磁场中的最小面积及动态圆积问题

磁场中的最小面积及动态圆积问题因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。

【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。

【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点 和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。

【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB= 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R =故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：0132(3)33r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场，在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求：（1）该带电粒子的比荷q m； （2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。

RR yoxA B v v o︒300v 0v b【解析】（1）以连线PM 为直径的圆半径为最小，此时满足：22R L = 另由牛二：2v qvB m R = 得：74.910/q v C kg m BR==⨯ （2）磁场可以限制在第一象限内以MN 为边界的矩形区域内，如图所示，其最小面积为：2220.25S R m ==【例4】如图所示，一个质量为m ，带q +电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。

为了使该粒子能在AC 边上的N 点（CM ＝CN ）垂真于AC 边飞出ABC ，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径r 及周期T ；（2）该粒子在磁场里运动的时间t ；（3）该正三角形区域磁场的最小边长。

【解析】(1)由牛顿第二定律有：2v qvB m r = 又 2r T vπ= 可得：mv r qB = 2m T qBπ= (2)带电粒子进入磁场后先左偏，故只有在磁场中转个优弧N才能从点射出磁场，轨迹如图：其在磁场中运动的时间是：5563m t T qBπ== (3)恰与运动轨迹有两边相切的正三角形△DEF 是最小的，其边长满足：°°°2cos30cos30cos30DG r r l +== 解得 4(31)3mv l qB=+ 【例5】在xOy 平面内有许多质量为m 、电荷量为e 的电子，从坐标原点O 不断地以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图所示。

现加一个垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。

试求：符合上述条件磁场的最小面积。

【解析】由牛顿第二定律：2v evB m r = 得mv r eB = 其为一定值. 首先考察沿正+y 轴方向射入磁场中的电子及图中给定方向的两个电子，其轨迹如图，要使这些电子穿过磁场后都能平行于x 轴向x 轴正向运动，电子需在达各轨迹圆的最高点时离开磁场，而这些点恰在图中的虚线OMP 上，由于这些点的圆心在以O 为圆心、轨迹圆半径为半径的1/4圆弧上，如图中第Ⅳ象限的1/4圆弧NQ ，显见，虚线OMP 也是半径为r的1/4圆弧，其圆心坐标为（0，r ）由此可知，图中圆弧ORP 与OMP 所围得面积（阴影区域）就是磁场的最小面积，即有：2222min 22112()(1)422m v S r r e Bππ=-=- 【例6】如图，ABCD 是边长为a 的正方形。

重力不计质量为m 、电荷量为e 的电子，以大小为v 的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。

试求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。

【解析】（1）首先考察由C 点入射经过A 点的粒子，其圆心必在B点，所以有r=a ，由牛顿第二定律 2v evB m r = 可得：mv B ea= 由左手定则可知其方向垂直纸面向外。

（2）再考察从BC 之间射入磁场中的电子，要确保从A 点射出磁场就得晚些进入磁场，设此边界点为M ，如图。

这些电子各轨迹圆的圆心必然在以A 为圆心、以轨迹圆半径a 为半径的圆周上，即图中的圆弧NPB ，由此可推断出磁场边界AMC 是以Ｄ点为圆心、也是以a 为半径的圆，圆弧AQC与圆弧AMC 所围得面积（阴影区域）就是磁场的最小面积，即有：222min 112()(1)422S r r a ππ=-=- 「数理方法」以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设边界点(,)M x y 射入磁场中的电子，从A 点射出时其速度方向与BA 的夹角为θ，则有：sin x a θ= cos y a a θ=- 消参可得：222()x y a a +-=，就是说：磁场的右边界AMC 是以D 点为圆心、以轨迹圆半径a 为半径的圆。

在上面对例5及例6的研习中，涉及了众多完全相同的带电粒子在磁场沿不同方向做圆运动的情况，上演了多个圆同时“滚动”的场景，称之为“滚动圆”，或“动态圆”，以下就处理此类问题。

【例1】如图所示，在直角坐标系xoy 中，x 轴上方有磁感应强度为B 方向垂直纸面向里的云强磁场。

大量质量为m 、电量为+q 的粒子，以相同的速度v沿纸面内，由x 轴负方向与y 轴正方向之间的各个方向从原点射入磁场区域，不计重力及粒子间的相互作用力。

下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中 可经过的区域，其中mv R qB =，正确的图是：【简析】通过对边界粒子的轨迹分析易判断出选项D 正确，面积是多少？【例2】如图所示，宽d ＝4 cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里。

现有一群正粒子从O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ＝10 cm ，则：A. 右边界－8 cm<y <8 cm 有粒子射出 C. 左边界y >8 cm 有粒子射出B. 右边界0<y <8 cm 有粒子射出 D. 左边界0<y <16 cm 有粒子射出【解析】根据左手定则，正粒子在匀强磁场中将沿逆时针方向转动的轨道半径r ＝10 cm ，画出粒子的两种临界轨迹，则OO 1＝O 1A ＝OO 2＝O 2C ＝O 2E ＝10 cm ，如图所示。

由几何知识求得：AB ＝BC ＝8 cm ，OE ＝16 cm ，因此答案为A 、D 。

【例3】如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。

某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量速率相同的带正电的同种粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，经过一段时间后有大量粒子从边界OC 射出磁场。

已知∠AOC=60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中最长时间等于粒子在磁场圆运动周期T 的一半，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为：A 、3TB 、4TC 、6TD 、8T 【解析】粒子在磁场中做半径相同的逆时针方向匀速圆周运动，弧长越小，粒子在磁场中做圆运动的时间就越短，由于粒子在磁场中运动的最长时间为其T/2，即沿SA 方向射出的粒子在磁场中运动时间为最长，作出粒子的运动轨迹如图。

由几何关系可知，当粒子在磁场中做圆运动所绕过的弧所对弦与边界OC 垂直时，粒子在磁场中所用时间为最短，显然SD=1/2SE ，即弦长SD 等于圆运动的半径∠'60DO S =°，故粒子在磁场中运动的最短时间为T/6，所以选A 、B 、C.A B C D【例4】如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为尺长边界上的一点，大量质量为m 、电量为+q 的粒子，在纸面内向各个方向以相同速率v 从P 点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PMQ 圆弧上，PMQ 圆弧长等于磁场边界周长的三分之一。

不计粒子重力及粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为：A 、32mv qRB 、2mv qRC 、3mv qRD 、233mv qR【解析】依题意可知，从Q 点射出的粒子是这些粒子中离P 点最远的粒子，PQ 为为该粒子轨迹圆的直径，PQ 的中点'O 就是圆心，如图所示。

由几何关系易得： °3cos30=2r R R =，另由2v qvB m R =可求得：233mv B qR =，故选D. 【例5】如图所示，夹角为30°的直线OA 、OB 间充满着垂直纸面向里的匀强磁场，OA 边界上的S 点处有一电子源，在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，电子在磁场中的轨迹半径为R 、周期为T .已知从OB 边界射出的电子在磁场中运动的最短时间为T /6，则下列说法正确的是：A 、沿某一方向发射的电子，可能从O 点射出B 、沿某一方向发射的电子，可能沿垂直于OB 的方向射出C 、从OA 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T/3D 、从OB 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T/3【解析】首先考察在磁场中运动时间最短t = T /6的电子，其在磁场中的轨迹所对的圆弧长为最小，弦长也为最短，过点S 作OB 的垂线，垂足为M ，则SM 就是它最短的弦，有：SM=r ，其轨迹如图甲所示，K 则是该电子轨迹圆的圆心，由几何关系可知：OS =2R .A 项：若粒子从O 点射出，又OS=2 R ，所以电子只能从S 点沿垂直于OA 方向向右射出，才能经过O点，然此时电子的轨迹就会有一部分不在磁场中，也就无法做到从O 点射出，故A 选项错误； B 项：当从S 点射出的电子方向平行于OB 时，圆心恰在M 点，此时电子将转过90°，沿垂直OB 的方向射出，如图乙所示，故选项B 正确；C 项：从OA 边射出的电子运动时间最长时，其轨迹恰与边界OB 相切，设切点为N ，圆心为C ，射出点是H ，如图所示，则由几何关系可知：∠AOB =∠CSO =∠COS=30°，故∠SCM =120°，则电子在磁场中运动的最长时间为T/3，故选项C 正确；D 项：从OB 射出的电子运动的时间最长时，电子的出射方向为沿OA 方向，其轨迹如所示，显然此时转过的圆心角大于120°，故选项D 错误； 综上，本题正确的答案是B 、C.O A B S 30︒A B S 30K O A B S 30C M N O A B 30M O A B S 30甲 乙 丙 丁【例6】如图，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有一与磁场平行的足够大的感光板ab ，在距ab 为SO d =的S 处有一粒子源，向纸面内的各个方向均匀发射速率大小都是v 的粒子，已知：粒子源每秒钟发射的粒子数为n ，粒子质量均为m 带电量均为+q ，不计重力及粒子间的相互作用力，其中沿与SO成30°角的粒子刚好与ab 相切于点P ，试求：（1）粒子从S 到P 所用的时间；（2）ab 上感光部分的长度；（3）感光板在一分钟内可接收到的粒子数目。