圆形磁场的最小面积

圆形磁场中的几个典型问题的相关规律练习一、当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，即“磁聚焦”存在两条特殊规律规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q ，质量为m ，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ）A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上B ．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C ．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D ．只要速度满足qBR v m，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上 2．如图所示，长方形abed 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心Od 为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T 。

一群不计重力、质量m=3×10-7kg 、电荷量q=+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边D ．从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（a ，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y =a 的上方和直线x =2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，一质量为m 、电荷量为+q （q >0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O 1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B 的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。

电磁学压轴大题增分策略(一)——解决带电粒子在磁场中运动的三种思想方法带电粒子在匀强磁场中的运动常常命制压轴大题，涉及的题型通常有磁场区域最小面积的求解，“数学圆”模型在电磁学中的应用，“磁发散”和“磁聚焦”等问题。

三种题型分装在三节课时中，本节课则通过对近年高考及各地模拟题的研究，阐述应用对称法、临界极值法、递推法解决带电粒子在磁场中运动的问题。

利用对称性解决物理问题能大大简化解题步骤。

物理解题中的对称法，就是从对称性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法一般来讲，当研究对象在结构或相互作用上、物理过程在时间和空间上以及物理量在分布上具有对称的特征时，宜采用对称法进行解决。

[例1] (2015·山东高考)如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH 为大圆的水平直径。

两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅰ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。

间距为d 的两平行金属板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。

一质量为m 、电量为＋q 的粒子由小孔下方d 2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场。

不计粒子的重力。

(1)求极板间电场强度的大小； (2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；(3)若Ⅰ区、Ⅰ区磁感应强度的大小分别为2mv qD 、4mv qD，粒子运动一段时间后再次经过H 点，求这段时间粒子运动的路程。

电磁学中的临界、极值问题是高考命题的热点，难度往往较大，尤其是在分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的这类问题时，通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端(如极大、极小；最上、最下；最左、最右等)，结合相应的物理规律分析出临界条件，列出相应方程求解。

[例2] 如图所示，一平行板电容器两极板水平相对放置，在两极板的正中心上各开一孔，孔相对极板很小，因此不会影响两极板间的电场分布。

圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。

其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。

已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。

由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。

下面我就以几道典型题验证这个思路。

例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m、电荷量为q 的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。

后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。

过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。

作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。

这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得L=3r②由①、②求得B=■③图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得R=■L④例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x 轴重合。

一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。

一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。

圆形边界磁场知识点总结磁场是指在空间中出现的一种物理现象，是由电荷运动所产生的基本物理场。

在工程和科学应用中，圆形边界磁场是一种常见的磁场形式，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将对圆形边界磁场的相关知识进行总结，包括其定义、性质、计算方法等方面，以便对圆形边界磁场有更深入的了解。

一、圆形边界磁场的定义圆形边界磁场是指由一个或多个电流元在圆形环路内产生的磁场。

在平面上，若电流I在半径为r的圆形环路上均匀分布，则在圆心的磁场大小可以用以下公式表示：\[ B = \frac{\mu_0 I}{2r} \]其中，B代表磁场强度，μ0代表真空磁导率, I代表磁场环路上的电流，r代表圆形环路的半径。

二、圆形边界磁场的性质1. 磁场方向圆形边界磁场有明确的磁场方向。

根据安培定则，磁场环路内部的磁场方向为环路的法向，指向环路内部；环路外部的磁场方向为环路的法向，指向环路外部。

2. 磁场大小圆形边界磁场的大小与环路的半径成反比，与环路上的电流成正比。

当环路的半径越大，磁场强度越小；当环路上的电流越大，磁场强度越大。

3. 磁场分布圆形边界磁场的分布是均匀的，即在圆形环路的内部，磁场大小和方向是均匀分布的。

4. 磁场叠加在多个圆形环路产生的磁场可以叠加。

根据叠加原理，多个圆形环路产生的磁场可以通过矢量合成得到总的磁场。

5. 磁场方向的变化圆形边界磁场的方向与环路上的电流方向有关。

根据右手定则，当电流方向与环路的法向方向相同时，环路内部的磁场方向指向环路内部；当电流方向与环路的法向方向相反时，环路内部的磁场方向指向环路外部。

三、圆形边界磁场的计算方法1. 定义电流元在计算圆形边界磁场时，先需要定义一个电流元，然后再将电流元叠加起来以得到总的磁场。

2. 利用比奥-萨伐尔定律计算磁场比奥-萨伐尔定律是用来计算电流元产生的磁场的公式，可以用来计算圆形边界磁场。

该定律表明，一个长直导线在某一点产生的磁场与该点到导线的距离成反比，与导线上的电流成正比。

2023年江苏省扬州中学高考物理一模试卷1. 下列说法正确的是( )A. 物体内热运动速率大的分子数占总分子数比例与温度无关B. 液体表面张力产生的原因是液体表面受到液体内部的吸引力作用C. 知道阿伏伽德罗常数、气体的摩尔质量和密度，可以估算出该气体的分子直径D. 一定质量的理想气体，在压强不变时，单位时间内分子与器壁单位面积碰撞次数随温度降低而增加2. 一束由a、b、c三种颜色组成的光，经过三棱镜后形成的光路如图所示。

若将这三种光分别入射到同一光电管，都有光电子产生。

关于这三种光，下列判断正确的是( )A. c光所对应的遏止电压最大B. c光的光子动量最小C. 棱镜中a光的传播速度大于b光的传播速度D. 若用同一装置进行双缝干涉实验，a光的条纹间距大于b光的条纹间距3. 核电站铀核裂变的产物是多样的，一种典型的铀核裂变是生成钡和氪，同时放出3个中子，核反应方程是，铀核的质量为，钡核的质量为，氪核的质量为，中子的质量为此类核反应中放出光子，能使逸出功为的金属板放出最大初动能为的光电子，已知电子的质量为m，光速为c，普朗克常量为h，则A. 该核反应放出的核能为B. 光子是原子核外最外层电子向基态跃迁时放出的，因此能量很高C. 这些光电子的德布罗意波长不小于D. 该核反应产物的结合能之和小于反应前铀核的结合能4. 如图所示，有一质量为m的物块分别与轻绳P和轻弹簧Q相连，其中轻绳P竖直，轻弹簧Q与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是( )A. 剪断轻绳瞬间，物块的加速度大小为gB. 剪断轻绳瞬间，物块的加速度大小为C. 弹簧Q可能处于压缩状态D. 轻绳P的弹力大小一定小于mg5. “中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜。

通过FAST测量水星与太阳的视角水星B、太阳S分别与地球A的连线所夹的角，如图所示。

若视角的正弦值最大为a，地球和水星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为( )A. B. C. D.6. 如图所示为远距离输电原理图，变压器、为理想变压器，原、副线圈的匝数比为1：10，原、副线圈的匝数比为10：1，发电机的输出功率为P，输出电压为U，用电器两端的电压为，则输电线的电阻R为( )A. B. C. D.7. 如图所示，波源、以相同的频率垂直纸面振动激发出横波在纸面内沿着各个方向传播，A、B、C三点在、连线的中垂线上，时刻、同时沿相同方向开始振动，经与相距6m的A点开始振动，此后A点每分钟上过4s的时间，且当A位于波峰时，B、C两点也同时位于离A点下振动10次，最近的两个波峰，则下列说法正确的是( )A. 波源激发的横波波长为9mB. 波源激发的横波波长为18mC. 与B之间的距离为12mD. 时C点开始振动8. 如图所示，从匀速运动的水平传送带边缘，垂直弹入一底面涂有墨汁的棋子，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动。

一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。

现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。

求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。

(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。

设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。

(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。

答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。

磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=mq C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106-⨯πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程；⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2mv qvB R=２分运动周期22R mT v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间611066t s T π-=⨯= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为1263πθπ⨯=＝ １分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan23y x x θ==２分⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有2mv qv B R =００ ２分mv R qB=1=ｍ １分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分调整后磁场区域的最小面积22min22()422R R S ππ-=⨯-=m2２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

高考回归复习—电磁场之带电粒子在磁场中运动求磁场面积问题模型1．如图，xoy为平面直角坐标系，y>0的区域内有一个底边与x轴重合的等腰直角三角形，在该等腰直角三角形区域内存在着垂直于坐标平面向里的匀强磁场，y<0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。

一v沿x轴正方向运动，由质量为m、电荷量为+q(q >0)的带电粒子(不计重力)从电场中P(0，-h)点以速度v通过P点并重复上述运动。

求：Q(2h，0)点进入磁场，经磁场偏转后再次射人电场，恰能以同样的速度(1)电场强度的大小;(2)磁感应强度的大小;(3)粒子连续两次通过P点的时间间隔;(4)等腰三角形磁场区域的最小面积。

2．在如图所示的平面直角坐标系中存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度L＝0.1 m．现从坐标为(－0.2 m，－0.2 m)的P 点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．(1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标；(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1 m，－0.05 m)的点回到电场，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．3．电子对湮灭是指电子e－和正电子e＋碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正电子湮灭能谱学(PAS)的物理基础。

如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x 轴上，且OP＝2L，Q点在负y轴上某处。

在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅰ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，OA＝L，在第Ⅰ象限内有一未知的矩形区域(图中未画出)，未知矩形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题引言磁场是由磁场线引起电场的结果，同样地，电场也是由电荷引起的。

磁力线可以用来描述磁场，电荷可以用来描述电场。

针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，根据电磁场和相对论，我们将得出一组有效的解决方案。

一、磁力线磁力线就是电流通过一个指定的半径r的圆形区域的磁场感应而形成的线状物，它也是一种物理现象。

磁力线的分布是特定的，大致呈现环状或类似波状，磁力线的密度随着半径r的增大而减小。

它表现出一种有规律的分布，这是理论上它版本，它也称为密度存在着一定的减弱规律，我们不妨以圆环或者一种类似于椭圆状的“钟形磁力线”为例，描述它是如何形成的：磁力线的面积减小，电流分布从圆轴向圆环的外延拓展，同时电流的宽度也会加宽来空间平衡。

大多数物理现象都可以用磁力线描述，例如电动力，磁场能量等等。

二、多普勒效应多普勒效应是1880年和1905年由德国物理学家阿尔伯特·爱因斯坦和英国物理学家罗素发现的，它是指物体在磁场中移动时，它们之间会产生电磁叠加的现象，并产生移动的“拉曼光谱”。

这种现象可以用电磁力线描述，其原理是当一个物体在一个磁场中移动时，它会影响它周围的磁力线的面积，而磁力线的面积因被影响而改变，从而产生电磁叠加的现象，另外，磁场中的电荷也会改变，从而叠加出新的物理性质。

三、相对论1905年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了他经典的相对论，这是物理学史上的一个重大突破，他用蕴藏在物质里的相对性，解释了物理世界的性质，并建立了我们今天的宇宙论和量子力学的基础。

相对论应用于电动力学，则为我们提供了有效的描述和分析电磁场的手段，可以用来分析物体在磁场中如何受到力的影响，从而研究其在特定磁力线面积上的运动轨迹。

四、解决方案针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，考虑到多普勒效应和相对论，有两种解决方案可以考虑：1. 由多普勒效应，可以利用拉曼光谱来分析物体在不同磁力线和电荷的面积中的运动情况，从而判断物体在特定磁力线面积的最小运动轨迹，也就是物体在特定面积内的最小面积；2. 通过应用相对论理论，可以考虑到电磁场各种参数（强度和方向），将它们作为条件分析，利用相对论推导出物体最小运动轨迹的面积。

天空飘来５个物理冷知识　天空中的云，实际上就是“水”，可能是以液态（小水滴）或者固态（小冰晶）的形式存在。

１５　熟练使用连心线，平分对称关系现。

用好对称性解决圆形边界磁场问题　河北　牛红标 圆形边界磁场问题是带电粒子在磁场中偏转的一个难点，很多同学由于抓不住要害，经常不能迅速准确地做出相关几何图形，找不出对应的几何关系而导致解题失败，其实若能够熟练掌握以下几何关系，便能顺利解决问题。

有关数学几何知识：对于圆形边界磁场中的偏转问题，通常涉及的是两个圆的相交关系，一个为边界圆，一个为轨迹圆，如果做出这两个圆的连心线（两个圆心的连线），可以看出，这两个圆的几何关系是关于这条连心线对称平分，设这两个圆的半径分别为Ｒ和ｒ，两个圆的公共弦长为ｄ，与公共弦对应的圆心角分别为θ和α，如图１所示，连心线将两个圆心角对称平分，且满足以下几何关系：ｄ＝２ｒｓｉｎα２＝２Ｒｓｉｎθ２ｒｓｉｎθ２＝Ｒｓｉｎα２当两个半径相互垂直时（对应粒子沿半径方向射入圆形磁场的情况），ｔａｎα２＝Ｒｒ，若Ｒ一定，ｒ越大，α角越小。

图１图２当ｒ＜Ｒ时，根据两个圆的位置关系，公共弦的最大值为ｄ＝２ｒ，如图２，θ角有最大值，θｍａｘ＝２ａｒｃｓｉｎｒＲ。

如果对以上几何知识掌握得很熟练，有关圆形磁场中偏转问题的几何关系就比较容易得到，下面引证一些实例。

一、对心入射问题当带电粒子沿半径方向（即对着圆心）进入圆形边界的磁场时，满足以上几何关系中两个半径相互垂直的情形，再根据关于连心线对称，粒子离开磁场时一定沿半径方向，即背离圆心射出，两个半径满足正切关系。

【例１】如图３所示，电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过加速电场后，进入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于圆面。

不加磁场时，电子束将通过磁场中心Ｏ点而打到屏幕上的中心Ｍ点，加磁场后电子束偏转到Ｐ点外侧。

现要使电子束偏转回到Ｐ点，可行的办法是（ ）图３Ａ．增大加速电压Ｂ．增加偏转磁场的磁感应强度Ｃ．将圆形磁场区域向屏幕靠近些Ｄ．将圆形磁场的半径增大些【分析】本题中带电粒子沿半径方向进入磁场，属于典型的两个半径相互垂直的相交圆问题。

圆形有界磁场问题的分类及解析1、对心飞入问题【例1】电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示。

磁场方向垂直于圆面。

磁场区的中心为O ，半径为r 。

当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。

为了让电子束射到屏幕边缘，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少?解析：如图2所示，电子在磁场中沿圆弧ab 运动，圆心为C ，半径为R 。

可证三角形△CaO ≌ △CbO ，则∠CbO ＝90°，电子离开磁场时速度的反向延长线经过O 点。

由几何关系可知 tan θ2＝rR又有 eU ＝ 12mv 2 evB ＝m v 2R 三式联立解 B ＝ 1r2mU e tan θ2点评：粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场，必沿半径方向飞出磁场。

2、圆心出发问题【例2】 一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面，在xOy 平面上，磁场分布在以O 点为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 轴正方向。

后来粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图3所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。

解析：如图4所示，粒子在磁场中轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区之外。

粒子从A 点离开磁场区，设轨迹半径为r 。

则L ＝ r ＋rsin 30°＝3r又 qvB ＝m v 2r 可求得 B ＝3mvqL磁场区域的半径 R ＝2rcos 30°＝3r ＝33L点评：画轨迹时可先画一个完整的圆，然后分析粒子从圆周上哪一点离开，速度方向才会与题意相符，只要找到了离场点，问题就能解决了。

3、最长时间（最大偏角）问题【例3】如图5所示，在真空中半径r ＝3.0×10-2m 的圆形区域内，有磁感应强度B ＝0.2 T ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度v 0＝1.0×106 m/s ，从磁场边界直径ab 的a 端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向。

确定磁场最小面积的方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。

近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。

一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。

图1解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：Bqv m v R2=①解得RmvqB=0②过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：图2rR=cos30°③由②③得rmvqB =32所以圆形匀强磁场的最小面积为：S r m v q B min==ππ22022234（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：s vt ·°sin30=④ s at ·°cos30122=⑤ 而a qE m=⑥联立④⑤⑥解得s mv Eq=4302二、参数方法例2. 在xOy 平面内有许多电子（质量为m 、电荷量为e ），从坐标原点O 不断地以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。

现加一个垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。

求符合该条件磁场的最小面积。

图3解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O 沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y 方向的电子，其运动轨迹是圆心在x 轴上的A 1点、半径为R mv qB=的圆。

1、某同学设计了一个测定带电粒子比荷的实验，其实验装置如图所示，abcd是一个长方形盒子，在ad边和cd边上各开有小孔f和e，e是cd边上的中点，荧光屏M贴着cd放置，荧光屏上的闪光能显示粒子从e孔射出，盒子内有一方向垂直于abcd平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

粒子源不断地发射相同的带电粒子，粒子的初速度可以忽略，粒子经过电压为U的电场加速后，从f孔垂直于ad边射入盒内，粒子经磁场偏转后恰好从e孔射出，若已知fd=cd=L，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力，请你根据上述条件求出带电粒子的比荷2、如图所示，MN为纸面内竖直放置的挡板，P、D是纸面内水平方向上的两点，两点距离PD为L，D点距挡板的距离DQ为L/п，用质量为m，电荷量为q的带正电粒子在纸面内从P点开始以v0的水平速度向右匀速运动，经过一段时间后在MN左侧空间上加上垂直向里的磁感应强度为B0的匀强磁场，磁场维持一段时间后撤除，粒子再次通过D点时速度方向竖直向下，已知挡板足够长，MN左侧空间磁场分布范围足够大，粒子的重力不计．(1)求粒子在加上磁场前运动的时间t(2)改变磁感应强度B的大小，求满足题设条件的磁感应强度B的最小值及B最小时磁场维持的最短时间t0值．3、如图A-6所示，足够长的光滑绝缘斜面与水平面间的夹角为α（sinα=0.6），放在水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E=50V/m，方向向左，磁场方向垂直于纸面向外.一个电荷量为q=4.0×10-2C、质量m=0.40kg的光滑小球从斜面顶点由静止开始滚下，经过3s后飞离斜面，求磁感应强度B.（g取10m/s2）4、如图所示，重为3N的导体棒，放在间距为d=1m的水平放置的导轨上，电源电动势E=6V，内阻r=0.5Ω，定值电阻R0=11.5Ω，其它电阻不计。

试求：（1）若磁场方向垂直导轨平面向上，大小为B=2T（图未画出），要使导体棒静止不动，导轨与导体棒间的摩擦力至少为多大？（2）若磁场大小不变，方向与导轨平面成角。