专题五 直线、平面、简单几何体综合应用——好题解悟

高二数学直线、平面和简单几何体的综合提高【本讲主要内容】直线、平面和简单几何体的综合提高空间的线线、线面、面面的位置关系，以及几种最基本的简单的几何体。

在位置关系中着重研究的是平行和垂直关系。

【知识掌握】【知识点精析】1. 空间元素的位置关系空间元素间位置关系两条直线位置关系平行相交斜交垂直异面直线与平面位置关系直线在平面内平行相交斜交垂直两个平面位置关系平行相交斜交垂直⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2. 平行、垂直位置关系的转化3. 空间元素间的数量关系（1）角①相交直线的夹角；②异面直线所成的角——转化为相交直线夹角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影的夹角；④二面角——利用二面角的平面角来度量。

（2）距离①两点间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆的劣弧长。

【解题方法指导】1. 用类比的思想去认识线面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间关系。

2. 注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立体几何问题平面化。

3. 注意平行、垂直间的转化关系。

4. 在直接证明有困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。

5. 求角与距离的关键是化归。

即空间距离与角向平面距离与角化归，具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为求三棱锥的高，即等体积法。

（3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。

方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。

高中数学直线与平面几何解题技巧在高中数学中，直线与平面几何是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的部分。

本文将介绍一些解题技巧，帮助学生更好地理解和应用相关知识。

一、直线的方程直线的方程是直线与代数的结合，通过方程我们可以描述直线的性质和特点。

在解题过程中，我们常常需要根据已知条件得到直线的方程，再利用方程进行推导和计算。

例如，已知直线过点A(1,2)和B(3,4)，我们要求直线的方程。

首先，我们可以计算出直线的斜率：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 2) / (3 - 1) = 1接下来，我们可以利用斜率和已知点的坐标来得到直线的方程。

直线的一般方程为y = kx + b，其中b为直线在y轴上的截距。

由于直线过点A(1,2)，我们可以将其代入方程中得到b：2 = 1 * 1 + b，解得b = 1因此，直线的方程为y = x + 1。

通过这个例子，我们可以看到，对于已知点和斜率，我们可以很快地确定直线的方程。

这个技巧在解题中非常实用，能够帮助我们快速推导和计算直线的性质。

二、平面几何中的相似三角形在平面几何中，相似三角形是一个重要的概念。

相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的性质可以帮助我们解决许多与直线和平面相关的问题。

例如，已知直线l1与直线l2平行，且直线l1与直线l3相交于点A，直线l2与直线l4相交于点B。

我们要证明三角形ABC与三角形DBE相似。

首先，我们可以利用平行线的性质得到∠CAB = ∠EBD。

然后，我们可以利用直线的性质得到∠CAB = ∠DBE。

因此，根据角的对应性质，我们可以得出∠EBD = ∠DBE。

接下来，我们可以利用两个相等的角和一个共边来证明两个三角形的相似性。

根据相似三角形的性质，我们可以得到AB / DE = AC / BD。

通过这个例子，我们可以看到，相似三角形的性质在解题中起到了关键的作用。

通过利用相似三角形的性质，我们可以推导出两个三角形的相似关系，从而解决与直线和平面相关的问题。

高三数学概念、方法、题型总结（九）九、直线、平面、简单多面体第一部分：数学高考基础知识详解1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图．．．．．．．。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 (5)二面角。

二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。

5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。

（2）掌握长方体的对角线的性质。

（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。

（4）S 侧＝各侧面的面积和。

思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥①棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）,性质②相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=31Sh7．球的相关概念：S球=4πR2V球＝34πR3经纬度,球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。

2008高考数学基础知识复习第九章直线、平面、简单的几何体引言立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面及空间直线1.平面的基本性质:(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面．注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测．．．．画．法．．其规则是：①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴,Ox Oy，再取0z轴，使90xOz∠=，且90yOz∠=；②画直观图时，把它们画成对应的轴,,O x O y O z''''''，使45x O y'''∠=(或135)，90x O z'''∠=,x Oy''所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段；④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。

2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；⑵平行直线───共面没有公共点；①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．⑶异面直线───不同在任．一平面内.平面 及空间直线(Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ，则a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是(0,90⎤⎦． (Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．注：①如图:设异面直线a ，b 所成角为θ, 则EF 2=m 2+n 2+d 2±2mnc os θ 或AB EF d AB⋅=②证明两条直线是异面直线一般用反证法。

2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练05直线、平面垂直的判定和性质一、考点传真：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、知识点梳理：1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论汇总直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 三、例题：例1.（2020年江苏卷，15）在三棱柱1111ABC A B C AB AC B C -⊥⊥中，，平面,ABC E F ,分别是1AC B C ,的中点.（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB .【解析】（1）证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点， 所以1//EF AB .又EF ⊄平面111,AB C AB ⊂平面11AB C ， 所以//EF 平面11AB C .（2）证明：因为1B C ⊥平面,ABC AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥.又1,AB AC B C ⊥⊂平面1AB C ， AC ⊂平面11,AB C B CAC C =，所以AB ⊥平面1AB C .又因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .例2. （2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥的体积． 【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE 平面ABB 1A 1， 故.又，所以BE ⊥平面.（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以，故AE =AB =3，.作，垂足为F ，则EF ⊥平面，且. 所以，四棱锥的体积. 11E BB C C -⊂11B C BE ⊥1BE EC ⊥11EB C 1145AEB A EB ︒∠=∠=126AA AE ==1EF BB ⊥11BB C C 3EF AB ==11E BB C C -1363183V =⨯⨯⨯=例3. (2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB BE ，AB BC ，故AB 平面BCGE ． 又因为AB 平面ABC ，所以平面ABC 平面BCGE ． （2）取的中点，联结，.因为，平面，所以平面，故. 由已知，四边形是菱形，且得，故平面. 因此.在中，，，故.所以四边形的面积为 4.FRt△⊥⊥⊥⊂⊥CG M EM DM AB DE ∥AB ⊥BCGE DE ⊥BCGE DE ⊥CG BCGE 60EBC ∠=︒EM ⊥CG CG ⊥DEM DM ⊥CG Rt △DEM 1DE =EM=2DM =ACGD例4. （2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【解析】（Ⅰ）因为平面ABCD ，且平面， 所以．又因为底面ABCD 为菱形，所以． 又平面，平面，，所以平面PAC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ， 所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，P ABCD -PA⊥PA ⊥BD ⊂ABCD PA BD ⊥BD AC ⊥PA ⊂PAC AC ⊂PAC PA AC A =BD⊥AE ⊂所以AE ⊥CD ．又，所以AB ⊥AE ．又平面，平面，，所以AE ⊥平面PAB ．又平面，所以平面PAB ⊥平面．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，且为的中点，使得CF ∥平面PAE ． 取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ． 因为，分别为，的中点，则FG ∥AB ，且FG =AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形， 所以CF ∥EG ．因为CF 平面PAE ，EG 平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．例5. （2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC中，==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC，且=OP连结OB．因为2==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． //AB CD PA ⊂PAB AB ⊂PAB PAAB A =AE ⊂PAE PAE F PB G F PA PB 1212⊄⊂O MPCBA由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知122==OC AC，23=CM BC 45∠=ACB ．所以OMsin ⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ．例6. （2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ．HO MPCBAABCD M⊂又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM 平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．四、巩固练习：1．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α B ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥αC ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥βD ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n 【答案】D【解析】选项A 中，m 与α的关系是m ∥α或m ⊂α，故A 不正确；选项B 中，n 与α之间的关系是n ⊥α或n 与α相交但不垂直或n ∥α，故B 不正确；选项C 中，α与β的关系是α∥β或α与β相交，故C 不正确；选项D 中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.2．若α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．若α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则α⊥β B ．若α⊥β，α∩β＝m ，α∩γ＝n ，则m ⊥nC ．若m 不垂直于平面α，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线D ．若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β 【答案】D【解析】对于选项A ，直线n 是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A 错误；对于选项B ，由条件只能推出直线m 与n 共面，不能推出m ⊥n ，选项B 错误；对于选项C ，命题“若m 不垂直于平面α，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m 垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C 错误；对于选项D ，因为n ⊥β，m ∥n ，所以m ⊥β，又m ⊥α，所以α∥β，选项D 正确．故选D.⊂3．如图，四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD【答案】B【解析】对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD 且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.4．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n【答案】B【解析】由m⊥l1，m⊥l2及已知条件可得m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有m⊥l1，m ⊥l2，故“m⊥l1，m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.5．在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )【答案】D【解析】如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMN Q G垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意．故选D.6．如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部【答案】B【解析】如图，连接AC 1.∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵BC 1⊥AC ，BC 1∩AB ＝B ，∴AC⊥平面ABC 1，又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面ABC 1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC 1内一点C 1向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上．故选B.7．如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ， △PAC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________________；与AP 垂直的直线有________． 【答案】AB ，BC ，AC AB 【解析】因为PC ⊥平面ABC ， 所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， 所以AB ⊥平面PAC ， 又因为AP ⊂平面PAC ，所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB .8．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对． 【答案】7【解析】由于PD ⊥平面ABCD ，故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．9．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．【答案】12【解析】设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋r(22)，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 10．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABCF .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【解析】如图①所示，过点K 作KM ⊥AF 于点M ，连接DM ，易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比，可知折前的图形中D ，M ，K 三点共线且DK ⊥AF (如图②所示)，于是△DAK ∽△FDA ，所以AK AD ＝AD DF ，即t 1＝1DF ，所以t ＝1DF，又DF ∈(1,2)，故t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.11．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若PC ＝2，求三棱锥C ­PAB 的高．【解析】(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC .因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC .又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2＝1. 由(1)知，AC 为三棱锥A ­PBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2，于是S △PAB ＝12×22sin 60°＝ 3. 设三棱锥C ­PAB 的高为h ，则13S △PAB ·h ＝13S △PBC ·AC ，13×3h ＝13×1×2，解得h ＝63，故三棱锥C ­PAB 的高等于63. 12．如图，四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB .(1)求证：CD ⊥AP ；(2)若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB .【解析】证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP .又AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD .因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP .(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .① 因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD .又AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .②由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB .13.如图，在三棱锥D ­ABC 中，AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，AD ＝6，CD ＝3，平面ADC ⊥平面ABC .(1)证明：平面BDC ⊥平面ADC ；(2)求三棱锥D ­ABC 的体积．【解析】 (1)证明：在△ABC 中，由余弦定理可得，BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝4＋1－2×2×1×12＝3， ∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，∴BC ⊥平面ADC ，又BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥平面ADC .(2)由余弦定理可得cos ∠ACD ＝23， ∴sin ∠ACD ＝53， ∴S △ACD ＝12·AC ·CD ·sin∠ACD ＝52， 则V D ­ABC ＝V B ­ADC ＝13·BC ·S △ACD ＝156. 14．如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上．(1)若AN NC＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值；(2)在(1)的条件下，求三棱锥B ­DMN 的体积．【解析】(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD ＝60°，所以DO ⊥BC ，因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，又DN ⊥AC ，且DN ∩DO＝D ，所以AC ⊥平面DON ，因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ，由O 为BC 的中点，AB＝BC ，可得NC ＝14AC ，所以AN NC ＝3，即λ＝3. (2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ，由AB ＝2，ANNC＝3，可得点N 到平面BCDE 的距离h ＝14AB ＝12，由∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ，且DM ＝DE 2－EM 2＝22－12＝3，所以△BDM 的面积S ＝12×DM ×BM ＝32，所以三棱锥B ­DMN 的体积V B ­DMN ＝V N ­BDM ＝13Sh ＝13×32×12＝312。