2+...+pn=1)；5.注意计数时利用列举、树图等根本方法；6.注意放回抽样，不放回抽样；7.注意“零散的〞的知识点〔茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等〕在大题中的渗透；8.注意条件概率公式；9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

五、圆锥曲线问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线〔椭圆、双曲线、抛物线〕着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法；2.注意直线的设法〔法1分有斜率，没斜率；法2设某＝my+b〔斜率不为零时〕，知道弦中点时，往往用点差法〕；注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等；3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践一、概述高中数学作为培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力的重要学科，其教学方法的创新与实践一直是教育领域关注的重点。

“一题多解”与“多题一解”这两种教学方法，以其独特的优势，在高中数学教学中发挥着重要作用。

“一题多解”是指针对同一数学问题，从不同角度、不同知识点出发，寻找多种解题思路和方法。

这种方法能够帮助学生拓宽思维视野，培养思维的灵活性和创新性。

在“一题多解”的教学过程中，教师可以引导学生对同一问题进行深入探讨，通过比较不同解法的优劣，帮助学生掌握数学问题的本质和规律。

“多题一解”则是指通过归纳总结不同数学问题的共性和规律，找到一种通用的解题方法和思路。

这种方法能够帮助学生建立数学知识的体系化结构，提高解题效率。

在“多题一解”的教学过程中，教师可以引导学生发现不同问题之间的联系和相似之处，通过总结规律，让学生掌握一种更加高效的解题方法。

在高中数学教学中，将“一题多解”与“多题一解”相结合，可以充分发挥这两种教学方法的优势，提高教学效果。

通过“一题多解”培养学生的创新思维和灵活思维，通过“多题一解”提高学生的解题效率和知识体系化能力。

同时，这两种方法也能够激发学生的学习兴趣和积极性，促进学生的全面发展。

“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中具有重要的价值。

通过深入研究和实践这两种教学方法，可以推动高中数学教学的创新与发展，提高教育质量，培养更多具有创新精神和实践能力的人才。

1. 高中数学教学的挑战与机遇高中数学教学面临着诸多挑战与机遇。

一方面，随着课程改革的深入推进，高中数学的教学内容和教学方法都发生了显著的变化，对教师的教学能力和专业素养提出了更高的要求。

另一方面，随着信息技术的快速发展，高中数学教学的手段和方式也日趋多样化，为教学创新提供了广阔的空间。

在挑战方面，高中数学的知识点繁多且抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略引言“数学是思维的体操”“数学教学是数学（思维)活动的教学。

”学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合,因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。

作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。

高中数学思维中的重要向题它可以包括：高中数学思维的基本形式高中数学思维的一般方法高中数学中的重要思维模式高中数学解题常用的数学思维策略高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究;高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等）研究;高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性高中数学思维的基本形式从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a 同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式. 3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。

二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。

3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。

4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。

5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感.6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。

⾼中数学教学采⽤研究性学习的意义与策略论⽂⾼中数学教学采⽤研究性学习的意义与策略论⽂ 在⽇常学习和⼯作⽣活中，许多⼈都有过写论⽂的经历，对论⽂都不陌⽣吧，论⽂是进⾏各个学术领域研究和描述学术研究成果的⼀种说理⽂章。

你写论⽂时总是⽆从下笔？以下是⼩编为⼤家收集的⾼中数学教学采⽤研究性学习的意义与策略论⽂，欢迎阅读与收藏。

摘要：在当前社会中，各⾏各业都在迅速发展之中，对于教育业来说更是如此。

⾼中阶段的数学教学对于学⽣们来说是⾮常重要的⼀个教学环节，其能够为学⽣们提供良好的数学知识从⽽为其后续发展奠定基础。

在当前新课改的要求之下，学⽣们应当在掌握数学知识的同时拥有良好的综合能⼒，为了达到这样的教学⽬标，教师也应当对传统的教学⽅式进⾏改善。

本⽂也就侧重于对当前⾼中数学研究性学习进⾏分析和探讨，希望能够帮助到有需要的⼈。

关键词：⾼中数学；研究性学习；教学模式；策略探究； ⾼中数学对于学⽣们来说是必须要掌握和学习的⼀门课程，在传统的教学中，⼤部分教师并没能掌握⼀个良好的教学⽅法，从⽽导致了教学的效果⽆法达到预期的效果，在该情况之下开展教学，学⽣们⾃⾝的能⼒⽆法达到预期的效果和标准。

为了能够有效解决此类问题，教师应当在教学的过程中改善和优化传统的教学模式，对应研究性教学模式的提出就很好地解决了此类问题。

在实际教学中将研究性教学模式运⽤于其中，不仅能够有效地加强学⽣们对于数学学习的积极性和兴趣，并且同时还能够培养学⽣们良好的数学问题解决能⼒、研究能⼒，从⽽促进学⽣们成为⼀个更加全⾯的⼈才。

⼀、传统教学中存在的问题 为了能够有效地提⾼当前⾼中数学教学的质量和效率，教师⾸先应当清楚和明确的内容应当是传统教学中存在的问题。

只有清楚地掌握了传统教学中存在的问题才能够制定出对应的解决策略，从⽽针对性地解决问题。

⾸先就是在传统的教学过程中，⼤部分教师还深受传统教学思想的影响，传统的教育思想就是对应的应试教育思想。

在这样的教学思想影响之下，⼤部分的教师都更加侧重于教材中知识内容的掌握，对于⼀些涉及到教材之外的内容往往会选择性忽视，学⽣们在这样的教学思想影响之下，也只会对教材中的内容进⾏掌握，若是在后续遇到其他类似问题时就⽆法有效地进⾏转变，从⽽导致了⽆法解决此类问题。

minmax maxmin高中数学解题方法系列：导数解参数问题的八种策略现探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。

策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使 两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后， 对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知 x 的范围，求 a 的范围：结论一、 不等式 f (x ) ≥ g (a ) 恒成立 ⇔ [ f (x )] ≥ g (a ) （求解 f (x ) 的最小值）；不等式 f (x ) ≤ g (a ) 恒成立 ⇔ [ f (x )] ≤ g (a ) （求解 f (x ) 的最大值）.结论二、 不等式 f (x ) ≥ g (a ) 存在解 ⇔ [ f (x )] ≥ g (a ) （求解 f (x ) 的最大值）；不等式 f (x ) ≤ g (a ) 存在解 ⇔ [ f (x )] ≤ g (a ) （即求解 f (x ) 的最小值）. 案例 1 、若曲线 f (x ) = ax 3 + ln x 存在垂直于 y 轴的切线， 则实数 a 取值范围是.分析： f '(x ) = 2ax + 1(x > 0)x依题意方程 2ax + 1 = 0 在(0, +∞) 内有解，即 a = - x1 2x 2(x > 0) ⇒ a ∈ (-∞,0) 案例 2、若 f (x ) = - 1x 2+ b ln(x + 2)在(-1,+∞) 上是减函数，则 b 的取值范围是2（）A. [-1, +∞)B. (-1, +∞)C. (-∞, -1]D. (-∞, -1)分析：由题意可知 f '(x ) = -x +bx + 2≤ 0 ，在 x ∈(-1, +∞) 上恒成立， 即b ≤ x (x + 2) = (x + 1)2- 1 在 x ∈(-1, +∞) 上恒成立，由于 x ≠ -1 ，所以b ≤ -1 ，案例 3、设 a ∈ R ，若函数 y = e ax+ 3x ， x ∈ R 有大于零的极值点，则（）A ． a > -3B ． a < -3C ． a > - 13D ． a < - 1312 3 2 ⎪ 2 3 ma n 分析： f '(x ) = 3 + ae ax ，若函数在 x ∈ R 上有大于零的极值点，即 f '(x ) = 3 + ae ax= 0 有正根。

２０２１年第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀青海师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fQ i n g h a iN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e )㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２１N o １收稿日期:２０２０－１１－０１作者简介:赵萱婷(１９９５－),女,山东淄博人,硕士生．研究方向:教育心理学．∗通信作者:祁乐瑛(１９７１－),女,青海西宁人,博士,教授．研究方向:心理学．眼动追踪技术下高中数学解题策略研究赵萱婷１,祁乐瑛１∗,李利洲２,李亚楠１(１．青海师范大学教育学院,西宁㊀８１０００８;２．中共天全县委组织部,雅安㊀６２５５９９)摘㊀要:研究采用德国S M I 制造的i V i e w X H i －S p e e d １２５０眼动仪对２６名高中生进行研究,研究材料为数学学习策略问卷和高考真题．研究结果发现:在数学学习中,学习策略水平不同的学生在不同题型得分上有显著差异;学习策略水平不同的高中生在总解题时间㊁平均注视时间㊁注视次数㊁眼跳次数和回视次数上有显著差异．结论:学习策略水平高的高中生的眼动指标显著优于得分低的;学习策略在高中生数学解题中有元认知监控作用．关键词:高中生;数学学习策略;数学解题;元认知中图分类号:U ４９１．７１㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:１００１－７５４２(２０２１)０１－００７５－０７０㊀学习策略与解题学习策略是在学习活动中,个体为提高学习效率㊁达到学习目标而采取的策略,核心成分是认知策略与反省认知．有效学习策略的形成与学习者的学习动机㊁知识经验㊁元认知能力以及教师提供的教学措施有关．高夫(P h i l i p B G o u gh )认为学习是把直接从文字中获得的低级水平的视觉信息转换到高一级水平的加工过程[１]．哥德曼(K e n n e t hS G o o d m a n )则认为是学习过程中个体利用有关经验对选择出来的信息进行加工[２]．鲁梅哈特(D a v i dE R u m e l h a r t )认为学习既包括文字的视觉加工也包括头脑中的认知结构[３]．学习策略的差异对绩效产生决定性影响,元认知对学习有监控作用．数学学习成绩不同的个体在解题加工策略上存在差异,优秀学生喜欢使用比一般学习者更好的策略解题．个体需要运用元认知策略进行意识监控,通过相应训练可以增强学习效果,运用元认知策略有助于提高数学学习能力．元认知策略的总体使用情况与数学学习能力成正相关．眼动技术可以有效追踪数学解题时的视觉特征,分析数学解题的认知加工过程．本研究通过分析高中生在数学解题过程中的眼动数据,探讨不同类型学生在解决数学问题的过程中使用学习策略的情况．１㊀研究方法１．１㊀被试实验选取来自青海某中学的２６名在校高中生(年龄平均值M ＝１７．５岁,标准差S D ＝０ ６３),男女比例１:１．视力或矫正视力正常,S M I 眼动仪校准反馈项目中X ㊁Y 小于１．０度．１．２㊀仪器实验使用德国S M I 制造的i V i e w X H i －S p e e d １２５０眼动仪．采样率为１２５０H z /５００H z (单眼),屏幕分辨率为１２８０ˑ１０２４像素,并用左眼跟踪．１．３㊀材料采用高中生数学学习策略调查问卷和数学高考部分真题进行研究,数学测题共包括１０道测题,其中函数与导数共２题;平面向量与三角函数共２题;数列１题;不等式１题;概率和统计共２题;空间位置关系１题;解析几何１题,选取的数学试题具有代表性,被试主要报告做题思路及答案选项,可在屏幕做简单演算．研究中的数学试题可分为两种题型:细节辨析题和判断推理题．细节辨析题是指学生解题的关键点是分辨题６７青海师范大学学报(自然科学版)２０２１年目中诸如概念㊁条件㊁性质等的题型;判断推理题是指学生解题的关键点是做判断推理的题型．１．４㊀研究设计包含数学学习策略测试和数学高考部分真题测试两部分．实验采用２∗２混合设计的方法获得数学解题策略和数学解题过程中眼动轨迹的相关指标．１．５㊀研究程序在正式实验过程中,根据参加测试的中学生的高度调整座椅距离眼动仪８０厘米．将测试人员的右手手指放在键盘的右按钮上,将下颚放在下巴托上,并将脸轻轻地连接到中间梁上．要求中学生自然地观察红点,以红点为中心,白圈为范围,按下右按钮开始校准并跟随凝视,然后认真解题,按下 ң 键以测试下一个问题,以口头形式向主试报告思路与答案选项,主试进行记录,每名测试人员的整个实验过程大概用时６０分钟,E－p r i m e程序记录反应时和正确率,眼动仪记录眼动数据．２㊀研究结果测量分组的原则,当测试人数少于１００时,将学习策略问卷得分排名前５０％的高中生划分为学习策略水平高的组,后５０％划分为学习策略水平低的组．学习策略水平高的高中生的数学解题总成绩正确率达９２％,学习策略水平低的高中生正确率为７２％．使用S P S S２４．０软件进行统计分析,无删除数据．２．１㊀学习策略水平不同的学生在数学解题具体内容的比较不同学生学习策略水平比较见表１,高分组和低分组被试在记忆策略㊁认知策略等六个数学学习策略的得分以及问卷的总得分上存在显著差异．表１㊀不同学生学习策略水平比较(MʃS D)n记忆策略认知策略补偿策略元认知策略情感策略社交策略总分男生１３２７．０７ʃ７．２２３９．５７ʃ１１．９７１８．７８ʃ５．０７２４．５７ʃ８．８７１４．３５ʃ５．７５１５．３５ʃ５．５１１３９．７１ʃ４０．０８女生１３２６．０７ʃ２．８４４２．７１ʃ４．３３２１．２８ʃ２．６７２６．２８ʃ５．１９１５．４２ʃ３．１３１６．４２ʃ２．８２１４８．２１ʃ１４．２５t０．４８－０．９２－１．６３－０．６２－０．６１－０．６５－０．７５低分组１３２２．５０ʃ５．０９３０．６２ʃ６．７１１５．２５ʃ４．１３１７．５０ʃ５．０１１０．３７ʃ３．０６１２．５０ʃ４．１０１０８．７５ʃ２１．１７高分组１３３１．６２ʃ４．５３５０．００ʃ５．０４２２．５０ʃ２．５０３３．２５ʃ４．３０１９．１２ʃ２．７４１９．２５ʃ３．９１１７５．７５ʃ１７．８９t－３．７８∗∗－６．５２∗∗∗－４．２４∗∗∗－６．７４∗∗∗－６．０１∗∗∗－３．３６∗∗－６．８４∗∗∗总计２６２６．５７ʃ５．４０４１．１４ʃ８．９８２０．０３ʃ４．１７２５．４２ʃ７．１８１４．８９ʃ４．５８１５．８９ʃ４．３３１４３．９６ʃ２９．８３表２中学习策略高分组和低分组高中生在数学解题总分和两种题型上均具有显著差异．其中细节辨析题t＝－３．４４,p＜０．０１,判断推理题t＝－４．０４,p＜０．０１．解题效率＝解题速度∗正确率,学习策略水平高的高中生答题效率是学习策略水平低的高中生的１．５倍．表２㊀学习策略水平不同的高中生在数学解题中的比较(MʃS D)学习策略n学习策略总分数学解题细节辨析数学解题判断推理数学解题总分解题效率高分组１３１７５．７５ʃ１７．８９９．２１ʃ０．５７９．２１ʃ０．８０１８．４２ʃ９．３７１．０４低分组１３１０８．７５ʃ２１．１７７．２８ʃ２．０１７．０７ʃ１．８１１４．３５ʃ３．４５０．６９t－６．８４∗∗∗－３．４４∗∗－４．０４∗∗∗－４．２６∗∗∗第１期赵萱婷,等:眼动追踪技术下高中数学解题策略研究２．２㊀学习策略水平不同的高中生在数学解题中的眼动指标表３中回视特征是在解题过程中来回注视的次数,包括跳跃式回视㊁追索式回视．学习策略水平高的高中生和学习策略水平低的高中生的回视次数的差异非常显著．行内跳跃式回视,t＝２１９．８７,p＜０．００１;行内追索式回视,t＝６６．７５,p＜０．００１;行间跳跃式回视,t＝８２．７７,p＜０．００１;行间追索式回视,t＝２３．７９,p＜０．００１．表３㊀学习策略水平不同的高中生在数学解题中的回视次数(次)学习策略n行内跳跃式回视次数行内追索式回视次数行间跳跃式回视次数行间追索式回视次数高分组１３２２．５２ʃ０．２７８．４７ʃ０．２６１０．３０ʃ０．３７２．５２ʃ０．２２低分组１３４８．９１ʃ０．３６１５．０５ʃ０．２６２０．８６ʃ０．３０４．０６ʃ０．１０t２１９．８７∗∗∗６６．７５∗∗∗８２．７７∗∗∗２３．７９∗∗∗表４中的注视特征包含总解题时间㊁平均注视时间和注视次数．总解题时间是对数学试题进行加工处理㊁获取信息最终口头报告解题之间所用的注视时间,平均注视时间是总注视时间与注视点个数的比值,注视次数是对包括文本和题干进行注视的次数的总计．眼跳特征包括眼跳幅度㊁眼跳速度和眼跳次数．表４㊀学习策略水平不同的高中生在数学解题中的眼动指标比较(MʃS D)眼动特征眼动指标学习策略n细节辨析判断推理注视特征总解题时间(m s)高分组１３３８５４７．１８ʃ２０８．６３３９４６８．５６ʃ２７１．３３低分组１３４９６２９．７３ʃ２４２．６５５０５３１．７５ʃ２５３．３７平均注视时间(m s)高分组１３２８０．０１ʃ１．５５２０９．５８ʃ１．６５低分组１３２９３．７９ʃ０．９０２５０．６９ʃ２．４４注视次数(次)高分组１３１００．４３ʃ０．９６１３３．２９ʃ１．１５低分组１３１１９．８１ʃ０．８４１３８．５３ʃ０．８７眼跳特征平均眼跳幅度(度)高分组１３３．９２ʃ０．０４４．９０ʃ０．０４低分组１３２．８４ʃ０．０４２．５３ʃ０．０６平均眼跳速度(度/s)高分组１３１１７．８７ʃ０．３８１１９．９６ʃ０．８５低分组１３７１．９２ʃ０．３４６９．９６ʃ０．８２平均眼跳次数(次)高分组１３１０１．８２ʃ０．７３１００．０７ʃ０．７６低分组１３１４８．１０ʃ０．４４１５０．０４ʃ０．３３对学习策略(高分组㊁低分组)∗(判断推理∗细节辨析)进行２∗２混合实验设计,方差分析的结果是,对于注视特征上两种题型数据分析发现:在总解题时间上,学习策略水平低的高中生在数学解题的细节辨析题和判断推理题上比学习策略水平高的高中生停留的时间长．对数据进行方差分析,两题型差异都十分显著: F(１,２６)＝１２４３２．７１,p＜０．００１;F(１,２６)＝１６７９０．７４,p＜０．００１．在平均注视时间上,通过简单效应分析得:学习策略水平高的高中生和学习策略水平低的高中生在判断推理题和细节辨析题的平均注视时间差异显著:F(１,２６)＝２７１８．０７,p＜０．００１;F(１,２６)＝８２８．４８,p＜０．００１．学习策略水平高的高中生在数学解题上平均注视时间显著少于学习策略水平低的高中生．在注视次数上,学习策略水平低的高中生在细节辨析和判断推理部分的注视次数分别高于学习策略水７７８７青海师范大学学报(自然科学版)２０２１年平高的．对两组数据进行方差分析,学习策略水平高的高中生与学习策略水平低的高中生在判断推理部分的注视次数有显著差异F(１,２６)＝１８２．４７,p＜０．００１;F(１,２６)＝３１８０．５２,p＜０．００１．眼跳特征上两种题型数据分析结果如下:在眼跳幅度上,学习策略水平高的高中生的眼跳水平总体来说高于学习策略水平低的被试．通过方差分析得,组内的主效应显著,F(１,２６)＝５８７．５２,p＜０．００１;组间的主效应显著,F(１,２６)＝１５４７２．６,p＜０．００１;组内和组间的交互作用显著,F(１,２６)＝２１６７．６５,p＜０．００１．具体表现为学习策略水平低的高中生在两种题型上的眼跳幅度差异显著大于学习策略水平高的高中生．简单效应分析显示,学习策略水平高的高中生与学习策略水平低的高中生在阅读判断推理材料和细节辨析材料时的平均眼跳幅度的差异显著F(１,２６)＝１４６１１．４４,p＜０．００１;F(１,２６)＝３０２８．８１,p＜０．００１．学习策略水平低的高中生在细节辨析和判断推理解题过程的平均眼跳幅度差异显著,F(１,２６)＝２４９．０７,p＜０．００１;学习策略水平高的高中生在两种题型的平均眼跳幅度差异显著,F(１,２６)＝２５０６．１１,p＜０．００１．在平均眼跳速度上,学习策略水平高的高中生的眼跳速度比学习策略水平低的高中生快．方差分析发现组内主效应差异不显著,F(１,２６)＝０．１６,p＝０．６９１;组间主效应差异显著,F(１,２６)＝７６７３８,p＜０．００１;组内和组间的交互作用显著,F(１,２６)＝１３６．９４,p＜０．００１．具体表现为学习策略水平不同的高中生在两种题型下眼跳速度差异显著,F(１,２６)＝４１６７９．６,p＜０．００１;F(１,２６)＝３５１６９．０４,p＜０．００１．学习策略水平高的高中生在两种题型部分的眼跳速度的差异非常显著,F(１,２６)＝７３．２３,p＜０．００１．在平均眼跳次数上,学习策略水平低的高中生的眼跳次数明显高于学习策略水平高的高中生．通过方差分析发现,组内主效应差异不显著,F(１,２６)＝０．３７４,p＝０．５４３;组间主效应差异显著,F(１,２６)＝８９７５０．９１, p＜０．００１;组内和组间的交互作用显著,F(１,２６)＝１３２．４４,p＜０．００１．学习策略水平不同的高中生在解题判断推理材料和细节辨析材料时的眼动次数差异显著,F(１,２６)＝４８３．４０,p＜０．００１．不同学生兴趣区的眼动数据结果见表５,低分组被试和高分组被试在兴趣区上所表现出的各项眼动数据均差异显著,总注视时间(t＝４５．４７６,p＜０．００１)㊁注视次数(t＝１０．９５３,p＜０．００１)㊁首次注视时间(t＝４０．９４４,p＜０．０１)㊁回视次数(t＝４８．７６８,p＜０．０１),低分组被试在总注视时间㊁首次注视时间㊁回视时间㊁注视次数几项指标上均高于高分组被试．低分组被试和高分组被试在兴趣区都意识到信息的重要性,但是低分组被试对于信息获取的能力较高分组被试差,在对兴趣区中的信息进行处理时仍然存在一定的障碍．表５㊀不同学生兴趣区的眼动数据结果(MʃS D)组别n总注视时间(m s)首次注视时间(m s)回视次数注视次数高分组１４１３９０９ʃ９８．４１１８９．９３ʃ１．３５７．９８ʃ０．２６６２．４８ʃ０．６１低分组１４１７５６８ʃ２８４．５０２２０．６０ʃ２．４４１２．５４ʃ０．２３６５．９３ʃ１．００t４５．４７６∗∗∗４０．９４４∗∗∗４８．７６８∗∗∗１０．９５３∗∗∗２．３㊀眼动轨迹眼动轨迹是在眼动实验过程中,眼睛对实验材料进行连续注视的变化轨迹图．结合眼动轨迹与答题得分情况及眼动的各项数据,可以更好地分析学习策略水平不同的高中生在数学解题过程中的眼动模式．图１㊁图２是学习策略水平高解题正确高中生的眼动轨迹图,图中的注视重点明显集中在图形区域,眼动轨迹清晰明确,在题干核心信息区与正确答案之间有回视和眼跳,对其他无关信息未做过多注视．图１为细节辨析题,题目为:设集合A＝{x|１ɤxɤ３},B＝{x|２＜x＜４}则AɣB＝(㊀),A．{x|２＜xɤ３}㊀B．{x|２ɤxɤ３}㊀C．{x|１ɤx＜４}㊀D．{x|１＜x＜４}．学习策略水平高的学生在 ɣ 符号处注视时间久,在A㊁B两选项之间有明显的来回眼动轨迹,视线集中区为 ɤ ＜ 的区别对比,说明该生注意到符号不同的细节点,此为做题关键．图２为推理判断题,题目为:已知点P是边长为２的正六边形A B C D E F内的一第１期赵萱婷,等:眼动追踪技术下高中数学解题策略研究点,则⇀A P ⇀A B 的取值范围是(㊀),A ．(－２,６)㊀B ．(－６,２)㊀C ．(－２,４)㊀D ．(－４,６)．取值范围根据向量计算公式初步推理可得,答案最值P 在六边形的顶点C 点和F 点处取得,该生注视点主要集中在A ㊁B ㊁C ㊁F点出,根据向量点积公式及C ㊁F 两点处的⇀A P ⇀A B 的值可推理判断得,正确答案在A ㊁C 两选项之间,被试的视线也在此两选项间有明显回视轨迹．图１㊀学习策略水平高解题正确的眼动轨迹图图２㊀学习策略水平高解题正确的眼动轨迹图图３㊀学习策略水平低解题错误的眼动轨迹图图４㊀学习策略水平低解题错误的眼动轨迹图图３㊁图４是学习策略水平低解题错误高中生的眼动轨迹图．图３为细节辨析题,该生未注意到 ɣ符号,导致运算错误,取值为并集,表现为视线主要集中于C ㊁D 两错误选项．图４为推理判断题,该生注意到点９７０８青海师范大学学报(自然科学版)２０２１年P位置位于六边形内,但是没有推理判断出范围题的极值应该在特殊点处计算,表现为视线主要徘徊在六边形内,思路方向错误．其次,从整体来看,该生的视线杂乱无章,没有重点,说明被试缺乏推理判断的过程,找不到解题突破点．学习策略水平低的学生注视的集中点是题干材料的专有名词区域,回视和眼跳多,对题目的不同区域的注视并无明显主次之分,眼动轨迹杂乱㊁无重点㊁无规律,对核心区域没有进行充分注视．既没有有效把握题目的核心信息,也不能判断选项与题目信息之间的关系,表现出不断尝试反复阅读的眼动轨迹．学习策略水平高的高中生在判断推理题和在细节辨析题上,整个解答过程所需要的注视时间㊁注视次数明显低于学习策略水平低的高中生．在眼动过程中,注视时间㊁注视次数㊁回视㊁眼跳等主要注视区域在解题材料的题干部分．解题最主要的特点是在解题过程中,文本部分的核心信息区与正确解题之间有较为清晰㊁合理的回视和眼跳．３㊀分析与讨论３．１㊀元认知影响数学解题效果通过研究学习策略水平不同的高中生在数学解题中的眼动数据,发现学习策略水平高的组在细节辨析㊁判断推理两种题型的得分和数学解题的总分上均高于学习策略水平低的组．分数高的学生喜欢使用比一般学习者更好的策略解题．高水平组在解答数学题时能够灵活运用以往的学习策略对材料进行筛选和加工,并且根据不同的解题任务调整答题策略．数学解题效率明显高于低水平组．潘黎萍认为元认知策略会显著影响解题效果,在解题活动中起积极作用[４]．解题中的元认知策略能够计划㊁监控和评价整个解题过程,协调解题者的知识系统．学习策略水平高的中学生更善于运用元认知对数学解题材料中的难点进行计划,监控和调节,有效提升解题速度．３．２㊀学习策略水平高的中学生数学解题的信息加工过程更优化学习策略水平高的高中生在数学解题过程中的总注视时间短㊁注视次数少;眼跳幅度大㊁眼跳速度慢㊁眼跳次数少;行内和行间追索回视和跳跃回视次数少;眼动轨迹连线具有逻辑性．眼动特征表现优,眼动特征中的注视特征㊁眼跳特征㊁回视次数以及眼动轨迹体现注意的选择性和组块化的信息加工方式．能选择性注意题目信息,能结合组块原理选择合适的信息加工方式进行高效率解题．３．２．１㊀学习策略水平高的高中生在数学解题过程中的总解题时间㊁平均注视时间短,注视次数少总解题时间是落在兴趣区的所有注视点的时间的总和,总解题时间长,说明提取信息的过程慢．平均注视时间是兴趣区内所有注视点的持续时间的平均值,表示解题加工的整体情况．注视次数表示解题材料的认知加工负荷,注视次数多说明被试在解题过程中投入了较多的心理资源[５]．张向葵等人认为解题是利用图式对材料进行解释的过程,图式使知识间的逻辑关系条理化,更易于激活[６]．由于学习策略水平高的中学生更多地运用图式,结合以往的数学知识经验,运用元认知监控快速有效的建立联系,通过注意完成对解题材料关键部分的分析,在解题过程中用时少,能有效分配每个区域的注视时间,对解题过程进行合理监控．３．２．２㊀学习策略水平高的高中生解题过程中的平均眼跳幅度大㊁眼跳速度慢㊁眼跳次数少眼跳幅度大说明在眼跳前的注视中所获得的信息量大．眼跳速度反映题目理解的效率,眼跳次数反应解题信息的获取程度,眼跳次数多说明被试充分获取了解题目材料的相关信息．M i l l e r等人认为学习是把一些有关的项目形成组块的过程,与注意有很大关系[７]．能够将获得的关键信息组块化,说明对数学题目进行了深加工,通过有效的解题策略可以将已获得的信息与问题产生联系．赵微等人认为语言认知是解题的重要环节．解题包括对字词句等语言书面符号的解码,语法逻辑的意会和解题材料的理解与建构[８]．学习策略水平高的高中生倾向于使用组块策略采用自上而下的信息加工方式形成逻辑联系,通过问题锁定解题位置,精准回视,减少不必要内容的重复搜索．３．２．３㊀学习策略水平高的高中生眼动轨迹更有逻辑规律性眼动轨迹反映解题过程中信息加工的方式,学习策略水平高的高中生在数学解题过程中整体眼动轨迹具有逻辑性,表明其能够结合已有知识经验将注意选择性地集中在核心部分,划分重点非重点区,减少注意１８第１期赵萱婷,等:眼动追踪技术下高中数学解题策略研究分散度．学习策略水平高的高中生对数学解题能进行选择性注意,并能根据以往策略经验灵活运用自下而上和自上而下的交互作用信息加工方式完成数学解题．优秀解题者眼睛移动是从一个意群到另一个意群,普通解题者是从一个单词到另一个单词,死抠字眼,逐词理解．而学习策略水平低的高中生的眼动轨迹无规律性,轨迹路线多㊁繁杂且长．表明其将注意力分散在全篇,逐字逐句地解题,不能充分理解数学解题材料,没有找到关键词,对于解题无关的干扰信息分配了较多的注视,不能适当将已有的数学知识图式与解题内容结合起来．４㊀研究结论４．１㊀学习策略水平高的高中生解题效率高学习策略水平高的高中生知识储备充足,善于运用内容与图式,能准确有效确定解题重点,在回答试题时,通过有效的元认知监控,对自己的解题过程进行计划与评估,确保解题有条不紊进行．把数学题目分成不同的组块进行解题,对上下文进行预测,避免反复回视,注意力集中,眼跳幅度小,次数少．４．２㊀学习策略水平低的高中生对题目理解不充分学习策略水平较低的高中生在解题时存在语篇障碍无法有效结合上下文进行合理推测．眼跳幅度大,反复回视,无法确定解题中心,注视点分散且杂乱,速度慢,总的解题时间与平均注视时间长．眼动轨迹图杂乱无序,路径长且数目多．参考文献:[１]㊀H O OW E R,W．A,G O U G H,P．B．T h eS i m p l eV i e wo fR e a d i n g[J]．R e a d i n g A n d 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e n t s:a s t u d y b a s e do n e y eＧt r a c k i n g t e c h n i q u eZ HA OX u a nＧt i n g１,Q IL eＧy i n g１,L IL iＧz h o u２,L IY aＧn a n１(１．C o l l e g e o FE d u c a t i o n,Q i n g h a i n o r m a lU n i v e r s i t y,X i n i n g８１０００８,C h i n a;２．O r g a n i z a t i o nD e p a r t m e n t o fT i a n q u a nC o u n t y C o m m i t t e e o f t h eC o m m u n i s tP a r t y o fC h i n a,Y a a n６２５５９９,C h i n a) A b s t r a c t:T w e n t yＧs i xh i g hs c h o o l s t u d e n t sw e r es t u d i e dw i t ht h e i V i e wx H iＧS p e e d１２５０e y e t r a c k e r m a d e b y S M I i nG e r m a n y T h e r e s u l t s s h o wt h a t:(１)i nm a t h e m a t i c s l e a r n i n g,s t u d e n t sw i t h d i f f e r e n t l e a r nＧi n g s t r a t e g y l e v e l sh a v es i g n i f i c a n td i f f e r e n c e s i nt h es c o r e so fd i f f e r e n t p r o b l e mt y p e s;(２)h i g hs c h o o l s t u d e n t sw i t hd i f f e r e n t l e v e l so f l e a r n i n g s t r a t e g i e sh a v es i g n i f i c a n td i f f e r e n c e s i nt o t a l p r o b l e mＧs o l v i n g t i m e,a v e r a g e f i x a t i o n t i m e,f i x a t i o n t i m e s,s a c c a d e t i m e s a n d r e c a l l t i m e s C o n c l u s i o n:H i g h s c h o o l s t u d e n t s w i t hh i g h l e a r n i n g s t r a t e g y l e v e l h a v e h i g h e r l e a r n i n g e f f i c i e n c y s c o r e s a n db e t t e r e y em o v e m e n t t h a n t h o s e w i t h l o ws c o r e s,a n d l e a r n i n g s t r a t e g yp l a y s am e t a c o g n i t i v em o n i t o r i n g r o l e i n m a t h e m a t i c s p r o b l e ms o lＧv i n g．K e y w o r d s:h i g hs c h o o ls t u d e n t s;m a t h e m a t i c a ll e a r n i n g s t r a t e g i e s;m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s o l v i n g; m e t a c o g n i t i o n。

基于运算视角的高中数学解题策略研究——以一道解析几何
题为例
冯开红
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】基于运算视角来进行高中数学解题教学是培养学生数学运算能力、提升解题准确性的重要措施,本文将以一道2021年高考解析几何试题为例,对基于运算视角的高中数学解题策略进行研究.
【总页数】3页(P50-52)
【作者】冯开红
【作者单位】福建省武平县第二中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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