求磁场区域最小面积的三类问题

带电粒子在磁场中运动之 磁场最小范围问题
一、磁场范围为圆形
例1 一质量为m 、带电量为q的粒子以
速度 从O点沿 轴正方向射入磁感强度为B
的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于 纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如 图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小 面积； （2）粒子从O点进入磁场区到 达点所经历的时间； （3） 点的坐标。
例3 如图，一个质量为m，带电量为 的粒子在BC边上的M点以速度 垂直于BC边飞入正三角形ABC。 例4 在平面内有许多电子（质量为m、电量q为），从坐标O不断以相同速率vo沿不同方向射入第一象限，如图所示。
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为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强 磁场。
现加一个垂直于 平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向正方向运动，求符合该条件磁场的 最小面积。
为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强 磁场。
（1）粒子在磁场里运动
的轨道半径ｒ及周期T；
（2）该粒子在磁场里运 动的时间t； （3）该正三角形区域磁 场的最小边长；
（1）
（2）Leabharlann （3）四、磁场范围为树叶形
例4 在平面内有许多电子（质量为m、电量 q为），从坐标O不断以相同速率vo沿不同方 向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直 于 平面向内、磁感强度为B的匀强磁场， 要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向正 方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
带电粒子在磁场中运动之

有界磁场最小面积全攻略作者：高爱虎来源：《中学物理·高中》2013年第12期带电粒子在磁场中的运动问题，既是高中物理的重点，也是学生学习的难点，同时又是高考的热点.而这类问题中求解有界磁场最小面积的题目更是近年来高考及各类试卷的“新宠儿”.求解有界磁场的最小面积的题目主要考查了学生对平面几何知识与物理知识的综合运用能力，它能够很好的体现高考对学生“分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力”的考查.其难点在于粒子做部分圆周运动的圆心、半径、射入磁场点、射出磁场点的确定.下面按磁场区域的形状分类解析.1磁场区域为矩形例1如图1所示，在直角坐标系xOy第一象限的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场.现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点A（L，38L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点B（L4，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面向里的矩形匀强磁场区域，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力.求：（1）电子经过B点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B的大小和矩形磁场的最小面积S.小结求解该类问题时，应依据题意确定圆心的位置、圆的半径、射入磁场点、射出磁场点，从而画出粒子在磁场中运动的部分圆弧；让矩形的一边与射入、射出磁场点的连线重合，另一边（运动轨迹小于半圆周）或三边（运动轨迹大于半圆周）与圆弧相切，据此画出能恰好覆盖运动轨迹的矩形即是最小.2磁场区域为圆形小结磁场区域为三角形的题目当三角形边长最小时粒子圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆，因此在计算最小边长时要注意等边三角形三边的三条中垂线中只有射入、射出磁场点所在边的中垂线过轨迹圆的圆心.4磁场区域为树叶形磁场区域为树叶形的题目的特征是大量相同带电粒子都过磁场中某点.设大量质量为m、带电量为q的粒子以相同速率v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，且均过磁场中某点P.则粒子将在磁场中做半径为r=mvBq的匀速圆周运动，且轨迹圆的圆心集合是以P点为圆心、r为半径的圆（以下统称“圆心圆”），如图7虚线所示.下面利用“圆心圆”的知识求解树叶形磁场的最小面积.例4（2009年海南卷）如图8，ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积.小结沿“圆心圆”的部分弧平移某条半径即可找到相应的磁场区域边界，从而求出磁场的最小面积.。

磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=mq C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106-⨯πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程；⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2mv qvB R=２分运动周期22R mT v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间611066t s T π-=⨯= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为1263πθπ⨯=＝ １分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan23y x x θ==２分⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有2mv qv B R =００ ２分mv R qB=1=ｍ １分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分调整后磁场区域的最小面积22min22()422R R S ππ-=⨯-=m2２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。

其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。

已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。

由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。

下面我就以几道典型题验证这个思路。

例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m、电荷量为q 的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。

后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。

过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。

作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。

这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得L=3r②由①、②求得B=■③图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得R=■L④例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x 轴重合。

一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。

一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。