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第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
本章练习题：3-1．设是的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数,其中均为常数。
查看参考答案3-2．设一个随机过程可表示成式中，是一个离散随机变量，且试求及。
查看参考答案3-3．设随机过程,若与是彼此独立且均值为0、方差为的高斯随机变量，试求：（1）、（2）的一维分布密度函数；（3）和。
查看参考答案3-4．已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和，自相关函数分别为和。
（1）试求乘积的自相关函数。
（2）试求之和的自相关函数。
查看参考答案3-5．已知随机过程,其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为=随机变量在（0，2）上服从均匀分布，它与彼此统计独立。
（1）证明是广义平稳的；（2）试画出自相关函数的波形；（3）试求功率谱密度及功率。
查看参考答案3-6．已知噪声的自相关函数为=（为常数）（1）试求其功率谱密度及功率；（2）试画出及的图形。
查看参考答案3-7．一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为(为延迟时间)（1）试画出该线性系统的框图；（2）试求的自相关函数和功率谱密度。
查看参考答案3-8. 一个中心频率为、带宽为的理想带通滤波器如图3-4所示。
假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：图3-4（1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。
查看参考答案3-9. 一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；（2）输出噪声的一维概率密度函数。
图3-5查看参考答案3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的自相关函数；（2）输出噪声的方差。
图3-6查看参考答案3-11．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概率相等。
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
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1
第三章随机过程
随机过程的一般表述 平稳随机过程 高斯过程
平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带高斯过程 循环平稳随机过程 加性噪声
匹配滤波器
1
1
1
1
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1 随机过程的一般表述(5)
两随机过程的数字特征
()()1212122112212
,()();;;R t t E t t x y f x t y t dx dy ξηξη∞
∞
−∞−∞
==⎡⎤⎣⎦∫
∫
互相关函数
(){}
()1211221212,()()()(),()()
B t t E t a t t a t R t t a t a t ξηξηξηξηξη⎡⎤⎡⎤=−−⎣⎦⎣⎦
=−
互协方差函数
()1212,, ,0t t B t t ξη∀=若有
()()t t ξη∼和不相关
2
2
2
2
2 例.
3
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3 1
1πσ1
σ2
σ12
σσ>a
x
()
x
3
3
4
4
4
5
t
c
π
2c f t
5
(
ξ
■
fΔ
5
5
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结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的。
5
5
P
f
c
5 ξ
5 J
结论
6
考察混合信号
6
6 2009-09-21
6
7
7
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8 加性噪声(1)
加性噪声独立于有用信号
噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声 噪声分类：确知噪声、随机噪声
随机噪声分类
单频噪声(外台，窄带)：并不总是存在
脉冲噪声(点火、闪电，幅度大、时间短，频带宽)：安静期长, 对模拟话音影响不大，但对数字通信易造成误码，可使用纠错编码
起伏噪声(热、散弹、宇宙)：普遍存在不可避免，可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度
8
8
8
9
匹配滤波器的原理
匹配滤波器的原理
匹配滤波器的原理
举例
)
(t
举例
()1
1H f ⎡=
⎢
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举例
’
()()'o s t s t −∞
=∫=t’
0h (t -t’)
t
t-τ
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小结
平稳随机过程
定义、数字特征
相关函数的性质
高斯过程
概率密度函数
宽平稳即严平稳, 不相关即独立
平稳过程通过线性系统
输出均值、输出自相关、输入输出互相关、功率谱密度关系
窄带平稳随机过程
等效低通表示式，功率谱密度
同相分量、正交分量性质，幅值、包络性质
正弦波加窄带高斯过程：幅值为莱斯分布
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小结
加性高斯白噪声
AWGN
功率谱密度为常数，相关函数为冲激脉冲
循环平稳过程的定义
均值、相关函数特点，功率谱密度计算
匹配滤波器
滤波器的冲激响应、传递函数
输出信号计算。
