带电粒子在磁场中运动最小面积问题

带电粒子在电场中的运动知识总结基础规律一、复合场及其特点这里所说的复合场是指电场、磁场、重力场并存，或其中某两种场并存的场。

带电粒子在这些复合场中运动时，必须同时考虑电场力、洛仑兹力和重力的作用或其中某两种力的作用，因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要。

二、带电粒子在复合场电运动的基本分析1．当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止。

2．当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动。

3．当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动。

4．当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理。

三、电场力和洛仑兹力的比较1．在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛仑兹力的作用。

2．电场力的大小F＝Eq，与电荷的运动的速度无关；而洛仑兹力的大小f=Bqvsinα,与电荷运动的速度大小和方向均有关。

3．电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛仑兹力的方向始终既和磁场垂直，又和速度方向垂直。

4．电场力既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向，而洛仑兹力只能改变电荷运动的速度方向，不能改变速度大小。

5．电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛仑兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能。

6．匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛仑兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为圆弧。

知识归纳一、方法总结1、带电粒子在电场中运动（1）匀加速运动：注意1：求解时间时，用运动学公式。

注意2：求解某一方向运动时，也可利用动能定理。

（2）类平抛运动：2、带电粒子在磁场中运动（1）匀速直线运动：利用平衡条件。

（2）匀速圆周运动：其中R、θ主要通过几何关系确定。

（3）关于“几何关系”注意1：确定圆心方法：利用三角函数、勾股定理等。

难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点1. 产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行． 2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB ；当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB ·sin θ3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功．（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．①向心力由洛伦兹力提供：R v mqvB 2=②轨道半径公式：qBmvR =③周期：qB m 2v R 2T π=π=，可见T 只与q m有关，与v 、R 无关。

（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。

确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系（T 2t T 360t πα=α=或）作为辅助。

圆心的确定，通常有以下两种方法。

① 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1中P 为入射点，M 为出射点）。

电磁学压轴大题增分策略(一)——解决带电粒子在磁场中运动的三种思想方法带电粒子在匀强磁场中的运动常常命制压轴大题，涉及的题型通常有磁场区域最小面积的求解，“数学圆”模型在电磁学中的应用，“磁发散”和“磁聚焦”等问题。

三种题型分装在三节课时中，本节课则通过对近年高考及各地模拟题的研究，阐述应用对称法、临界极值法、递推法解决带电粒子在磁场中运动的问题。

利用对称性解决物理问题能大大简化解题步骤。

物理解题中的对称法，就是从对称性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法一般来讲，当研究对象在结构或相互作用上、物理过程在时间和空间上以及物理量在分布上具有对称的特征时，宜采用对称法进行解决。

[例1] (2015·山东高考)如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH 为大圆的水平直径。

两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅰ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。

间距为d 的两平行金属板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。

一质量为m 、电量为＋q 的粒子由小孔下方d 2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场。

不计粒子的重力。

(1)求极板间电场强度的大小； (2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；(3)若Ⅰ区、Ⅰ区磁感应强度的大小分别为2mv qD 、4mv qD，粒子运动一段时间后再次经过H 点，求这段时间粒子运动的路程。

电磁学中的临界、极值问题是高考命题的热点，难度往往较大，尤其是在分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的这类问题时，通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端(如极大、极小；最上、最下；最左、最右等)，结合相应的物理规律分析出临界条件，列出相应方程求解。

[例2] 如图所示，一平行板电容器两极板水平相对放置，在两极板的正中心上各开一孔，孔相对极板很小，因此不会影响两极板间的电场分布。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。

其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。

已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。

由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。

下面我就以几道典型题验证这个思路。

例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m、电荷量为q 的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。

后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。

过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。

作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。

这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得L=3r②由①、②求得B=■③图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得R=■L④例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x 轴重合。

一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。

一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。

25题练习〔3〕--磁场的最小面积1.如以下图,第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1,E 的大小为1.5×103 V/m,B 1大小为0.5 T ；第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面的匀强磁场,磁场的下边界与x 轴重合.一质量m ＝1×10－14 kg,电荷量q ＝2×10－10 C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点射入,沿直线运动,经P 点后即进入处于第一象限内的磁场B 2区域.一段时间后,微粒经过y 轴上的N点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出.M 点的坐标为<0,－10>,N点的坐标为<0,30>,不计微粒重力,g 取10 m/s 2.如此求：<1>微粒运动速度v 的大小；<2>匀强磁场B 2的大小；<3>B 2磁场区域的最小面积.解析：<1>带正电微粒在电场和磁场复合场中沿直线运动,qE ＝qvB 1,解得v ＝E/B 1＝3×103 m/s.<2>画出微粒的运动轨迹如图,粒子做圆周运动的半径为R ＝错误! m.由qvB 2＝mv 2/R,解得B 2＝3错误!/4 T.<3>由图可知,磁场B 2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD 内,由几何关系易得PD ＝2Rsin 60°＝20 cm ＝0.2 m,PA ＝R<1－cos60°>＝错误!/30 m.所以,所求磁场的最小面积为S ＝PD ·PA ＝错误! m 2.答案：<1>3×103 m/s <2>错误! T<3>错误! m 22．如图甲所示,x 轴正方向水平向右,y 轴正方向竖直向上.在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场,在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场.在坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置,它可以连续不断地发射具有一样质量m 、电荷量q 〔0>q 〕和初速为0v 的带电粒子.重力加速度大小为g.〔1〕当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射这种带电微粒时,带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场,并继续沿x 轴正方向运动.求电场强度和磁场强度的大小和方向.〔2〕调节坐标原点0处的带电微粒发射装置,使其在xoy 平面内不断地以一样的速率v 0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限,如图乙所示.现要求带电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动,如此在保证匀强电场、匀强磁场的强度和方向不变的条件下,应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积.解〔1〕由题目中"带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后,最终沿圆形磁场区 域的水平直径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动〞可知,带电微粒所受重力与电场力平衡.设电场强度大小为E,由平衡条件得：qE mg =1分 N ∴q mg E =1分 电场方向沿y 轴正方向 带电微粒进入磁场后,做匀速圆周运动,且圆运动半径r=R.设匀强磁场的磁感应强度大小为B.由牛顿第二定律得：R mv B qv 200=1分 ∴qR mv B 0=1分 磁场方向垂直于纸面向外1分〔2〕设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角θ, 如此θ满足0≤2πθ<,由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动,故B 应垂直于xoy 平面向外,带电微粒在磁场内做半径为qBmv R 0=匀速圆周运动. 由于带电微粒的入射方向不同,假如磁场充满纸面,它们所对应的运动的轨迹如以下图.2分为使带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动.由图可知,它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场.这样磁场边界上P 点的坐标P 〔x,y 〕应满足方程：θsin R x =,)cos 1(θ-=R y ,所以磁场边界的方程为：222)(R R y x =-+2分由题中0≤2πθ<的条件可知, 以2πθ→的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹即为所求磁场的另一侧的边界.2分因此,符合题目要求的最小磁场的X 围应是圆222)(R R y x =-+与圆222)(R y R x =+-的交集局部〔图影局部〕.1分由几何关系,可以求得符合条件的磁场的最小面积为：22202min )12(B q v m S -=π1分 3.如以下图,在平面直角坐标系xOy 中的第一象限内存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域〔图中未画出〕；在第二象限内存在沿x 轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x 轴上的A 点,A 点坐标为〔-L,0〕．粒子源沿y 轴正方向释放出速度大小为v 的电子,电子恰好能通过y 轴上的C 点,C 点坐标为〔0,2L 〕,电子经过磁场偏转后方向恰好垂直ON,ON 是与x 轴正方向成15°角的射线．〔电子的质量为m,电荷量为e,不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用．〕求：〔1〕第二象限内电场强度E 的大小．〔2〕电子离开电场时的速度方向与y 轴正方向的夹角θ．〔3〕圆形磁场的最小半径R min ．解：〔1〕22mv EeL〔2〕=45°〔3〕电子的运动轨迹如图,电子在磁场中做匀速圆周运动的半径电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出,如此磁场最小半径：由以上两式可得：4.〔某某适应性测试>在如右图所示的平面直角坐标系中,存在一个半径R＝0.2m的圆形匀强磁场区域,磁感应强度B＝1.0T,方向垂直纸面向外,该磁场区域的右边缘与坐标原点O 相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场,方向沿y轴正方向,电场区域宽度l＝0.1m．现从坐标为<－0.2m,－0.2m>的P点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子,沿y轴正方向射入匀强磁场,速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．<1>求该带电粒子射出电场时的位置坐标；<2>为了使该带电粒子能从坐标为<0.1m,－0.05m>的点回到电场后,可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场,试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．解析：<1>带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B＝m错误!解得r＝0.20m＝R根据几何关系可知,带电粒子恰从O点沿x轴进入电场,带电粒子做类平抛运动．设粒子到达电场边缘时,竖直方向的位移为y,有l＝v0t,y＝错误!·错误!t2联立解得y＝0.05m所以粒子射出电场时的位置坐标为<0.1m,0.05m>．<2>粒子飞离电场时,沿电场方向速度v y＝at＝5.0×103m/s＝v0粒子射出电场时速度v＝错误!v0由几何关系可知,粒子在正方形区域磁场中做圆周运动半径r′＝0.05错误!m由qvB′＝m错误!,解得B′＝4T正方形区域最小面积S＝<2r′>2解得S＝0.02m2.答案：<1><0.1m,0.05m> <2>0.02m25.如以下图,在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁场,电场强度E＝1.0×103 V/m,方向未知,磁感应强度B＝1.0 T,方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′<图中未画出>．一质量m＝1×10－14 kg、电荷量q＝1×10－10 C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限,在第一象限内做直线运动,而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后,粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．A点坐标为<10,0>,C点坐标为<－30,0>,不计粒子重力．<1>判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v.<2>画出粒子在第二象限的运动轨迹,并求出磁感应强度B′.<3>求第二象限磁场B′区域的最小面积．解析<1>粒子在第一象限内做直线运动,速度的变化会引起洛伦兹力的变化,所以粒子必做匀速直线运动．这样,电场力和洛伦兹力大小相等,方向相反,电场E的方向与微粒运动的方向垂直,即与x轴正向成30°角斜向右上方．由平衡条件有Eq＝Bqv得v＝错误!＝错误! m/s＝103 m/s<2>粒子从B点进入第二象限的磁场B′中,轨迹如图粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系可知R＝错误! cm＝错误! cm由qvB′＝m错误!,解得B′＝错误!＝错误!,代入数据解得B′＝错误! T.<3>由图可知,B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点,磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD＝20 cm,即磁场圆的最小半径r＝10 cm,所以,所求磁场的最小面积为S＝πr2＝3.14×10－2 m2答案<1>与x轴正向成30°角斜向右上方103 m/s <2>运动轨迹见解析图错误! T <3>3.14×10－2 m26．如图甲所示,在xOy平面内有足够大的匀强电场,电场方向竖直向上,电场强度E＝40 N/C,在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场,磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示,15π s后磁场消失,选定磁场垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场,分布在一个半径为r＝0.3 m的圆形区域<图中未画出>,且圆的左侧与y轴相切,磁感应强度B2＝0.8 T．t＝0时刻,一质量m＝8×10－4 kg、电荷量q＝2×10－4 C的微粒从x轴上x P＝－0.8 m处的P点以速度v＝0.12 m/s向x轴正方向入射．<g取10 m/s2,计算结果保存两位有效数字><1>求微粒在第二象限运动过程中离y轴、x轴的最大距离．<2>假如微粒穿过y轴右侧圆形磁场时,速度方向的偏转角度最大,求此圆形磁场的圆心坐标<xy>．解析<1>因为微粒射入电磁场后受到的电场力F＝Eq＝8×10－3 N,G＝mg＝8×10－3 N电F＝G,所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动电因为qvB1＝m错误!所以R1＝错误!＝0.6 mT＝错误!＝10π s从图乙可知在0～5 π s内微粒向左做匀速圆周运动在5π s～10π s内微粒向左匀速运动,运动位移x＝v错误!＝0.6π m1在10π s～15π s内,微粒又做匀速圆周运动,15π s以后向右匀速运动,之后穿过y轴．所以,离y轴的最大距离s＝0.8 m＋x＋R1＝1.4 m＋0.6π m≈3.3 m1离x轴的最大距离s′＝2R1×2＝4R1＝2.4 m<2>如图,微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大,〔因为R=2r〕入射点A与出射点B的连线必须为磁场圆的直径因为qvB2＝错误!所以R2＝错误!＝0.6 m＝2r所以最大偏转角θ＝60°所以圆心坐标x＝0.30 my＝s′－r cos 60°＝2.4 m－0.3 m×错误!≈2.3 m,即磁场的圆心坐标为<0.30,2.3>答案<1>3.3 m,2.4 m <2><0.30,2.3>7.如以下图,虚线MO与水平线PQ相较于O点,二者夹角θ=300,在MO右侧某个区域存在着磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场,在MO左侧存在着垂直纸面向里的另一匀强磁场,磁感应强度为B’.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v〔0≤v≤EB〕垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时,速度方向均平行于PQ向左,不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求：〔1〕磁场区域的最小面积．〔2〕速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．。

一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。

现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。

求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。

(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。

设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。

(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。

答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。

最小磁场矩形面积问题的再探讨作者：叶玉琴丁丹华来源：《中学物理·高中》2013年第05期《物理教师》2012年第3期刊登了一篇题为《怎样处理“题同答异”的问题》（下文称为《怎》文）的文章，文章探讨的问题如下：题如图1，一带电粒子（不计粒子的重力）以某一速度在竖直平面内做直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面的磁感应强度为B的匀强磁场区域（图中未画出）；粒子飞出磁场后接着沿垂直于电场的方向出入宽度为L的电场中，电场强度的大小为E，方向竖直向上.粒子穿过电场过程中，速度反向改变了60°角.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入磁场前的速度方向与水平方向成θ=60°.若磁场区域为矩形，则矩形最小面积为多少？《怎》文开篇提出这样的观点：有些物理问题，因为题目所给的条件不严密，它的答案会随解题者对题目的理解的不同而不同.对于例题中的最小矩形面积问题，《怎》文认为：题目只是确定磁场区域是矩形，并没有要求边界是水平和竖直，留有让学生产生产生歧义的漏洞，因而多数人因为思维定势按图2求磁场区域最小面积为S=Rsinθ·R（1-cosθ）=34R2.【笔者注：此种方法确定的最小矩形的一对对边与粒子进点或出点处半径平行，下文称为“平行半径法”】而事实上有更小的矩形面积区域，如图3，它的面积S′=2Rsin30°·R（1-cos30°）=2-32R2，【笔者注：此种方法确定的最小矩形的一对对边与粒子在磁场中运动的进、出点决定的弦平行，故称之“平行弦法”】鉴于此，笔者认为，第一，关于此类问题的教学处理仅应用“有结果反推原因”的物理方法是不够的，而应给出更严谨、更普遍性的论证，只有这样，才能让学生深刻认识问题、了解问题并掌握解决问题的方法及原理.第二，《怎》文中提出的关于最小矩形磁场区域面积问题的题给条件是严密的，不存在“题同答异”一说，即不存在“答案随解题者对题目的理解的不同而不同”.笔者在教学中确实发现如《怎》文所说的情形：经常有学生拿着题目问，这道题在这里是这个答案，在另一本书上是那个答案.但笔者一点也不烦，因为这正是利用错误资源、澄清认识误区的最好时机！下面笔者对粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动中所需的最小矩形磁场区域面积问题作一般性的论证和说明.为方便，令粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，圆心角（或曰速度偏向角）为θ，分以下四种情形进行分析论证.21世纪国际社会的竞争归根到底是人才素质的竞争，而创新精神是优秀人才必备的素质.随着新课改的日益全面推行和高考改革的不断深入，近几年来高考试题也越来越突出了对学生能力的考查，主要表现在要求学生在熟练掌握知识的基础上能够灵活地综合运用所学的知识分析问题并寻求最佳的解决方案，这就要求学生具有周密分析、独立思考的能力，因此在教学中如果出现错误资源时，诚如《怎》文所说，这其实正是展现物理教师学术水平和对待问题的态度的最佳时机，同时也是培养中学生的质疑意识和创新精神的最佳时机，教师要积极把握、智慧对待！。

磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。

很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。

那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。

相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。

例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。

角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得："二崂则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺qB由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以0,为圆心、R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周.即得圆形区域的最小半径 一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、 磁感应强度为B 的匀强磁场。

2020--2021物理粤教版选修1—1第1章 电与磁固基练习及答案 物理粤教版选修1—1第1章 电与磁1、如图所示，AB 是某电场中的一根电场线，在线上O 点放一个自由的负电荷，它将沿电场线向B 点运动，下列判断中正确的是( )A ．电场线由B 指向A ，该电荷做加速运动，加速度一定越来越小B ．电场线由B 指向A ，该电荷做加速运动，由题设条件知其加速度大小的变化不能确定C ．电场线由A 指向B ，电荷做匀加速运动D ．电场线由B 指向A ，电荷做加速运动，加速度一定越来越大2、下列现象中不属于摩擦起电的是( )A ．将被绸子摩擦过的玻璃棒靠近纸屑，纸屑被吸起B ．在干燥的冬季脱毛绒衣时，会听到轻微的“噼啪”声C ．擦黑板时粉笔灰纷纷飞扬，四处飘落D ．穿着化纤类织物的裤子走路时，裤腿上常容易吸附灰尘3、(多选)关于点电荷，下列说法中正确的是( )A ．点电荷是一个带有电荷的几何点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化的模型B ．点电荷自身不一定很小，所带电荷量不一定很少C ．体积小于1 mm 3的带电体就是点电荷D ．体积大的带电体，只要满足一定的条件也可以看成点电荷4、如图所示，矩形线框平面与匀强磁场方向垂直，穿过的磁通量为Φ.若线框面积变为原来的12，则磁通量变为( )A.14ΦB.12Φ C ．2Φ D ．4Φ5、如图所示，A 、B 两点电场强度相同的是( )6、关于磁场和磁感线，下列说法正确的是()A．磁铁是磁场的唯一来源B．磁感线是从磁体的北极出发到南极终止C．自由转动的小磁针放在通电螺线管内部，其N极指向通电螺线管磁场的北极D．两磁感线空隙处不存在磁场7、如果运动电荷除磁场力外不受其他任何力的作用，则带电粒子在磁场中做下列运动可能成立的是()A．做匀速直线运动B．做匀变速直线运动C．做变加速直线运动D．做匀变速曲线运动8、如图所示，原来不带电的金属导体MN，在其两端下面都悬挂着金属验电箔；若使带负电的金属球A靠近导体的M端，可能看到的现象是()A．只有M端验电箔张开，且M端带正电B．只有N端验电箔张开，且N端带负电C．两端的验电箔都张开，且左端带负电，右端带正电D．两端的验电箔都张开，且两端都带正电或负电9、两个相同的金属球，分别带有＋4Q和－6Q的电荷量，两球相隔一定距离时，相互作用力的大小为F，若把它接触后再放回原处，两球相互作用力的大小变为()A.F24 B.F16 C.F8 D.F410、关于磁场和磁感线，下列说法正确的是()A．两磁感线空隙处不存在磁场B．磁感线可以形象地描述各磁场的强弱和方向，它每一点的切线方向都和小磁针放在该点静止时北极所指的方向一致C．磁感线总是从磁铁的N极出发，到S极终止的D．磁感线可以用细铁屑来显示，因而是真实存在的11、(双选)用细线将一质量为m，电荷量为q的小球悬挂在天花板的下面，设空气中存在有沿水平方向的匀强电场，当小球静止时把细线烧断，小球将做() A．自由落体运动B．初速度为零的匀加速直线运动C．沿悬线的延长线方向的匀加速运动D．变加速直线运动12、下列关于磁感应强度大小的说法中正确的是()A．通电导线受安培力大的地方磁感应强度一定大B．磁感线的指向就是磁感应强度减小的方向C．放在匀强磁场中各处的通电导线，受力大小和方向处处相同D．磁感应强度的大小和方向跟放在磁场中的通电导线受力的大小和方向无关13、(双选)来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将()A．竖直向下沿直线射向地面B．相对于预定点向东偏转C．做曲线运动D．相对于预定点，稍向北偏转14、两个质量相等的小球，带电荷量分别为q1和q2，用长为L的两根细线悬挂在同一点，静止时两悬线与竖直方向的夹角均为30°，求小球的质量．15、如图是某电场区域的电场线分布．A、B、C是电场中的三个点．(1)哪一点电场最强，哪一点电场最弱？(2)画出各点电场强度的方向．(3)如果把一个带负电的点电荷分别放在这三点，画出它所受电场力的方向．2020--2021物理粤教版选修1—1第1章电与磁固基练习及答案物理粤教版选修1—1第1章电与磁1、如图所示，AB是某电场中的一根电场线，在线上O点放一个自由的负电荷，它将沿电场线向B点运动，下列判断中正确的是()A．电场线由B指向A，该电荷做加速运动，加速度一定越来越小B．电场线由B指向A，该电荷做加速运动，由题设条件知其加速度大小的变化不能确定C．电场线由A指向B，电荷做匀加速运动D．电场线由B指向A，电荷做加速运动，加速度一定越来越大【答案】B[负点电荷在O点向B点运动，说明该负点电荷在电场中受到的电场力方向由A指向B，而负点电荷在电场中受到电场力方向与电场强度方向(即电场线方向)相反，所以电场线应由B指向A，选项C错；因一根电场线无法判断其疏密程度，也就不能判断该电场在A、B两处哪点的场强大．所以不能确定负电荷由O向B运动时受到电场力(或加速度)大小的变化，选项A、D错，选项B 对．]2、下列现象中不属于摩擦起电的是( )A ．将被绸子摩擦过的玻璃棒靠近纸屑，纸屑被吸起B ．在干燥的冬季脱毛绒衣时，会听到轻微的“噼啪”声C ．擦黑板时粉笔灰纷纷飞扬，四处飘落D ．穿着化纤类织物的裤子走路时，裤腿上常容易吸附灰尘【答案】C [摩擦起电后物体带静电，能吸引轻小物体，也能产生火花放电，故选C.]3、(多选)关于点电荷，下列说法中正确的是( )A ．点电荷是一个带有电荷的几何点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化的模型B ．点电荷自身不一定很小，所带电荷量不一定很少C ．体积小于1 mm 3的带电体就是点电荷D ．体积大的带电体，只要满足一定的条件也可以看成点电荷【答案】ABD [点电荷是实际的带电体在一定条件下抽象出的一种理想化模型，这个条件是带电体大小和形状在研究问题中对相互作用力的影响可以忽略不计．]4、如图所示，矩形线框平面与匀强磁场方向垂直，穿过的磁通量为Φ.若线框面积变为原来的12，则磁通量变为( )A.14ΦB.12Φ C ．2Φ D ．4Φ【答案】B [磁感应强度与线圈面积相互垂直，则Φ＝BS ；B 不变，面积变为原来的12，则可得磁通量变为Φ′＝B·12S ＝12Φ，故B 正确，A 、C 、D 错误．]5、如图所示，A 、B 两点电场强度相同的是( )【答案】C[电场线可以形象地描述电场，其疏密反映了场强的大小，场强方向沿电场线的切线方向．分析可知只有C图中A、B两处电场线疏密相同且方向相同，C正确．]6、关于磁场和磁感线，下列说法正确的是()A．磁铁是磁场的唯一来源B．磁感线是从磁体的北极出发到南极终止C．自由转动的小磁针放在通电螺线管内部，其N极指向通电螺线管磁场的北极D．两磁感线空隙处不存在磁场【答案】C[由电流的磁效应可知电流也能产生磁场，A错误；由磁感线的特性可知B、D错误；由通电螺线管磁场的分布可知C正确．]7、如果运动电荷除磁场力外不受其他任何力的作用，则带电粒子在磁场中做下列运动可能成立的是()A．做匀速直线运动B．做匀变速直线运动C．做变加速直线运动D．做匀变速曲线运动【答案】A[当v∥B时，f＝0，故运动电荷不受洛伦兹力作用而做匀速直线运动．当v与B不平行时，f≠0且f与v恒垂直，即f只改变v的方向，故运动电荷做匀速圆周运动．]8、如图所示，原来不带电的金属导体MN，在其两端下面都悬挂着金属验电箔；若使带负电的金属球A靠近导体的M端，可能看到的现象是()A．只有M端验电箔张开，且M端带正电B．只有N端验电箔张开，且N端带负电C．两端的验电箔都张开，且左端带负电，右端带正电D．两端的验电箔都张开，且两端都带正电或负电【答案】C[由于静电感应，导体MN两端分别感应出等量的异种电荷，靠近带电体的M端带上正电，远离带电体的N端带上负电，两端的金属验电箔都会张开．故选项C正确．]9、两个相同的金属球，分别带有＋4Q和－6Q的电荷量，两球相隔一定距离时，相互作用力的大小为F，若把它接触后再放回原处，两球相互作用力的大小变为()A.F24 B.F16 C.F8 D.F4【答案】A[根据库仑定律，两球未接触前的相互作用力的大小为F＝24kQ2r2，两个带电金属球相互接触，由于正、负电荷中和，总电荷量为4Q－6Q＝－2Q，每个金属球带电荷量为－Q，金属球放回原处，相互作用力的大小变为F′＝k Q2r2，即F′＝F 24.]10、关于磁场和磁感线，下列说法正确的是()A．两磁感线空隙处不存在磁场B．磁感线可以形象地描述各磁场的强弱和方向，它每一点的切线方向都和小磁针放在该点静止时北极所指的方向一致C．磁感线总是从磁铁的N极出发，到S极终止的D．磁感线可以用细铁屑来显示，因而是真实存在的【答案】B[磁感线是为了形象描述磁场而假设的一组有方向的闭合的曲线，实际上并不存在，所以选项C、D错误．磁感线上每一点切线方向表示磁场方向，磁感线疏密表示磁场的强弱，小磁针静止时北极受力方向、北极指向均为磁场方向，所以选项B正确．磁感线的疏密程度表示磁场的强弱，两磁感线间的空隙处也存在磁场，A项错误．]11、(双选)用细线将一质量为m，电荷量为q的小球悬挂在天花板的下面，设空气中存在有沿水平方向的匀强电场，当小球静止时把细线烧断，小球将做() A．自由落体运动B．初速度为零的匀加速直线运动C．沿悬线的延长线方向的匀加速运动D．变加速直线运动【答案】BC[烧断细线前，小球受竖直向下的重力G、水平方向的电场力F和悬线的拉力T，并处于平衡状态．现烧断细线，拉力T消失，而重力G和电场力F都没有变化，G和F的合力为恒力，方向沿悬线的延长线方向，所以小球做初速度为零的匀加速直线运动．带电粒子在匀强电场中所受的电场力在运动过程中保持不变，初速度为零的物体开始运动的方向必沿合外力方向．]12、下列关于磁感应强度大小的说法中正确的是()A．通电导线受安培力大的地方磁感应强度一定大B．磁感线的指向就是磁感应强度减小的方向C．放在匀强磁场中各处的通电导线，受力大小和方向处处相同D．磁感应强度的大小和方向跟放在磁场中的通电导线受力的大小和方向无关【答案】D[磁场中某点的磁感应强度的方向和大小由磁场本身决定，磁感应强度的大小可由磁感线的疏密来反映，安培力的大小不仅与B、I、l有关，还与导体的放法有关．]13、(双选)来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将()A．竖直向下沿直线射向地面B．相对于预定点向东偏转C．做曲线运动D．相对于预定点，稍向北偏转【答案】BC[地球表面地磁场方向由南向北，质子带正电，由左手定则可判定，质子自赤道上空竖直下落过程中所受洛伦兹力方向向东，将偏东做曲线运动．]14、两个质量相等的小球，带电荷量分别为q1和q2，用长为L的两根细线悬挂在同一点，静止时两悬线与竖直方向的夹角均为30°，求小球的质量．[解析]对其中一小球受力分析如图，由平衡条件得mgtan 30°＝kq1q2（2Lsin 30°）2解得m＝3kq1q2 gL2.[答案]3kq1q2 gL215、如图是某电场区域的电场线分布．A、B、C是电场中的三个点．(1)哪一点电场最强，哪一点电场最弱？(2)画出各点电场强度的方向．(3)如果把一个带负电的点电荷分别放在这三点，画出它所受电场力的方向．【答案】(1)B点电场最强，C点电场最弱．(2)各点电场强度的方向如下图所示．(3)一个带负电的点电荷放在A、B、C点上，它所受电场力的方向如下图所示．。

带电粒子在磁场中运动最小面积问题例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．(3)b点的坐标．例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，推导半径和周期公式：推导过程：运动时间t=3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的确定的常规方法①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置与通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向与圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．图4－2图4－3图4－4例1 、一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P〔a，0〕点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。

求3〕〕匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

〔坐标为〔0，a例2、电子自静止开始经M、N板间〔两板间的电压为U〕的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：〔1〕正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； 〔2〕匀强磁场的磁感应强度.〔已知电子的质量为m ，电量为e 〕emUd L L 2222(2)利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。

高考回归复习—电磁场之带电粒子在磁场中运动求磁场面积问题模型1．如图，xoy为平面直角坐标系，y>0的区域内有一个底边与x轴重合的等腰直角三角形，在该等腰直角三角形区域内存在着垂直于坐标平面向里的匀强磁场，y<0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。

一v沿x轴正方向运动，由质量为m、电荷量为+q(q >0)的带电粒子(不计重力)从电场中P(0，-h)点以速度v通过P点并重复上述运动。

求：Q(2h，0)点进入磁场，经磁场偏转后再次射人电场，恰能以同样的速度(1)电场强度的大小;(2)磁感应强度的大小;(3)粒子连续两次通过P点的时间间隔;(4)等腰三角形磁场区域的最小面积。

2．在如图所示的平面直角坐标系中存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度L＝0.1 m．现从坐标为(－0.2 m，－0.2 m)的P 点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．(1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标；(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1 m，－0.05 m)的点回到电场，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．3．电子对湮灭是指电子e－和正电子e＋碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正电子湮灭能谱学(PAS)的物理基础。

如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x 轴上，且OP＝2L，Q点在负y轴上某处。

在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅰ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，OA＝L，在第Ⅰ象限内有一未知的矩形区域(图中未画出)，未知矩形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题引言磁场是由磁场线引起电场的结果，同样地，电场也是由电荷引起的。

磁力线可以用来描述磁场，电荷可以用来描述电场。

针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，根据电磁场和相对论，我们将得出一组有效的解决方案。

一、磁力线磁力线就是电流通过一个指定的半径r的圆形区域的磁场感应而形成的线状物，它也是一种物理现象。

磁力线的分布是特定的，大致呈现环状或类似波状，磁力线的密度随着半径r的增大而减小。

它表现出一种有规律的分布，这是理论上它版本，它也称为密度存在着一定的减弱规律，我们不妨以圆环或者一种类似于椭圆状的“钟形磁力线”为例，描述它是如何形成的：磁力线的面积减小，电流分布从圆轴向圆环的外延拓展，同时电流的宽度也会加宽来空间平衡。

大多数物理现象都可以用磁力线描述，例如电动力，磁场能量等等。

二、多普勒效应多普勒效应是1880年和1905年由德国物理学家阿尔伯特·爱因斯坦和英国物理学家罗素发现的，它是指物体在磁场中移动时，它们之间会产生电磁叠加的现象，并产生移动的“拉曼光谱”。

这种现象可以用电磁力线描述，其原理是当一个物体在一个磁场中移动时，它会影响它周围的磁力线的面积，而磁力线的面积因被影响而改变，从而产生电磁叠加的现象，另外，磁场中的电荷也会改变，从而叠加出新的物理性质。

三、相对论1905年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了他经典的相对论，这是物理学史上的一个重大突破，他用蕴藏在物质里的相对性，解释了物理世界的性质，并建立了我们今天的宇宙论和量子力学的基础。

相对论应用于电动力学，则为我们提供了有效的描述和分析电磁场的手段，可以用来分析物体在磁场中如何受到力的影响，从而研究其在特定磁力线面积上的运动轨迹。

四、解决方案针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，考虑到多普勒效应和相对论，有两种解决方案可以考虑：1. 由多普勒效应，可以利用拉曼光谱来分析物体在不同磁力线和电荷的面积中的运动情况，从而判断物体在特定磁力线面积的最小运动轨迹，也就是物体在特定面积内的最小面积；2. 通过应用相对论理论，可以考虑到电磁场各种参数（强度和方向），将它们作为条件分析，利用相对论推导出物体最小运动轨迹的面积。

磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=mq C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106-⨯πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程；⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2mv qvB R=２分运动周期22R mT v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间611066t s T π-=⨯= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为1263πθπ⨯=＝ １分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan2y x x θ==２分⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有2mv qv B R =００ ２分mv R qB=1=ｍ １分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分调整后磁场区域的最小面积22min22()422R R S ππ-=⨯-=m2２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。